Hauptseminar: Kosmologie - 1. Institut für Theoretische Physik ...

Hauptseminar: Kosmologie 

Metrik des homogenen und isotropen Raumes 

Steffen Keßler 

Universität Stuttgart 

Hauptseminar: Kosmologie – p. 1/41

Das kosmologische Prinzip 

Kosmologisches Prinzip: 




Das Universum ist räumlich homogen und isotrop. 





• homogener Raum: kein Punkt ist ausgezeichnet. 






• isotroper Raum: keine Richtung ist ausgezeichnet. 







• räumlich bedeutet bei festgehaltener Zeit! 








Fragen: 








Fragen: 

• Ist die Annahme der Homogenität und Isotropie 

gerechtfertigt? 








Fragen: 

• Ist die Annahme der Homogenität und Isotropie 

gerechtfertigt? 

• Welche Zeit soll man dann wählen, da die Zeit vom 

Bezugssystem abhängt? 





• Materie - wechselwirkungsfreier Staub, homogen über das 

Weltall verteilt: Mittelung über große Raumbereiche. 







• Vernachläßigung lokaler Schwankungen und sämtlicher 

Wechselwirkungen: vgl. ideales Gas → kosmisches Gas 

bzw. kosmischer Staub. 







• Vernachläßigung lokaler Schwankungen und sämtlicher 

Wechselwirkungen: vgl. ideales Gas → kosmisches Gas 

bzw. kosmischer Staub. 

• Verteilung von Uhren, die mit dem kosmischen Gas frei 

fallen: Eigenzeit dieser Uhren bestimmt dann unsere 

kosmische Standardzeit - dazu gleich mehr. 





• Synchronisation der Uhren durch das kosmologische 

Prinzip: Jeder Beobachter, der sich mit dem kosmischen 

Gas bewegt, hat dieselbe Geschichte. 





• Synchronisation der Uhren durch das kosmologische 

Prinzip: Jeder Beobachter, der sich mit dem kosmischen 

Gas bewegt, hat dieselbe Geschichte. 

• Das soll bedeuten, daß sich die Geschichten der 

gemittelten Größen gleichen (z.B. Temperatur Tγ der 

Hintergrundstrahlung, mittlere Materiedichte ρ, ...). 





• Eine solche sich monoton mit der Zeit ändernde Größe, 

kann zur Synchronisation der Uhren benutzt werden, wenn 

beispielsweise ein bestimmter Wert der Materiedichte ρ 

erreicht ist → kosmische Standardzeit. 









• Die mitbewegten Uhren liegen an den Schnittstellen des 

räumlichen Koordinatensystems. 









• Die mitbewegten Uhren liegen an den Schnittstellen des 

räumlichen Koordinatensystems. 

• Das Koordinatensystem mitsamt Uhren und Galaxien dehnt 

sich dann zeitlich aus, wobei die Uhren bzgl. des 

räumlichen Koordinatensystems ruhen. 


Folgerungen 

Es stellt sich die Frage, welche Folgerungen die 

Symmetrieforderungen des kosmologischen Prinzips für die 

Metrik der Raum-Zeit haben. 

Kurze Übersicht der nun behandelten Themen: 


Folgerungen 





• Maximale Symmetrie und konstante Krümmung 


Folgerungen 






• Entkopplung von Raum und Zeit in der Metrik 


Folgerungen 







• Metriken ausgewählter symmetrischer zweidimensionalen 

Flächen, die im dreidimensionalen Raum eingebettet sind 


Folgerungen 









• Erweiterung auf dreidimensionale Flächen im 

vierdimensionalen Raum 


Folgerungen 









• Erweiterung auf dreidimensionale Flächen im 

vierdimensionalen Raum 

• Robertson-Walker-Metrik 


Maximale Symmetrie 

• Es läßt sich allgemein beweisen, daß aus der Homogenität 

und Isotropie eine maximale Symmetrie des Raumes 

folgt. 




und Isotropie eine maximale Symmetrie des Raumes folgt. 

• Weiter läßt sich folgern, daß dann dieser Raum eine 

konstante Krümmung besitzt. 




und Isotropie eine maximale Symmetrie des Raumes folgt. 

