Abitur 2013; Aufgabe B 2.1

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Abitur 2013, Aufgabe B 2.1
In einem würfelförmigen
Ausstellungsraum mit der
Kantenlänge 8 Meter ist ein
dreieckiges Segeltuch aufgespannt.
Es ist im Punkt F sowie in den
Kantenmitten M 1 und M 2 befestigt
(siehe Abbildung). Es wird
angenommen, dass das Segeltuch
nicht durchhängt.
E
M2
10
5
H
F
G
In einem Koordinatensystem stellen
die Punkte A(8|0|0), C(0|8|0) und
H(0|0|8) die entsprechenden Ecken
des Raumes dar.
M1
D
5
C
5
10
A
B
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene S, in der das Segeltuch liegt.
Zeigen Sie, dass das Segeltuch die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Segeltuchs. Welchen Abstand hat das
Segeltuch von der Ecke E?
(Teilergebnis: S: 2x 1 − x 2 + 2x 3 = 24)
(6 VP)
Eine Parametergleichung der Ebene S ergibt sich durch die Punkte F(8|8|8), M 1 (8|0|4)
und M 2 (4|0|8).
8 0 −4
S: x = ( 8) + r ∙ ( −8) + s ∙ ( −8)
8 −4 0
Der Normalenvektor dieser Ebene ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer
Richtungsvektoren.
0 −4 −32
2
n⃗ = ( −8) × ( −8) = ( 16 ) oder vereinfacht n⃗⃗⃗⃗ v = ( −1)
−4 0 −32
2

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Die Normalengleichung der Ebene lautet daher (Punkt M 1 eingesetzt):
8 2
S: (x − p) ∙ n⃗ = (x − ( 0)) ∙ ( −1) = 0
4 2
Durch Ausmultiplizieren dieser Gleichung ergibt sich die Koordinatengleichung der
Ebene.
S: 2x 1 − x 2 + 2x 3 = 24
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten (Schenkel).
8 8 0
FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = ( 0) − ( 8) = ( −8) ⟹ |M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 F| = √64 + 16 = √80
4 8 −4
4 8 −4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ FM 2 = ( 0) − ( 8) = ( −8) ⟹ |M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 F| = √16 + 64 = √80
8 8 0
Die Längen von M 1 F und M 2 F sind gleich. Daher hat das Segeltuch die Form eines
gleichschenkligen Dreiecks.
Der Flächeninhalt des Segeltuchs kann ebenfalls mit dem oben schon verwendeten
Kreuzprodukt berechnet werden.
A = 1 2 |FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1 × FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 | = 1 0 −4
2 ∙ |( −8) × ( −8)| = 1 −32
2 ∙ |( 16 )| = 1 2 √322 + 16 2 + 32 2 = 24
−4 0
−32
Der Flächeninhalt des Segeltuchs beträgt 24m 2 .
Zur Berechnung des Abstands wird S in die Hessesche Normalform umgewandelt.
S: 3x 2 + x 3 = a ⟹ E: 2x 1 − x 2 + 2x 3 − 24
√4 + 1 + 4
Durch Einsetzten von E(8|0|8) ergibt sich:
| 2 ∙ 8 − 0 + 2 ∙ 8 − 24 | = 8 3
3
Das Segeltuch hat von der Ecke E einen Abstand von ca. 2,7m.
= 0 ⟹ S: 2x 1 − x 2 + 2x 3 − 24
3
= 0

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b) Auf der Diagonalen AC steht eine 6 Meter hohe Stange senkrecht auf dem Boden.
Das obere Ende der Stange berührt das Segeltuch. In welchem Punkt befindet sich
das untere Ende der Stange?
(3 VP)
Die Aufgabe wird mit den Hilfsgeraden g und h gelöst.
8 −8
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(8|0|0) und C(0|8|0): g: x⃗ = ( 0) + r ( 8 )
0 0
8 −8
Die Gerade h verläuft parallel zu g und hat die Koordinate x 3 = 6: h: x⃗ = ( 0) + r ( 8 )
6 0
Der Schnittpunkt der Gerade h mit der Ebene S: 2x 1 − x 2 + 2x 3 = 24 ergibt sich mit
2 ∙ (8 − 8r) − 1 ∙ (8r) + 2 ∙ (6) = 16 − 16r − 8r + 12 = 24 ⟹ r = 1 6
Durch Einsetzten in die Geraden ergibt sich das obere Ende der Stange S O ( 20
3 | 4 3 |6)
sowie das untere Ende der Stange S U ( 20
3 | 4 3 |0). 5
10
H
G
M2
5
h
E
F
M1
D
C
5
g
10
A
B