urn:nbn:de:hbz:468-20070741

VorwortDie vorliegende Arbeit entstand im Rahmen meiner Tätigkeit als wissenschaftlicherMitarbeiter im Fachgebiet Sicherheitstheorie und Verkehrstechnik an der BergischenUniversität Wuppertal.Mein besonderer Dank gilt meinem Doktorvater Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. A. Meynafür die Ermöglichung, Förderung und Betreuung dieser Arbeit.Univ.-Prof. Dr. rer. nat. P. C. Müller, Univ.-Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirtsch.-Ing. B. H.Müller und Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Yuan danke ich für die Erstellung des zweitenGutachtens und ihre Mitwirkung im Promotionsausschuss.Meinen Kolleginnen und Kollegen danke ich für die gute Zusammenarbeit und dieUnterstützung, insbesondere vor der Abgabe der Dissertation und der Vorbereitung aufdie mündliche Prüfung.Herrn Dr.-Ing. M. Woltereck danke ich dafür, dass er mich für das Thema Monte-Carlo-Simulation im Rahmen einer gemeinsamen Veröffentlichung begeistert hat.Ein großer Dank gilt meiner Familie und meiner Freundin Astrid für die Unterstützungund Rücksichtnahme während meiner Dissertationszeit.

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung ................................................................................................................ 12 Monte-Carlo-Simulation (MCS) ............................................................................. 52.1 Systemtransporttheorie..................................................................................... 72.1.1 Systemtransporttheorie ohne Berücksichtigung des Alters...................... 72.1.2 Systemtransporttheorie mit Berücksichtigung des Alters ........................ 92.1.3 Systemtransporttheorie unter Berücksichtigungphysikalischer Größen ............................................................................ 102.1.4 Systemtransporttheorie unter Berücksichtigung derSchadensakkumulation ........................................................................... 122.2 Generierung von Zufallszahlen...................................................................... 132.2.1 Methoden zur Generierung einer Gleichverteilung................................ 132.2.2 Methoden zur Generierung allgemeiner Verteilungen ........................... 142.3 Ungewichtete MCS ........................................................................................ 152.3.1 Generierung eines Zustandsüberganges ................................................. 162.3.2 Last-Event-Schätzer................................................................................ 162.3.3 Free-Flight-Schätzer ............................................................................... 172.4 Gewichtete MCS ............................................................................................ 182.4.1 Generierung eines Zustandsüberganges ................................................. 192.4.2 Last-Event-Schätzer................................................................................ 202.4.3 Free-Flight-Schätzer ............................................................................... 203 MCS zur Modellierung Markovscher Prozesse..................................................... 223.1 Beschreibung des Markovschen Zustandsmodells ........................................ 223.2 Analytische Lösung........................................................................................ 233.3 Ungewichtete MCS ........................................................................................ 243.3.1 Last-Event-Schätzer................................................................................ 243.3.2 Free-Flight-Schätzer ............................................................................... 25

InhaltsverzeichnisIII5.4 Gewichtete MCS ............................................................................................ 495.4.1 Last-Event-Schätzer................................................................................ 505.4.2 Free-Flight-Schätzer ............................................................................... 515.5 Ergebnisdarstellung........................................................................................ 525.6 Zusammenfassung der Ergebnisse................................................................. 566 Gesamtbewertung der Ergebnisse ......................................................................... 577 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigungdynamischer Systemänderungen ........................................................................... 587.1 Beschreibung des 2-Kanal-Rechnersystems .................................................. 587.2 Simulationsalgorithmen ................................................................................. 637.3 Ergebnisdarstellung........................................................................................ 657.3.1 Bewertung der Temperaturbereiche A und B......................................... 657.3.2 Bewertung des Temperaturbereiches C.................................................. 747.4 Zusammenfassung der Ergebnisse................................................................. 778 Zusammenfassung und Ausblick........................................................................... 789 Literaturverzeichnis............................................................................................... 81Anhang..........................................................................................................................85A.1 Abkürzungen ......................................................................................................... 85A.2 Symbolverzeichnis ................................................................................................ 86A.3 Grundlagen ............................................................................................................ 90A.3.1 Stichprobenfunktionen ................................................................................... 90A.3.2 Theoretische Zuverlässigkeitskenngrößen nicht reparierbarer Systeme........ 91A.3.3 Theoretische Sicherheitskenngrößen nicht reparierbarer Systeme................ 93A.3.4 Empirische Kenngrößen................................................................................. 94A.3.5 Ausgewählte Verteilungsfunktionen.............................................................. 96A.3.6 Angewandte Belastungsmodelle.................................................................... 98A.3.7 Schadensakkumulation................................................................................. 100

1 EinleitungDer zunehmende Einsatz elektronischer Systeme im Kraftfahrzeug folgt u.a. aus denstetig wachsenden Anforderungen von Seiten des Gesetzgebers und des Kunden hinsichtlichSicherheit, Zuverlässigkeit, Umweltschutz und Komfort. So wird geschätzt,dass der Elektronikanteil an den sicherheitsrelevanten Systemen von derzeit 27 % auf35% im Jahre 2010 ansteigen wird [Flö04].Mit der zunehmenden Komplexität und Vernetzung der Systeme ist mit einem Anstiegvon Systemausfällen zu rechnen, die zu einer Gefährdung der Verkehrsteilnehmerführen können. Die Systemsicherheit und -zuverlässigkeit stellen somit Anforderungendar, die es frühzeitig zu berücksichtigen gilt.Mit den zuvor genannten wachsenden Anforderungen steigen aber auch die Ansprüchean die Entwicklung und Durchführung zeitgemäßer Methoden zur Sicherheits- undZuverlässigkeitsplanung und -analyse.Die gängigsten Verfahren zur Sicherheits- und Zuverlässigkeitsplanung und -analysesind heutzutage die Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse (FMEA), die Fehlerbaumanalyse(FBA), das Petri-Netz u.a. sowie die Markovsche Modellbildung, die aufBasis stochastischer Prozesse erfolgt.Der Vorteil der stochastischen Prozesse gegenüber Verfahren wie der FMEA und derFBA liegt darin, dass Abhängigkeiten innerhalb des betrachteten Systems besser abgebildetwerden können. Die Art des stochastischen Prozesses ist dabei über die definitionsspezifischenund anwendungsspezifischen Kriterien [Kne89] gegeben. Es sindinsbesondere die Markovsche Eigenschaft (Zeitinvarianz [Cox70]), die MarkovscheZustandsbedingung und die Markovsche Zeitbedingung [Mey82] zu beachten.Eine der wesentlichen Anforderungen besteht in der Entwurfsphase darin, die Systemehinsichtlich Sicherheit und Zuverlässigkeit optimal zu planen und gegenüber äußerenEinflüssen robust auszulegen. Es ist demnach erforderlich die Systeme unter Berücksichtigungrealer Bedingungen zu entwerfen und zu prüfen. Als reale Bedingungensind stochastische Abhängigkeiten (zustandsabhängige Systemdegradation u.a.), systematischeSystemänderungen (Früh- und Verschleißausfälle u.a.) sowie dynamischeSystemänderungen (physikalische Einflussgrößen u.a.), zu berücksichtigen. Des Weiterensind die wechselseitigen Einflüsse (z.B. Ausfallverhalten und Temperatur), diezwischen systematischen und dynamischen Systemgrößen bestehen, zu beachten.

2 1 EinleitungDie in der Automobilindustrie gängigen Verfahren wie die FMEA, die FBA und dieMarkov-Analyse sind nur bedingt in der Lage, reale Bedingungen im Rahmen derSicherheits- und Zuverlässigkeitsanalyse adäquat zu berücksichtigen. Die Analysensind hierbei in der Regel statischer Natur. Die wesentlichen Parameter einer Analyse,wie die Ausfallraten der betrachteten Systemkomponenten, werden dabei als konstantbetrachtet. Systematische Ausfälle wie Früh- oder Verschleißausfälle lassen sich unterVerwendung der oben genannten Verfahren nicht abbilden.Auf Basis von Nicht-Markov-Prozessen [Kne89] lassen sich stochastische Abhängigkeitendagegen ohne Einschränkungen beschreiben sowie alle systematischen unddynamischen Systemänderungen realitätsnah modellieren. Die Anforderung besteht inder Lösung dieser Prozesse, da aus der Vielfalt und Dynamik der Einflussgrößen Gleichungssystemefolgen, die selten geschlossen lösbar sind.Eine Möglichkeit zur Modellierung und Lösung von solch komplexen Fragestellungenist mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation (MCS) gegeben. Die MCS hat sich speziellim Bereich der Kerntechnik zur Probabilistischen Sicherheitsanalyse (PSA) [Smi92b],[Mar94], [Wol01] aber auch in viel versprechenden Ansätzen im Bereich der Automobilindustrie[Wol04], [Hau05], [Hau06] und des Maschinenbaus [Fri01a], [Fri01b]bewährt.Ziel dieser Arbeit ist es, die Sicherheit und Zuverlässigkeit eines Systems realitätsnahzu modellieren und zu analysieren. Es werden reale Bedingungen wie stochastischeAbhängigkeiten, systematische und dynamische Systemänderungen (z.B. Temperatureinfluss)im Rahmen einer realitätsnahen Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalyseberücksichtigt. Die sicherheits- und zuverlässigkeitstechnische Modellierung undAnalyse der Systeme mit den gegebenen Abhängigkeiten und Systemänderungenerfolgt unter Verwendung der MCS.Bei der Anwendung der MCS ist es insbesondere erforderlich, seltene Ereignisse, wiesie bei der Untersuchung von Systemen mit hohen Sicherheits- und Zuverlässigkeitsforderungenüblich sind, zu beachten. Diesbezüglich werden spezielle Verfahren zurErgebnisschätzung und zur Varianzreduktion (gewichtete MCS) untersucht und in dieSicherheits- und Zuverlässigkeitsanalysen integriert. Ziel ist es, einen Beitrag zurWeiterentwicklung und Optimierung von bestehenden Simulationsalgorithmen zuleisten.Eine wesentliche Einflussgröße, die im Rahmen der Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalysenbetrachtet wird, ist die Temperatur. Die Modellierung des Temperatureinflus-

