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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 12 Teilchen mit m >> und p
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 13 2.2 Aufbau der Atome Atome bestehen aus einem positiv geladenem Atomkern und negativ geladenen Elektronen. Das einfachste Atom ist Wasserstoff (H) mit einem Proton als Kern und einem Elektron. In der einfachsten Vorstellung umkreist das Elektron den Atomkern (wie die Planetenbewegung). Die klassische Elektrodynamik würde dabei keine Stabilität des Atoms vorhersagen, da die Kreisbewegung des Elektrons einer ständigen Beschleunigung unterliegt und beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen abstrahlen. Dies würde zu einem ständigen Energieverlust des Elektrons führen und damit zu einer Spiralbahn, die einmal im Atomkern endet. Die Quantenmechanik beschreibt das Elektron als stehende Wellen, wodurch bei vorgegebener Wellenlänge nur ganz bestimmte Kreisbahnen möglich sind. Dadurch sind nur mehr ganz bestimmte Energien für das Elektron erlaubt, und das Elektron kann nicht mehr kontinuierlich Energie verlieren. Nur mehr Übergänge zwischen den Energieniveaus sind möglich, wobei elektromagnetische Wellen mit nur ganz bestimmten Energien (entspricht den Differenzen der Energieniveaus) absorbiert oder emittiert werden. Einfache mathematische Lösung: Eine stabile Kreisbahn (Planetenbewegung) fordert, dass Fliehkraft ( F = mωr = mv r 2 2 ) und Anziehungskraft gleich groß sind, oder , dass Ekin = − Epot 1 2 (Ekin kinetische Energie, Epot potentielle Energie). Für ein Elektron, das ein Proton umkreist ergibt dies: 2 2 2 e e e E pot =− , Ekin = und Eges =− . r r r 4πε 0 8πε 0 8πε 0 2 p h Das kreisende Elektron ist aber auch als Materiewelle beschreibbar, mit Ekin = und p = . Zeitlich 2m λ stationäre Wellen sind aber nur dann möglich, wenn ganzzahlige Vielfache von λ im Bahnumfang 2πr untergebracht werden können. 2 2 2 p h e Ekin = = = und die Bedingung nλ= 2 πrr (n=1,2,3,...) liefern die Lösungen: 2 2m2mλ 8πε r r n = ε 0hn πme 0 2 ε hn me 2 2 , λ 2 n = 2 0 , E 2 ges, n =− 4 me 8ε hn 2 0 2 2 Diese Lösungen entsprechen den exakten Resultaten des Radialanteils der Schrödingergleichung. Berücksichtigt man auch noch die statistische Aussage der Quantenmechanik, so muss man über alle möglichen Kreisbahnen mitteln, was den Gesamtdrehimpuls von 0 ergibt, wie man es für einen s Zustand erwarten darf. In ähnlicher Weise lassen sich Ergebnisse für andere Bahnen mit Bahndrehimpuls (Nebenquantenzahlen) erhalten, wenn man postuliert, dass der Bahndrehimpuls nur in Vielfachen von h vorkommt (p,d,f,...). Die magnetischen Quantenzustände erhält man, wenn man bezüglich einer Vorzugsrichtung ebenfalls die Quantisierung in Vielfachen von h für die Projektion des Bahndrehimpulses fordert. Dies ergibt z.B. für einen 2p Zustand die 3 magnetischen Zustände mit m=-1, m=0, und m=1. Obwohl mit Hilfe dieser Vorstellungen auf recht einfache Weise die Resultate des H-Atoms ohne komplizierter Lösung der Schrödingergleichung erhalten wurden, darf diese Modellvorstellung nicht überbeansprucht werden. So würde die rein klassische Auslegung steigendes Bahndrehmoment mit dem Bahnradius vorhersagen oder mit dem Argument der Mittelung immer Null ergeben. Tatsächlich darf man jedoch die Elektronen nicht als kreisende Massepartikeln auffassen, sondern als Verteilung im Sinne einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Erst bei hohen Hauptquantenzahlen n und bei maximalen Nebenquantenzahlen nähert sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen den klassischen Kreisbahnen an. Ebenso erhält man den genauen Zusammenhang zwischen den verschiedenen Quantenzahlen erst bei exakter Separierung der Schrödingergleichung. Demnach gibt es nur die Kombinationen: 1s0, 2s0, 2p-1, 2p0, 2p1, 3s0, 3p-1, 3p0, 3p1, 3d-2, 3d-1, 3d0, 3d1, 3d2, ...etc. Das H-Atom Die quantenmechanische Behandlung des H-Atoms ist eine Standard Lehrbuch Aufgabe (siehe z.B. Haken- Wolf). Sie ist deshalb so wichtig, weil dies eines der wenigen Beispiele ist, wo ein Atom sich exakt quantenmechanisch lösen lässt. Man lernt dabei den Umgang mit der Quantenmechanik und seine Auswirkung auf Atomorbitale. Hier soll kurz die Vorgangsweise skizziert werden:
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