Hauptseminar: Kosmologie - 1. Institut für Theoretische Physik ...
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<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong><br />
Metrik des homogenen und isotropen Raumes<br />
Steffen Keßler<br />
Universität Stuttgart<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 1/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 2/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 2/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• homogener Raum: kein Punkt ist ausgezeichnet.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 2/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• homogener Raum: kein Punkt ist ausgezeichnet.<br />
• isotroper Raum: keine Richtung ist ausgezeichnet.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 2/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• homogener Raum: kein Punkt ist ausgezeichnet.<br />
• isotroper Raum: keine Richtung ist ausgezeichnet.<br />
• räumlich bedeutet bei festgehaltener Zeit!<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 2/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• homogener Raum: kein Punkt ist ausgezeichnet.<br />
• isotroper Raum: keine Richtung ist ausgezeichnet.<br />
• räumlich bedeutet bei festgehaltener Zeit!<br />
Fragen:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 2/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• homogener Raum: kein Punkt ist ausgezeichnet.<br />
• isotroper Raum: keine Richtung ist ausgezeichnet.<br />
• räumlich bedeutet bei festgehaltener Zeit!<br />
Fragen:<br />
• Ist die Annahme der Homogenität und Isotropie<br />
gerechtfertigt?<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 2/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• homogener Raum: kein Punkt ist ausgezeichnet.<br />
• isotroper Raum: keine Richtung ist ausgezeichnet.<br />
• räumlich bedeutet bei festgehaltener Zeit!<br />
Fragen:<br />
• Ist die Annahme der Homogenität und Isotropie<br />
gerechtfertigt?<br />
• Welche Zeit soll man dann wählen, da die Zeit vom<br />
Bezugssystem abhängt?<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 2/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• Materie - wechselwirkungsfreier Staub, homogen über das<br />
Weltall verteilt: Mittelung über große Raumbereiche.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 3/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• Materie - wechselwirkungsfreier Staub, homogen über das<br />
Weltall verteilt: Mittelung über große Raumbereiche.<br />
• Vernachläßigung lokaler Schwankungen und sämtlicher<br />
Wechselwirkungen: vgl. ideales Gas → kosmisches Gas<br />
bzw. kosmischer Staub.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 3/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• Materie - wechselwirkungsfreier Staub, homogen über das<br />
Weltall verteilt: Mittelung über große Raumbereiche.<br />
• Vernachläßigung lokaler Schwankungen und sämtlicher<br />
Wechselwirkungen: vgl. ideales Gas → kosmisches Gas<br />
bzw. kosmischer Staub.<br />
• Verteilung von Uhren, die mit dem kosmischen Gas frei<br />
fallen: Eigenzeit dieser Uhren bestimmt dann unsere<br />
kosmische Standardzeit - dazu gleich mehr.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 3/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• Synchronisation der Uhren durch das kosmologische<br />
Prinzip: Jeder Beobachter, der sich mit dem kosmischen<br />
Gas bewegt, hat dieselbe Geschichte.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 4/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• Synchronisation der Uhren durch das kosmologische<br />
Prinzip: Jeder Beobachter, der sich mit dem kosmischen<br />
Gas bewegt, hat dieselbe Geschichte.<br />
• Das soll bedeuten, daß sich die Geschichten der<br />
gemittelten Größen gleichen (z.B. Temperatur Tγ der<br />
Hintergrundstrahlung, mittlere Materiedichte ρ, ...).<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 4/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• Eine solche sich monoton mit der Zeit ändernde Größe,<br />
kann zur Synchronisation der Uhren benutzt werden, wenn<br />
beispielsweise ein bestimmter Wert der Materiedichte ρ<br />
erreicht ist → kosmische Standardzeit.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 5/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• Eine solche sich monoton mit der Zeit ändernde Größe,<br />
kann zur Synchronisation der Uhren benutzt werden, wenn<br />
beispielsweise ein bestimmter Wert der Materiedichte ρ<br />
erreicht ist → kosmische Standardzeit.<br />
• Die mitbewegten Uhren liegen an den Schnittstellen des<br />
räumlichen Koordinatensystems.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 5/41
Das kosmologische Prinzip<br />
Kosmologisches Prinzip:<br />
Das Universum ist räumlich homogen und isotrop.<br />
• Eine solche sich monoton mit der Zeit ändernde Größe,<br />
kann zur Synchronisation der Uhren benutzt werden, wenn<br />
beispielsweise ein bestimmter Wert der Materiedichte ρ<br />
erreicht ist → kosmische Standardzeit.<br />
• Die mitbewegten Uhren liegen an den Schnittstellen des<br />
räumlichen Koordinatensystems.<br />
• Das Koordinatensystem mitsamt Uhren und Galaxien dehnt<br />
sich dann zeitlich aus, wobei die Uhren bzgl. des<br />
räumlichen Koordinatensystems ruhen.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 5/41