1 Einleitung 3ses erfolgt im Rahmen dieser Arbeit unter Verwendung des Arrhenius-Modells. Zurzusätzlichen Berücksichtigung von akkumulativen Temperaturschädigungen wird diebekannte Systemtransporttheorie um ein Schadensakkumulationsmodell erweitert.Die relevanten Systemgrößen (Arrhenius-Modellparameter sowie Ausfallverhalten)lassen sich z.B. aus Daten, wie Prüf- oder Felddaten, ermitteln. Mit einem neuen temperaturabhängigenPrognosemodell wird gezeigt, wie sich die Arrhenius-Modellparameter und das Ausfallverhalten des untersuchten Systems aus den gegebenenDaten bestimmen lassen.Der praktische Nutzen der vorliegenden Arbeit, insbesondere im Bereich der Forschungund Entwicklung, besteht in der Ermittlung von Sicherheits- und Zuverlässigkeitskenngrößenunter Berücksichtigung der relevanten Einflussgrößen. Somit lassensich Systeme zum Zeitpunkt der Entwurfsphase z.B. bezüglich ihres Einbau- und Einsatzortesrealitätsnah untersuchen und bewerten. Notwendige Modifizierungen zurErhöhung der Robustheit gegenüber relevanten Einflussgrößen und die damit verbundenenVerbesserungen der Systemsicherheit und -zuverlässigkeit können somit frühzeitiggeplant und durchgeführt werden.Oftmals können viele der benötigten Modellparameter (Temperatureinfluss, Ausfallverhaltenu.a.) aus den Felddaten (Garantiedaten, Fehlerspeicherdaten u.a.) ermitteltwerden. Die so gewonnenen Ergebnisse lassen sich u.a. für den Entwurf neuer Systemenutzen. Zusätzlich können die Prüfungen im Rahmen der Erprobung unter Berücksichtigungder tatsächlich anliegenden Belastungen im Feld gestaltet werden. DasProdukt wird somit realitätsnah entworfen, bewertet und geprüft. Die Güte des Entwurfsund der Prüfung können dann im späteren Verlauf des Produktlebenszyklusanhand der gegebenen Felddaten validiert und verifiziert werden.Die Grundlagen und die wesentliche Theorie der MCS sind Bestandteil von Kapitel 2.Die MCS wird anhand der Systemtransporttheorie, die erstmalig um ein Schadensakkumulationsmodellerweitert wird, dargestellt. Zusätzlich werden spezielle Verfahrenzur Ergebnisschätzung und zur Bewertung seltener Ereignisse (gewichtete MCS) erläutert.Mit den Untersuchungen in Kapitel 3 wird gezeigt, dass mit Hilfe der MCS und unterAnwendung varianzreduzierender Verfahren (gewichtete MCS) hochzuverlässige

4 1 EinleitungSysteme modelliert und analysiert werden können. Gegenstand der Untersuchungen istein einfaches aber hochzuverlässiges Markov-Modell, bestehend aus vier Zuständen.In Kapitel 4 wird ein System untersucht, dessen Ausfallverhalten zeit- und temperaturabhängigist. Es wird gezeigt, dass es auf Grundlage der MCS möglich ist, solchemehrparametrigen stochastischen Prozesse zu modellieren und zu analysieren. Zudiesem Zweck werden die Einflüsse der Zeit und der Temperatur auf das Ausfallverhalteneines Systems mit zwei Zuständen betrachtet.Da sich reale Systeme selten statisch oder systematisch verhalten, ist es erforderlich,dynamische Systemänderungen (Systemwiederherstellung und -erneuerung u.a.) zubetrachten. Gegenstand der Untersuchungen in Kapitel 5 ist deshalb ein Nicht-Markov-Modell mit 3 Zuständen und einem Regenerationspunkt. Es wird gezeigt, dassdie MCS ein Verfahren ist, mit dem Zeitabhängigkeiten, Semi-Markov-, regenerativeundnicht-regenerative Eigenschaften [Kne89] berücksichtigt werden können.In Kapitel 6 erfolgt eine Gesamtbewertung der Ergebnisse aus Kapitel 3 bis Kapitel 5.Basierend auf den Grundlagen (Kapitel 2) und den Untersuchungen aus Kapitel 3 bisKapitel 5 erfolgt in Kapitel 7 die Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter realenBedingungen, d.h. unter Berücksichtigung von stochastischen Abhängigkeiten sowiesystematischen und dynamischen Systemänderungen. Die Temperatur wird hierbei alswesentliche Einflussgröße (dynamische Systemänderung) in die Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalysenintegriert. In einem weiteren Schritt wird gezeigt, wie sich dierelevanten Systemgrößen (Arrhenius-Modellparameter sowie Ausfallverhalten) mitHilfe eines neuen temperaturabhängigen Prognosemodells ermitteln lassen.Mit der Zusammenfassung und dem Ausblick (Kapitel 8) werden die wesentlichenErgebnisse der Arbeit reflektiert und weitere Einsatzmöglichkeiten und Entwicklungenvorgestellt.Der Anhang enthält ein Verzeichnis der verwendeten Abkürzungen und Symbolesowie weitere Grundlagen zum Verständnis sicherheits- und zuverlässigkeitstechnischerSachverhalte, die in Kapitel 2 bis Kapitel 8 nicht explizit erklärt werden.Alle Analysen und Ergebnisse dieser Arbeit wurden unter Verwendung der mathematischenEntwicklungssoftware Mathematica TM 5.0.1 mit einer Maschinengenauigkeitvon ε = 2,22045E-16 erstellt. Als Rechnersystem diente ein 64 Bit Rechner mit einemAMD 3700+ Prozessor.

2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)Unter Anwendung der MCS lassen sich sehr komplexe mathematische Fragestellungenlösen. Dabei kann das zu untersuchende System gleichzeitig Elemente mit stetigersowie diskreter Wirkung enthalten, es kann dem Einfluss vielfältiger Faktoren komplizierterNatur unterworfen und durch überaus umfangreiche Wechselbeziehungen beschriebensein [VDI99].Insbesondere bei Fragestellungen mit stochastischem Inhalt bietet die MCS Lösungsansätze,die die Berechnung des Problems im Gegensatz zu analytischen Ansätzenwesentlich vereinfachen [Erm75].Die Entwicklung der MCS lässt sich bis ins 18. Jahrhundert zurückverfolgen. Derfranzösische Naturforscher Buffon (1777) ermittelte unter Anwendung eines experimentellenVersuchs die Wahrscheinlichkeit, mit der eine auf den Boden geworfeneNadel gleichzeitig zwei Holzplanken berührt. Unter Kenntnis des Versuchs von Buffonzeigte Laplace (1886) zudem, dass sich auf Basis der experimentellen Ergebnisseein Schätzer für π ermitteln lässt.Eine weitere Nutzung erfolgte durch W.S. Gosset, der mit Hilfe der MCS (1908) dieentwickelte Theorie seiner Student t-Verteilung experimentell untermauerte.Die neuzeitliche Anwendung der MCS wurde um 1945 zur Simulation statistischerExperimente im Rahmen des Manhattan Project im Wesentlichen durch Fermi, vonNeumann und Ulam entwickelt.Seitdem wurde die MCS neben der Neutronenphysik in weiteren Wissenschaftszweigenwie beispielsweise Bedienungstheorie, Spieltheorie und mathematische Ökonomieverwendet [Erm75].Heutzutage gilt die MCS als einzig realisierbare Methode zur Berechnung und Bewertungkomplexer mehrdimensionaler Problemstellungen.Im Rahmen von Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalysen hat sich die MCS insbesonderebei der Auswertung großer komplexer Fehlerbäume bewährt [Kam72],[Kam76]. Darüber hinaus können mittels MCS komplexe Sachverhalte, wie Abhängigkeitenvon Zuständen und Zustandswechseln, beliebige Verteilungsfunktionen undZeitabhängigkeiten, flexible Wartungs- und Reparaturstrategien und physikalischeEinflussgrößen (z.B. Temperatur) berücksichtigt werden.

6 2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)Die stetige Fortentwicklung der Computertechnik lässt zudem die Anwendbarkeit derMCS, besonders bei der Analyse komplexer und hochzuverlässiger Systeme, stetigwachsen. Die Anwendbarkeit der MCS wird letztendlich durch die Leistungsfähigkeitdes Rechnersystems begrenzt.Anhand der MCS lassen sich u.a. Integrale der Formb∫ag(x) ⋅f (x)dx(2.1)berechnen [Lux91].Entspricht X einer Zufallsgröße mit der Verteilungsdichte f(x), dann ist auch g(X) eineZufallsgröße und es lässt sich der Erwartungswert+∞∫−∞E (g(X)) = g(x) ⋅f (x) dx(2.2)bestimmen.Die grundlegende numerische Aufgabe besteht darin, den Erwartungswert E(g(X)) derZufallsgröße g(X) zu schätzen. Aus einer Stichprobe mit den Stichprobenwertenx = (x1,x2,...,xn) berechnet sich das arithmetische Mittel, als Näherung zum ErwartungswertE(g(X)), zun1E (g(X)) ≈ ⋅∑g(x i). (2.3)ni=1Im Rahmen der Systemanalyse gilt es, die Zustandswahrscheinlichkeiten P k (t) derFormtPk (t) = ∫ ψ (t′k) ⋅ Rk(t | t′)dt′(2.4)0zu ermitteln (R(t | t G , t´) = R(t | t´) für t G = 0, siehe Gleichung (A.3.18)). Liegt einabsorbierender Zustand k vor, so reduziert sich Gleichung (2.4) zutPk (t) = ∫ ψk(t′)dt′. (2.5)0Die Größe ψ(t) heißt Ereignisdichte und lässt sich insbesondere in enger Analogie zurBoltzmannschen Transportgleichung (physikalische Partikel-Transporttheorie) aufBasis von System-Transportgleichungen darstellen [Lew84], [Dev97], [Dub98],[Mar98].

2.1 Systemtransporttheorie 72.1 SystemtransporttheorieMit Hilfe der Systemtransporttheorie, die auf der Partikel-Transporttheorie basiert,lässt sich die zeitliche Entwicklung eines Systems mit den jeweiligen definierten Zuständenmodellieren [Lux91], [Dub98]. Die Transportgleichungen beschreiben dabeianhand von Ereignisdichten den Transfer zwischen den Zuständen innerhalb des Zustandsraumes.Der Modellierung sind dabei, unter Berücksichtigung der Art des stochastischen Prozesses,keine Grenzen gesetzt. Markov-, Semi-Markov- aber auch Nicht-Markov-Prozesse lassen sich mit der Systemtransporttheorie darstellen.Im Folgenden werden die Ansätze der Systemtransporttheorie mit und ohne Berücksichtigungdes Alters, ein Ansatz zur Berücksichtigung physikalischer Größen sowieein neuer Ansatz zur Berücksichtigung der Schadensakkumulation vorgestellt.2.1.1 Systemtransporttheorie ohne Berücksichtigung des AltersDie Ereignisdichte ψ k(t) entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, dass der Zustand kzum Zeitpunkt t eingenommen wird.Wird ψ k(t) als Summe von Ereignissen mit einer unterschiedlichen Anzahl von Transitionenbetrachtet, so ist die Ereignisdichte durch den Grenzwertψ∑ ∞ nkt) = ψk(t)n=0( (2.6)ngegeben. ψ k(t) , mit dem Zählindex n, entspricht der Ereignisdichte, dass der Zustandk zum Zeitpunkt t nach genau n Transitionen erreicht wird.Die Größenψ kn( t n)mitt nnn−1ψk(tn) =k(tn 1)Rk(tn| tn 1)k k(tn) dtn∑ ∫ ψn 1 −⋅n 1 −⋅ λ−−n−1n n−1(2.7)k n−1≠kn 0entspricht dann der Ereignisdichte, dass der Zustand k n zum Zeitpunkt t n nach genau nTransitionen erreicht wird.0Die Anfangsbedingung ψ k(0) , dass sich das System zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand kbefindet, lässt sich mit der Dirac-Deltafunktion δ(t) [Meyb91] berücksichtigen[Lew84]. Die Anfangsbedingung ist dann gegeben durch0ψ 0) = P (0) ⋅δ(t). (2.8)k(k

