2016_Aufgabe 4; Kurvendiskussion

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Aufgabe 4: Kurvendiskussion
Abitur 2015 (4 VP)
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat im Ursprung einen
Hochpunkt und an der Stelle x = 2 die Tangente mit der Gleichung y = 4x − 12.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades lautet
f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mit f´(x) = 3ax 2 + 2bx + c
Es gelten folgende Bedingungen:
1. Der Ursprung liegt auf dem Graphen ⟹ f(0) = 0 ⟹ d = 0
2. Bei x = 0 befindet sich ein Hochpunkt ⟹ f´(0) = 0 ⟹ c = 0
3. Bei x = 2 haben Graph und Tangente einen gemeinsamen Punkt
⟹ f(2) = 4 ∙ 2 − 12 = −4 ⟹ a2 3 + b2 2 = 8a + 4b = −4 (1)
4. Bei x = 2 haben Graph und Tangente die gleiche Steigung
⟹ f´(2) = 4 ⟹ 3a ∙ 2 2 + 2b ∙ 2 = 12a + 4b = 4 (2)
Hierdurch ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
8a + 4b = −4 (1)
12a + 4b = 4 (2)
4a = 8 ⟹ a = 2 (2) – (1)
Aus der Lösung a = 2 ergibt sich durch Einsetzen in (1):
8a + 4b = −4 ⟹ 16 + 4b = −4 ⟹ 4b = −20 die Lösung b = −5.
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x 3 − 5x 2 .

Abitur 2014 (4 VP)
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Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = cos(x) und g(x) = 2 cos ( π x) − 2.
2
a) Bestimmen Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält.
Die Funktion g(x) = a ∙ cos ( 2π x) + c = 2 cos T (π x) − 2 beschreibt eine harmonische
2
Schwingung:
Amplitude a = 2 ⟹
Verschiebung
in y-Richtung
c = −2
Periodendauer T = 2π ∙ 2
π
⟹
= 4 ⟹
Der Faktor 2 vor dem Kosinus bewirkt eine
Streckung mit dem Faktor 2 in y-Richtung.
Der Summand −2 bewirkt eine
Verschiebung um 2 Längeneinheiten in die
negative y-Richtung.
Der Faktor π vor x bewirkt eine Streckung
2
mit dem Faktor 2 in x-Richtung.
π
f(x) = cos (x) g(x) = 2 cos ( π 2 x) − 2
b) Bestimmen Sie die Nullstellen g für 0 ≤ x ≤ 4.
g(x) = 2 cos ( π 2 x) − 2 = 0 ⟹ cos (π 2 x) = 1
Die Funktion f(x) = cos(x) nimmt an den
Stellen x = 0, ±2π, ±4π, … den Wert 1
an.
π
2 x = 0 ⟹ x 1 = 0
π
2 x = 2π ⟹ x 2 = 4
Im gegebenen Intervall gibt es daher die beiden Nullstellen x 1 = 0 und x 2 = 4.

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Abitur 2013 (4 VP)
Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = −x 2 + 3 und g(x) = 2x. Berechnen Sie
den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird.
Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich aus dem Betrag (Flächen sind immer positiv) von
x 2
A = ∫ (f(x) − g(x)) dx
x 1
Zur Bestimmung der Grenzen x 1 und x 2 werden die Schnittstellen der Funktionen
berechnet.
f(x) = g(x) ⟹ −x 2 + 3 = 2x ⟹ x 2 + 2x − 3 = 0
Durch Anwendung der Mitternachtsformel ergebt sich:
x 1,2 = 1
(−b ± 2a √b2 − 4ac) = 1
(−2 ± 2∙1 √22 − 4 ∙ 1 ∙ (−3)) = 1 ∙ (−2 ± 4)
2
⟹ x 1 = −3 und x 2 = 1
x 2
1
A = ∫ f(x) − g(x) dx = ∫(−x 2 − 2x + 3) dx = [− 1 1
3 x3 − x 2 + 3x]
−3
x 1 −3
= (− 1 3 − 1 + 3) − (9 − 9 − 9) = 5 3 + 9 = 32
3
Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt A = 32
3 Flächeneinheiten.