Folgerungen<br />
Es stellt sich die Frage, welche Folgerungen die<br />
Symmetrieforderungen des kosmologischen Prinzips <strong>für</strong> die<br />
Metrik der Raum-Zeit haben.<br />
Kurze Übersicht der nun behandelten Themen:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 6/41
Folgerungen<br />
Es stellt sich die Frage, welche Folgerungen die<br />
Symmetrieforderungen des kosmologischen Prinzips <strong>für</strong> die<br />
Metrik der Raum-Zeit haben.<br />
Kurze Übersicht der nun behandelten Themen:<br />
• Maximale Symmetrie und konstante Krümmung<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 6/41
Folgerungen<br />
Es stellt sich die Frage, welche Folgerungen die<br />
Symmetrieforderungen des kosmologischen Prinzips <strong>für</strong> die<br />
Metrik der Raum-Zeit haben.<br />
Kurze Übersicht der nun behandelten Themen:<br />
• Maximale Symmetrie und konstante Krümmung<br />
• Entkopplung von Raum und Zeit in der Metrik<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 6/41
Folgerungen<br />
Es stellt sich die Frage, welche Folgerungen die<br />
Symmetrieforderungen des kosmologischen Prinzips <strong>für</strong> die<br />
Metrik der Raum-Zeit haben.<br />
Kurze Übersicht der nun behandelten Themen:<br />
• Maximale Symmetrie und konstante Krümmung<br />
• Entkopplung von Raum und Zeit in der Metrik<br />
• Metriken ausgewählter symmetrischer zweidimensionalen<br />
Flächen, die im dreidimensionalen Raum eingebettet sind<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 6/41
Folgerungen<br />
Es stellt sich die Frage, welche Folgerungen die<br />
Symmetrieforderungen des kosmologischen Prinzips <strong>für</strong> die<br />
Metrik der Raum-Zeit haben.<br />
Kurze Übersicht der nun behandelten Themen:<br />
• Maximale Symmetrie und konstante Krümmung<br />
• Entkopplung von Raum und Zeit in der Metrik<br />
• Metriken ausgewählter symmetrischer zweidimensionalen<br />
Flächen, die im dreidimensionalen Raum eingebettet sind<br />
• Erweiterung auf dreidimensionale Flächen im<br />
vierdimensionalen Raum<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 6/41
Folgerungen<br />
Es stellt sich die Frage, welche Folgerungen die<br />
Symmetrieforderungen des kosmologischen Prinzips <strong>für</strong> die<br />
Metrik der Raum-Zeit haben.<br />
Kurze Übersicht der nun behandelten Themen:<br />
• Maximale Symmetrie und konstante Krümmung<br />
• Entkopplung von Raum und Zeit in der Metrik<br />
• Metriken ausgewählter symmetrischer zweidimensionalen<br />
Flächen, die im dreidimensionalen Raum eingebettet sind<br />
• Erweiterung auf dreidimensionale Flächen im<br />
vierdimensionalen Raum<br />
• Robertson-Walker-Metrik<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 6/41
Maximale Symmetrie<br />
• Es läßt sich allgemein beweisen, daß aus der Homogenität<br />
und Isotropie eine maximale Symmetrie des Raumes<br />
folgt.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 7/41
Maximale Symmetrie<br />
• Es läßt sich allgemein beweisen, daß aus der Homogenität<br />
und Isotropie eine maximale Symmetrie des Raumes folgt.<br />
• Weiter läßt sich folgern, daß dann dieser Raum eine<br />
konstante Krümmung besitzt.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 7/41
Maximale Symmetrie<br />
• Es läßt sich allgemein beweisen, daß aus der Homogenität<br />
und Isotropie eine maximale Symmetrie des Raumes folgt.<br />
• Weiter läßt sich folgern, daß dann dieser Raum eine<br />
konstante Krümmung besitzt.<br />
• Die genaue Abhandlung würde den Rahmen dieses Vortrags<br />
sprengen. Ich verweise deshalb auf das Buch von Eckhard<br />
Rebhan <strong>Theoretische</strong> <strong>Physik</strong> 1 (Kapitel 32) und werde im<br />
folgenden Räume konstanter Krümmung betrachten.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 7/41
Raum-Zeit-Entkopplung<br />
• Zeit und Raum stehen bei unserem gewählten<br />
Raum-Zeit-Koordinaten orthogonal aufeinander, sind also<br />
voneinander entkoppelt.<br />
Die Raumkoordinaten x i mit i ∈ {1, 2, 3} hängen nicht von<br />
der Zeit t ab und umgekehrt.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 8/41
Raum-Zeit-Entkopplung<br />
• Zeit und Raum stehen bei unserem gewählten<br />
Raum-Zeit-Koordinaten orthogonal aufeinander, sind also<br />
voneinander entkoppelt.<br />
Die Raumkoordinaten x i mit i ∈ {1, 2, 3} hängen nicht von<br />
der Zeit t ab und umgekehrt.<br />
• Die Zeitlinien sollen geodätische Linien in der Raumzeit<br />
sein, d.h. die Zeitlinien zwischen zwei Ereignissen, die am<br />
gleichen Raumpunkt stattfinden, sind extremal.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 8/41
Raum-Zeit-Entkopplung<br />
• Zeit und Raum stehen bei unserem gewählten<br />
Raum-Zeit-Koordinaten orthogonal aufeinander, sind also<br />
voneinander entkoppelt.<br />
Die Raumkoordinaten x i mit i ∈ {1, 2, 3} hängen nicht von<br />
der Zeit t ab und umgekehrt.<br />
• Die Zeitlinien sollen geodätische Linien in der Raumzeit<br />
sein, d.h. die Zeitlinien zwischen zwei Ereignissen, die am<br />
gleichen Raumpunkt stattfinden, sind extremal.<br />
• Mit der kosmologischen Standardzeit t und dem invarianten<br />
räumlichen Abstand dl 2 = gijdx i dx j lautet das<br />
Abstandselement in der Raumzeit<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − gijdx i dx j ⇒ ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 8/41
