Vortrag - Desy

Allgemeine Relativitätstheorie
Ein konzeptioneller Einblick
Von Jan Kaprolat

� Einleitung
Gliederung
� Übergang SRT -> ART
� Grundlegende Fragestellungen der ART
� Kurzer Einblick: Tensoralgebra
� Einsteinsche Feldgleichungen
Größen und Konzepte
� Einfache Anwendungsbeispiele der ART
� Literaturempfehlungen

Übergang SRT -> ART
- Die ART ist die Verallgemeinerung der SRT
- Während die SRT inertiale Bezugssysteme
beschreibt, beschreibt die ART beschleunigte
Bezugssysteme.
- Die Transformation in der SRT von einem
Inertialsystem IS zu einem anderen IS' ist die
Lorentztransformation

Übergang SRT -> ART
- Lorentztransformation in
Komponentenschreibweise
X' m = Λ m
n xn + a m
=> Die allgemeine Koordinatentransformation, die in der ART Anwendung findet wird mit Hilfe
des Metrischen Tensors definiert. (Später mehr)
- Die Gesetze der SRT werden im Minkowski-, die der ART im Riemanschen Raum definiert

Grundlegende Fragestellungen der
ART
� Was passiert in (zueinander)
beschleunigten Bezugssystemen?
(Äquivalenzprinzip)
� Definition des Kraftbegriffs
Geometrie des Raumes Feld?
� Verhalten der Raumzeit in der Nähe von
großen Massen?

Beschleunigung und freier Fall
� Beobachter in einem mit g nach "oben"
beschleunigten Kasten stellt keinen
Unterschied zur Ruhe auf der Erdoberfläche
fest.
� Beobachter in einem frei fallenden Kasten stellt
keinen Unterschied zur Schwerelosigkeit (fern
ab von großen Massen) fest

Beschleunigung und freier Fall

Äquivalenzprinzip
3 Unterschiedliche Äquivalenzprinzipien
- Schwaches Äquivalenzprinzip
- Einsteinsches Äquivalenzprinzip
- Starkes Äquivalenzprinzip

Schwaches ÄQ
Äquivalenzprinzip
- Äquivalenz von träger und schwerer Masse
- Mit Hilfe einer frei fallenden Masse kann (lokal)
nicht festgestellt werden, ob man sich in einem
beschleunigten BS oder in einem
Gravitationsfeld befindet.
- In der klassischen Physik beobachtet und erst
später zum Prinzip ernannt und verstanden
- Die Bewegungsgleichung enthält keine Masse
=> Schwere Masse: Scheinkonzept

Äquivalenzprinzip
Einsteinsches ÄQ
- Lokal gelten die Gesetzmäßigkeiten der SRT
(Gravitationsfrei)
- Es gibt überhaupt keine Möglichkeit, den
Unterschied von Beschleunigung zu Gravitation
festzustellen (Erweiterung des schwachen ÄQ)
- Beinhaltet NUR die Gravitation
- Größen wie z.B. die Feinstrukturkonstante
müssen in frei fallenden/Gravitationsfreien
Systemen exakt gleich sein

Starkes ÄQ
Äquivalenzprinzip
- Erweiterung des Einsteinschen ÄQ
- Die Energie eines gravitativen Feldes wirkt
ebenfalls gravitativ (E=mc 2 )

Kraft: Geometrie oder Feld?
� Eine Kraft lässt sich nach Newton klassisch
durch eine Feldwirkung beschreiben
� Einstein interpretiert die Kraftwirkung durch
eine Raumzeitkrümmung
� => gravierender Unterschied in der
mathematischen Beschreibung

Kraft: Geometrie oder Feld?
Zwei Teilchen, die auf einer
Kugeloberfläche in parallele
Richtung laufen, treffen sich am
Pol.
=> Dies kann beschrieben werden
durch:
- Kraft
- Krümmung der Oberfläche
Die Raumzeitkrümmung ist eine fundamentale Annahme der
ART!

Verhalten der Raumzeit in der Nähe
von Massen
- Die Raumzeit wird durch Massen gekrümmt
-> Radarechoverzögerung beim Signal Erde
Venus, wenn die Venus in der Nähe der Sonne
ist. (Geodäte)
-> Die gekrümmte Raumzeit ist die die
Beschreibung der "Gravitationskraft" in der ART
(siehe Feldgleichungen)

Raumkrümmung
Schematische Darstellung des Lichtwegs in der
Nähe einer großen, raumzeitkrümmenden
Masse

Gekrümmte Raumzeit
Raumzeitkrümmung durch die Masse der Erde minimal

Gekrümmte Raumzeit
Extremfall: Schwarzes Loch

Kurzer Einblick: Tensoralgebra
- Ein Tensor r-ter Stufe ist eine r-fach indizierte
Größe
- Tensoren werden allgemein über ihr
Transformationsverhalten definiert
- Ein Tensor:
0-ter Stufe -> Skalar
1-ter Stufe -> Vektor
2-ter Stufe -> Matrix
...

