2016_Aufgabe 1; Differenzieren

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Aufgabe 1: Differenzieren
Abitur 2015 (2 VP)
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x) = (4 + e 3x ) 5 .
Bei der Funktion f(x) handelt es sich um einen verketteten Term. Daher wird die
Kettenregel benötigt. Der rechte Summand der inneren Funktion e 3x ist ebenfalls ein
verketteter Term.
f´(x) = 5 ∙ (4 + e 3x ) 4 ∙ e 3x ∙ 3 = 15e 3x ∙ (4 + e 3x ) 4
Abitur 2014 (2 VP)
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x) = √x ∙ e 2x .
Bei der Funktion f(x) handelt es sich um ein Produkt. Daher wird die Produktregel
benötigt.
Faktor u(x) = √x = x 1 2 mit u´(x) = 1 2 x−1 2 = 1
Faktor v(x) = e 2x
mit v´(x) = 2e 2x
2√x
f´(x) = u´(x) ∙ v(x) + u(x) ∙ v´(x) = 1
2√x ∙ e2x + √x ∙ 2e 2x
Abitur 2013 (2 VP)
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = (2x 2 + 5) ∙ e −2x .
Bei der Funktion f(x) handelt es sich um ein Produkt. Daher wird die Produktregel
benötigt.
Faktor u(x) = 2x 2 + 5
Faktor v(x) = e −2x
mit u´(x) = 4x
mit v´(x) = −2e −2x
f´(x) = u´(x) ∙ v(x) + u(x) ∙ v´(x) = 4x ∙ e −2x + (2x 2 + 5) ∙ (−2e −2x )
Durch Ausklammern der e-Funktion wird das Ergebnis vereinfacht.
f´(x) = e −2x ∙ (4x − 4x 2 − 10)

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Abitur 2012 (2 VP)
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = (sin(x) + 7) 5 .
Bei der Funktion f(x) handelt es sich um einen verketteten Term. Daher wird die
Kettenregel benötigt.
f´(x) = 5 ∙ (sin(x) + 7) 4 ∙ cos (x)
Abitur 2011 (2 VP)
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = ( sin(2x)
).
Bei der Funktion f(x) handelt es sich um einen Quotienten. Daher wird die
Quotientenregel benötigt. Seit der Abiturprüfung 2012 ist die Quotientenregel allerdings
nicht mehr prüfungsrelevant. Daher kann alternativ auch die Produktregel verwendet
werden.
Lösung mit Quotientenregel:
Dividend u(x) = sin (2x) mit u´(x) = 2 ∙ cos (2x)
Divisor v(x) = x mit v´(x) = 1
f´(x) = u′ ⋅ v − u ⋅ v ′ 2 ∙ cos(2x) ∙ x − sin (2x) ∙ 1 2x ∙ cos(2x) − sin (2x)
v 2 =
x 2
=
x 2
x
Lösung mit Produktregel:
Faktor u(x) = sin (2x)
mit u´(x) = 2 ∙ cos (2x)
Faktor v(x) = 1 x = x−1 mit v´(x) = −x −2 = − 1 x 2
f´(x) = u´(x) ∙ v(x) + u(x) ∙ v´(x) = 2 ∙ cos(2x) ∙ 1 x − sin (2x) ∙ 1 x 2

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Abitur 2010 (2 VP)
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = (2 − 3x) ∙ e −x und vereinfachen
Sie so weit wie möglich.
Bei der Funktion f(x) handelt es sich um ein Produkt. Daher wird die Produktregel
benötigt.
Faktor u(x) = (2 − 3x) mit u´(x) = −3
Faktor v(x) = e −x mit v´(x) = −e −x
f´(x) = u´(x) ∙ v(x) + u(x) ∙ v´(x) = −3 ∙ e −x + (2 − 3x) ∙ (−e −x )
Durch Ausklammern der e-Funktion wird das Ergebnis vereinfacht.
f´(x) = e −x ∙ (−3 − 2 + 3x) = e −x ∙ (3x − 5)