2d-Flächen im R 3<br />
Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen<br />
und isotrop, stehen also im Einklang mit dem<br />
kosmologischen Prinzip.<br />
Es folgen die drei möglichen zweidimensionalen<br />
Flächen konstanter Krümmung, die im<br />
dreidimensionalen Raum eingebettet sind:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 9/41
2d-Flächen im R 3<br />
Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen<br />
und isotrop, stehen also im Einklang mit dem<br />
kosmologischen Prinzip.<br />
Es folgen die drei möglichen zweidimensionalen<br />
Flächen konstanter Krümmung, die im<br />
dreidimensionalen Raum eingebettet sind:<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 9/41
2d-Flächen im R 3<br />
Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen<br />
und isotrop, stehen also im Einklang mit dem<br />
kosmologischen Prinzip.<br />
Es folgen die drei möglichen zweidimensionalen<br />
Flächen konstanter Krümmung, die im<br />
dreidimensionalen Raum eingebettet sind:<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung)<br />
• euklidische Ebene (keine Krümmung)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 9/41
2d-Flächen im R 3<br />
Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen<br />
und isotrop, stehen also im Einklang mit dem<br />
kosmologischen Prinzip.<br />
Es folgen die drei möglichen zweidimensionalen<br />
Flächen konstanter Krümmung, die im<br />
dreidimensionalen Raum eingebettet sind:<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung)<br />
• euklidische Ebene (keine Krümmung)<br />
• hyperbolische Fläche (negative Krümmung)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 9/41
Kugeloberfläche<br />
Gleichung der Kugeloberfläche in kartesischen<br />
Koordinaten:<br />
x 2 + y 2 + z 2 = a 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 10/41
Kugeloberfläche<br />
Gleichung der Kugeloberfläche in kartesischen<br />
Koordinaten:<br />
x 2 + y 2 + z 2 = a 2<br />
Übergang zu Kugelkoordinaten (a, θ, φ) mit<br />
konstantem Radius a, gleichbedeutend mit einer<br />
Parametrisierung der Fläche durch (θ, φ):<br />
x = asinθcosφ<br />
y = asinθsinφ<br />
z = acosθ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 10/41
Kugeloberfläche<br />
x = asinθcosφ<br />
y = asinθsinφ<br />
z = acosθ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 11/41
Kugeloberfläche<br />
x = asinθcosφ<br />
y = asinθsinφ<br />
z = acosθ<br />
Damit folgen die Differentiale dx i :<br />
dx = a (cosθcosφdθ − sinθsinφdφ)<br />
dy = a (cosθsinφdθ + sinθcosφdφ)<br />
dz = −asinθdθ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 11/41
Kugeloberfläche<br />
dx = a (cosθcosφdθ − sinθsinφdφ)<br />
dx 2 = a 2 (cos 2 θcos 2 φdθ 2 + sin 2 θsin 2 φdφ 2<br />
−2cosθcosφsinθsinφdθdφ)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 12/41
Kugeloberfläche<br />
dx = a (cosθcosφdθ − sinθsinφdφ)<br />
dx 2 = a 2 (cos 2 θcos 2 φdθ 2 + sin 2 θsin 2 φdφ 2<br />
−2cosθcosφsinθsinφdθdφ)<br />
dy = a (cosθsinφdθ + sinθcosφdφ)<br />
dy 2 = a 2 (cos 2 θsin 2 φdθ 2 + sin 2 θcos 2 φdφ 2<br />
+2cosθsinφsinθcosφdθdφ)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 12/41
Kugeloberfläche<br />
dx = a (cosθcosφdθ − sinθsinφdφ)<br />
dx 2 = a 2 (cos 2 θcos 2 φdθ 2 + sin 2 θsin 2 φdφ 2<br />
−2cosθcosφsinθsinφdθdφ)<br />
dy = a (cosθsinφdθ + sinθcosφdφ)<br />
dy 2 = a 2 (cos 2 θsin 2 φdθ 2 + sin 2 θcos 2 φdφ 2<br />
+2cosθsinφsinθcosφdθdφ)<br />
dz = −asinθdθ<br />
dz 2 = a 2 sin 2 θdθ 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 12/41
Kugeloberfläche<br />
dx 2 = a 2 (cos 2 θcos 2 φdθ 2 + sin 2 θsin 2 φdφ 2<br />
−2cosθcosφsinθsinφdθdφ)<br />
dy 2 = a 2 (cos 2 θsin 2 φdθ 2 + sin 2 θcos 2 φdφ 2<br />
+2cosθsinφsinθcosφdθdφ)<br />
dz 2 = a 2 sin 2 θdθ 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 13/41
Kugeloberfläche<br />
dx 2 = a 2 (cos 2 θcos 2 φdθ 2 + sin 2 θsin 2 φdφ 2<br />
−2cosθcosφsinθsinφdθdφ)<br />
dy 2 = a 2 (cos 2 θsin 2 φdθ 2 + sin 2 θcos 2 φdφ 2<br />
+2cosθsinφsinθcosφdθdφ)<br />
dz 2 = a 2 sin 2 θdθ 2<br />
Der räumliche Abstand dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ist dann<br />
dl 2 = a 2 ((cos 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ) + sin 2 θ)dθ 2<br />
+sin 2 θ(sin 2 φ + cos 2 φ)dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 13/41
Kugeloberfläche<br />
dl 2 = a 2 ((cos 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ) + sin 2 θ)dθ 2<br />
+sin 2 θ(sin 2 φ + cos 2 φ)dφ 2 )<br />
= a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 14/41
Kugeloberfläche<br />
dl 2 = a 2 ((cos 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ) + sin 2 θ)dθ 2<br />
+sin 2 θ(sin 2 φ + cos 2 φ)dφ 2 )<br />
= a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )<br />
Mit ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2 folgt <strong>für</strong> den infinitesimalen<br />
Raum-Zeit-Abstand sofort<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )<br />
Der metrische Tensor ist also diagonal mit<br />
g00 = c 2 , g11 = −a 2 , g22 = −a 2 sin 2 θ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 14/41
Kugeloberfläche<br />
Übergang zu anderen räumlichen Koordinaten:<br />
θ −→ r = sinθ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 15/41
Kugeloberfläche<br />
Übergang zu anderen räumlichen Koordinaten:<br />
θ −→ r = sinθ<br />
dr = cosθdθ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 15/41
