Beschleunigung
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2. Lektion: <strong>Beschleunigung</strong><br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 1
Lernziel<br />
<strong>Beschleunigung</strong> ist Betrags- und/oder<br />
Richtungsänderung der Geschwindigkeit pro<br />
Zeiteinheit<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 2
Begriffe:<br />
• <strong>Beschleunigung</strong><br />
• Konstante <strong>Beschleunigung</strong><br />
• Anfangsgeschwindigkeit<br />
• zurückgelegter Weg<br />
• Erdbeschleunigung<br />
• Freier Fall<br />
• Fallhöhe<br />
• Abbremsung<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 3
Jede Änderung der Geschwindigkeit<br />
erfordert <strong>Beschleunigung</strong>:<br />
x<br />
v<br />
Hinfahrt, positive<br />
Geschwindigkeit<br />
0<br />
RUB,<br />
Parken<br />
Einkaufen<br />
Rückfahrt, negative<br />
Geschwindigkeit<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 4<br />
t<br />
t<br />
<strong>Beschleunigung</strong>
Zeitlich konstante eindimensionale<br />
<strong>Beschleunigung</strong><br />
Zeitlich konstante<br />
eindimensionale<br />
<strong>Beschleunigung</strong>....<br />
...ergibt eine lineare<br />
Zunahme der<br />
Geschwindigkeit mit<br />
der Zeit....<br />
...und eine quadratische<br />
Zunahme des Ortes mit<br />
der Zeit.<br />
a<br />
v<br />
x<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 5<br />
∆t<br />
∆v<br />
t<br />
t<br />
t<br />
a = konstant<br />
v = a×<br />
x<br />
=<br />
t<br />
1<br />
a×<br />
2<br />
2<br />
t
<strong>Beschleunigung</strong>:<br />
zweifache Ableitung des Wegs nach der Zeit<br />
�<br />
a =<br />
�<br />
Δv<br />
Δt<br />
=<br />
Δ<br />
( ∆x<br />
∆t)<br />
Δt<br />
m<br />
s<br />
[ a]<br />
2<br />
Einheit : =<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 6<br />
�<br />
=<br />
Δ<br />
2<br />
Δt<br />
�<br />
x<br />
2
Sonderfall: Freier Fall<br />
Höhe in m<br />
500<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Zeit in s<br />
= <strong>Beschleunigung</strong><br />
mit<br />
konstanter<br />
Erdbeschleunigung<br />
a = g<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 7<br />
g<br />
≅<br />
=<br />
9.81m/s<br />
10m/s<br />
2<br />
2
Falltürme zur Bestimmung von g<br />
Galilei, 1600<br />
Bremen, Science Center, 2000<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 8
Höhe in m<br />
Beispiel: Freier Fall<br />
500<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Zeit in s<br />
Höhe nach Zeit t:<br />
(h 0 = Anfangshöhe, v 0 =<br />
Anfangsgeschwindigkeit)<br />
h(t)<br />
falls<br />
folgt<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 9<br />
=<br />
:<br />
h<br />
v<br />
0<br />
0<br />
±<br />
=<br />
h(t)<br />
v<br />
0<br />
=<br />
0<br />
t −1<br />
h<br />
0<br />
−1<br />
2gt<br />
2<br />
2gt<br />
2
Beispiel:<br />
Nach welcher Zeit trifft ein Ball auf, der aus h 0=10 m,<br />
v 0=0, losgelassen wird?<br />
h 0 = Anfangshöhe, v 0= Anfangsgeschwindigkeit<br />
2<br />
h(t) = h0<br />
± v0t<br />
−1<br />
2gt<br />
= 10 m −<br />
Beim Auftreffen ist h(t fall) = 0, und damit:<br />
t<br />
fall<br />
=<br />
2h<br />
g<br />
0<br />
=<br />
2<br />
fall<br />
0 = h −1<br />
2gt<br />
oder h = 1<br />
0<br />
Auflösen ergibt dann für die Fallzeit:<br />
2×<br />
10m<br />
9.81m/s<br />
= 1.4s<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 10<br />
2<br />
≅<br />
0<br />
2s<br />
2<br />
1<br />
2gt<br />
2gt<br />
2<br />
2<br />
fall
Höhe in m<br />
Beispiel: Freier Fall<br />
500<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
h =<br />
1<br />
gt<br />
2<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
2<br />
Zeit in s<br />
Umkehrung der Fragestellung:<br />
Wenn ein Gegenstand die Zeit<br />
t bis zum Auftreffen braucht,<br />
aus welcher Höhe wurde er<br />
losgelassen?<br />
1s 5m/s2x1s2 = 5m<br />
2s 5m/s2x22s2 = 20m<br />
3s 5m/s2x32s2 = 45m<br />
4s 5m/s2x42s2 = 80m<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 11
Quiz: ?<br />
Ein Körper fällt von der Höhe h 1 auf den Boden (h=0). In<br />
welchem Höhen-Zeit-Diagramm wird die Fallbewegung<br />