• Weiter läßt sich folgern, daß dann dieser Raum eine 

konstante Krümmung besitzt. 

• Die genaue Abhandlung würde den Rahmen dieses Vortrags 

sprengen. Ich verweise deshalb auf das Buch von Eckhard 

Rebhan Theoretische Physik 1 (Kapitel 32) und werde im 

folgenden Räume konstanter Krümmung betrachten. 


Raum-Zeit-Entkopplung 

• Zeit und Raum stehen bei unserem gewählten 

Raum-Zeit-Koordinaten orthogonal aufeinander, sind also 

voneinander entkoppelt. 

Die Raumkoordinaten x i mit i ∈ {1, 2, 3} hängen nicht von 

der Zeit t ab und umgekehrt. 








• Die Zeitlinien sollen geodätische Linien in der Raumzeit 

sein, d.h. die Zeitlinien zwischen zwei Ereignissen, die am 

gleichen Raumpunkt stattfinden, sind extremal. 








• Die Zeitlinien sollen geodätische Linien in der Raumzeit 

sein, d.h. die Zeitlinien zwischen zwei Ereignissen, die am 

gleichen Raumpunkt stattfinden, sind extremal. 

• Mit der kosmologischen Standardzeit t und dem invarianten 

räumlichen Abstand dl 2 = gijdx i dx j lautet das 

Abstandselement in der Raumzeit 

ds 2 = c 2 dt 2 − gijdx i dx j ⇒ ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2 


2d-Flächen im R 3 

Flächen mit konstanter Krümmung sind homogen 

und isotrop, stehen also im Einklang mit dem 

kosmologischen Prinzip. 

Es folgen die drei möglichen zweidimensionalen 

Flächen konstanter Krümmung, die im 

dreidimensionalen Raum eingebettet sind: 









• Kugeloberfläche (positive Krümmung) 










• euklidische Ebene (keine Krümmung) 











• hyperbolische Fläche (negative Krümmung) 


Kugeloberfläche 

Gleichung der Kugeloberfläche in kartesischen 

Koordinaten: 

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 



Gleichung der Kugeloberfläche in kartesischen 

Koordinaten: 

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 

Übergang zu Kugelkoordinaten (a, θ, φ) mit 

konstantem Radius a, gleichbedeutend mit einer 

Parametrisierung der Fläche durch (θ, φ): 

x = asinθcosφ 

y = asinθsinφ 

z = acosθ 





z = acosθ 





z = acosθ 

Damit folgen die Differentiale dx i : 

dx = a (cosθcosφdθ − sinθsinφdφ) 

dy = a (cosθsinφdθ + sinθcosφdφ) 

dz = −asinθdθ 




dx 2 = a 2 (cos 2 θcos 2 φdθ 2 + sin 2 θsin 2 φdφ 2 

−2cosθcosφsinθsinφdθdφ) 







dy 2 = a 2 (cos 2 θsin 2 φdθ 2 + sin 2 θcos 2 φdφ 2 

+2cosθsinφsinθcosφdθdφ) 









dz = −asinθdθ 

dz 2 = a 2 sin 2 θdθ 2 







dz 2 = a 2 sin 2 θdθ 2 







dz 2 = a 2 sin 2 θdθ 2 

Der räumliche Abstand dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ist dann 

dl 2 = a 2 ((cos 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ) + sin 2 θ)dθ 2 

+sin 2 θ(sin 2 φ + cos 2 φ)dφ 2 ) 





= a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) 





= a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) 

Mit ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2 folgt für den infinitesimalen 

Raum-Zeit-Abstand sofort 

ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) 

Der metrische Tensor ist also diagonal mit 

g00 = c 2 , g11 = −a 2 , g22 = −a 2 sin 2 θ 



Übergang zu anderen räumlichen Koordinaten: 