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Abitur 2012 (4 VP)
Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 2 und g mit g(x) = 2x − 3.
x
Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden zugehörigen Graphen. Untersuchen
Sie, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden.
Die gemeinsamen Punkte ergeben sich durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen:
f(x) = g(x) ⟹ 2 x = 2x − 3 ⟹ 2x2 − 3x − 2 = 0
Diese Gleichung wird mit der Mitternachtsformel gelöst.
x 1,2 = 1
(−b ± 2a √b2 − 4ac) = 1
(3 ± 2∙2 √(−3)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−2)) = 1 ∙ (3 ± 5)
4
⟹ x 1 = 2 und x 2 = − 1 2
Aus f(2) = 1 ergibt sich der erste gemeinsame Punkt P 1 (2|1).
Aus f (− 1 2 ) = −4 ergibt sich der zweite gemeinsame Punkt P 2 (− 1 2 |−4).
Zwei Graphen schneiden sich senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen in einer
Schnittstelle gleich -1 ist. Durch Ableiten ergibt sich:
f´(x) = − 2 und g´(x) = 2
x2 Produkt der Steigungen im Punkt P 1 (2|1):
f´(2) ∙ g´(2) = − 1 ∙ 2 = −1 ⟹ Die beiden Graphen schneiden sich in P 1 senkrecht.
2
Produkt der Steigungen im Punkt P 2 (− 1 2 |−4):
f´ (− 1 2 ) ∙ g´ (− 1 2 ) = −8 ∙ 2 = −16 ⟹ Die beiden Graphen schneiden sich in P 2 nicht
senkrecht.
g(x) = 2x − 3.
f(x) = 2 x

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Abitur 2011 (4 VP)
Gegeben sind die Funktion f und g mit f(x) = e x und g(x) = −e −x + 2.
a) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von g aus dem Schaubild von f entsteht.
Die Entstehung kann mit den folgenden
drei Schritten bewirkt werden:
Ersetzten von x durch (−x)
⟹ Spiegeln an y-Achse
Multiplizieren mit −1
⟹ Spiegeln an x-Achse
Addieren von 2
⟹ Verschieben in +y-Richtung
b) Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(0|1) berühren.
Die beiden Schaubilder von f und g berühren sich genau dann, wenn im Punkt P(0|1)
folgende Bedingungen erfüllt sind:
(1) f(x) = g(x) (Punkt P liegt auf beiden Schaubildern)
(2) f´(x) = g´(x) (gleiche Steigung im gemeinsamen Punkt P)
f(x) = e x ⟹ f´(x) = e x
g(x) = −e −x + 2 ⟹ g´(x) = e −x
(1) f(0) = g(0) = 1
(2) f´(0) = g´(0) = 1
Da beide Bedingungen erfüllt sind, berühren sich die beiden Schaubilder im Punkt P(0|1).

Abitur 2010 (4 VP)
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Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1−4x2
x2 . Ihr Schaubild ist K.
a) Geben Sie die Asymptoten von K an.
Die Funktion f(x) besitzt im Nenner eine Definitionslücke bei x = 0. Hier besitzt die
Funktion daher eine senkrechte Asymptote. Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad.
Daher besitzt die Funktion eine waagerechte Asymptote bei
lim f(x) = a n
= −4
x→±∞ b n 1 = −4
b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an K im Punkt P(1|f(1)) mit der x-
Achse.
Die Funktionsgleichung der Tangente im Berührpunkt P(u|f(u)) lautet:
y t (x) = f ′ (u)(x − u) + f(u)
Mit u = 1 und f(1) = −3 ergibt sich der Berührpunkt zu P(1|−3).
f(u) = 1−4u2
u 2
= 1 u 2 − 4 = u−2 − 4 ⟹ f´(u) = −2u −3 und f´(1) = −2
Daher lautet die Funktionsgleichung der Tangente
y t (x) = −2(x − 1) − 3 = −2x − 1
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ergibt sich durch Gleichsetzten der Tangentengleichung
mit Null.
y t (x) = −2x − 1 = 0 ⟹ x = − 1 2
Der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist S (− 1 2 |0).
f(x) = 1 − 4x2
x 2