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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 14
Das H-Atom besteht aus einem Kern am Ort RK r und einem Elektron am Ort re r . Die Hamiltonfunktion lautet:
r
r r
2 r 2
2
r r PK
pe
e
H ( PK
, pe,
RK
, re
) = + − r r . (Hier wird wegen der einfacheren Schreibweise das cgs-
2M
K 2me
RK
− re
r
r
r
M k RK
+ mere
System verwendet.) Durch Einführen von Schwerpunktskoordinaten RS
=
und
M K + me
Relativkoordinaten e K R r r r r
= − lässt sich das 2 Teilchenproblem (6 Freiheitsgrade) auf die einfache
Translationsbewegung ohne äußeres Potential (3 Freiheitsgrade) und die Relativbewegung separieren (3
Freiheitsgrade). Die Hamiltonfunktion lautet:
r
r r
2 r 2
2
r r PS
p ( M K + me
) e
H ( PS
, p,
RS
, r ) = +
− r = H S + H r .
2 M + m 2m
M r
( )
K
e
e
K
Dies ist die Summe zweier unabhängiger Hamiltonfunktionen (und damit Schrödingergleichungen) einmal für
die Schwerpunktsbewegung mit der Gesamtmasse M = M K + me
und einmal für die Relativbewegung des
M Kme
Elektrons zum Kern mit der reduzierten Masse m r =
:
M K + me
r
r 2
r 2 2
PS
r r p e
H S ( PS
) = , H r ( p,
r ) = − r .
2M
2m
r
r
Die Lösungen der Schwerpunktbewegung sind das Kontinuum der kinetischen Energie, wie man es auch
klassisch erhält. Die Lösung der Relativbewegung führt zu einem konkreten Energiespektrum. Die
Gesamtlösung ist die Zusammensetzung beider Anteile. Im Weiteren verfolgen wir kurz zur Wiederholung die
Lösung der Relativbewegung. Wegen des vorhandenen Zentralpotentials ist es zweckmäßig Kugelkoordinaten
einzuführen. Hier ist jedoch wichtig, vorher auf die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren
überzugehen. (Hinweis: Die Transformation auf Schwerpunktkoordinaten ist wegen seiner linearen Form
unsensitiv auf den Unterschied zwischen Hamiltonfunktion und Hamiltonoperator. Dies gilt aber nicht für die
Transformation in Kugelkoordinaten.)
2 2
h e
H r = − ∆ − r
2m
r
r
Mit der Transformation
übergegangen:
x = r sinθ cosϕ
, y = r sinθ
sinϕ
, z = r cosθ
wird auf Kugelkoordinaten
2
pˆ
r H r =
2m
lˆ
2
+ 2
2m
r
2
e
−
r
mit
h 1 ∂ h ⎛ ∂ 1 ⎞
p ˆ r = r = ⎜ + ⎟
i r ∂r
i ⎝ ∂r
r ⎠
und
h
l ˆ = ( r × ∇)
i
bzw.
r
r
2 2
2 ∂
pˆ r = − r 2
r ∂r
h
2
und l ˆ
2
2
h ⎛ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞
= − ⎜sinθ
⎜sinθ
⎟ + ⎟ .
2
2
sin θ ⎝ ∂θ
⎝ ∂θ
⎠ ∂ϕ
⎠
Da das Potential nur von r abhängig ist zerfällt der Hamiltonoperator in einen Radialanteil und in einen reinen
Rotationsenergieanteil. Mit dem Ansatz ψ ( r , θ , ϕ ) = R(
r)
Y ( θ , ϕ ) kann man daher die
2
Schrödingergleichung separieren, wobei als Separationskonstante − l(
l + 1)
h gewählt wird. (Bem.: Der
2
Grund dafür liegt in der Tatsache, dass l(
l + 1)
h der Erwartungswert des Drehimpulsoperators ist.) Daraus
ergeben sich zwei unabhängige Differentialgleichungen:
ˆ
2 2
2
2
2
Radialgleichung: ( p 2m
re − 2m
r E)
R(
r)
= −l(
l + 1)
h R(
r)
r r r
r
− oder
2
2
2⎛
∂R(
r)
∂ R(
r)
⎞
2⎛
e ⎞
2
− rh ⎜2
+ r ⎟ − 2m
r E R(
r)
= −l(
l + 1)
h R(
r)
2
r ⎜ + ⎟
⎝ ∂r
∂r
⎠ ⎝ r ⎠
Winkelgleichung: ˆ2
2
− l Y ( θ , ϕ ) = −l(
l + 1)
h Y ( θ , ϕ ) oder
2
1 ∂
⎛ ∂Y
( θ , ϕ ) ⎞ 1 ∂ Y ( θ , ϕ )
⎜sinθ
⎟ +
= −l(
l + 1)
Y ( θ , ϕ )
2
2
sinθ
∂θ
⎝ ∂θ
⎠ sin θ ∂ϕ