Kugeloberfläche<br />
Übergang zu anderen räumlichen Koordinaten:<br />
θ −→ r = sinθ<br />
dr = cosθdθ<br />
Mit cos 2 θ = 1 − sin 2 θ = 1 − r 2 gilt<br />
dr 2 = (1 − r 2 )dθ 2 ⇒ dθ 2 = dr2<br />
1 − r 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 15/41
Kugeloberfläche<br />
Übergang zu anderen räumlichen Koordinaten:<br />
θ −→ r = sinθ<br />
dr = cosθdθ<br />
Mit cos 2 θ = 1 − sin 2 θ = 1 − r 2 gilt<br />
dr 2 = (1 − r 2 )dθ 2 ⇒ dθ 2 = dr2<br />
1 − r 2<br />
Damit folgt <strong>für</strong> den räumlichen Abstand<br />
dl 2 = a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) sofort<br />
dl 2 = a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 ) <strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 15/41
Kugeloberfläche<br />
Mit<br />
dl 2 = a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
ist der Raum-Zeit-Abstand<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 16/41
Kugeloberfläche<br />
Mit<br />
dl 2 = a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
ist der Raum-Zeit-Abstand<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 16/41
Kugeloberfläche<br />
Mit<br />
dl 2 = a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
ist der Raum-Zeit-Abstand<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
und der metrische Tensor wird zu<br />
˜g00 = c 2 , ˜g11 = − a2<br />
1 − r 2, ˜g22 = −a 2 r 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 16/41
Kugeloberfläche<br />
Übergang zu konform-euklidischen Koordinaten<br />
(r, φ) durch stereographische Projektion:<br />
θ −→ r = 2tan θ<br />
2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 17/41
Kugeloberfläche<br />
Übergang zu konform-euklidischen Koordinaten<br />
(r, φ) durch stereographische Projektion:<br />
dr = 1<br />
cos 2 θ<br />
2<br />
θ −→ r = 2tan θ<br />
2<br />
2 θ<br />
dθ ⇒ dθ = cos<br />
2 dr<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 17/41
Kugeloberfläche<br />
Übergang zu konform-euklidischen Koordinaten<br />
(r, φ) durch stereographische Projektion:<br />
Mit cos 2 α =<br />
dr = 1<br />
cos 2 θ<br />
2<br />
θ −→ r = 2tan θ<br />
2<br />
1<br />
1+tan 2 α folgt<br />
2 θ<br />
dθ ⇒ dθ = cos<br />
2 dr<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 17/41
Kugeloberfläche<br />
Übergang zu konform-euklidischen Koordinaten<br />
(r, φ) durch stereographische Projektion:<br />
Mit cos 2 α =<br />
dr = 1<br />
cos 2 θ<br />
2<br />
θ −→ r = 2tan θ<br />
2<br />
1<br />
1+tan 2 α folgt<br />
2 θ<br />
cos<br />
2 =<br />
2 θ<br />
dθ ⇒ dθ = cos<br />
2 dr<br />
1<br />
1 + tan 2 θ<br />
2<br />
=<br />
1<br />
1 + 1/4r 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 17/41
Kugeloberfläche<br />
und man erhält<br />
dθ =<br />
1<br />
1 + 1/4r 2 dr ⇒ dθ2 =<br />
1<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2dr2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 18/41
Kugeloberfläche<br />
und man erhält<br />
dθ =<br />
1<br />
1 + 1/4r 2 dr ⇒ dθ2 =<br />
1<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2dr2<br />
Um dl 2 = a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) umzuformen,<br />
benützen wir die Beziehung sin 2 (2α) = 4tan2 α<br />
(1+tan 2 α) 2 <strong>für</strong><br />
2α = θ und setzen r = 2tan θ<br />
2 ein:<br />
sin 2 θ =<br />
r 2<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 18/41
Kugeloberfläche<br />
und man erhält<br />
dθ =<br />
1<br />
1 + 1/4r 2 dr ⇒ dθ2 =<br />
1<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2dr2<br />
Um dl 2 = a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) umzuformen,<br />
benützen wir die Beziehung sin 2 (2α) = 4tan2 α<br />
(1+tan 2 α) 2 <strong>für</strong><br />
2α = θ und setzen r = 2tan θ<br />
2 ein:<br />
sin 2 θ =<br />
r 2<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2<br />
Damit erhält man das transformierte<br />
Abstandselement.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 18/41
Kugeloberfläche<br />
räumliches Abstandselement:<br />
dl 2 =<br />
a 2<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2(dr2 + r 2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 19/41
Kugeloberfläche<br />
räumliches Abstandselement:<br />
dl 2 =<br />
a 2<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2(dr2 + r 2 dφ 2 )<br />
Übergang von Polar- zu kartesischen Koordinaten in<br />
der projizierten Ebene:<br />
(r, φ) −→ (x, y) x = rcosφ y = rsinφ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 19/41
Kugeloberfläche<br />
räumliches Abstandselement:<br />
dl 2 =<br />
a 2<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2(dr2 + r 2 dφ 2 )<br />
Übergang von Polar- zu kartesischen Koordinaten in<br />
der projizierten Ebene:<br />
(r, φ) −→ (x, y) x = rcosφ y = rsinφ<br />
Mit x 2 + y 2 = z 2 , dx 2 + dy 2 = . . . = dr 2 + r 2 dφ 2 ist<br />
der räumliche Abstand gegeben durch<br />
dl 2 =<br />
a 2<br />
(1 + 1/4(x 2 + y 2 )) 2 (dx2 + dy 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 19/41
Kugeloberfläche<br />
Metrik der Kugeloberfläche in verschiedenen<br />
Koordinaten:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 20/41
Kugeloberfläche<br />
Metrik der Kugeloberfläche in verschiedenen<br />
Koordinaten:<br />
• ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 20/41
Kugeloberfläche<br />
Metrik der Kugeloberfläche in verschiedenen<br />
Koordinaten:<br />
• ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )<br />
• ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1−r 2 + r 2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 20/41
Kugeloberfläche<br />
Metrik der Kugeloberfläche in verschiedenen<br />
Koordinaten:<br />
• ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )<br />
• ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1−r 2 + r 2 dφ 2 )<br />
• ds 2 = c 2 dt 2 −<br />
ds 2 = c 2 dt 2 −<br />
a2 (1+1/4r2 ) 2(dr2 + r2dφ2 )<br />
a2 (1+1/4(x2 +y2 )) 2(dx2 + dy2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 20/41
euklidische Ebene<br />
Wir legen unser kartesisches Koordinatensystem<br />
(x, y, z) so, daß z = 0 die Ebene beschreibt.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 21/41
euklidische Ebene<br />
Wir legen unser kartesisches Koordinatensystem<br />
(x, y, z) so, daß z = 0 die Ebene beschreibt.<br />
Als nächstes gehen wir zu Polarkoordinaten über<br />
(x, y, z) −→ (r, θ, z) x = arcosθ, y = arsinθ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 21/41
euklidische Ebene<br />
Wir legen unser kartesisches Koordinatensystem<br />
(x, y, z) so, daß z = 0 die Ebene beschreibt.<br />
Als nächstes gehen wir zu Polarkoordinaten über<br />
(x, y, z) −→ (r, θ, z) x = arcosθ, y = arsinθ<br />
Für die Differentiale gilt dann<br />
dx = a(cosφdr − rsinφdφ)<br />
dy = a(sinφdr + rcosφdφ)<br />
dz = 0<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 21/41
euklidische Ebene<br />
Wir legen unser kartesisches Koordinatensystem<br />
(x, y, z) so, daß z = 0 die Ebene beschreibt.<br />
Als nächstes gehen wir zu Polarkoordinaten über<br />
(x, y, z) −→ (r, θ, z) x = arcosθ, y = arsinθ<br />
Für die Differentiale gilt dann<br />
dx = a(cosφdr − rsinφdφ)<br />
dy = a(sinφdr + rcosφdφ)<br />
dz = 0<br />
Damit ist das räumliche Abstandselement<br />
dl 2 = a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 21/41
euklidische Ebene<br />
Das Raum-Zeit-Abstandselement ist dann gegeben<br />
durch<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 22/41
euklidische Ebene<br />
Das Raum-Zeit-Abstandselement ist dann gegeben<br />
durch<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 )<br />
Nochmal zum Vergleich das entsprechende Element<br />
<strong>für</strong> die Kugeloberfläche<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 22/41
hyperbolische Fläche<br />
Nachdem wir die Flächen konstanter positiver<br />
Krümmung und die Flächen konstanter<br />
verschwindender Krümmung abgehandelt haben, fehlt<br />
jetzt noch die Fläche konstanter negativer Krümmung,<br />
nämlich die hyperbolische Fläche.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 23/41
hyperbolische Fläche<br />
Nachdem wir die Flächen konstanter positiver<br />
Krümmung und die Flächen konstanter<br />
verschwindender Krümmung abgehandelt haben, fehlt<br />
jetzt noch die Fläche konstanter negativer Krümmung,<br />
nämlich die hyperbolische Fläche.<br />
Sie ist gegeben durch die Gleichung<br />
x 2 + y 2 − z 2 = a 2 . Man kommt mit<br />
pseudosphärischen Koordinaten<br />
x = asinhθcosφ<br />
y = asinhθsinφ<br />
z = acoshθ<br />
ganz analog wie im sphärischen Fall zu einem<br />
ähnlichen Abstandselement. <strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 23/41
hyperbolische Fläche<br />
Es lautet<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sinh 2 θdφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 24/41
hyperbolische Fläche<br />
Es lautet<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sinh 2 θdφ 2 )<br />
Völlig analog setzt man r = sinhθ und erhält die<br />
Metrik<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 + r 2 + r2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 24/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Wir haben nun die Metriken zu den Flächen mit<br />
konstanter Krümmung:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 25/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Wir haben nun die Metriken zu den Flächen mit<br />
konstanter Krümmung:<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung)<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 25/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Wir haben nun die Metriken zu den Flächen mit<br />
konstanter Krümmung:<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung)<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
• euklidische Ebene (keine Krümmung)<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 25/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Wir haben nun die Metriken zu den Flächen mit<br />
konstanter Krümmung:<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung)<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 dφ 2 )<br />
• euklidische Ebene (keine Krümmung)<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 )<br />
• hyperbolische Fläche (negative Krümmung)<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 + r 2 + r2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 25/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Diese können wir mit Hilfe eines Parameters q<br />
zusammenfassen:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 26/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Diese können wir mit Hilfe eines Parameters q<br />
zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 26/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Diese können wir mit Hilfe eines Parameters q<br />
zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 dφ 2 )<br />
Der Parameter q beinhaltet das<br />
Krümmungsvorzeichen.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 26/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Diese können wir mit Hilfe eines Parameters q<br />
zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 dφ 2 )<br />
Der Parameter q beinhaltet das<br />
Krümmungsvorzeichen.<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung): q = +1<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 26/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Diese können wir mit Hilfe eines Parameters q<br />
zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 dφ 2 )<br />
Der Parameter q beinhaltet das<br />
Krümmungsvorzeichen.<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung): q = +1<br />
• euklidische Ebene (keine Krümmung): q = 0<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 26/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Diese können wir mit Hilfe eines Parameters q<br />
zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 dφ 2 )<br />
Der Parameter q beinhaltet das<br />
Krümmungsvorzeichen.<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung): q = +1<br />
• euklidische Ebene (keine Krümmung): q = 0<br />
• hyperbolische Fläche (neg. Krümmung): q = −1<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 26/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Diese können wir mit Hilfe eines Parameters q<br />
zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 dφ 2 )<br />
Der Parameter q beinhaltet das<br />
Krümmungsvorzeichen.<br />
• Kugeloberfläche (positive Krümmung): q = +1<br />
• euklidische Ebene (keine Krümmung): q = 0<br />
• hyperbolische Fläche (neg. Krümmung): q = −1<br />
Diese Metrik heißt Robertson-Walker-Metrik<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 26/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Bevor wir das ganze um eine Raumdimension<br />
erweitern, betrachten wir den bisher noch statischen<br />
Parameter a, der sich als Skalenfaktor auffassen läßt.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 27/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Bevor wir das ganze um eine Raumdimension<br />
erweitern, betrachten wir den bisher noch statischen<br />
Parameter a, der sich als Skalenfaktor auffassen läßt.<br />
Er kann jetzt auch zeitabhängig gewählt werden<br />
a = a(t), was nichts an der Entkopplung von Raum<br />
und Zeit ändert.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 27/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Bevor wir das ganze um eine Raumdimension<br />
erweitern, betrachten wir den bisher noch statischen<br />
Parameter a, der sich als Skalenfaktor auffassen läßt.<br />
Er kann jetzt auch zeitabhängig gewählt werden<br />
a = a(t), was nichts an der Entkopplung von Raum<br />
und Zeit ändert.<br />
Anschaulich bedeutet diese Zeitabhängigkeit, daß der<br />
Raum sich beispielsweise im sphärischen Fall wie ein<br />
Luftballon aufblähen kann:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 27/41
Robertson-Walker-Metrik 2D<br />
Bevor wir das ganze um eine Raumdimension<br />
erweitern, betrachten wir den bisher noch statischen<br />
Parameter a, der sich als Skalenfaktor auffassen läßt.<br />
Er kann jetzt auch zeitabhängig gewählt werden<br />
a = a(t), was nichts an der Entkopplung von Raum<br />
und Zeit ändert.<br />
Anschaulich bedeutet diese Zeitabhängigkeit, daß der<br />
Raum sich beispielsweise im sphärischen Fall wie ein<br />
Luftballon aufblähen kann:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 dφ 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 27/41
3d-Flächen im R 4<br />
Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen<br />
und isotrop, stehen also im Einklang mit dem<br />
kosmologischen Prinzip.<br />
Es folgen die drei möglichen dreidimensionalen<br />
Flächen konstanter Krümmung, die in einem<br />
vierdimensionalen Raum eingebettet sind (nicht<br />
verwechseln mit der vierdim. Raumzeit!!!):<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 28/41
3d-Flächen im R 4<br />
Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen<br />
und isotrop, stehen also im Einklang mit dem<br />
kosmologischen Prinzip.<br />
Es folgen die drei möglichen dreidimensionalen<br />
Flächen konstanter Krümmung, die in einem<br />
vierdimensionalen Raum eingebettet sind (nicht<br />
verwechseln mit der vierdim. Raumzeit!!!):<br />
• sphärischer Raum (positive Krümmung)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 28/41
3d-Flächen im R 4<br />
Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen<br />
und isotrop, stehen also im Einklang mit dem<br />
kosmologischen Prinzip.<br />
Es folgen die drei möglichen dreidimensionalen<br />
Flächen konstanter Krümmung, die in einem<br />
vierdimensionalen Raum eingebettet sind (nicht<br />
verwechseln mit der vierdim. Raumzeit!!!):<br />
• sphärischer Raum (positive Krümmung)<br />
• flacher Raum (keine Krümmung)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 28/41
3d-Flächen im R 4<br />
Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen<br />
und isotrop, stehen also im Einklang mit dem<br />
kosmologischen Prinzip.<br />
Es folgen die drei möglichen dreidimensionalen<br />
Flächen konstanter Krümmung, die in einem<br />
vierdimensionalen Raum eingebettet sind (nicht<br />
