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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 10 2 Wiederholung der wichtigsten Grundbegriffe 2.1 Grundlagen der Quantenmechanik Das Versagen der klassischen Physik bei mikroskopisch kleinen Objekten (z.B. Atomen) aber auch makroskopischen Erscheinungen, wie z.B. die Supraleitung, machte eine Erweiterung der bisherigen klassischen Mechanik notwendig und führte zur Quantenmechanik. Dabei werden vorwiegend folgende zusätzlichen physikalische Zusammenhänge berücksichtigt: 1) Welle-Teilchen-Dualismus 2) Ersatz von exakten Vorhersagen aller Variablen durch statistische Wahrscheinlichkeitsaussagen (wie in der Thermodynamik). Dies führt zu einem neuen Formalismus der Beschreibung mit Hilfe von Differentialgleichungen (Schrödinger's Wellenmechanik) oder zu einem äquivalenten Operatorformalismus (Heisenberg Bild). Der Hamiltonformalismus der klassischen Mechanik, der die Gesamtenergie als Funktion verallgemeinerter (kanonischer) Impulse und Orte anschreibt wird dabei in die quantenmechanischen Differentialoperatoren nach folgender Vorschrift übergeführt: → ∇ r v h ∂ p , E → ih . Die Hamiltonfunkion eines Teilchens im Potential V: i ∂t rr ( pp) r H = + V ( r ) wird dann übergeführt in einen Differentialoperator ˆ 2 ∆ r H = −h + V ( r ) . 2M 2M Die stationären Energie-Eigenzustände des Systems erhält man dann aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung, welche als Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators ˆ r r Hψ ( r ) = Eψ ( r ) lautet. In einer Dimension lautet die entsprechende 2 ∆ r r r r Differentialgleichung − h ψ ( r ) + V ( r) ψ ( r) = Eψ ( r) bzw. die zeitabhängige Variante: 2M ⎛ 2 ∆ r ⎞ r ∂ r r ⎜− h + V ( r, t) ⎟ψ ( r, t) = ih ψ ( r, t) . Ein Satz von E i (Eigenwerten) und ψ i (r ) ⎝ 2M ⎠ ∂t (Eigenvektoren) stellen dabei die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung dar. Für gebundene Teilchen ergeben sich dabei diskrete Energieniveaus (Quantelung), während für ungebundene Teilchen (freie Teilchen mit V=0) sich ein Energiekontinuum wie in der * r r klassischen Mechanik ergibt. Das Quadrat der Wellenfunktion ψ ( r) ψ ( r ) übernimmt dabei die Aufgabe einer statistischen Verteilung über welche die jeweiligen beobachtbaren Größen (Observablen) durch Mittelung zu bestimmen sind. So erhält man z.B. den Impuls des Teilchens im i-ten Zustand aus: ψ dr ψ i p ψ i ˆr r i ( r ) = r v * r h r pi ψ i ( r ) ∇ i ∞ = ∫ −∞ wobei die Orthonormierung der Wellenfunktionen ψ i ψ j = δ ij vorausgesetzt ist. Eine besondere Bemerkung verdient hierbei die quantenmechanische Behandlung von Drehgrößen. Während in der klassischen Mechanik die "freie" Rotation eines Teilchens um eine Achse jeden beliebigen Energiewert annehmen kann, kommt in der Quantenmechanik der Umstand zu tragen, dass es sich dabei nicht wirklich um ein freies Teilchen handelt, da Zwangskräfte auftreten (z.B. Fliehkraft etc.), welche für eine stabile Rotation entsprechend kompensiert
P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 11 werden müssen (z.B. Zentripetalkraft über eine Verbindung zur Drehachse). Dadurch ist der Drehimpuls und auch seine Projektion zu einer beliebigen vorgegebenen Achse in Vielfachen r von h gequantelt: L = lh und L mh . Dabei kann die Drehimpulsquantenzahl l z = ganzzahlige Werte (Bosonen) oder halbzahlige Werte (Fermionen) annehmen. Die Quantenzahl m der Projektion (aufgrund der Aufspaltung von Atomorbitalen im Magnetfeld auch magnetische Quantenzahl genannt) läuft dabei von -l nach +l. Daraus folgt das Drehungen in der Quantenmechanik nicht nur in ihrem Betrag sondern auch in ihrer Richtung gequantelt sind. 2.1.1 Welle-Teilchen-Dualismus: Als Welle wird eine periodisch in Raum und Zeit oszillierende physikalische Größe angesehen: rr r r r iωt ikr i( ωt+ kr) Ar ( , t) = Ae 0 e = Ae 0 ; r 2π k mit ω = 2πf der Kreisfrequenz, r λ | k | 2π λ r k = dem Wellenvektor und dessen Betrag | | r k = =k. Der Zusammenhang zwischen Wellenbild und Teilchenbild erfolgt indem der Welle Impuls und Energie, typische physikalische Größen von Teilchen, zugeordnet werden. r r r r 2π k h k r h (1) Impuls: p = hk = h r = r und p = . λ | k | λ | k | λ (2) Photonenenergie: E f hf h c 2π = hω = h2π = = = h c = hkc. λ λ r Aus (1) und (2) folgt, dass E =| p|c, was die relativistische Energie-Impuls-Beziehung für Ruhemasse gleich Null darstellt. Für klassische Teilchen ist hingegen die Energie 2 p (3) E = . 2m Diese scheinbare Diskrepanz wird erst durch die relativistische Mechanik aufgeklärt. Hier muss die Energie den Lorentz-Transformationen entsprechen und ist mit Ruhemasse und Impuls auf folgende Art verbunden: 2 (4) E = ( pc) + ( m c ) 0 2 2 . Für m 0 = 0 ⇒ E = pc , erhält man die extrem relativistische Beziehung, wie sie z.B. für Photonen (elektromagnetische Wellen) gilt, welche verschwindende Ruhemasse besitzen. Für
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