θ −→ r = sinθ 





dr = cosθdθ 





dr = cosθdθ 

Mit cos 2 θ = 1 − sin 2 θ = 1 − r 2 gilt 

dr 2 = (1 − r 2 )dθ 2 ⇒ dθ 2 = dr2 

1 − r 2 





dr = cosθdθ 

Mit cos 2 θ = 1 − sin 2 θ = 1 − r 2 gilt 

dr 2 = (1 − r 2 )dθ 2 ⇒ dθ 2 = dr2 

1 − r 2 

Damit folgt für den räumlichen Abstand 

dl 2 = a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) sofort 

dl 2 = a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) Hauptseminar: Kosmologie – p. 15/41


Mit 

dl 2 = a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 

ist der Raum-Zeit-Abstand 



Mit 

dl 2 = a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 


ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 



Mit 

dl 2 = a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 


ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 

und der metrische Tensor wird zu 

˜g00 = c 2 , ˜g11 = − a2 

1 − r 2, ˜g22 = −a 2 r 2 



Übergang zu konform-euklidischen Koordinaten 

(r, φ) durch stereographische Projektion: 

θ −→ r = 2tan θ 

2 





dr = 1 

cos 2 θ 

2 

θ −→ r = 2tan θ 

2 

2 θ 

dθ ⇒ dθ = cos 

2 dr 





Mit cos 2 α = 

dr = 1 

cos 2 θ 

2 

θ −→ r = 2tan θ 

2 

1 

1+tan 2 α folgt 

2 θ 


2 dr 





Mit cos 2 α = 

dr = 1 

cos 2 θ 

2 

θ −→ r = 2tan θ 

2 

1 

1+tan 2 α folgt 

2 θ 

cos 

2 = 

2 θ 


2 dr 

1 

1 + tan 2 θ 

2 

= 

1 

1 + 1/4r 2 



und man erhält 

dθ = 

1 

1 + 1/4r 2 dr ⇒ dθ2 = 

1 

(1 + 1/4r 2 ) 2dr2 




dθ = 

1 

1 + 1/4r 2 dr ⇒ dθ2 = 

1 

(1 + 1/4r 2 ) 2dr2 

Um dl 2 = a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) umzuformen, 

benützen wir die Beziehung sin 2 (2α) = 4tan2 α 

(1+tan 2 α) 2 für 

2α = θ und setzen r = 2tan θ 

2 ein: 

sin 2 θ = 

r 2 

(1 + 1/4r 2 ) 2 




dθ = 

1 

1 + 1/4r 2 dr ⇒ dθ2 = 

1 

(1 + 1/4r 2 ) 2dr2 

Um dl 2 = a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) umzuformen, 

benützen wir die Beziehung sin 2 (2α) = 4tan2 α 

(1+tan 2 α) 2 für 

2α = θ und setzen r = 2tan θ 

2 ein: 

sin 2 θ = 

r 2 

(1 + 1/4r 2 ) 2 

Damit erhält man das transformierte 

Abstandselement. 



räumliches Abstandselement: 

dl 2 = 

a 2 

(1 + 1/4r 2 ) 2(dr2 + r 2 dφ 2 ) 




dl 2 = 

a 2 

(1 + 1/4r 2 ) 2(dr2 + r 2 dφ 2 ) 

Übergang von Polar- zu kartesischen Koordinaten in 

der projizierten Ebene: 

(r, φ) −→ (x, y) x = rcosφ y = rsinφ 




dl 2 = 

a 2 

(1 + 1/4r 2 ) 2(dr2 + r 2 dφ 2 ) 

Übergang von Polar- zu kartesischen Koordinaten in 

der projizierten Ebene: 

(r, φ) −→ (x, y) x = rcosφ y = rsinφ 

Mit x 2 + y 2 = z 2 , dx 2 + dy 2 = . . . = dr 2 + r 2 dφ 2 ist 

der räumliche Abstand gegeben durch 

dl 2 = 

a 2 

(1 + 1/4(x 2 + y 2 )) 2 (dx2 + dy 2 ) 



Metrik der Kugeloberfläche in verschiedenen 

Koordinaten: 




Koordinaten: 

• ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) 




Koordinaten: 


• ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1−r 2 + r 2 dφ 2 ) 




Koordinaten: 


• ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1−r 2 + r 2 dφ 2 ) 

• ds 2 = c 2 dt 2 − 

ds 2 = c 2 dt 2 − 

a2 (1+1/4r2 ) 2(dr2 + r2dφ2 ) 

a2 (1+1/4(x2 +y2 )) 2(dx2 + dy2 ) 


euklidische Ebene 

Wir legen unser kartesisches Koordinatensystem 

(x, y, z) so, daß z = 0 die Ebene beschreibt. 