8 2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)Der eigentliche Transport, d.h. der Zeitpunkt und die Art der nächsten Systemzustandsänderung,wird mit der Zeitgleichung (engl. Free-Flight-Kernel, FFK) und derEreignisgleichung (engl. Collision-Kernel, CK) beschrieben. Die Transportgleichungsetzt sich zusammen zuK(k′ , t′→ k, t) = T(k′, t′→ t) ⋅C(t,k′→ k) . (2.9)Der FFK T(k′, t′→ t) entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, dass der nächsteZustand zum Zeitpunkt t eingenommen wird unter der Bedingung, dass der gegenwärtigeZustand k´ zum Zeitpunkt t´ eingenommen wurde:T(kλ′ ′k ′, t′→ t) = f ′(t| t′) = λk′(t) ⋅Rk(t | t ) mit (2.10)∑k ′ t) = λk′k(t)k≠k′( und (2.11)Rk ′(t| t′ ) = ∏Rk′k(t | t′) . (2.12)k≠k′Das folgende Ereignis bzw. der Zustand, der zum Zeitpunkt t infolge des Zustandsübergangesk´→ k eingenommen wird, lässt sich anhand des CK ermitteln. Der CKC(t,k′→ k) entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zustandsübergang inden Zustand k erfolgt unter der Bedingung, dass dieses Ereignis aus einem Zustandsübergangaus dem Zustand k´ zum Zeitpunkt t resultiert:λk′k(t)C(t, k′ → k) = γk′k(t) = . (2.13)λ (t)k′Die Ereignisdichte(t) ψ kergibt sich somit zuψk(t) = P (0) ⋅δ(t)+k= P (0) ⋅δ(t)+kt∑ ∫k′≠k0t∑ ∫k′≠k0ψψk′k′(t′)⋅K(k′, t′→ k, t) dt′(t′)⋅qk′k(t | t′) dt′.(2.14)Die Größeentspricht der partiellen bedingten Wahrscheinlichkeitsdichteq k ′ k(t | t′)(t | t′ k k) = fk′(t | t′) ⋅ γk′k(t) = λk′k(t) ⋅ Rk′(t | t′q ′ ).(2.15)Wird das System auf Basis von Transportgleichungen modelliert, so können unterVerwendung der MCS die Integrale der FormtPk (t) = ∫ ψ (t′k) ⋅ Rk(t | t′) dt′,(2.16)0

2.1 Systemtransporttheorie 9t∑∫F (t) = ψ ′ ′k(t ) dtund (2.17)k∈F´0t∑ ∫G (t) = ψ ′ ′k(t ) dt(2.18)k∈G´0mit den in Kapitel 2.3 und Kapitel 2.4 beschriebenen Verfahren geschätzt werden.Dabei entsprichtF´: der Gruppe der ausgefallenen absorbierenden Zustände undG´: der Gruppe der gefährlichen absorbierenden Zustände.2.1.2 Systemtransporttheorie mit Berücksichtigung des AltersSpielt zusätzlich das Alter (gegeben über den Geburtspunkt t G) einer Komponente,des Systems oder des Prozesses eine Rolle, so muss das Alter t − tGzum Zeitpunkt tim Rahmen der Systemtransporttheorie berücksichtigt werden [Dub00]. Die Ereignisdichteψ k( t, tG) entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, dass der Zustand k zumZeitpunkt t mit dem Alter t − t Geingenommen wird.Der FFK T(k′ , t′G, t′→ t)entspricht dann der Wahrscheinlichkeitsdichte, dass dernächste Zustand zum Zeitpunkt t eingenommen wird unter der Bedingung, dass dergegenwärtige Zustand k´ zum Zeitpunkt t´ mit dem Alter t ′ − t′Geingenommen wurde:T(k′ , t′, t′G→ t) = fk′ (t | t′, t′G) = λk′(t − t′G) ⋅ Rk′(t | t′G, t′) . (2.19)Das folgende Ereignis bzw. der Zustand, der zum Zeitpunkt t mit dem Alter t − t′Ginfolge des Zustandsüberganges k´→ k eingenommen wird, lässt sich anhand des CKermitteln. Der CK C(t− t′, k′G→ k) entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass einZustandsübergang in den Zustand k erfolgt unter der Bedingung, dass dieses Ereignisaus einem Zustandsübergang aus dem Zustand k´ zum Zeitpunkt t mit dem Altert − t′Gresultiert:C(t− t′, k′G→ k) = γk′ k(t − t′G) . (2.20)Nun muss zusätzlich berücksichtigt werden, dass auch der Geburtspunkt t Geine Änderungim Laufe des Systemtransportes erfahren kann (Reparatur, Wartung, Schädigungu.a.).Die entsprechende Transfergleichung U(k′ ,k,t′,t,t′G→ tG) des Geburtspunktes (engl.Birth point Transfer Function, BTF) ist definiert als Wahrscheinlichkeitsdichte, dassder Geburtspunkt gleich sein wird unter der Bedingung, dass ein Zustandsübergangt G

10 2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)von Zustand k´ in den Zustand k zum Zeitpunkt t erfolgt und der Geburtspunkt beiEintritt in den Zustand k´ zum Zeitpunkt t´ gleich t′Gwar.Im Falle einer vollständigen Reparatur (engl. Good As New, GAN) lautet die BTFU(k ′,k, t′, t, t′G→ tG)= δ(tG− t) . (2.21)Eine Instandsetzung ohne Systemverbesserung (engl. Bad As Old, BAO), d.h.t − t = t′− ′ , lässt sich überGt GU(k ′,k, t′, t, t′G→ tG)= δ(tG− t′G− t + t′)(2.22)modellieren.Die Ereignisdichteψ k( t, tG)ergibt sich zuψ (t, tkG) = P (0, 0) ⋅ δ(t)⋅ δ(tk⋅ ψk′(t′,t′G) ⋅ qGk′k) + ∑ ∫∫ U(k ′,k , t′,(t | t′Gttk′ ≠kt′0G, t′) dt′Gdt′.t, t′G→ tG)(2.23)Wird das System auf Basis von Transportgleichungen modelliert, so können unterVerwendung der MCS die Integrale der Formtt∫∫P = ψ ′ ′ ⋅ ′ ′ ′ ′k(t)k(t , tG) Rk(t | tG,t ) dtGdt , (2.24)t′0Gtt∑ ∫∫F(t)= ψ ′ ′ ′ ′k(t , tG)dtGdt und (2.25)k∈ F´ t′0Gtt∑ ∫∫G (t) = ψ ′ ′ ′ ′k(t , tG)dtGdt(2.26)k∈ G´ t′0Gmit den in Kapitel 2.3 und Kapitel 2.4 beschriebenen Verfahren geschätzt werden.2.1.3 Systemtransporttheorie unter Berücksichtigung physikalischer GrößenZusätzlich lassen sich im Rahmen der Systemtransporttheorie physikalische Größenberücksichtigen. Dies ist sowohl für deterministische [Smi92a] als auch für stochastischeGrößen [Bec02] möglich.Die Ereignisdichte ψk(x, t)entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, dass der Zustandk zum Zeitpunkt t mit der physikalischen Größe x eingenommen wird.

2.1 Systemtransporttheorie 11Der Verlauf der physikalischen Größe X innerhalb des Zustandes k´ sei über die Funktiong k ′(t− t′, u) gegeben. Der Zustand k´ wurde zum Zeitpunkt t´ mit u eingenommen.Zusätzlich wird der Einfluss einer stochastischen Größe Z definiert. Der funktionelleZusammenhang zwischen X und Z ist bei einem Zustandsübergang von Zustand k´nach Zustand k über die Funktionx = y ′ k(x , z)(2.27)k′gegeben. Die stochastische Einflussgröße Z, bei einem Zustandsübergang von Zustandk´ nach Zustand k, ist über die Wahrscheinlichkeitsdichte a k´k (z) gegeben.Unter Berücksichtigung deterministischer und stochastischer Änderungen berechnetsich die Ereignisdichte ψ k(x, t) zuk′tψk(x, t) = Pk(x, 0) ⋅ δ(t)+ ∑ ∫∫∫∫ δ(x− yk′(x′k, z)) ⋅ ak′k(z)k ′ ≠k(z)0 ( x′)(u)(2.28)⋅ δ(x′− g (t − t′, u)) ⋅ ψ (u, t′) ⋅ q (t | u, t′) du dx′dt′dz.k′Ist kein stochastischer Einfluss gegeben, so vereinfacht sich Gleichung (2.28) zuψk(x, t) = Pk(x, 0) ⋅ δ(t)+ ∑ ∫∫ δ(x− gk′(t − t′, u)) ⋅ ψk′(u, t′)k′≠k0 (u)(2.29)⋅ q (t | u, t′) du dt′.k′ktIst keine dynamische Änderung der physikalischen Größe gegeben, so vereinfacht sichGleichung (2.28) zuψk(x, t) = Pk(x, 0) ⋅ δ(t)+ ∑ ∫∫∫ δ(x− yk′(x′k, z)) ⋅ ak′k(z)k ′ ≠k(z)0 (x′)(2.30)⋅ ψ (x′,t′) ⋅ q (t | x′, t′)dx′dt′dz.k′k′ktIst X lediglich von der stochastischen Größe Z abhängig, mitx = yk ′ k(x′,z) = z , (2.31)so vereinfacht sich Gleichung (2.28) zutψk( ′′kk′ ≠k0 (x′)x, t) = Pk(x, 0) ⋅ δ(t)+ ∑ ∫∫ ak′k(x) ⋅ ψk′(x′,t′) ⋅ qk(t | x ′,t′)dx′dt . (2.32)Wird das System auf Basis von Transportgleichungen modelliert, so können unterVerwendung der MCS die Integrale der Formk′k

12 2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)t∫∫ ψ ′ ′ ⋅ ′ ′ ′ ′k(x , t ) Rk(t | x , t ) dx dtPk(t) =, (2.33)0 (x′)t∑ ∫∫F(t)= ψ ′ ′ ′ ′k(x , t ) dx dtund (2.34)k∈ F´ 0 (x′)∑ ∫∫G (t) = ψ ′ ′ ′ ′k(x , t ) dx dt(2.35)k∈ G´ 0 (x′)tmit den in Kapitel 2.3 und Kapitel 2.4 beschriebenen Verfahren geschätzt werden.2.1.4 Systemtransporttheorie unter Berücksichtigung derSchadensakkumulationWird im Rahmen der Systemtransporttheorie das Ausfallverhalten in Abhängigkeitvon physikalischen Größen modelliert, so ist es erforderlich, insbesondere bei zeitabhängigemAusfallverhalten, den Effekt der Schadensakkumulation zu berücksichtigen.Der Effekt der Schadensakkumulation wird im Folgenden am Beispiel eines stochastischenTemperatureinflusses, gemäß Gleichung (2.32), beschrieben. Der Einfluss derTemperatur auf das Ausfallverhalten lässt sich über das Arrhenius-Modell modellieren(Anhang A.3.6). Die Modellierung der Schadensakkumulation erfolgt nach Nelson[Nel90] (Anhang A.3.7).Die Schadensakkumulation lässt sich in Form des Alters der Komponente darstellen.Jede zusätzliche Schädigung hat demnach einen äquivalenten Einfluss auf das Alter. InAnalogie zu Kapitel 2.1.2 lässt sich dieser Einfluss unter Verwendung der BTF modellieren.Der äquivalente Geburtspunkt t G , bei einer anliegenden Temperatur x, wird mitder Beziehungt − tG = (t − t′G) ⋅ B(x, x′)(2.36)und der BTFU(k ′,k, x ′,x, t′, t, t′G→ tG) = δ(tG− t + (t − t′G) ⋅ B(x, x′))(2.37)bestimmt. Unter Berücksichtigung eines stochastischen Temperatureinflusses, gemäßGleichung (2.32), und der Schadensakkumulation folgt für die Ereignisdichteψ (x, t, tkG) = P (x, 0, 0) ⋅ δ(t)⋅ δ(tk+ ∑ ∫∫ ∫ δ(tG− t + (t − t′G) ⋅ B(x, x′))(2.38)⋅ ak′ ≠kt′ 0 (x′)k′ktGt(x) ⋅ ψk′G)(x′,t′, t′G) ⋅ qk′k(t | x ′,t′G, t′)dx′t′Gdt′.

