Abitur 2015; Aufgabe B 2.1

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Abitur 2015, Aufgabe B 2.1
Gegeben sind die Ebene E: 3x 1 + 6x 2 + 4x 3 = 16 und eine Geradenschar durch
5 a
g: x⃗ = ( 1) + t ( 1) ; a ∈ R
1 0
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g 4 mit der Ebene E. Welche Gerade
der Schar ist orthogonal zu g 4 ?
(3 VP)
Der Schnittpunkt von g 4 und E ergibt sich durch koordinatenweises Einsetzten der
Geradengleichung mit a = 4 in die Ebenengleichung.
E: 3(5 + 4t) + 6(1 + t) + 4(1) = 15 + 12t + 6 + 6t + 4 = 18t + 25 = 16 ⟹ t = −0.5
Durch Einsetzten von t in die Geradengleichung ergibt sich der Schnittpunkt S(3|0,5|1).
Die Geraden sind orthogonal wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null
ist.
a 4
( 1) ∙ ( 1) = 4a + 1 = 0 ⟹ a = − 1
0
4
0
Die Gerade g 1 −
ist orthogonal zur Geraden g 4 .
4
b) Berechnen Sie den Schnittwinkel von g 4 und E.
Für welche Werte von a mit −10 ≤ a ≤ 10 hat der Schnittwinkel von g a und E die
Weite 10°?
(3 VP)
Der Schnittwinkel von g 4 und E lässt sich mit dem Richtungsvektor der Gerade und dem
Normalenvektor der Ebene berechnen:
4 3
|( 1) ∙ ( 6)|
cos(90° − α) = sin(α) =
0 4
√16 + 1 ∙ √9 + 36 + 16 = 18
= 0,559 ⟹ α ≈ 34°
√17 ∙ √61
Für eine Schnittwinkel von 10° muss gelten:
a 3
|( 1) ∙ ( 6)|
0
sin(10°) =
4
√a 2 + 1 ∙ √61
=
|3a + 6|
√a 2 + 1 ∙ √61

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Der Schnittwinkel von g a und E hat die Weite 10° für a 1 ≈ −3,76 und a 2 ≈ −1,27.
c) Begründen Sie, dass alle Geraden g a in der Ebene F: x 3 = 1 liegen.
Es gibt eine Gerade h, die durch den Punkt P(5|1|1) geht und in F liegt, aber nicht zur
Schar gehört. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h.
(3 VP)
5 a
Für jeden Punkt der Geradenschar g: x⃗ = ( 1) + t ( 1) gilt: x 3 = 1. Daher liegen alle
1 0
Geraden g a in der Ebene F: x 3 = 1.
Für jede Gerade, die in der der Ebene F: x 3 = 1 liegt und durch den Punkt P geht gilt:
r 1
5
h: x⃗ = ( 1) + t ( r 20 )
1
r 1
Eine Gerade h gehört nicht zur Schar, wenn ihr Richtungsvektor ( r 20 ) kein Vielfaches von
a
( 1) ist. Diese Bedingung ist immer erfüllt mit r 2 = 0.
0
Eine der möglichen Geradengleichungen lautet (mit r 2 = 0 und frei gewähltem a = 1):
5 1
h: x⃗ = ( 1) + t ( 0)
1 0