Als nächstes gehen wir zu Polarkoordinaten über 

(x, y, z) −→ (r, θ, z) x = arcosθ, y = arsinθ 







Für die Differentiale gilt dann 

dx = a(cosφdr − rsinφdφ) 

dy = a(sinφdr + rcosφdφ) 

dz = 0 







Für die Differentiale gilt dann 

dx = a(cosφdr − rsinφdφ) 

dy = a(sinφdr + rcosφdφ) 

dz = 0 

Damit ist das räumliche Abstandselement 

dl 2 = a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 ) 



Das Raum-Zeit-Abstandselement ist dann gegeben 

durch 

ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 ) 



Das Raum-Zeit-Abstandselement ist dann gegeben 

durch 

ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 ) 

Nochmal zum Vergleich das entsprechende Element 

für die Kugeloberfläche 

ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 


hyperbolische Fläche 

Nachdem wir die Flächen konstanter positiver 

Krümmung und die Flächen konstanter 

verschwindender Krümmung abgehandelt haben, fehlt 

jetzt noch die Fläche konstanter negativer Krümmung, 

nämlich die hyperbolische Fläche. 



Nachdem wir die Flächen konstanter positiver 

Krümmung und die Flächen konstanter 

verschwindender Krümmung abgehandelt haben, fehlt 

jetzt noch die Fläche konstanter negativer Krümmung, 

nämlich die hyperbolische Fläche. 

Sie ist gegeben durch die Gleichung 

x 2 + y 2 − z 2 = a 2 . Man kommt mit 

pseudosphärischen Koordinaten 

x = asinhθcosφ 

y = asinhθsinφ 

z = acoshθ 

ganz analog wie im sphärischen Fall zu einem 

ähnlichen Abstandselement. Hauptseminar: Kosmologie – p. 23/41


Es lautet 

ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sinh 2 θdφ 2 ) 



Es lautet 

ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dθ 2 + sinh 2 θdφ 2 ) 

Völlig analog setzt man r = sinhθ und erhält die 

Metrik 

ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 + r 2 + r2 dφ 2 ) 


Robertson-Walker-Metrik 2D 

Wir haben nun die Metriken zu den Flächen mit 

konstanter Krümmung: 






ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 






ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 


ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 ) 






ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 dφ 2 ) 


ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (dr 2 + r 2 dφ 2 ) 

• hyperbolische Fläche (negative Krümmung) 

ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 + r 2 + r2 dφ 2 ) 



Diese können wir mit Hilfe eines Parameters q 

zusammenfassen: 





ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 dφ 2 ) 





ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 dφ 2 ) 

Der Parameter q beinhaltet das 

Krümmungsvorzeichen. 





ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 dφ 2 ) 



• Kugeloberfläche (positive Krümmung): q = +1 





ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 dφ 2 ) 




• euklidische Ebene (keine Krümmung): q = 0 





ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 dφ 2 ) 





• hyperbolische Fläche (neg. Krümmung): q = −1 





ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 dφ 2 ) 





• hyperbolische Fläche (neg. Krümmung): q = −1 

Diese Metrik heißt Robertson-Walker-Metrik 



Bevor wir das ganze um eine Raumdimension 

erweitern, betrachten wir den bisher noch statischen 

Parameter a, der sich als Skalenfaktor auffassen läßt. 






Er kann jetzt auch zeitabhängig gewählt werden 

a = a(t), was nichts an der Entkopplung von Raum 

und Zeit ändert. 