verwechseln mit der vierdim. Raumzeit!!!):<br />
• sphärischer Raum (positive Krümmung)<br />
• flacher Raum (keine Krümmung)<br />
• hyperbolischer Raum (negative Krümmung)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 28/41
sphärischer Raum<br />
Gleichung des sphärischen Raums in kartesischen<br />
Koordinaten:<br />
x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = a 2<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 29/41
sphärischer Raum<br />
Gleichung des sphärischen Raums in kartesischen<br />
Koordinaten:<br />
x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = a 2<br />
Übergang zu Kugelkoordinaten (a, θ, φ, χ) mit<br />
konstantem Radius a, gleichbedeutend mit einer<br />
Parametrisierung des Raumes durch (θ, φ, χ):<br />
x1 = asinχsinθcosφ<br />
x2 = asinχsinθsinφ<br />
x3 = asinχcosθ<br />
x4 = acosχ<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 29/41
sphärischer Raum<br />
Das führt nach analoger Rechnung auf die folgende<br />
Metrik:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + sin 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 30/41
sphärischer Raum<br />
Das führt nach analoger Rechnung auf die folgende<br />
Metrik:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + sin 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
Man erhält die Robertson-Walker-Metrik durch die<br />
Transformation r = sinχ:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2<br />
1 − r 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 30/41
sphärischer Raum<br />
Das führt nach analoger Rechnung auf die folgende<br />
Metrik:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + sin 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
Man erhält die Metrik der konform-euklidischen<br />
Koordinaten durch die stereographische Projektion<br />
r = 2tan χ<br />
2 (anschließend: Übergang von<br />
Kugelkoordinaten (r, θ, φ) zu Koordinaten (x, y, z)):<br />
ds 2 = c 2 dt 2 −<br />
ds 2 = c 2 dt 2 −<br />
a(t) 2<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2(dr2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
a(t) 2<br />
(1 + 1/4r 2 ) 2(dx2 + dy 2 + dz 2 )<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 31/41
flacher Raum<br />
Der flache Raum x4 = 0 der Koordinaten<br />
(x1, x2, x3, x4) ergibt nach geeigneter<br />
Parametrisierung durch (r, θ, φ) die<br />
Robertson-Walker-Metrik<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 32/41
flacher Raum<br />
Der flache Raum x4 = 0 der Koordinaten<br />
(x1, x2, x3, x4) ergibt nach geeigneter<br />
Parametrisierung durch (r, θ, φ) die<br />
Robertson-Walker-Metrik<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
die sich nach trivialer Transformation r −→ χ = r<br />
auch als<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + χ 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
schreiben läßt.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 32/41
hyperbolischer Raum<br />
Der hyperbolische Raum x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = a 2 gibt<br />
nach geeigneter Parametrisierung durch (χ, θ, φ) die<br />
Metrik<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + sinh 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 33/41
hyperbolischer Raum<br />
Der hyperbolische Raum x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = a 2 gibt<br />
nach geeigneter Parametrisierung durch (χ, θ, φ) die<br />
Metrik<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + sinh 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
Durch die Transformation χ −→ r = sinhχ erhält<br />
man die Robertson-Walker-Metrik<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2<br />
1 + r 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
in ihrer bekannten Form.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 33/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Noch mal alle drei Fälle auf einen Blick:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 34/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Noch mal alle drei Fälle auf einen Blick:<br />
• spärischer Raum<br />
ds 2 = c 2 dt 2 −a(t) 2 ( dr2<br />
1 − r 2 +r2 (dθ 2 +sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 34/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Noch mal alle drei Fälle auf einen Blick:<br />
• spärischer Raum<br />
ds 2 = c 2 dt 2 −a(t) 2 ( dr2<br />
1 − r 2 +r2 (dθ 2 +sin 2 θdφ 2 ))<br />
• flacher Raum<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 34/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Noch mal alle drei Fälle auf einen Blick:<br />
• spärischer Raum<br />
ds 2 = c 2 dt 2 −a(t) 2 ( dr2<br />
1 − r 2 +r2 (dθ 2 +sin 2 θdφ 2 ))<br />
• flacher Raum<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
• hyperbolischer Raum<br />
ds 2 = c 2 dt 2 −a(t) 2 ( dr2<br />
1 + r 2 +r2 (dθ 2 +sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 34/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Diese können wir wieder mit dem Parameter q zur<br />
Robertson-Walker-Metrik zusammenfassen:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 35/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Diese können wir wieder mit dem Parameter q zur<br />
Robertson-Walker-Metrik zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 35/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Diese können wir wieder mit dem Parameter q zur<br />
