Abitur 2013; Aufgabe B 2.2

Abitur 2013, Aufgabe B 2.2
Auf zwei Glücksrädern befinden sich
jeweils sechs gleich große Felder (3 x
Kleeblatt, 2 x Diamant, 1 x Stern). Bei
jedem Spiel werden die Räder einmal in
Drehung versetzt. Sie laufen dann
unabhängig voneinander aus und bleiben
so stehen, dass von jedem Rad genau ein
Feld sichtbar ist.
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Baden-Württemberg
a) Zunächst werden die Räder als ideal angenommen. Bei einem Einsatz von 0,20 €
sind folgende Auszahlungen vorgesehen:
Stern – Stern 2,00 €
Diamant – Diamant 0,85 €
Kleeblatt – Kleeblatt 0,20 €
In allen anderen Fällen wird nichts ausbezahlt. Weisen Sie nach, dass das Spiel fair
ist.
Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen.
Dazu soll nur der Auszahlungsbetrag für „Diamant – Diamant“ geändert werden.
Berechnen Sie diesen neuen Auszahlungsbetrag.
(3 VP)
Ereignis
Stern –
Stern
Diamant –
Diamant
Kleeblatt –
Kleeblatt
Gewinn
x i
Wahrscheinlichkeit
P(x i )
2,00 € P(S − S) = 1 6 ∙ 1 6 = 1
36
0,85 € P(D − D) = 2 6 ∙ 2 6 = 1 9
0,20 € P(K − K) = 3 6 ∙ 3 6 = 1 4
gewichteter Gewinn
x i ∙ P(x i )
1
2,00€ ∙
36 = 0,0555€
0,85€ ∙ 1 9 = 0,0944€
0,20€ ∙ 1 4 € = 0,0500€
k
E[X] = ∑ x i ∙ P(x i ) = 0,20€
i=1
Der Einsatz entspricht dem Erwartungswert. Daher ist das Spiel fair.

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Um auf lange Sicht 5 Cent Gewinn zu erzielen, wird der Erwartungswert um 5 Cent
reduziert:
E[X] = 0,0555€ + x ∙ 1 + 0,0500€ = 0,20€ − 0,05€
9
⟹ x = 9 ∙ (0,15€ − 0,1055€) = 0,40€
Der Auszahlungsbetrag für „Diamant – Diamant“ muss nun 0,40€ betragen.
b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit p für „Stern-Stern“ geringer als
1
ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden. Formulieren Sie die
36
Entscheidungsregel für die Nullhypothese H 0 : p ≥ 1
, wenn die
36
Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll.
(3 VP)
Der Verdacht wird mit einem linksseitigen Hypothesentest untersucht. Hierbei beschreibt
die Zufallsvariable X das Auftreten der „Stern-Stern“ Kombinationen. Falls die Anzahl
dieser Kombinationen in der Stichprobe zu klein ist, ist die Nullhypothese ungültig und
wird abgelehnt.
Nullhypothese: H 0 ∶ P ≥ 1
Annahmebereich A = {k + 1, k + 2, . . . , 500)
36
Gegenhypothese: H 1 ∶ P < 1
36
Ablehnungsbereich A̅ = {0, 1, … , k)
(„Stern-Stern“ mindestens 2,77%)
(„Stern-Stern“ geringer als 2,77%)
Gesucht ist die größte
natürlich Zahl k, für die gilt:
P(X ≤ k) ≤ 0,05.
⟹ k = 7
Entscheidungsregel: Wenn von 500 Spielen der Stichprobe höchstens 7 mal die
Kombination „Stern-Stern“ auftritt, ist die Nullhypothese ungültig und wird abgelehnt.
Ansonsten wird sie beibehalten.