Kurzer Einblick: Tensoralgebra
Definition:
- Lateinische Buchstaben in den Indizes von Tensoren
laufen von 1 – 3
- Griechische Buchstaben in den Indizes von
Tensoren laufen von 0 – 3
So beinhaltet der Tensor A i die Komponenten:
A 1 , A 2 , A 3
Der Tensor A ɥ beinhaltet hingegen die Komponenten:
A 0 , A 1 , A 2 , A 3

Kurzer Einblick: Tensoralgebra
Einige Standardberechnungen:
Skalarprodukt
A ɥ * A ɥ = A
Allgemeine Koordinatentransformation
Einsteinsche Summenkonvention:
Über gleiche Indizes wird summiert!

Anspruch an Feldgleichungen
-> Im nichtrelativistischen Grenzfall müssen sie
die Newtonsche Mechanik ergeben
-> Kovariante Formulierungen
Unverändlich unter allgemeinen
Koordinatentransformationen
-> Möglichst einfach formuliert

1.
2.
Der Kern der ART:
Die Feldgleichungen

Größen der Feldgleichungen
T μν ... Energie-Impuls-Tensor
g μν ... Metrischer Tensor
R μν ... Krümmungstensor (Ricci-Tensor)
R ... Krümmungsskalar
u μ ... Vierergeschwindigkeit
τ ... Eigenzeit
Γ μ
νλ
... Christoffelsymbole

T μν
Energie-Impuls-Tensor
- Der Energieimpulstensor beinhaltet alle Anteile
an Energie und Impuls des Systems.
- Stellt den Quellterm in der 1. Feld-GLG. dar.
- Beinhaltet ebenfalls elektromagnetische
Strahlung und andere Energieformen (E=mc 2 )

g μν
- Fundamentale Größe
Metrischer Tensor
- Beinhaltet die Metrik des betrachteten Raumes
- Aus g μν werden diverse Größen abgeleitet
- Wird für eine allgemeine
Koordinatentransformation verwendet

Metrischer Tensor
Wegelemente in verschiedenen
Räumen
(Euklid)
(Minkowski)
(Riemann)
Später ein Beispiel für eine allg. Koordinatentransformation mit
Hilfe des metrischen Tensors (=>Schwarzschild-Metrik)

Γ μ
νλ
Christoffelsymbol
- Führt den metrischen Tensor in die
Bewegungsgleichung mit ein
=> Bahn eines Teilchens im KS mit Gravitation

Newtonscher Grenzfall für die
Bewegungsgleichung
- Der klassische Newtonsche Grenzfall muss sich
aus der Bewegungsgleichung für ein schwaches
gravitatives Feld und kleine Geschwindigkeiten
ergeben
=> Klassischer Fall:

Schwarzschild-Metrik
- Die Schwarzschildmetrik ist eine besondere
Metrik, mit dessen Hilfe eine exakte Lösung der
Feldgleichungen der ART möglich war
-> Annahme: Eine massive Kugel die
– Homogen (außerhalb ist die Dichte 0) ist
– Nicht geladen ist
– Nicht rotiert
– Statisch
– Vakuumlösung allgemein (Masse ist freier
Parameter)

Innere und Äußere Schwarzschild-
Lösung
Äußere Lösung: r > Rs
- Kommt durch die Vakuumlösung
T μν = 0 (Masse ist ein freier Parameter)
- Nur koordinatenabhängige Singularität bei
r = Rs

Innere und Äußere Schwarzschild-
Lösung
Innere Lösung: r < Rs
- Lösung für den armen Beobachter innerhalb von
Rs
- Ein äußerer Beobachter wird nicht feststellen,
dass der innere Beobachter in den
Ereignishorizont eingetreten ist => Kein Signal
nach außen

Schwarzschild-Metrik
- Schwarzschildradius eines schwarzen Loches
folgt aus der Schwarzschild-Metrik (Divergenz
der äußeren Lösung)
- Schwarzschildradius ist Ereignishorizont
- Gilt für nicht rotierende schwarze Löcher
(Für rotierende => Kerr-Metrik)
(Herleitung: Siehe Fließbach Band 5)

Kurzer Ausblick:
Vielen Dank für eure
Aufmerksamkeit
- Die ART beinhaltet viele weitere Lösungen (bis
hin zur Entwicklung des ganzen Universums)
- Vereinheitlichung aller 4 Grundkräfte (3 QFT und
der Gravitation)
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit

Literatur
- Sean M. Carroll – An introduction to general
Relativity Spacetime and Geometry
(Englisch, interessanter Einblick)
- Fließbach Band 5 – Allgemeine
Relativitätstheorie
(Phänomenologischer Einblick in die ART)