2.2 Generierung von Zufallszahlen 13Wird das System auf Basis von Transportgleichungen modelliert, so können unterVerwendung der MCS die Integrale der Formttt∫∫ ∫P = ψ ′ ′ ′ ⋅ ′ ′ ′ ′ ′ ′k(t)k(x , t , tG) Rk(t | x , tG,t ) dx dtGdt , (2.39)t′ 0 (x′)Gt∑ ∫∫ ∫F (t) = ψ ′ ′ ′ ′ ′ ′k(x , t , tG) dx dtGdt und (2.40)k∈ F´ t′ 0 (x′)G∑ ∫∫ ∫tk∈ G´ t′ 0 (x′)ttttG (t) = ψ ′ ′ ′ ′ ′ ′k(x , t , tG) dx dtGdt(2.41)Gmit den in Kapitel 2.3 und Kapitel 2.4 beschriebenen Verfahren geschätzt werden.2.2 Generierung von ZufallszahlenDie MCS basiert auf der Generierung geeigneter Zufallszahlen. Da die generiertenZahlenfolgen mit entsprechenden Algorithmen erzeugt werden, tritt eine Zahlenfolgepraktisch pseudozufällig auf. Eine Zahlenfolge heißt pseudozufällig, wenn sie zwardurch einen Algorithmus erzeugt wird, aber bei einer statistischen Untersuchung keinsignifikanter Widerspruch zur Hypothese eines echten zufälligen Verhaltens festgestelltwerden kann [Fri01a].2.2.1 Methoden zur Generierung einer GleichverteilungDie Generierung von Zufallszahlen basiert im Allgemeinen auf der Verwendung vonZufallszahlen, die im Intervall [0, 1) GL(0, 1)-verteilt sind. Diese GL(0, 1)-verteiltenZufallszahlen werden ihrerseits mit Hilfe deterministischer Algorithmen erzeugt. Eineeinfache Methode ist unter Verwendung von linearen Kongruenzgeneratoren mitx= (axi− 1+ c)mod m und 0 ≤ xim(2.42)i

14 2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)2.2.2 Methoden zur Generierung allgemeiner VerteilungenEine einfache Methode zur Generierung von beliebig verteilten Zufallszahlen ist überdie Inversionsmethode gegeben. Zunächst wird mittels eines Zufallszahlengeneratorseine GL(0, 1)-verteilte Zufallszahl ξ generiert. Die generierte Zufallszahl ξ wird nunmit einer beliebigen Verteilungsfunktion F(t) gleichgesetzt:ξ = F(t) . (2.44)Mit der inversen Funktiont*1= F− ( ξ)(2.45)lässt sich schließlich eine beliebig verteilte Zufallszahl t* generieren. Die Vorgehensweiseist in Bild 2.1 dargestellt.Bild 2.1:Ermittlung von t* aus einer beliebigen Verteilung F(t)Die Inversionsmethode kann zusätzlich zur Ermittlung diskreter Zufallsgrößen benutztwerden. Eine diskrete Zufallsgröße j* lässt sich unter Lösung der Ungleichungj* −1j*∑ pj≤ ξ < ∑ pj= Pj*−1≤ ξ < Pj*(2.46)j=1j=1bestimmen. Die Ermittlung diskreter Zufallsgrößen ist in Bild 2.2 dargestellt.

2.3 Ungewichtete MCS 17P i)( (t) ∈ {0,1} . k (2.55)Die Varianz ergibt sich anschließend zus2n1= ⋅∑(Pn −1i=1(i)k(t) − Pˆk(t))2.3.3 Free-Flight-Schätzer2. (2.56)Sind zwei Zustände k´ und k über einen Zustandsübergang k´→ k miteinander verbunden,so lässt sich die Zustandsübergangswahrscheinlichkeit P k´k (t) anhand der partiellenÜbergangsdichte q k´k (t) berechnen. Unter Berücksichtigung, dass der Zustand k´zum Zeitpunkt t´ eingenommen wurde, berechnet sich die Zustandsübergangswahrscheinlichkeitin den absorbierenden Zustand k zut∫P ′ ≤ > ′ = ′′ = ′ τ ′k k(T t | T t ) Pkk(t | t ) qk k( | t ) dτ. (2.57)t′Innerhalb des i-ten Laufes kann der Zustand k´ m-mal eingenommen werden. DieWahrscheinlichkeit P i)(t) berechnet sich dann zu( k′ k(i)(i)Pk ′ k(t) = ∑ Pk′k(t | tm) .m(2.58)Werden alle möglichen Zustandsübergänge k´→ k betrachtet, so berechnet sich dieZustandswahrscheinlichkeit P k (t) im i-ten Lauf zu∑P . (2.59)(i)(i)k(t) = Pk′k(t)k′≠kP k (t) kann danach über11Pˆ (2.60)nn(i)(i)k(t) = ⋅∑Pk(t) = ⋅∑∑Pk′k(t)n i=1 n i= 1 k′≠kgeschätzt werden.Die Varianz berechnet sich anschließend zus2n1= ⋅∑(Pn −1i=1(i)k(t) − Pˆk(t))2. (2.61)

18 2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)2.4 Gewichtete MCSEin wesentlicher Nachteil der MCS ist die langsame Konvergenz [Fri01a], gegebendurch die Problematik seltener Ereignisse sowie einen nicht unwesentlichen Aufwandzur Generierung der Zufallszahlen aufgrund komplexer und häufig bedingter Verteilungsfunktionen.Konvergenz und Generierung von Zufallszahlen lassen sich mit einergeeigneten Modifikation der Verteilungsdichte verbessern und vereinfachen. Vor demHintergrund der Systemtransporttheorie gilt es zur Reduktion der Varianz und damitder besseren Konvergenz des Verfahrens die Häufigkeit seltener Ereignisse zu erhöhen.Diesbezüglich ist es notwendig, die Anzahl von Ereignissen innerhalb der Betriebsdauert B mit dem gewünschten Zielzustand zu steigern. Die Modifizierung derEreignisdichten wird durch eine geeignete Gewichtung der Transportfunktion (gewichteteMCS) berücksichtigt.Wird ψ ~k(t)als Summe von modifizierten Ereignissen mit einer unterschiedlichenAnzahl von Zustandsübergängen betrachtet, so entspricht die modifizierte Ereignisdichtedem Grenzwertψ~ ~ . (2.62)∑ ∞ nk(t) = ψk(t)n=0Die Ereignisdichteψnkn(tn) =kn−1≠knnψ kntn∑ ∫0w( t n)nkDer Gewichtungsfaktorn(tnist dann gegeben durch) ⋅ ψ~(t) ⋅ K ~ (k,t→ k,t) dtn−1k − n−1n−1n−1n n n−1. (2.63)n 1entspricht der kumulierten Gewichtung zum Zeitpunktt n , des n-ten Zustandsüberganges k n-1 → k n :w(t) = wnn−1knn kn−1(tn−1w(t)nk n nn−1,tn−1→ kn, tn(kn−1,tn−1→ kn, tn)K(kK ~ )) ⋅mit (2.64)w 0 k o(0) = 1. (2.65)Die modifizierte Transportgleichung (Modifizierung des FFK und/oder des CK) lautet~K ~ (k′,t′→ k, t) = T ~ (k′,t′→ t) ⋅C ~ (t, k′→ k) = f (t | t ) ~k ′′ ⋅ γk′k(t) . (2.66)Auf Grundlage der modifizierten Ereignisdichte ψ ~k(t)entspricht die Ereignisdichte(t) dem Grenzwertψ kψ( ~ . (2.67)∑ ∞ n nkt) = wk(t) ⋅ψk(t)n=0

2.4 Gewichtete MCS 192.4.1 Generierung eines ZustandsübergangesIm Folgenden werden die Verfahren, bei denen Zustandsübergänge zeitlich forciert(engl. Forced Transition Method, FTM) und hinsichtlich des Zielzustandes begünstigtwerden (engl. Transition Biasing Method, TBM), vorgestellt [Lew84], [Lab96].Forced Transition MethodWurde der Zustand k´ zum Zeitpunkt t´ eingenommen, so lässt sich ein Zustandsübergangaus dem Zustand k´ zum Zeitpunkt t mit der Bedingung t´ < T ≤ t B erzeugen. DerZeitpunkt t des Zustandsüberganges berechnet sich mit= P ′(T≤ t | t′< T ≤ tB)= Fk(t | t , tB)und (2.68)ξ ′k ′Fk′(t| t′)Fk′(t| t′, tB)=F (t | t′(2.69))k′Bunter Anwendung der Inversionsmethode (Kapitel 2.2.2) zu1t = F− k′ ( ξ). (2.70)Der modifizierte FFK T ~ (k′,t′→ t)entspricht somitf (t | t )T ~k′′(k′,t′→ t) = fk′ (t | t′, tB)= .F (t | t′(2.71))Transition Biasing Methodk′BDer Zielzustand, der zum Zeitpunkt t´ < t ≤ t B aus dem Zustand k´ heraus eingenommenwird, kann nun mit der TBM bezüglich des Eintrittes von Zustand k begünstigtwerden. Der modifizierte CK C ~ (t, k′ → k)lautet~(t)C ~~ λk′k(t, k′ → k) = γk′k(t) = ~ . (2.72)λ (t)k′Der Zielzustand k ergibt sich unter Anwendung der Inversionsmethode (Kapitel 2.2.2)zuk−1∑j≠k′kk ′ j(t)≤ ξ < ~∑ γk′j(t)j≠k′~ γmit (2.73)~ γk ′ k(t) > γk′k(t) . (2.74)Das Verfahren ist einfach durchzuführen, wenn der CK C ~ (t, k′ → k)einer zeitunabhängigenkonstanten Wahrscheinlichkeit entspricht, bei der alle ZustandsübergangsratenEXP(λ)-verteilt sind. Es sollte darauf geachtet werden, dass der modifizierte CK so

