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Baden-Württemberg<br />
<strong>Abitur</strong> <strong>2014</strong>, <strong>Aufgabe</strong> B <strong>1.1</strong><br />
Gegeben sind die Punkte A(5|-5|0), B(5|5|0), C(-5|5|0) und D(-5|-5|0). Das Quadrat ABCD<br />
ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(0|0|12).<br />
a) Die Seitenfläche BCS liegt in der Ebene E. Bestimmen Sie eine<br />
Koordinatengleichung von E. Berechnen Sie den Winkel, der von der Seitenfläche<br />
BCS und der Grundfläche der Pyramide eingeschlossen wird. Berechnen Sie den<br />
Flächeninhalt des Dreiecks BCS.<br />
(4 VP)<br />
S<br />
10<br />
D<br />
5<br />
R<br />
-5<br />
C<br />
-5<br />
5<br />
Q<br />
A<br />
5<br />
B<br />
Eine Parametergleichung der Ebene ergibt sich durch die Punkte B, C und S.<br />
5 −10 −5<br />
E: x = ( 5) + r ∙ (<br />
0<br />
0<br />
0<br />
) + s ∙ ( −5)<br />
12<br />
Der Normalenvektor dieser Ebene ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer<br />
Richtungsvektoren.<br />
−10 −5 0<br />
0<br />
n⃗ = ( 0 ) × ( −5) = ( 120) oder vereinfacht n⃗⃗⃗⃗ v = ( 12)<br />
0 12 50<br />
5
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Baden-Württemberg<br />
Die Normalengleichung der Ebene lautet daher (Punkt B eingesetzt)<br />
5 0<br />
E: (x − p) ∙ n⃗ = (x − ( 5)) ∙ ( 12) = 0<br />
0 5<br />
Durch Ausmultiplizieren dieser Gleichung ergibt sich die Koordinatengleichung der<br />
Ebene.<br />
E: 12x 2 + 5x 3 = 60<br />
0<br />
Die x 1 x 2 -Ebene hat den Normalenvektor n⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12 = ( 0)<br />
1<br />
Der Winkel α zwischen der Seitenfläche BCS und der Grundfläche ergibt sich aus<br />
0 0<br />
|( 12) ∙ ( 0)|<br />
cos(α) =<br />
5 1<br />
√144 + 25 ∙ √1 = 5<br />
13<br />
⟹ α ≈ 67,4<br />
Der Winkel zwischen der Seitenfläche BCS und der Grundfläche beträgt ca. 67,4°.<br />
Der Flächeninhalt des Dreiecks BCS kann ebenfalls mit dem oben schon verwendeten<br />
Kreuzprodukt berechnet werden.<br />
A BCS = 1 2 |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ × BS ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1 −10 −5<br />
2 ∙ |( 0 ) × ( −5)| = 1 0<br />
2 ∙ |( 120)| = 1 2 √1202 + 50 2 = 65<br />
0 12<br />
50<br />
Der Flächeninhalt des Dreiecks BCS beträgt 65 Flächeneinheiten.
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Baden-Württemberg<br />
b) Betrachtet werden nun Quader, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten<br />
und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieser Quader hat<br />
den Eckpunkt Q(2,5|2,5|0). Berechnen Sie sein Volumen. Bei einem anderen dieser<br />
Quader handelt es sich um einen Würfel. Welche Koordinaten hat dessen Eckpunkt<br />
auf der Kante BS?<br />
(4 VP)<br />
Aufgrund der Koordinaten des Eckpunktes Q(2,5|2,5|0) besitzt der Quader eine<br />
quadratische Grundfläche mit einer Länge und Breite von jeweils 5 Längeneinheiten.<br />
Zur Bestimmung der Quaderhöhe dient der Punkt R(2,5|2,5|h), der auf Pyramidenkante<br />
BS liegt.<br />
Die Gerade g durch die Punkte B und S lautet<br />
5 −5<br />
g: x⃗ = ( 5) + r ( −5)<br />
0 12<br />
Durch Gleichsetzten von Gerade g und Punkt R ergibt sich<br />
5 −5 2,5<br />
( 5) + r ( −5) = ( 2,5) ⟹ r = 1 2<br />
0 12 h<br />
und h = 6.<br />
Das Volumen des Quaders beträgt 5 ∙ 5 ∙ 6 VE = 150 Volumeneinheiten<br />
Der Eckpunkt des Würfels ist R W (x 1 |x 2 |x 3 ). Für die seine Koordinaten gilt x 1 = x 2 = 1 x 2<br />
3.<br />
5 −5<br />
Der Eckpunkt liegt ebenfalls auf der Geraden g: x⃗ = ( 5) + r ( −5)<br />
0 12<br />
Daher gilt: 5 − 5r = 1 2<br />
5<br />
∙ 12r ⟹ r = und x 11<br />
3 = 5<br />
60<br />
∙ 12 =<br />
11 11<br />
Der Eckpunkt des Würfels ist R W ( 30<br />
11 | 30<br />
11 | 60<br />
11 ).