Elastizitätstensor

19. Lektion Ergänzung-7
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor

Hook‘sches Gesetz:
Hooke‘sches Gesetz
σ =
L
E ∆
Hook‘sches Gesetz in Tensorschreibweise:
σ = C
ε
{ { ijkl {
1
j
kl
Spannungstensor
Tensor 2. Stufe
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
L
Tensor 4. Stufe
Konstanten
elastische
Tensor 2. Stufe
stensor
Verzerrung

Spannungstensor
Richtung der Kraft
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
σ ik
Richtung der Normalkomponente
der Fläche, auf die die Kraft wirkt
σ
ik
⎛σ
⎜
= ⎜σ
⎜
⎝σ
xx
yx
zx
σ
σ
σ
xy
yy
zy
σ
σ
σ
xz
yz
zz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

Rotationsfrei
Sofern keine makroskopische Rotation auftreten soll, müssen alle
Nichtdiagonalelemente vertauschbar sein, d.h.
σ =
σ
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
ij
ji

Symmetrischer Spannungstensor
Damit ist der Spannungstensor symmetrisch:
σ
ik
⎛σ
⎜
= ⎜σ
⎜
⎝σ
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
xx
xy
xz
σ
σ
σ
xy
yy
yz
σ
σ
σ
.... und hat statt 9 nur 6 unabhängige Komponenten.
Die Diagonalelemente beschreiben den hydrostatischen Druck oder
Zug, die Nichtdiagonalelemente die Scherung bzw. Torsion.
xz
yz
zz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

p
x
σ
ik
Spannungstensor bei
hydrostatischem Druck
p
z
=
⎛σ
⎜
⎜ 0
⎜
⎝ 0
xx
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
p
y
σ
0
0
yy
px = py
= pz
σ
0
0
zz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛−
p
⎜
= ⎜ 0
⎜
⎝ 0
−
=
0
0
p
−
p
0 ⎞
⎟
0 ⎟
− p⎟
⎠

r '
rur
d r
dr '
r
Verzerrung
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
Verschiebung eines Körperpunktes
durch Deformation:
r
r r r r
→ r ' und u = r '−r
Statt die Verschiebung eines
Körperpunktes betrachten wir den
Abstand zwischen zwei Körperpunkten
vor und nach der Deformation:
r
2 2 2
d r = dx + dy +
r
d r
+
dz
2 2 2
' = dx'
+ dy'
dz
'
2
2

Ansatz:
r
dr
2
'
=
i
Verzerrungstensor
dx ' = dx + du
i
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
i
2 ( ) ( ) 2
2
dx + du + dy + du + ( dz + du ) = ( dx du )
x
y
z
∑ i +
Bei Tensorrechnung ist es üblich, eine verkürzte Schreibweise zu
benutzen: über jeden einfachen Index wird einfach summiert, über
Doppelindizes erfolgt eine Doppelsumme. Z.B. ist der Ausdruck
( ) 2
dx du
dx +
2
'i = i i
gleichbedeutend mit dem Summenausdruck weiter oben.
Die x-Komponente der Verzerrung kann als totales Differential
dargestellt werden:
du
x
∂ux
=
∂x
∂ux
dx +
∂y
dy
∂u
+
∂z
x
dz
=
∂u
∂x
x
k
dx
k
i
i
2

Verzerrungstensor
Das gleiche gilt auch für die y- und z-Komponente:
du
Oder ganz allgemein:
y
=
∂u
∂x
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
y
k
dx
k
;
du
i
=
∂u
∂x
du
Einsetzen und Ausmultiplizieren liefert:
dx
=
i
'
2
dx
⎛ ∂u
⎞ i =
⎜
⎜dxi
+ dxk
x ⎟
⎝ ∂ k ⎠
∂ui
∂ui
+ 2 dxkdxi
+
∂x
∂x
2
i
k
2
i
k
z
dx
k
=
k
∂u
∂x
∂u
∂x
i
l
z
k
dx
dx
k
k
dx
l

