Abitur 2014; Aufgabe B 1.2

Abitur 2014, Aufgabe B 1.2
In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln.
In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln.
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Baden-Württemberg
a) Aus Gefäß G1 wird 20 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird.
Aus Gefäß G2 wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden und zwar bei
direkt aufeinander folgenden Zügen.
(4 VP)
P(X ≥ 12) = 1 − P(X ≤ 11) = 0,596
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine
schwarze Kugel gezogen wird, beträgt ca. 59,6%
Im zweiten Teil der Aufgabe werden Ereignisse betrachtet, bei denen genau 2 schwarze
Kugeln direkt hintereinander gezogen werden. Durch die vorgegebene Reihenfolge kann
keine Binomialverteilung verwendet werden.
Bei den 8 Versuchen, werden 2 schwarze (P s = 0,3) und 6 weiße (P w = 0,7) Kugeln
gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, 2 schwarze Kugeln direkt hintereinander zu ziehen,
beträgt P ss = 0,3 2 .
Bei 8 Versuchen gibt es weiterhin genau 7 Möglichkeiten, dass 2 schwarze Kugeln direkt
hintereinander gezogen werden. Jedes dieser Ereignisse hat die Wahrscheinlichkeit
P 2s6w = 0,3 2 ∙ 0,7 6
Ereignis Reihenfolge Wahrscheinlichkeit
1 s-s-w-w-w-w-w-w P 2s6w = 0,3 2 ∙ 0,7 6
2 w-s-s-w-w-w-w-w P 2s6w = 0,3 2 ∙ 0,7 6
.
.
.
.
.
.
P 2s6w = 0,3 2 ∙ 0,7 6
7 w-w-w-w-w-w-s-s P 2s6w = 0,3 2 ∙ 0,7 6
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt P ss hintereinader = 7 ∙ 0,3 2 ∙ 0,7 6 = 0,074
bzw. 7,4%.

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Baden-Württemberg
b) Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2
gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?
(3 VP)
Mit dem Baumdiagramm lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für die Züge aus G1
ableiten.
6
10
S
5
9
4
9
S
W
4
10
W
6
9
3
9
S
W
Anzahl der
gezogenen
schwarzen
Kugeln aus G1
Wahrscheinlichkeit gemäß
Baumdiagramm
2 P 2s = 6
10 ∙ 5 9 = 1 3
1 P 1s = 6
10 ∙ 4 9 + 4
10 ∙ 6 9 = 8
15
0 P 0s = 4
10 ∙ 3 9 = 2
15
Anzahl der
schwarzen
Kugeln in G2
Wahrscheinlichkeit
für schwarze
Kugel in G2
3 + 2 = 5 P 2s,s = 5
12
3 + 1 = 4 P 1s,s = 4
12
3 + 0 = 3 P 0s,s = 3
12
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus G2 gezogene Kugel schwarz ist, beträgt
P(schwarz aus G2) = 1 3 ∙ 5
12 + 8
15 ∙ 4
12 + 2
15 ∙ 3
12 = 7
20 = 0,35
Die gezogene Kugel ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 35% schwarz.