20 2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)gewählt wird, dass eine hinreichend große Anzahl von Ereignissen eintritt. Empfehlungendazu sind in [Lew95] und [Hau07] gegeben.Gewichtung des generierten ZustandsübergangesDas generierte Ereignis (Eintritt in den absorbierenden Zustand k zum Zeitpunktt´ < t ≤ t B ) wird nun gemäß der FTM und der TBM gewichtet, mitK(k(t)K ~ ′,t′→ k, t)γ= . (2.75)n n−1n−1k′kwk(t) wk′ (t′)⋅= wk′(t′)⋅ Fk′(tB| t′) ⋅ ~ = uk′k(k′,t′→ k, t)γk′k(t)Nachdem der absorbierende Zustand k zum Zeitpunkt t´ < t ≤ t B eingenommen wurde,lässt sich die Zustandswahrscheinlichkeit mit unterschiedlichen Verfahren ermitteln.Im Folgenden werden der LES und der FFS [Mar98], [Hau06] vorgestellt.2.4.2 Last-Event-SchätzerIm Falle gewichteter Stichproben berechnet sich der Mittelwert der n Gewichtungenzu1n(i)Pˆ k′ k(tB) = ⋅∑uk′k. (2.76)n i=1Werden alle möglichen Zustandsübergänge k´→ k betrachtet, so kann die ZustandswahrscheinlichkeitP k (t B ) über11nn(i)(i)Pˆ k(tB) = ⋅∑uk= ⋅∑∑uk′k(2.77)n i=1 n i= 1 k′≠kgeschätzt werden.Die Varianz ergibt sich anschließend zus2n1= ⋅∑(un −1i=1(i)k− Pˆk(tB))2.4.3 Free-Flight-Schätzer2. (2.78)Unter Berücksichtigung, dass der Zustand k´ zum Zeitpunkt t´ mit der Gewichtungn−1wk ′ (t′)= uk′(t′)eingenommen wurde, berechnet sich die Zustandsübergangswahrscheinlichkeit( t B| t′unter Verwendung des FFS zuP * k′ k)tB*Pk′ (t | t′ k B) = Pk′(t | t′k B) ⋅uk′(t′)= ∫ qk′k( τ | t′) dτ⋅uk′(t′). (2.79)t′

2.4 Gewichtete MCS 21Innerhalb des i-ten Laufes kann der Zustand k´ m-mal eingenommen werden. Die(i)Wahrscheinlichkeit P (t ) berechnet sich dann zuk′k B(i)*( i)(i)(i)k ′ k(tB) = ∑ Pk′k(tB| tm) = ∑Pk′k(tB| tm) ⋅ uk′(tm)mmP .Der Schätzer für P k´k (t B ) ergibt sich anschließend zun(i)k ′ k(tB) = ⋅∑Pk′k(tB)n i=1(2.80)1Pˆ . (2.81)Werden alle möglichen Zustandsübergänge k´→ k betrachtet, so berechnet sich dieZustandswahrscheinlichkeit P k (t B ) im i-ten Lauf zu∑P . (2.82)(i)(i)k(tB)= Pk′k(tB)k′≠kP k (t B ) kann danach über11Pˆ (2.83)nn(i)(i)k(tB) = ⋅∑Pk(tB) = ⋅∑∑Pk′k(tB)n i=1 n i= 1 k′≠kgeschätzt werden.Die Varianz berechnet sich anschließend zus2n1= ⋅∑(Pn −1i=1(i)k(tB) − Pˆk(tB2)) . (2.84)

3 MCS zur Modellierung Markovscher ProzesseIm Folgenden wird untersucht, inwieweit die MCS geeignet ist, Markovsche Prozessezu modellieren und zu analysieren. Zusätzlich gilt es, insbesondere Markovsche Prozesse,die sehr kleine Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten enthalten, zu betrachten.Gegenstand der folgenden Untersuchung ist ein Markov-Modell mit vier Zuständen.Zur Verifikation der verwendeten MCS wird eine analytische Lösung verschiedenenVerfahren der MCS (ungewichtet - gewichtet, LES - FFS) gegenübergestellt.3.1 Beschreibung des Markovschen ZustandsmodellsDas zu untersuchende Markovsche Zustandsmodell besteht aus vier Zuständen und istin Bild 3.1 dargestellt.Bild 3.1:Markovsches Zustandsmodell mit vier ZuständenZustand 1 ist der intakte Zustand, die Zustände 2 und 3 entsprechen degradierten Systemzuständen.Je nach eingenommenem Systemzustand 1 bis 3 besteht die Möglichkeit,in den absorbierenden Fehlerzustand 4 zu gelangen.

3.2 Analytische Lösung 23Mit der Wahl EXP(λ)-verteilter Zustandsübergänge lässt sich das System auf Basiseines homogenen Markov-Prozesses darstellen und untersuchen.Einige Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten des Systems sind zudem sehr klein, sodass die Anwendung der in Kapitel 2.4 vorgestellten gewichteten MCS notwendigwird. Nachdem die Analyse zunächst ungewichtet erfolgt (Kapitel 2.3), werden ineinem weiteren Schritt die FTM und die TBM zur Varianzreduktion angewendet. Inbeiden Fällen erfolgt die Analyse mit Hilfe des LES und des FFS. Die zu Bild 3.1zugehörigen Parameter der Zustandsübergänge können der Tabelle 3.1 entnommenwerden.Tabelle 3.1:Verwendete Parameter der ZustandsübergängeZustandsübergänge Parameter EXP(λ) [h −1 ]λ 12λ 13λ 141,6E−056E−078,3E−08μ 21 3λ 23λ 243E−078,383E−06μ 31 3λ 348,383E−063.2 Analytische LösungDas Markovsche Zustandsmodell (Bild 3.1) lässt sich anhand der folgenden Zustandsdifferentialgleichungen(siehe [Mey03]) beschreiben:dP (t)1 = −(λ12+ λ13+ λ14) ⋅ P1(t)+ μ21⋅ P2(t) + μ31P3(t)dt⋅ , (3.1)dP (t)2 = −(μ21+ λ23+ λ24) ⋅ P2(t) + λ12P1(t)dt⋅ , (3.2)dP (t)3 = −(μ31+ λ34) ⋅ P3(t) + λ13⋅P 1(t)+ λ23P2(t)dt⋅ und (3.3)dP (t)4 = λ14⋅ P1(t)+ λ24⋅ P2(t) + λ34P3(t)dt⋅ . (3.4)

24 3 MCS zur Modellierung Markovscher ProzesseWerden die Größenordnungen der Parameter aus Tabelle 3.1 berücksichtigt, so lässtsich aus dem gegebenen Differentialgleichungssytem eine approximative analytischeLösung für die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) = P 4 (t), basierend auf den ZustandsübergangswahrscheinlichkeitenP 14 (t), P 24 (t) und P 34 (t), herleiten:λ14(t) = ⋅ (1 − exp( −(λ12+ λ13+ λ ) t)) ,λ + λ + λ(3.5)P14 14⋅12 13 14PP2434λ(t) =μ21⋅ ( λλ12⋅ λ−2μ2112λ(t) =μ31⋅ ( λλ13⋅ λ−2μ311212241334⋅ λ+ λ2413+ λ14⋅ (1 − exp( −μ⋅ λ+ λ3413+ λ14⋅ (1 − exp( −μF34⋅ (1 − exp( −(λ)21⋅ t)),⋅ (1 − exp( −(λ)31⋅ t)) und1212+ λ+ λ1313+ λ+ λ1414) ⋅ t))) ⋅ t))(3.6)(3.7)(t) = P14 (t) + P24(t) + P (t). (3.8)3.3 Ungewichtete MCSDas System wird zunächst herkömmlich, d.h. unter Verwendung der ungewichtetenMCS mit dem LES und dem FFS, untersucht.Der Systemtransport (Kapitel 2.1) erfolgt auf Basis generierter Zufallszeiten und Zustandsänderungen.Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der Betriebsdauer t B in den absorbierendenZustand 4 (Bild 3.1) zu gelangen, kann mit dem LES und dem FFS (Kapitel2.3) ermittelt werden.3.3.1 Last-Event-SchätzerBei der Schätzung über den LES wird bei n erfolgten Simulationsläufen die in derBetriebsdauer t B beobachtete Anzahl von bestimmten Ereignissen (z.B. Zustandsübergang2 → 4) gewertet. Im Falle der ungewichteten MCS berechnen sich die Schätzerfür P 24 (t B ) bzw. F(t B ) zu1Pˆ und (3.9)n(i)24(tB)= ⋅∑P24(tB)n i=111Fˆ (tmit (3.10)nn(i)(i)(i)(i)B) = ⋅∑(P14(tB)+ P24(tB)+ P34(tB))= ⋅∑F(tB)n i=1n i=1

3.3 Ungewichtete MCS 25(i) (i) (i)(i)P14 (tB), P24(tB), P34(tB) und F (tB)∈ {0,1} . (3.11)Mit den unter Gleichung (3.5) bis Gleichung (3.8) gegebenen Lösungen berechnensich die Varianzen gemäß Gleichung (A.3.2) zuss22n1= ⋅∑(Pni=1n1= ⋅∑(Fni=1(i)24(i)(t(tBB) − P24) − F(t(tBB))3.3.2 Free-Flight-Schätzer))22und (3.12). (3.13)Wird beispielsweise der Zustand 2 erreicht, so ist es möglich, die Auftretenswahrscheinlichkeitdes Zustandsüberganges 2 → 4 zu ermitteln. Unter Berücksichtigung,dass der Zustand 2 zum Zeitpunkt t´ eingenommen wurde, ergibt sich diese Wahrscheinlichkeitzut BP ′ = ∫λ⋅ −λ ⋅ τ − ′24(tB| t )24exp(2( t )) dτ. (3.14)t′Innerhalb des i-ten Laufes kann der Zustand 2 m-mal eingenommen werden. Die(i)Wahrscheinlichkeit P (t ) berechnet sich dann zu24(i)(i)P24(tB) = ∑P24(tB| tm) .mDie Schätzer für P 24 (t B ) bzw. F(t B ) lautenn(i)24(tB)= ⋅∑P24(tB)n i=1B(3.15)1Pˆ und (3.16)11Fˆ (t. (3.17)nn(i)(i)(i)(i)B) = ⋅∑(P14(tB)+ P24(tB)+ P34(tB))= ⋅∑F(tB)n i=1n i=1Die zugehörigen Varianzen ergeben sich nach Gleichung (A.3.2) zuss22n1= ⋅∑(Pni=1n1= ⋅∑(Fni=1(i)24(i)(t(tBB) − P24) − F(t(tBB))))22und (3.18). (3.19)