Verzerrungstensor
Für kleine Verzerrungen kann man den quadratischen Term
vernachlässigen und aus Symmetriegründen (i→k = k→i) bekommen
wir:
⎛
⎜
⎝
1
⎛ ∂u
⎜
⎝
∂u
⎞⎞
⎟⎟
⎠⎠
2 2
i k
2
dxi ' = dxi
+ 2
⎜
dxkdxi
dxi
2ε
ik
2 ⎜
+
= +
∂xk
∂x
⎟⎟
i
Dabei ist :
ε
ik
=
1 ⎛ ∂u
⎜
2 ⎝ ∂x
∂u
+
∂x
der Verzerrungstensor, d.h. ein Tensor 2. Stufe.
ε
ik
⎛ε
⎜
= ⎜ε
⎜
⎝ε
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
xx
xy
xz
i
k
ε
ε
ε
xy
yy
yz
k
i
ε
ε
ε
⎞
⎟
⎠
xz
yz
zz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
dx
k
dx
i

Verzerrungstensor
Die Diagonalelemente beschreiben die Volumenänderung, die
Nichtdiagonalelemente die Verzerrungen ohne Volumenänderung:
ε
∂u
∂y
∂u
∂z
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
ik
⎛ ∂ux
⎜
⎜ ∂x
=
⎜
⎜
ε xy
⎜
⎜ ε xz
⎝
Beispiel: reine Volumenänderung
dxi
'
dx
i
=
i
2
i
ii
ε
ε
2
i
xy
yz
y
ε
ε
xz
yz
2
i
z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
( 1+
)
2
dx ' = dx + 2ε
dx = dx 2ε
1+
2ε
ii
≅ 1+
ε
ii
⇒ ε
ii
=
dxi
'−dx
dx
i
i
ii
=
du
dx
i
i
=
∆V
V

Spannungstensor
mit 9 Komponenten
Hooke‘sches Gesetz
σ =
ij Cijklε kl
Elastizitätstensor mit
9x9 =81 Komponenten
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
Verzerrungstensor
mit 9 Komponenten
Aus Symmetriegründen reduziert sich der Elastizitätstensor auf 21
unabhängige Komponenten.
Für kubische Systeme (Systeme mit vierzähliger oder kubischer
Symmetrie) reduziert sich die Zahl der unabhängigen elastischen
Konstanten weiter auf 3: C 11, C 12, C 44.

Hooke‘sches Gesetz
⎛σ
1 ⎞ ⎛C
⎜ ⎟ ⎜
⎜σ
2 ⎟ ⎜C
⎜σ
⎟ ⎜
3 C
⎜ ⎟ = ⎜
⎜σ
4 ⎟ ⎜ 0
⎜ ⎟ ⎜
⎜
σ 5 ⎟ ⎜
0
⎜ ⎟ ⎜
⎝σ
6 ⎠ ⎝ 0
11
12
12
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
C
C
C
12
11
12
0
0
0
C
C
C
12
12
11
0
0
0
C
0
0
0
44
0
0
C
0
0
0
0
44
0
C
0
0
0
0
0
44
⎞⎛
ε1
⎞
⎟⎜
⎟
⎟⎜ε
2 ⎟
⎟⎜ε
⎟
3 ⎟⎜
⎟
⎟⎜ε
4 ⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
ε 5 ⎟
⎟⎜
⎟
⎠⎝ε
6 ⎠
Hier ist eine vereinfachte Schreibweise für die Indizes der
Tensoren gewählt worden, die allgemein gebräuchlich ist:
1 2 3 4 5 6
xx yy zz yz xz xy

Zusammenhang zwischen Modulen
und elastischen Konstanten
Zusammenhang mit makroskopischen Grössen:
1. Kompressionsmodul:
2. Elastizitätsmodul:
3. Querkontraktionszahl:
4. Schubmodul:
1
B = 11 +
3
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
E
=
µ =
G =
( C 2C
)
12
( C11
− C12
)( C11
+ 2C12
)
( C + C )
11
( C + C )
11
C44
C
12
12
12

In isotropen Medien ist:
Isotrope Systeme
− C
2
H. Zabel 19. Lektion Spannungs- und
Verzerrungstensor
G
=
C
44
d.h. die Scherkonstanten C 12 und C 44 sind nicht unabhängig. Es gibt
dann nur noch zwei unabhängige elastische Konstanten:
Elastizitätsmodul E und Querkontraktionszahl µ:
C
C
C
11
12
44
=
C
11
⎛ E ⎞
= ⎜ ⎟ =
⎝1+
µ ⎠
G
12
⎛ E ⎞⎛
µ ⎞
= ⎜ ⎟⎜1+
⎟
⎝1+
µ ⎠⎝
1−
2µ
⎠
⎛ E ⎞⎛
µ ⎞
= ⎜ ⎟⎜
⎟
⎝1+
µ ⎠⎝1
− 2µ
⎠