richtig dargestellt? (Luftreibung ist vernachlässigt)<br />
A, B, C, D, E?<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 12<br />
Quiz
<strong>Beschleunigung</strong> Abbremsung<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 13<br />
<strong>Beschleunigung</strong>-Abbremsung
Quiz: ?<br />
Welche Aussage ist richtig?<br />
Ein Körper bewegt sich nach abgebilderter Weg-Zeit-Kurve<br />
A. Die <strong>Beschleunigung</strong> ist im Zeitintervall zwischen t 3 und t 4 positiv.<br />
B. Die mittlere <strong>Beschleunigung</strong> ist im Zeitintervall zwischen t 1 und<br />
t 2 kleiner als im Zeitintervall zwischen t 2 und t 3.<br />
C. Im Zeitintervall zwischen t 2 und t 3 findet keine <strong>Beschleunigung</strong><br />
statt<br />
Antwort C ist richtig!<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 14<br />
Quiz
Quiz: ?<br />
Die Bewegung eines<br />
Körpers werde durch<br />
das nachstehende<br />
Weg-Zeit-Diagramm<br />
dargestellt.<br />
In welchem der<br />
Zeitpunkte A - E hat der<br />
Körper die größte<br />
Geschwindigkeit?<br />
A B C D E<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 15
v-t Diagramme für positive und<br />
negative <strong>Beschleunigung</strong><br />
v(t)<br />
Positive<br />
<strong>Beschleunigung</strong><br />
∆t<br />
∆v<br />
konstante<br />
Geschwindigkeit<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 16<br />
t<br />
Abbremsen=<br />
negative<br />
<strong>Beschleunigung</strong>
Quiz: ?<br />
Die Bewegung eines Autos wird in einem<br />
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm dargestellt:<br />
v 1<br />
Nach der Zeit t 1 wird die zurückgelegte Wegstrecke<br />
gemessen. Welches Auto, 1 oder 2, ist weiter gefahren?<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 17<br />
t 1<br />
2<br />
t<br />
Quiz
Federpendel:<br />
harmonische Orts-Zeit Abhängigkeit<br />
∆x<br />
∆x<br />
0<br />
v(t) �<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 18<br />
t<br />
t
v(t) �<br />
<strong>Beschleunigung</strong> = zeitliche Änderung<br />
des Geschwindigkeitsvektors<br />
Sowohl die zeitliche Änderung<br />
des Betrags wie der Richtung<br />
der Geschwindigkeit erfordert<br />
<strong>Beschleunigung</strong>!<br />
( t ) − v ( t )<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 19<br />
�<br />
a<br />
=<br />
�<br />
v<br />
2<br />
2<br />
t<br />
2<br />
−<br />
�<br />
t<br />
1<br />
1<br />
1<br />
=<br />
�<br />
∆v<br />
∆t<br />
<strong>Beschleunigung</strong>
Abbremsungen in den<br />
Gehirnbahnen<br />
Mr. Lecturer,<br />
may I be excused,<br />
my brain is full!<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 20<br />
Joke
Bezug zur Medizin<br />
• <strong>Beschleunigung</strong> von geladenen Teilchen<br />
• Abbremsung von geladenen Teilchen im<br />
Gewebe zur Tumorbehandlung<br />
• Abbremsung von Elektronen zur<br />
Erzeugung von Röntgenstrahlen<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 21
Tumorbehandlung mit<br />
Hochenergiebeschleunigern<br />
Protonenbeschleuniger<br />
am Paul-Scherrer<br />
Institut in der Schweiz<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 22
Röntgenstrahlen<br />
Target oder Anode<br />
W<br />
<strong>Beschleunigung</strong>sstrecke für<br />
ein Elektron im Vakuum<br />
Zur Erzeugung von<br />
Röntgenstrahlen werden<br />
Elektronen zunächst<br />
beschleunigt und dann auf<br />
einem Target schnell<br />
abgebremst.<br />
e +<br />
Elektronenquelle<br />
H.V.<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 23
Zusammenfassung:<br />
• <strong>Beschleunigung</strong> = jede Änderung des<br />
Geschwindigkeitsvektors mit der Zeit<br />
• Konstante <strong>Beschleunigung</strong> ergibt parabolischen Verlauf<br />
des Ortes nach der Zeit<br />
• Abbremsung = negative <strong>Beschleunigung</strong><br />
• Linearbeschleuniger werden auch für die Medizin für<br />
Tumorbehandlungen eingesetzt<br />
• Erdanziehung (Gravitation) übt eine konstante (Erd-)<br />
<strong>Beschleunigung</strong> auf alle Körper aus (g=9.81m/s2 )<br />
H. Zabel, RUB 2. Lektion <strong>Beschleunigung</strong> 24<br />
Zusammenfassung