Abitur 2014; Aufgabe B 2.2

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Abitur 2014, Aufgabe B 2.2
Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß
5%.
a) Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Bleistifte. Die Zufallsvariable
X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe. Berechnen Sie
P(X ≤ 30). Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 10
vom Erwartungswert von X ab?
(3 VP)
P(x < 30) ≈ 0,057
Der Erwartungswert ist E(x) = n ∙ p = 800 ∙ 0,05 = 40. Gesucht ist daher die
Wahrscheinlichkeit P(31 ≤ X ≤ 39).
P(31 ≤ X ≤ 39) = P(x ≤ 49) − P(X ≤ 30)
P(31 ≤ X ≤ 39)
= P(x ≤ 49) − P(X ≤ 30)
= 0,935 − 0,057
= 0,878
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 87,8% weicht der Wert von X um weniger als 10 vom
Erwartungswert ab.

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b) Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2%
der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H 0 soll mithilfe
eines Tests an 800 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Bei welchen
Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die
Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% betragen soll?
(3 VP)
Die Fehlerrate der Bleistifte wird mit einem rechtsseitigen Hypothesentest untersucht.
Hierbei beschreibt die Zufallsvariable X die Anzahl der fehlerhaften Bleistifte. Falls die
Anzahl der fehlerhaften Stifte in der Stichprobe zu groß ist, ist die Nullhypothese ungültig
und wird abgelehnt.
Nullhypothese: H 0 : P ≤ 0,02 (Fehlerrate höchstens 2%)
Annahmebereich A = {0, 1, … , k}
Gegenhypothese: H 1 ∶ P > 0,02 (Fehlerrate höher als 2%
Ablehnungsbereich A̅ = {k + 1, k + 2, … 800)
Gesucht ist die kleinste natürlich Zahl k, für die gilt:
P(X ≥ k + 1) ≤ 0,05
⟹ 1 − P(X ≤ k) ≤ 0,05
⟹ P(X ≤ k) ≥ 0,95
⟹ k = 23
⟹ k + 1 = 24
Entscheidungsregel: Wenn von den 800 Bleistiften der Stichprobe mindestens 24
Bleistifte fehlerhaft sind, ist die Nullhypothese ungültig und wird abgelehnt. Ansonsten
wird sie beibehalten.