26 3 MCS zur Modellierung Markovscher Prozesse3.4 Gewichtete MCSIn einem weiteren Schritt erfolgt die Analyse unter Verwendung der gewichtetenMCS, d.h. der varianzreduzierenden Verfahren FTM und TBM, sowie der jeweiligenSchätzverfahren LES und FFS. Das Vorgehen wird im Folgenden anhand des Zustandes2 beispielhaft beschrieben. Das System sei zum Zeitpunkt t´ der Betrachtung imZustand 1 (intakter Zustand).Mit den Parametern der Zustandsübergänge (Tabelle 3.1) wird ersichtlich, dass einZustandsübergang in den Zustand 2 ein seltenes Ereignis und ein weiterer Zustandsübergangin den Zustand 4 sehr unwahrscheinlich ist. Für den Fall, dass insbesondereder Zustandsübergang 2 → 4 Gegenstand der Untersuchung ist, muss der Zustandsübergangin den Zustand 2 zunächst zeitlich forciert und anschließend bezüglich desEintrittes von Zustand 2 begünstigt werden. Dasselbe Verfahren wird auf den Eintrittdes Zustandsüberganges 2 → 4 innerhalb der Betriebsdauer t B angewendet. Dies istmit einer Kombination der FTM und der TBM möglich (Kapitel 2.4).Der Zeitpunkt t eines Zustandsüberganges, der vor dem Erreichen der Betriebsdauer t Beintritt, wird überξ = P1 (T ≤ t | t′< T ≤ tB)= F1(t| t′, tB)und (3.20)F (t | t′1) 1−exp( −λ1⋅ (t − t′))F (t | t′ 1, tB)= =F (t | t′) 1−exp( −λ ⋅ (t − t′))(3.21)1B1Bberechnet zu− ln(1 − ξ⋅(1− exp( −λ1 ⋅(tB− t′))))t = + t′. (3.22)λ1Der Zustand, der zum Zeitpunkt t´ < t ≤ t B eingenommen wird, kann nun mit der TBMbezüglich des Eintrittes von Zustand 2 begünstigt werden:k−1∑j≠1k1 ∑j≠1~ γ (t) ~j≤ ξ < γ1j(t) mit (3.23)~12γ (t) = 0,99, ~13 γ (t) = 0, 01 und~14γ (t) = 0 .Das erzeugte Ereignis (Eintritt in den Zustand 2 zum Zeitpunkt t´ < t ≤ t B ) wird anschließendgemäß der FTM und der TBM gewichtet:n n−1γ12(t)w2(t) = w (t′1) ⋅ F1(tB| t′) ⋅ ~ = u12(t) . (3.24)γ (t)12

3.4 Gewichtete MCS 27Nach Einnahme des Zustandes 2 zum Zeitpunkt t´ < t ≤ t B lässt sich die Auftretenswahrscheinlichkeitdes Zustandsüberganges 2 → 4 mit dem LES und dem FFSbestimmen.3.4.1 Last-Event-SchätzerZunächst wird der Zustandsübergang 2 → 4 analog obiger Vorgehensweise ermittelt.Nachdem der absorbierende Zustand 4 zum Zeitpunkt t ≤ t B eingenommen wurde, lässtsich die Auftretenswahrscheinlichkeit des Zustandsüberganges 2 → 4 mit dem LESbestimmen. Im Falle gewichteter Stichproben wird der Mittelwert der n Gewichtungenberechnet. Die Schätzer für P 24 (t B ) bzw. F(t B ) lauten1Pˆ und (3.25)n(i)24(tB)= ⋅∑u24n i=1nn1 (i) (i) (i) 1 (i)Fˆ (tB)= ⋅∑(u14+ u24+ u34) = ⋅∑u4. (3.26)nni=1Die zugehörigen Varianzen berechnen sich nach Gleichung (A.3.2) zuss1i=1n2(i)2= ⋅∑(u24−P24(tB))und (3.27)n i=11n2(i)2= ⋅∑(u4−F(tB)). (3.28)n i=13.4.2 Free-Flight-SchätzerUnter Berücksichtigung, dass der Zustand 2 zum Zeitpunkt t´ mit der Gewichtungn−1w (t′2) = u (t′2) eingenommen wurde, berechnet sich die ZustandsübergangswahrscheinlichkeitP * 24( t B| t′) zutB*P (t | t′ 24 B) = P (t | t′24 B) ⋅ u (t′2) = ∫q24(τ | t′) dτ⋅u2(t′). (3.29)t′Innerhalb des i-ten Laufes kann der Zustand 2 m-mal eingenommen werden. Die(i)Wahrscheinlichkeit P (t ) ergibt sich dann zu∑24B(i)*(i)(i)(i)P24(tB) = P24(tB| tm) = P24(tB| tm) ⋅ u2(tm) .m∑Die Schätzer für P 24 (t B ) bzw. F(t B ) lauten somitn(i)24(tB)= ⋅∑P24(tB)n i=1m(3.30)1Pˆ und (3.31)

28 3 MCS zur Modellierung Markovscher Prozesse11Fˆ (t. (3.32)nn(i)(i)(i)(i)B) = ⋅∑(P14(tB)+ P24(tB)+ P34(tB))= ⋅∑F(tB)n i=1n i=1Die zugehörigen Varianzen ergeben sich nach Gleichung (A.3.2) zuss22n1= ⋅∑(Pni=1n1= ⋅∑(Fni=1(i)24(i)(t(tBB) − P24) − F(t(tBB))))22und (3.33). (3.34)3.5 ErgebnisdarstellungDie Analyse des Systems erfolgt für eine Betriebsdauer von t B = 300 Stunden (z.B.mittlere PKW-Betriebsdauer innerhalb einen Jahres). Das System sei zu Beginn derBetrachtung im Zustand 1 (P 1 (0) = 1). Die Ergebnisse der Systemanalyse (analytisch,ungewichtete und gewichtete MCS mit LES und FFS) sind in Tabelle 3.2 bis Tabelle3.6 aufgeführt.Tabelle 3.2:Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), analytische LösungZustandsübergänge analytische LösungP 14 (t B )2,484E−05P 24 (t B )1,336E−08P 34 (t B )5,012E−10F(t B )2,485E−05Tabelle 3.3: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), ungewichtete MCS - LESZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 14 (t B ) 1,0E+06 −−−−− 3,000E−05 3,000E−05P 24 (t B ) 1,0E+06 −−−−− −−−−− −−−−−P 34 (t B ) 1,0E+06 −−−−− −−−−− −−−−−F(t B ) 1,0E+06 18,97 3,000E−05 3,000E−05

3.5 Ergebnisdarstellung 29Tabelle 3.4: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), ungewichtete MCS - FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 14 (t B ) 1,0E+06 −−−−− 2,490E−05 1,043E−12P 24 (t B ) 1,0E+06 −−−−− 1,370E−08 3,824E−14P 34 (t B ) 1,0E+06 −−−−− 5,555E−10 1,551E−15F(t B ) 1,0E+06 180,61 2,491E−05 1,434E−12Tabelle 3.5: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), gewichtete MCS - LESZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 14 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 2,489E−05 4,428E−12P 24 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 1,339E−08 3,246E−18P 34 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 5,015E−10 5,070E−21F(t B ) 1,0E+04 5,53 2,490E−05 4,428E−12Tabelle 3.6: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), gewichtete MCS - FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 14 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 2,490E−05 5,619E−15P 24 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 1,341E−08 1,696E−18P 34 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 5,028E−10 1,473E−21F(t B ) 1,0E+04 120,98 2,491E−05 5,620E−15Der analytische und simulierte Verlauf (ungewichtete MCS) der Ausfallwahrscheinlichkeitist in Bild 3.2 bis Bild 3.3 dargestellt.

30 3 MCS zur Modellierung Markovscher ProzesseBild 3.2:Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), ungewichtete MCS - LESBild 3.3:Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), ungewichtete MCS - FFSIn Bild 3.4 bis Bild 3.11 sind der analytische und simulierte Verlauf (gewichtete MCS)der Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten sowie der Ausfallwahrscheinlichkeitdargestellt.

3.5 Ergebnisdarstellung 31Bild 3.4:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 14 (t), gewichtete MCS – LESBild 3.5:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 24 (t), gewichtete MCS - LESBild 3.6:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 34 (t), gewichtete MCS - LES

32 3 MCS zur Modellierung Markovscher ProzesseBild 3.7:Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), gewichtete MCS - LESBild 3.8:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 14 (t), gewichtete MCS - FFSBild 3.9:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 24 (t), gewichtete MCS - FFS

3.5 Ergebnisdarstellung 33Bild 3.10: Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 34 (t), gewichtete MCS - FFSBild 3.11: Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), gewichtete MCS – FFS

34 3 MCS zur Modellierung Markovscher Prozesse3.6 Zusammenfassung der ErgebnisseDie Ergebnisse (Tabelle 3.2 bis Tabelle 3.6, Bild 3.2 bis Bild 3.11) zeigen, dass dieMCS geeignet ist, hochzuverlässige Markovsche Prozesse zu modellieren und zu analysieren.Jedoch sind die Möglichkeiten der ungewichteten MCS begrenzt. Anhandvon Tabelle 3.3 und Bild 3.2 sind die Nachteile der ungewichteten MCS unter Verwendungdes LES zu erkennen. So konnten für die ZustandsübergangswahrscheinlichkeitenP 24 (t B ) und P 34 (t B ) (Mehrfachfehler) keine Ergebnisse generiert und der Verlaufder Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) nur schlecht wiedergegeben werden. Lediglich dieungewichtete MCS unter Verwendung des FFS erzielte insbesondere für die Bewertungvon Einzelfehlern (häufig Common Cause Failure, CCF) zufrieden stellendeErgebnisse (siehe Tabelle 3.4 und Bild 3.3).Sehr gute Ergebnisse, speziell bei der Bewertung von Mehrfachfehlern, wurden unterVerwendung der gewichteten MCS, d.h. der Nutzung von varianzreduzierenden Verfahrenwie der FTM und der TBM, erreicht. Im direkten Vergleich zu den ungewichtetenVerfahren ist die Minimierung der Varianzen (LES: Tabelle 3.3 und Tabelle 3.5,FFS: Tabelle 3.4 und Tabelle 3.6) deutlich zu erkennen. Die Verläufe der einzelnenZustandsübergangswahrscheinlichkeiten P 14 (t B ), P 24 (t B ) und P 34 (t B ) sowie der AusfallwahrscheinlichkeitF(t) konnten mit den beiden Schätzverfahren LES und FFS sehr gutwiedergegeben werden (Bild 3.4 bis Bild 3.11).Werden die Varianzen der unterschiedlichen Schätzverfahren (gewichtete MCS,Tabelle 3.5 und Tabelle 3.6) näher betrachtet, so ist zu erkennen, dass diese unterVerwendung des FFS kleiner ausfallen als unter Verwendung des LES. Entgegengesetztfällt auf, dass die Simulationsdauer unter Verwendung des FFS steigt. UnterBerücksichtigung der Varianz und der Simulationsdauer zeigt es sich, dass der LESbesonders effizient zur Bewertung von Mehrfachfehlern und der FFS besonders effizientzur Bewertung von Einzelfehlern ist.

4 MCS zur Modellierung mehrparametrigerstochastischer ProzesseIn diesem Kapitel wird die Anwendbarkeit der MCS zur Modellierung und Analysemehrparametriger stochastischer Prozesse untersucht. Zu diesem Zweck werden dieEinflüsse der Zeit und der Temperatur auf das Ausfallverhalten eines Systems mitzwei Zuständen betrachtet.4.1 Beschreibung des Zeit- und TemperatureinflussesDas zu untersuchende System besteht aus den beiden Zuständen „System intakt“ und„System ausgefallen“. Der Zustandsübergang zwischen den Zuständen ist W(α, β)-verteilt. Die Parameter der Weibull-Verteilung sind in Tabelle 4.1 angegeben.Tabelle 4.1:Verwendete Weibull-ParameterVerteilungW(α, β)Parameter [h]α o = 5E−07β = 1,5Zudem ist das Ausfallverhalten von der anliegenden Temperatur θ abhängig. Dasgegebene W(α, β)-verteilte Ausfallverhalten ist für eine Temperatur θ o = 323 Kelvin(50 °C) ermittelt worden. In Tabelle 4.2 sind die Parameter der verwendeten Temperaturverteilungaufgeführt.Tabelle 4.2:Verwendete Parameter der Temperaturverteilung (0 Kelvin = −273,15 °C)Beschreibung Verteilung Parameter [Kelvin]Temperaturverteilung N(μ, σ 2 μ = 298)σ = 10Das temperaturabhängige Zwei-Zustandsmodell mit den Zuständen 1 „System intakt“und 2 „System ausgefallen“ ist in Bild 4.1 dargestellt.

