Zweifach-Rollbahn - Imaginata

Zweifach-Rollbahn
110 kV-Halle
Die gerade Rollbahn ist kürzer als die gebogene.
Doch welche Kugel kommt eher ins Ziel?
� Welche Kugel ist eher da, welche schneller?
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Die Beschäftigung mit
Kugelbahnen ist nicht nur
ein netter physikalischer
Zeitvertreib. Konstrukteure
von Achterbahnen oder
Rodelbahnen kommen ohne
solides Wissen über
Rollkurven und deren
mathematische
Beschreibung nicht aus.

Ähnlich wie bei der Station „Kugelwettlauf“ kann man auch an der Zweifachrollbahn sehen,
dass die Beschleunigung einer rollenden Kugel von der Neigung der Bahn abhängt. Auch
hier ist die Kugel auf der gebogenen – also längeren Bahn deutlich eher am Ziel, da sie am
Anfang stärker beschleunigt wird. Wie schnell können Kugeln überhaupt werden? Welche
Bedingungen gibt es für die Konstruktion der schnellsten möglichen Rollbahn, einer
„Brachistochrone“?
Bereits der Schweizer Mathematiker und Arzt Johann Bernoulli (1667-1741) beschäftigte
sich mit diesen Problemen und entwickelte eine elegante mathematische Lösung, mit der
er den Grundstein für ein neues mathematisches Teilgebiet, die Variationsrechnung, legte.
Wer nicht rechnen möchte, kann sich die Form der
Brachistochrone aber auch geometrisch konstruieren.
Sie entspricht einer Zykloide, also der Kurve, die durch
die Überlagerung einer Vorwärts- mit einer
Drehbewegung entsteht. Als Beispiel mag dir der
Hinterradreflektor eines vorbeifahrenden Fahrrads
dienen, dessen Bewegung sich aus der
Vorwärtsbewegung des gesamten Fahrrads und der
Drehbewegung des Hinterrades zusammensetzt und je
nach Position des Reflektors mehr oder weniger
bogenförmig aussieht. Wenn du die einzelnen
Positionen des Reflektors miteinander verbindest,
erhältst du eine der Brachistochronen ähnliche
Rollkurve.
Solche Kurven bieten nicht nur die Möglichkeit, schnelle
Murmelbahnen zu konstruieren; die Brachistochrone hat
noch eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft. Sie ist
gleichzeitig auch eine „Tautochrone“, d. h. eine Bahn auf
der die Laufzeit der Kugel unabhängig vom Startpunkt
ist. Auf so einer Bahn ist es egal, wo die Kugel startet,
denn sie benötigt immer genau die gleiche Zeit bis zum Ende. Dies kannst du
ausprobieren, indem du entweder die Zeit bei verschiedenen Starthöhen nimmst oder die
zwei Kugeln zeitgleich an verschieden Positionen starten lässt; sie kommen (fast)
zeitgleich ins Ziel.
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