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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 13
2.2 Aufbau der Atome
Atome bestehen aus einem positiv geladenem Atomkern und negativ geladenen Elektronen. Das einfachste
Atom ist Wasserstoff (H) mit einem Proton als Kern und einem Elektron. In der einfachsten Vorstellung
umkreist das Elektron den Atomkern (wie die Planetenbewegung). Die klassische Elektrodynamik würde dabei
keine Stabilität des Atoms vorhersagen, da die Kreisbewegung des Elektrons einer ständigen Beschleunigung
unterliegt und beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen abstrahlen. Dies würde zu einem ständigen
Energieverlust des Elektrons führen und damit zu einer Spiralbahn, die einmal im Atomkern endet. Die
Quantenmechanik beschreibt das Elektron als stehende Wellen, wodurch bei vorgegebener Wellenlänge nur
ganz bestimmte Kreisbahnen möglich sind. Dadurch sind nur mehr ganz bestimmte Energien für das Elektron
erlaubt, und das Elektron kann nicht mehr kontinuierlich Energie verlieren. Nur mehr Übergänge zwischen den
Energieniveaus sind möglich, wobei elektromagnetische Wellen mit nur ganz bestimmten Energien (entspricht
den Differenzen der Energieniveaus) absorbiert oder emittiert werden.
Einfache mathematische Lösung: Eine stabile Kreisbahn (Planetenbewegung) fordert, dass Fliehkraft
( F = mωr = mv
r
2
2
) und Anziehungskraft gleich groß sind, oder , dass Ekin = − Epot
1 2 (Ekin kinetische
Energie, Epot potentielle Energie). Für ein Elektron, das ein Proton umkreist ergibt dies:
2
2
2
e
e
e
E pot =− , Ekin
= und Eges
=− .
r
r
r
4πε
0
8πε
0
8πε
0
2
p h
Das kreisende Elektron ist aber auch als Materiewelle beschreibbar, mit Ekin
= und p = . Zeitlich
2m
λ
stationäre Wellen sind aber nur dann möglich, wenn ganzzahlige Vielfache von λ im Bahnumfang 2πr
untergebracht werden können.
2 2
2
p h e
Ekin
= = = und die Bedingung nλ= 2 πrr
(n=1,2,3,...) liefern die Lösungen:
2
2m2mλ 8πε
r
r
n = ε
0hn
πme
0
2
ε hn
me
2 2
, λ
2 n = 2 0
, E
2 ges, n =−
4
me
8ε hn
2
0
2 2
Diese Lösungen entsprechen den exakten Resultaten des Radialanteils der Schrödingergleichung. Berücksichtigt
man auch noch die statistische Aussage der Quantenmechanik, so muss man über alle möglichen Kreisbahnen
mitteln, was den Gesamtdrehimpuls von 0 ergibt, wie man es für einen s Zustand erwarten darf. In ähnlicher
Weise lassen sich Ergebnisse für andere Bahnen mit Bahndrehimpuls (Nebenquantenzahlen) erhalten, wenn man
postuliert, dass der Bahndrehimpuls nur in Vielfachen von h vorkommt (p,d,f,...). Die magnetischen
Quantenzustände erhält man, wenn man bezüglich einer Vorzugsrichtung ebenfalls die Quantisierung in
Vielfachen von h für die Projektion des Bahndrehimpulses fordert. Dies ergibt z.B. für einen 2p Zustand die 3
magnetischen Zustände mit m=-1, m=0, und m=1.
Obwohl mit Hilfe dieser Vorstellungen auf recht einfache Weise die Resultate des H-Atoms ohne komplizierter
Lösung der Schrödingergleichung erhalten wurden, darf diese Modellvorstellung nicht überbeansprucht werden.
So würde die rein klassische Auslegung steigendes Bahndrehmoment mit dem Bahnradius vorhersagen oder mit
dem Argument der Mittelung immer Null ergeben. Tatsächlich darf man jedoch die Elektronen nicht als
kreisende Massepartikeln auffassen, sondern als Verteilung im Sinne einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Erst
bei hohen Hauptquantenzahlen n und bei maximalen Nebenquantenzahlen nähert sich die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen den klassischen Kreisbahnen an. Ebenso erhält man den genauen
Zusammenhang zwischen den verschiedenen Quantenzahlen erst bei exakter Separierung der
Schrödingergleichung. Demnach gibt es nur die Kombinationen: 1s0, 2s0, 2p-1, 2p0, 2p1, 3s0, 3p-1, 3p0, 3p1, 3d-2,
3d-1, 3d0, 3d1, 3d2, ...etc.
Das H-Atom
Die quantenmechanische Behandlung des H-Atoms ist eine Standard Lehrbuch Aufgabe (siehe z.B. Haken-
Wolf). Sie ist deshalb so wichtig, weil dies eines der wenigen Beispiele ist, wo ein Atom sich exakt
quantenmechanisch lösen lässt. Man lernt dabei den Umgang mit der Quantenmechanik und seine Auswirkung
auf Atomorbitale. Hier soll kurz die Vorgangsweise skizziert werden: