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P. Knoll, Vorlesung: Anregungen im Festkörper ........ 2std. SS03 Seite 10
2 Wiederholung der wichtigsten Grundbegriffe
2.1 Grundlagen der Quantenmechanik
Das Versagen der klassischen Physik bei mikroskopisch kleinen Objekten (z.B. Atomen) aber
auch makroskopischen Erscheinungen, wie z.B. die Supraleitung, machte eine Erweiterung
der bisherigen klassischen Mechanik notwendig und führte zur Quantenmechanik. Dabei
werden vorwiegend folgende zusätzlichen physikalische Zusammenhänge berücksichtigt:
1) Welle-Teilchen-Dualismus
2) Ersatz von exakten Vorhersagen aller Variablen durch statistische Wahrscheinlichkeitsaussagen
(wie in der Thermodynamik).
Dies führt zu einem neuen Formalismus der Beschreibung mit Hilfe von
Differentialgleichungen (Schrödinger's Wellenmechanik) oder zu einem äquivalenten
Operatorformalismus (Heisenberg Bild).
Der Hamiltonformalismus der klassischen Mechanik, der die Gesamtenergie als Funktion
verallgemeinerter (kanonischer) Impulse und Orte anschreibt wird dabei in die
quantenmechanischen Differentialoperatoren nach folgender Vorschrift übergeführt:
→ ∇
r v h
∂
p , E → ih
. Die Hamiltonfunkion eines Teilchens im Potential V:
i
∂t
rr
( pp)
r
H = + V ( r ) wird dann übergeführt in einen Differentialoperator ˆ 2 ∆ r
H = −h
+ V ( r ) .
2M
2M
Die stationären Energie-Eigenzustände des Systems erhält man dann aus der
zeitunabhängigen Schrödingergleichung, welche als Eigenwertgleichung des
Hamiltonoperators ˆ r r
Hψ
( r ) = Eψ
( r ) lautet. In einer Dimension lautet die entsprechende
2 ∆ r r r r
Differentialgleichung − h ψ ( r ) + V ( r)
ψ ( r)
= Eψ
( r)
bzw. die zeitabhängige Variante:
2M
⎛ 2 ∆ r ⎞ r ∂ r
r
⎜−
h + V ( r,
t)
⎟ψ
( r,
t)
= ih
ψ ( r,
t)
. Ein Satz von E i (Eigenwerten) und ψ i (r )
⎝ 2M
⎠ ∂t
(Eigenvektoren) stellen dabei die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung dar.
Für gebundene Teilchen ergeben sich dabei diskrete Energieniveaus (Quantelung), während
für ungebundene Teilchen (freie Teilchen mit V=0) sich ein Energiekontinuum wie in der
* r r
klassischen Mechanik ergibt. Das Quadrat der Wellenfunktion ψ ( r)
ψ ( r ) übernimmt dabei
die Aufgabe einer statistischen Verteilung über welche die jeweiligen beobachtbaren Größen
(Observablen) durch Mittelung zu bestimmen sind. So erhält man z.B. den Impuls des
Teilchens im i-ten Zustand aus: ψ dr ψ i p ψ i
ˆr r i ( r ) =
r
v
* r h r
pi ψ i ( r ) ∇
i
∞
= ∫
−∞
wobei die
Orthonormierung der Wellenfunktionen ψ i ψ j = δ ij vorausgesetzt ist. Eine besondere
Bemerkung verdient hierbei die quantenmechanische Behandlung von Drehgrößen. Während
in der klassischen Mechanik die "freie" Rotation eines Teilchens um eine Achse jeden
beliebigen Energiewert annehmen kann, kommt in der Quantenmechanik der Umstand zu
tragen, dass es sich dabei nicht wirklich um ein freies Teilchen handelt, da Zwangskräfte
auftreten (z.B. Fliehkraft etc.), welche für eine stabile Rotation entsprechend kompensiert