36 4 MCS zur Modellierung mehrparametriger stochastischer ProzesseBild 4.1:Zwei-Zustandsmodell, Temperatur ist N(μ, σ 2 )-verteiltDer Einfluss der Temperatur lässt sich über das Arrhenius-Modell modellieren (AnhangA.3.6). Ausgehend von der Temperatur θ o ergibt sich bei einer eingenommenenTemperatur θ die Ausfallrate λ (t | ) zu12θλ . (4.1)β β−1β−112(t | θ)= αo⋅ B( θo,θ)⋅β⋅ t = α ⋅β⋅ tDie Aktivierungsenergie (Anhang A.3.6) sei mitEa = 0,7 eVbekannt.4.2 Analytische LösungEs sindf ( θ , t) = g( θ)⋅ f (t | θ)(4.2)die bivariate Dichtefunktion undP( Θ ≤ θ,T ≤ t) = F( θ,t) =t θ∫∫00g( ϑ)⋅ f ( τ | ϑ)dϑdτ(4.3)die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion.Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der RandverteilungP ( Θ ≤ ∞,T ≤ t) = F(t)(4.4)lautetF(t)t ∞= ∫∫00g( θ)⋅ f ( τ | θ)dθdτ(4.5)mit der Dichtefunktion∞f (t) = ∫g(θ)⋅ f (t | θ)dθ.0(4.6)

4.3 Ungewichtete MCS 37Die Temperatur [Kelvin] lässt sich über die bedingte NormalverteilungP(Θ ≤ θ | Θ > 0) (Anhang A.3.5) modellieren, mitund21 ⎛ ( θ − μ)⎞( θ | Θ > 0) = ⋅exp∀ θ∈R mit θ ≥ 0a 2⎜−2⎟(4.7)⋅σ⋅ π ⎝ σ ⎠g2a∞= ∫0σ ⋅1 ⎛ ( θ − μ)⋅ exp⎜−22π⎝ 2σ2⎞⎟ dθ. (4.8)⎠Es sei darauf hingewiesen, dass mit den gegebenen Parametern der Normalverteilungund dem Integral0∫−∞σ ⋅1 ⎛ ( θ − μ)⋅ exp22⎜−π ⎝ 2σ2⎞⎟ dθ ≈ 0⎠(4.9)die bedingte Verteilungsdichte g(θ | Θ > 0) praktisch mit der Verteilungsdichte g(θ)übereinstimmt, so dassg(θ | Θ > 0) ≈ g( θ)(4.10)gilt. Für die bedingte Dichtefunktion f(t | θ) ergibt sich (Anhang A.3.6)f (tβ β−1β β| θ ) = α ⋅ B( θ , θ)⋅β⋅ t ⋅exp(−α ⋅ B( θ , θ)⋅ t ) . (4.11)oooo4.3 Ungewichtete MCSDie Simulation des Systems erfolgt in zwei Schritten. Nach Kapitel 2.2.2 lassen sichdie Zufallszahlen einer bivariaten Verteilung mit der Verteilungsdichte f(θ, t) sukzessiverzeugen. Zunächst wird die Temperatur gemäß2Θ ~ N( μ,σ ) generiert. (4.12)Anschließend lässt sich die Ausfallzeit zuT ~ F(t | θ )(4.13)bestimmen.4.3.1 TemperaturermittlungEine N(μ, σ 2 )-verteilte Zufallsgröße lässt sich mit unterschiedlichen Verfahren ermitteln.Eine gängige Methode, mit der sich die Gleichungξ = G ( θ | Θ > 0)(4.14)

38 4 MCS zur Modellierung mehrparametriger stochastischer Prozessenach θ auflösen lässt, ist z.B. die Verwerfungsmethode [Gen98], [VDI99].4.3.2 Ermittlung der AusfallzeitDie Ausfallzeit wird anschließend mittels Inversionsmethode überξ = F(t| θ)zu (4.15)1β⎛ − ln(1 − ξ)β ⎟ ⎞t = ⎜(4.16)⎝ αo ⋅ B( θo, θ)⎠bestimmt.4.3.3 Last-Event-SchätzerDie Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ) = P 12 (t B ) erfolgt unter Anwendungdes LES. Somit wird bei n erfolgten Simulationsläufen die in der Betriebsdauer t Bbeobachtete Anzahl der Ereignisse (Zustandsübergang 1 → 2) gewertet. Im Falle derungewichteten MCS berechnet sich der Schätzer zu1Fˆ (tmit (4.17)F(i)n(i)B) = ⋅∑F(tB)n i=1(tB) ∈ {0,1} . (4.18)Mit der unter Gleichung (4.5) ermittelten Lösung berechnet sich die Varianz gemäßGleichung (A.3.2) zus2n1= ⋅∑(Fni=1(i)(tB) − F(tB))2. (4.19)4.4 Gewichtete MCSUm die Effizienz der Simulation zu steigern gilt es, die Anzahl von Ereignissen innerhalbder Betriebsdauer t B zu erhöhen (Kapitel 2.4).Zunächst wird die Temperatur entsprechend2Θ ~ N( μ,σ ) und (4.20)anschließend die Ausfallzeit gemäßT ~ P(T ≤ t | θ,T ≤ tB)= F(t | θ,tB)(4.21)generiert.

4.5 Ergebnisdarstellung 394.4.1 Ermittlung der AusfallzeitDie Ausfallzeit wird unter Verwendung der Inversionsmethode überF(t | θ)ξ = F(t | θ,tB)= zu (4.22)F(t | θ)Bβ β⎛ − ln(1 − ξ⋅(1− exp( −α⎞⎜o⋅ B( θo, θ)⋅ tB)))t =⎟(4.23)β⎝αo⋅ B( θo,θ)⎠bestimmt.Das erzeugte Ereignis (Eintritt in den Zustand 2 zum Zeitpunkt 0 < t ≤ t B ) wird nungemäß der FTM gewichtet:w = = . (4.24)12(t) F(tB| θ)u121β4.4.2 Last-Event-SchätzerNachdem der absorbierende Zustand 2 zum Zeitpunkt 0 < t ≤ t B eingenommen wurde,lässt sich die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ) = P 12 (t B ) mit dem LES bestimmen. ImFalle gewichteter Stichproben berechnet sich der Mittelwert der n Gewichtungen zu1Fˆ (t. (4.25)n(i)B)= ⋅∑u 12n i=1Die zugehörige Varianz berechnet sich nach Gleichung (A.3.2) zus1n2(i)2= ⋅∑(u12−F(tB)). (4.26)n i=14.5 Ergebnisdarstellung4.5.1 TemperaturabhängigkeitZunächst erfolgt eine Untersuchung des Temperatureinflusses unter Beachtung desverwendeten Arrhenius-Modells. In Bild 4.2 ist der Verlauf des Beschleunigungsfaktorsin Abhängigkeit von der Temperatur θ dargestellt. Es zeigt sich, dass der Beschleunigungsfaktormit steigender Temperatur ansteigt. Für den Fall θ ≤ θ o ist derBeschleunigungsfaktor 0 < B(θ o , θ) ≤ 1 (siehe Gleichung (A.3.51)).

40 4 MCS zur Modellierung mehrparametriger stochastischer ProzesseBild 4.2:Beschleunigungsfaktor in Abhängigkeit von der Temperatur θIn Bild 4.3 ist der Einfluss des Beschleunigungsfaktors in Abhängigkeit von der Temperaturθ und dem Weibull-Parameter β dargestellt. Es ist zu erkennen, dass der BeschleunigungsfaktorB(θ o , θ) β mit zunehmender Temperatur θ oder zunehmendemWeibull-Parameter β ansteigt.Bild 4.3:Beschleunigungsfaktor in Abhängigkeit von der Temperatur θ und demWeibull-Parameter βDer Verlauf des Weibull-Parametersβα = α o⋅B(θ o, θ)(4.27)in Abhängigkeit von der Temperatur θ und dem Weibull-Parameter β ist in Bild 4.4dargestellt. Da der Weibull-Parameter α von dem Beschleunigungsfaktor B(θ o , θ) β(Gleichung (4.27)) abhängt, sind die in Bild 4.3 und Bild 4.4 dargestellten Verläufequalitativ gesehen identisch.

4.5 Ergebnisdarstellung 41Bild 4.4:Weibull-Parameter α in Abhängigkeit von der Temperatur θ und demWeibull-Parameter βIn Bild 4.5 und Bild 4.6 sind die Dichte- und Wahrscheinlichkeitsfunktion f(θ, t) undF(θ, t) in Abhängigkeit der Zeit t und der Temperatur θ dargestellt. Anhand der Dichtefunktionf(θ, t) lässt sich der N(μ, σ 2 )-verteilte Temperatureinfluss erkennen. DieWahrscheinlichkeitsfunktion F(θ, t) steigt mit steigender Temperatur θ zunehmend an.Bild 4.5: Dichtefunktion f(θ, t)

42 4 MCS zur Modellierung mehrparametriger stochastischer ProzesseBild 4.6: Wahrscheinlichkeitsfunktion F(θ, t)4.5.2 AusfallverhaltenDie Analyse des Systems erfolgt für eine Betriebsdauer von t B = 300 Stunden. DasSystem sei zu Beginn der Betrachtung im Zustand 1 (P 1 (0) = 1). Die Ergebnisse derSystemanalyse, d.h. die jeweils ermittelte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) = P 12 (t),(analytisch, ungewichtete und gewichtete MCS mit LES) sind in der Tabelle 4.3 aufgeführt.Tabelle 4.3:Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)Methode Läufe Zeit [s] Mittelwert Varianzanalytisch −−−−− −−−−− 2,521E−04 −−−−−ungewichtet - LES 1,0E+06 26,14 2,280E−04 2,279E−04FTM - LES 1,0E+06 138,42 2,519E−04 2,191E−07Bild 4.7 zeigt den analytischen und simulierten Verlauf der AusfallwahrscheinlichkeitF(t) unter Verwendung der ungewichteten MCS und des LES.