Robertson-Walker-Metrik zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
• sphärischer Raum (positive Krümmung): q = +1<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 35/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Diese können wir wieder mit dem Parameter q zur<br />
Robertson-Walker-Metrik zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
• sphärischer Raum (positive Krümmung): q = +1<br />
• flacher Raum (keine Krümmung): q = 0<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 35/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Diese können wir wieder mit dem Parameter q zur<br />
Robertson-Walker-Metrik zusammenfassen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
• sphärischer Raum (positive Krümmung): q = +1<br />
• flacher Raum (keine Krümmung): q = 0<br />
• hyperbolischer Raum (neg. Krümmung): q = −1<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 35/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Entsprechend läßt sich die<br />
Robertson-Walker-Metrik auch durch den Übergang<br />
r −→ χ darstellen:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 36/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Entsprechend läßt sich die<br />
Robertson-Walker-Metrik auch durch den Übergang<br />
r −→ χ darstellen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + r(χ) 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 36/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
Entsprechend läßt sich die<br />
Robertson-Walker-Metrik auch durch den Übergang<br />
r −→ χ darstellen:<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + r(χ) 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
wobei gilt:<br />
r(χ) =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
sinχ falls q = +1 sph. Fall<br />
χ falls q = 0 fl. Fall<br />
sinhχ falls q = −1 hyp. Fall<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 36/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2<br />
1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
Metrischer Tensor:<br />
⎛<br />
c<br />
⎜<br />
g = ⎜<br />
⎝<br />
2 0<br />
0<br />
−<br />
0 0<br />
a(t)2<br />
1−qr2 0 0<br />
0<br />
−a(t)<br />
0<br />
2r2 0<br />
0 0 0 −a(t)r2sin2θ ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 37/41
Robertson-Walker-Metrik<br />
ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + r(χ) 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ))<br />
Metrischer Tensor:<br />
⎛<br />
c<br />
⎜<br />
g = ⎜<br />
⎝<br />
2 0 0 0<br />
0 −a(t) 2 0 0<br />
0<br />
−a(t)<br />
0<br />
2r(χ) 2 0<br />
0 0 0 −a(t) 2r(χ) 2sin2θ r(χ) =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
sinχ falls q = +1 sph. Fall<br />
χ falls q = 0 fl. Fall<br />
sinhχ falls q = −1 hyp. Fall<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 38/41
Ausblick<br />
In der Robertson-Walker-Metrik gibt es noch zwei<br />
unbekannte Parameter:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 39/41
Ausblick<br />
In der Robertson-Walker-Metrik gibt es noch zwei<br />
unbekannte Parameter:<br />
• Krümmungsparameter q: Es bleibt noch die<br />
Frage, ob das Universum flach, positiv oder<br />
negativ gekrümmt ist.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 39/41
Ausblick<br />
In der Robertson-Walker-Metrik gibt es noch zwei<br />
unbekannte Parameter:<br />
• Krümmungsparameter q: Es bleibt noch die<br />
Frage, ob das Universum flach, positiv oder<br />
negativ gekrümmt ist.<br />
• kosmischer Skalenfaktor a(t): Wie ist die<br />
zeitliche Abhängigkeit der Ausdehnung des<br />
Universums? Ist es statisch, expandiert oder<br />
kollabiert es?<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 39/41
Ausblick<br />
Aus dem metrischen Tensor gαβ lassen sich die<br />
Christoffel Symbole Γλ µν = 1<br />
der Krümmungstensor Rα βγδ<br />
2gλα ( ∂gαµ<br />
∂xν + ∂gνα<br />
∂x µ − ∂gµν<br />
∂xα ),<br />
und der Ricci-Tensor<br />
Rµν = ∂Γα µα<br />
∂x ν − ∂Γα µν<br />
∂x α − Γ α σαΓ σ µν + Γ α σνΓ σ µα bestimmen:<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 40/41
Ausblick<br />
Aus dem metrischen Tensor gαβ lassen sich die<br />
Christoffel Symbole Γλ µν = 1<br />
der Krümmungstensor Rα βγδ<br />
2gλα ( ∂gαµ<br />
∂xν + ∂gνα<br />
∂x µ − ∂gµν<br />
∂xα ),<br />
und der Ricci-Tensor<br />
Rµν = ∂Γα µα<br />
∂x ν − ∂Γα µν<br />
∂x α − Γ α σαΓ σ µν + Γ α σνΓ σ µα bestimmen:<br />
R00 = 3ä<br />
a<br />
R11 =<br />
1 1<br />
1 − qr2( c2(aä + 2˙a2 ) + 2q)<br />
R22 = −r 2 ( 1<br />
c 2(aä + 2˙a2 ) + 2q)<br />
R33 = −r 2 sin 2 θ( 1<br />
c 2(aä + 2˙a2 ) + 2q)<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 40/41
Ausblick<br />
In den Einsteinschen Feldgleichungen Rµν = −κT ∗ µν<br />
ist also die linke Seite, der Ricci-Tensor, bereits<br />
gegeben.<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 41/41
Ausblick<br />
In den Einsteinschen Feldgleichungen Rµν = −κT ∗ µν<br />
ist also die linke Seite, der Ricci-Tensor, bereits<br />
gegeben.<br />
Mit dem Energie-Impuls-Tensor T ∗ µν des homogenen<br />
Universums, der auf der rechten Seite der<br />
Einsteinschen Feldgleichung wiederzufinden ist, und<br />
den Lösungen dieser Gleichungen wird sich der<br />
nächste Vortragende befassen.<br />
Vortragsthema am kommenden Dienstag, 14:30 Uhr:<br />
Energie-Impuls-Tensor der Materie,<br />
Friedmann-Lemaître-Gleichungen,<br />
Friedmann-Lösungen<br />
<strong>Hauptseminar</strong>: <strong>Kosmologie</strong> – p. 41/41