Abitur 2013; Aufgabe B 1.1

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Abitur 2013, Aufgabe B 1.1
Ein Würfel besitzt die Eckpunkte O(0|0|0), P(6|0|0), Q(0|6|0) und R(0|0|6). Gegeben ist
außerdem die Ebene E: 3x 2 + x 3 = 8.
a) Stellen Sie den Würfel und die Ebene E in einem Koordinatensystem dar. Berechnen
Sie den Winkel, den die Ebene E mit der x 1 x 2 -Ebene einschließt. Bestimmen Sie den
Abstand von E zur x 1 -Achse.
(5 VP)
Für die Skizze werden zunächst die Spurpunkte der Ebene E bestimmt.
Schnittpunkt
mit
Bedingung
x 1 − Achse x 2 = x 3 = 0
Spurpunkt für
E: 3x 2 + x 3 = 8
Die Ebene G ist
parallel zur x 1 -
Achse. Daher
existiert auch kein
Schnittpunkt mit
der x 1 -Achse.
Skizze
10
R
5
0
x 2 − Achse x 1 = x 3 = 0
8
( )
3
0
E
O
5
Q
0
x 3 − Achse x 1 = x 2 = 0 ( 0)
8
10
P 5
Der Winkel α zwischen der Ebene E und der x 1 x 2 -Ebene ergibt sich aus den
Normalenvektoren beider Ebenen.
0
Die x 1 x 2 -Ebene hat den Normalenvektor n⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12 = ( 0)
1
0 0
|( 3) ∙ ( 0)|
cos(α) =
1 1
√9 + 1 ∙ √1 = 1
√10
⟹ α ≈ 71,6
Der Winkel, den die Ebene E mit der x 1 x 2 -Ebene einschließt, beträgt ca. 71,6°.

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Zur Berechnung des Abstands wird die Ebene in die Hessesche Normalform
umgewandelt.
E: 3x 2 + x 3 = 8 ⟹ E: 3x 2 + x 3 − 8
√9 + 1
= 0 ⟹ E: 3x 2 + x 3 − 8
√10
Als Punkt auf der x 1 -Achse wird der Ursprung O(0|0|0) gewählt. Das Einsetzten in die
Hessesche Normalform der Ebene ergibt:
| 3 ∙ 0 + 0 − 8 | = 8
√10 √10 ≈ 2,53
Der Abstand von E zur x 1 -Achse beträgt ca. 2,53 Längeneinheiten.
= 0
b) Die Ebene E gehört zu einer Ebenenschar. Diese Schar ist gegeben durch
E a : 3x 2 + x 3 = a ; a ∈ R
Welche Lage haben die Ebenen der Schar zueinander? Für welche Werte von a hat
der Punkt S(6|6|6) den Abstand √10 von der Ebene E a ? Für welche Werte von a hat
die Ebene E a gemeinsame Punkte mit dem Würfel?
(6 VP)
0
Alle Ebenen der Ebenenschar haben den Normalenvektor n⃗⃗⃗⃗ S = ( 3) und sind daher
1
zueinander parallel.
Zur Berechnung des Abstands wird E a in die Hessesche Normalform umgewandelt.
E a : 3x 2 + x 3 = a ⟹ E: 3x 2 + x 3 − a
√9 + 1
Durch Einsetzten von S(6|6|6) ergibt sich:
| 3 ∙ 6 + 6 − a 24 − a
| = |
√10
√10 |
= 0 ⟹ E: 3x 2 + x 3 − a
√10
Mit dem gegebenen Abstand √10 erhält man:
24 − a
24 − a
| | = √10 ⟹
√10 √10 = ±√10
24 − a
√10 = √10 ⟹ 24 − a = 10 ⟹ a 1 = 14
24 − a
√10 = −√10 ⟹ 24 − a = −10 ⟹ a 2 = 34
= 0

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Der Punkt S(6|6|6) hat von der Ebene E a den Abstand √10 für a 1 = 14 und a 2 = 34.
Es gibt zwei Ebenen E links und E rechts der Ebenschar, die mit dem Würfel genau eine
gemeinsame Strecke haben. Zusätzlich besitzen alle Ebenen, die zwischen E links und
E rechts liegen, gemeinsame Punkte mit dem Würfel.
10
R
5
Elinks
O
5
Q
P 5
Erechts
10
In der Ebene E links liegt der Punkt O(0|0|0). Einsetzten in E a : 3x 2 + x 3 = a ergibt a 1 = 0.
In der Ebene E rechts liegt der Punkt (0|6|6). Einsetzten in E a : 3x 2 + x 3 = a ergibt a 2 = 24.
Für 0 ≤ a ≤ 24 hat die Ebene E a gemeinsame Punkte mit dem Würfel.