Anschaulich bedeutet diese Zeitabhängigkeit, daß der 

Raum sich beispielsweise im sphärischen Fall wie ein 

Luftballon aufblähen kann: 









Anschaulich bedeutet diese Zeitabhängigkeit, daß der 

Raum sich beispielsweise im sphärischen Fall wie ein 

Luftballon aufblähen kann: 

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 dφ 2 ) 






Es folgen die drei möglichen dreidimensionalen 

Flächen konstanter Krümmung, die in einem 

vierdimensionalen Raum eingebettet sind (nicht 

verwechseln mit der vierdim. Raumzeit!!!): 










• sphärischer Raum (positive Krümmung) 











• flacher Raum (keine Krümmung) 











• flacher Raum (keine Krümmung) 

• hyperbolischer Raum (negative Krümmung) 


sphärischer Raum 

Gleichung des sphärischen Raums in kartesischen 

Koordinaten: 

x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = a 2 



Gleichung des sphärischen Raums in kartesischen 

Koordinaten: 

x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = a 2 

Übergang zu Kugelkoordinaten (a, θ, φ, χ) mit 

konstantem Radius a, gleichbedeutend mit einer 

Parametrisierung des Raumes durch (θ, φ, χ): 

x1 = asinχsinθcosφ 

x2 = asinχsinθsinφ 

x3 = asinχcosθ 

x4 = acosχ 



Das führt nach analoger Rechnung auf die folgende 

Metrik: 

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + sin 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 




Metrik: 


Man erhält die Robertson-Walker-Metrik durch die 

Transformation r = sinχ: 

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2 

1 − r 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 




Metrik: 


Man erhält die Metrik der konform-euklidischen 

Koordinaten durch die stereographische Projektion 

r = 2tan χ 

2 (anschließend: Übergang von 

Kugelkoordinaten (r, θ, φ) zu Koordinaten (x, y, z)): 

ds 2 = c 2 dt 2 − 

ds 2 = c 2 dt 2 − 

a(t) 2 

(1 + 1/4r 2 ) 2(dr2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 

a(t) 2 

(1 + 1/4r 2 ) 2(dx2 + dy 2 + dz 2 ) 


flacher Raum 

Der flache Raum x4 = 0 der Koordinaten 

(x1, x2, x3, x4) ergibt nach geeigneter 

Parametrisierung durch (r, θ, φ) die 

Robertson-Walker-Metrik 

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 


flacher Raum 

Der flache Raum x4 = 0 der Koordinaten 

(x1, x2, x3, x4) ergibt nach geeigneter 

Parametrisierung durch (r, θ, φ) die 



die sich nach trivialer Transformation r −→ χ = r 

auch als 

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + χ 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 

schreiben läßt. 


hyperbolischer Raum 

Der hyperbolische Raum x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = a 2 gibt 

nach geeigneter Parametrisierung durch (χ, θ, φ) die 

Metrik 

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + sinh 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 


hyperbolischer Raum 

Der hyperbolische Raum x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = a 2 gibt 

nach geeigneter Parametrisierung durch (χ, θ, φ) die 

Metrik 

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + sinh 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 

Durch die Transformation χ −→ r = sinhχ erhält 

man die Robertson-Walker-Metrik 

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2 

1 + r 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 

in ihrer bekannten Form. 



Noch mal alle drei Fälle auf einen Blick: 




• spärischer Raum 

ds 2 = c 2 dt 2 −a(t) 2 ( dr2 

1 − r 2 +r2 (dθ 2 +sin 2 θdφ 2 )) 





ds 2 = c 2 dt 2 −a(t) 2 ( dr2 

1 − r 2 +r2 (dθ 2 +sin 2 θdφ 2 )) 

• flacher Raum 






ds 2 = c 2 dt 2 −a(t) 2 ( dr2 

1 − r 2 +r2 (dθ 2 +sin 2 θdφ 2 )) 

• flacher Raum 


• hyperbolischer Raum 

ds 2 = c 2 dt 2 −a(t) 2 ( dr2 

1 + r 2 +r2 (dθ 2 +sin 2 θdφ 2 )) 



Diese können wir wieder mit dem Parameter q zur 

Robertson-Walker-Metrik zusammenfassen: 





ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 





ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 

• sphärischer Raum (positive Krümmung): q = +1 





ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 


• flacher Raum (keine Krümmung): q = 0 





ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 


• flacher Raum (keine Krümmung): q = 0 

• hyperbolischer Raum (neg. Krümmung): q = −1 



Entsprechend läßt sich die 

Robertson-Walker-Metrik auch durch den Übergang 

r −→ χ darstellen: 






ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 (dχ 2 + r(χ) 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 







wobei gilt: 

r(χ) = 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

sinχ falls q = +1 sph. Fall 

χ falls q = 0 fl. Fall 

sinhχ falls q = −1 hyp. Fall 



ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2 ( dr2 

1 − qr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )) 

Metrischer Tensor: 

⎛ 

c 

⎜ 

g = ⎜ 

⎝ 

2 0 

0 

− 

0 0 

a(t)2 

1−qr2 0 0 

0 

−a(t) 

0 

2r2 0 

0 0 0 −a(t)r2sin2θ ⎞ 

⎟ 

⎠ 




Metrischer Tensor: 

⎛ 

c 

⎜ 

g = ⎜ 

⎝ 

2 0 0 0 

0 −a(t) 2 0 0 

0 

−a(t) 

0 

2r(χ) 2 0 

0 0 0 −a(t) 2r(χ) 2sin2θ r(χ) = 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

sinχ falls q = +1 sph. Fall 

χ falls q = 0 fl. Fall 

sinhχ falls q = −1 hyp. Fall 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


Ausblick 

In der Robertson-Walker-Metrik gibt es noch zwei 

unbekannte Parameter: 


Ausblick 



• Krümmungsparameter q: Es bleibt noch die 

Frage, ob das Universum flach, positiv oder 

negativ gekrümmt ist. 


Ausblick 



• Krümmungsparameter q: Es bleibt noch die 

Frage, ob das Universum flach, positiv oder 

negativ gekrümmt ist. 

• kosmischer Skalenfaktor a(t): Wie ist die 

zeitliche Abhängigkeit der Ausdehnung des 

Universums? Ist es statisch, expandiert oder 

kollabiert es? 


Ausblick 

Aus dem metrischen Tensor gαβ lassen sich die 

Christoffel Symbole Γλ µν = 1 

der Krümmungstensor Rα βγδ 

2gλα ( ∂gαµ 

∂xν + ∂gνα 

∂x µ − ∂gµν 

∂xα ), 

und der Ricci-Tensor 

Rµν = ∂Γα µα 

∂x ν − ∂Γα µν 

∂x α − Γ α σαΓ σ µν + Γ α σνΓ σ µα bestimmen: 


Ausblick 

Aus dem metrischen Tensor gαβ lassen sich die 

Christoffel Symbole Γλ µν = 1 

der Krümmungstensor Rα βγδ 

2gλα ( ∂gαµ 

∂xν + ∂gνα 

∂x µ − ∂gµν 

∂xα ), 

und der Ricci-Tensor 

Rµν = ∂Γα µα 

∂x ν − ∂Γα µν 

∂x α − Γ α σαΓ σ µν + Γ α σνΓ σ µα bestimmen: 

R00 = 3ä 

a 

R11 = 

1 1 

1 − qr2( c2(aä + 2˙a2 ) + 2q) 

R22 = −r 2 ( 1 

c 2(aä + 2˙a2 ) + 2q) 

R33 = −r 2 sin 2 θ( 1 

c 2(aä + 2˙a2 ) + 2q) 


Ausblick 

In den Einsteinschen Feldgleichungen Rµν = −κT ∗ µν 

ist also die linke Seite, der Ricci-Tensor, bereits 

gegeben. 


Ausblick 

In den Einsteinschen Feldgleichungen Rµν = −κT ∗ µν 

ist also die linke Seite, der Ricci-Tensor, bereits 

gegeben. 

Mit dem Energie-Impuls-Tensor T ∗ µν des homogenen 

Universums, der auf der rechten Seite der 

Einsteinschen Feldgleichung wiederzufinden ist, und 

den Lösungen dieser Gleichungen wird sich der 

nächste Vortragende befassen. 

Vortragsthema am kommenden Dienstag, 14:30 Uhr: 

Energie-Impuls-Tensor der Materie, 

Friedmann-Lemaître-Gleichungen, 

Friedmann-Lösungen

Hauptseminar: Kosmologie - 1. Institut für Theoretische Physik ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?