4.5 Ergebnisdarstellung 43Bild 4.7:Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), ungewichtete MCS - LESBild 4.8 zeigt den analytischen und simulierten Verlauf der WahrscheinlichkeitsfunktionF(t) unter Verwendung der FTM und des LES.Bild 4.8:Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), gewichtete MCS – LES

44 4 MCS zur Modellierung mehrparametriger stochastischer Prozesse4.6 Zusammenfassung der ErgebnisseDie Ergebnisse (Tabelle 4.3, Bild 4.7 bis Bild 4.8) zeigen, dass die MCS geeignet ist,mehrparametrige stochastische Prozesse zu modellieren und zu analysieren. Betrachtetwurden die Einflüsse der Zeit und der Temperatur auf das Ausfallverhalten eines Systemsmit zwei Zuständen.Anhand der temperaturabhängigen Funktionsverläufe (Bild 4.2 bis Bild 4.6) ist derEinfluss der Temperatur auf das Ausfallverhalten des Systems deutlich zu erkennen.Wie zu erwarten steigt das Ausfallverhalten mit zunehmender Temperatur an (sieheBild 4.6).Aufgrund der schlechten Konvergenz der ungewichteten MCS bei der Bewertungseltener Ereignisse konnte der Verlauf von F(t) (Bild 4.7) unter Verwendung des LESlediglich tendenziell wiedergegeben werden.Werden die Analysen auf Basis der gewichteten MCS (LES) durchgeführt, so stimmendie Ergebnisse sehr gut mit den analytischen Lösungen überein. Zusätzlich ist, beiBetrachtung der Varianzen (Tabelle 4.3), der Effekt der Varianzreduktion der gewichtetenMCS gegenüber der ungewichteten MCS deutlich zu erkennen.

5 MCS zur Modellierung Nicht-Markovscher ProzesseIm Folgenden wird ein Nicht-Markov-System mit drei Zuständen und einem Regenerationspunktuntersucht. Es wird geprüft, inwieweit die MCS ein geeignetes Verfahrenist, mit dem Zeitabhängigkeiten, Semi-Markov- [Fah81], [Bir97] regenerative undnicht-regenerative Eigenschaften [Kne89] berücksichtigt werden können. Zusätzlichsind die Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten des Systems sehr klein, so dass die inKapitel 2.4 beschriebenen varianzreduzierenden Verfahren angewendet werden.5.1 Beschreibung des Nicht-Markovschen Zustandsmodells undder AbhängigkeitenDas System besteht aus drei Zuständen. Zustand 1 ist der intakte Zustand und Zustand2 ist ein degradierter Systemzustand. Je nach eingenommenem Systemzustand 1 oder 2besteht die Möglichkeit, in den absorbierenden Fehlerzustand 3 zu gelangen. Daszugehörige Zustandsmodell ist in Bild 5.1 dargestellt.Bild 5.1:Nicht-Markov-System mit drei Zuständen und einem Regenerationspunkt

46 5 MCS zur Modellierung Nicht-Markovscher ProzesseDie Reparatur ist W(α, β)-verteilt und beginnt mit Eintritt in den Zustand 2 zum Zeitpunktt GR. Die Reparaturdauer lässt sich somit mit der Semi-Markov-Eigenschaftcharakterisieren. Nach der erfolgten Reparatur (Eintritt in den Zustand 1 zum Zeitpunktt GL) ist das System so gut wie neu (GAN). Der Zustand 1 entspricht somit bzgl.des Systemalters einem Regenerationszustand.Nachdem die Analyse zunächst ungewichtet erfolgt, werden in einem weiteren Schrittdie FTM und TBM zur Varianzreduktion angewendet. In beiden Fällen erfolgt dieAnalyse mit Hilfe des LES und des FFS.Die Parameter der Zustandsübergänge mit den gegebenen Abhängigkeiten des inBild 5.1 dargestellten Modells werden in Tabelle 5.1 beschrieben.Tabelle 5.1:Verwendete Parameter der Zustandsübergänge mit gegebenen AbhängigkeitenZustandsübergänge Beschreibung Verteilung Parameter [h] Abhängigkeitλ 12 (t) Fehler W(α, β)α = 9,9E−06β = 0,5t′, t′mit t′GL= tλ 13 (t) Fehler W(α, β)α = 5E−08β = 0,5t′, t′mit t′GL= tμ 21 (t) Reparatur W(α, β)α = 2t′, t′mit t′GR= tβ = 0,7λ 23 (t) Fehler W(α, β)α = 5E−06t′, t′mit t′GL≠ tβ = 0,5GL′GL′GR′GL′5.2 Analytische LösungDa das System als Nicht-Markov-Modell nun nicht mehr über Differentialgleichungengeschlossen lösbar ist, wird eine approximative analytische Lösung ermittelt.Aufgrund der Tatsache, dass die Zustandsübergangs- bzw. Fehlerwahrscheinlichkeitrelativ klein ist mittB= ∫ ∫ ∫BB11P12(tB)ψ2( τ)dτ = q12( τ)dτ = λ12( τ)⋅ R1(τ)dτ = 1,715E−04 (5.1)0t0t0wird das Ausfallverhalten maßgeblich über den Zustandsübergang 1 → 3 beeinflusst.Es lässt sich somit eine approximative Lösung basierend auf Transportgleichungen(Kapitel 2.1) [Dub00] ermitteln mitP 1(0) = 1 und (5.2)0ψ 0) = P (0) ⋅δ(t)= (t) . (5.3)1(1δ

5.2 Analytische Lösung 47Die Ermittlung der Zustandswahrscheinlichkeit P 3 (t B ), basierend auf einem bis vierZustandsübergängen, ist in den folgenden Gleichungen dargestellt.Die Transportgleichung für einen Fehler nach genau einem Zustandsübergang ist gegebendurcht10ψ3 ( t) = ∫ ψ (t′1) ⋅q13(t| t′) dt′= q13(t)mit (5.4)0q13⋅13(t) = λ13(t)⋅ R12(t) R (t) . (5.5)Die Transportgleichung für einen Fehler nach genau zwei Zustandsübergängen entsprichtψtt23t001∫ ψ ′ ⋅ ′ ′ = ∫′ ⋅ ′ ′2(t) q23(t| t ) dt q12(t ) q23(t| t ) d( t) =mit (5.6)(t′)= λ (t′12) ⋅R12(t′)⋅ R (t ) und (5.7)q ′1213q23R23(t)(t | t′ ) = λ23(t)⋅R21(t− t′) ⋅ .R (t′(5.8))23Die Transportgleichung für einen Fehler nach genau drei Zustandsübergängen lautett∫0tt∫∫32ψ3 (t) = ψ (t′1) ⋅q(t | t′) dt′13= q (t′′12) ⋅q21(t′| t′′) ⋅q13(t| t′) dt′′dt′mit (5.9)q21t′′0R (t′23)(t′ | t′′) = μ (t′21− t′′) ⋅ R21(t′− t′′) ⋅ undR (t′′(5.10))23(t | t′ ) = λ13(t− t′) ⋅ R12(t − t′) ⋅ R (t − t ) . (5.11)q ′1313Die Transportgleichung für einen Fehler nach genau vier Zustandsübergängen istgegeben durchψ (t) =q4323=t3∫ψ20t t t∫∫∫t′ ′ t′′′ 0(t′)⋅ qq1223(t′′′)⋅ q(t | t′) dt′21(t′′| t′′′) ⋅ q12(t′| t′′) ⋅ q23(t | t′′, t′) dt′′′dt′′dt′mit(5.12)R23(t− t′′)(t | t′ ,t′)= λ23(t− t′′) ⋅ R21(t− t′) ⋅ .R (t′− t′′(5.13))23Die Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten P 13 (t) und P 23 (t) berechnen sich in Näherungzu

48 5 MCS zur Modellierung Nicht-Markovscher Prozesset∫1 3P13(t)≈ ( ψ3(τ)+ ψ3(τ))dτund (5.14)0t∫2 4P23(t)≈ ( ψ3(τ)+ ψ3(τ))dτ. (5.15)0Für die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) = P 3 (t) gilt anschließendF23(t) = P13 (t) + P (t) . (5.16)5.3 Ungewichtete MCSDas System wird zunächst herkömmlich, d.h. unter Verwendung der ungewichtetenMCS mit dem LES und dem FFS untersucht.Der Systemtransport (Kapitel 2.1) erfolgt auf Basis generierter Zufallszeiten und Zustandsänderungen.Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der Betriebsdauer t B in den absorbierendenZustand 3 zu gelangen, kann mit dem LES und dem FFS (Kapitel 2.3)ermittelt werden.5.3.1 Last-Event-SchätzerBei der Schätzung über den LES wird bei n erfolgten Simulationsläufen die in derBetriebsdauer t B beobachtete Anzahl von Ereignissen (z.B. Zustandsübergang 2 → 3)gewertet. Im Falle der ungewichteten MCS berechnen sich die Schätzer für P 23 (t B )bzw. F(t B ) zu1Pˆ und (5.17)n(i)23(tB)= ⋅∑P23(tB)n i=111Fˆ (tmit (5.18)nn(i)(i)(i)B) = ⋅∑(P13(tB)+ P23(tB))= ⋅∑F(tB)n i=1n i=1(i) (i)(i)P13 (tB), P23(tB) und F (tB) ∈ {0,1} . (5.19)Mit den ermittelten Lösungen (Gleichung (5.14) bis Gleichung (5.16)) berechnen sichdie Varianzen gemäß Gleichung (A.3.2) zuss22n1= ⋅∑(Pni=1n1= ⋅∑(Fni=1(i)23(i)(t(tBB) − P23) − F(t(tBB))))22und (5.20). (5.21)

5.4 Gewichtete MCS 495.3.2 Free-Flight-SchätzerWird z.B. der Zustand 2 erreicht, so ist es möglich, die Auftretenswahrscheinlichkeitdes Zustandsüberganges 2 → 3 zu berechnen. Unter Berücksichtigung, dass der Zustand2 zum Zeitpunkt t′ mit dem Alter t ′ − t′GLeingenommen wurde, berechnet sichdie Wahrscheinlichkeit zutB t BP ′ ′ = ∫ τ ′ ′ τ = ∫ λ τ − ′ ⋅ τ ′ ′23(tB| tGL, t ) q23(| tGL,t ) d23(tGL) R2( | tGL,t ) dτmit (5.22)R2t′t′R23(τ − t′GL)( τ | t′, t′GL) = R21(τ − t′) ⋅.R (t′− t′(5.23))23GLInnerhalb des i-ten Laufes kann der Zustand 2 m-mal eingenommen werden. Die(i)Wahrscheinlichkeit P (t ) berechnet sich dann zu(i)(i) (m)P23(tB) = ∑P23(tB| tGL, tm) .m23Die Schätzer von P 23 (t B ) bzw. F(t B ) entsprechenn(i)23(tB)= ⋅∑P23(tB)n i=1B(5.24)1Pˆ und (5.25)11Fˆ (t. (5.26)nn(i)(i)(i)B) = ⋅∑(P13(tB)+ P23(tB))= ⋅∑F(tB)n i=1n i=1Die zugehörigen Varianzen lauten nach Gleichung (A.3.2)ss22n1= ⋅∑(Pni=1n1= ⋅∑(Fni=1(i)23(i)(t(tBB) − P23) − F(t(tBB))))22und (5.27). (5.28)5.4 Gewichtete MCSIn einem weiteren Schritt erfolgt die Analyse unter Verwendung der gewichtetenMCS, d.h. der varianzreduzierenden Verfahren FTM und TBM sowie der jeweiligenSchätzverfahren LES und FFS. Das Vorgehen wird nachfolgend anhand des Zustandes2 beispielhaft beschrieben. Das System sei zum Zeitpunkt t′ im Zustand 1.Mit den Parametern der Zustandsübergänge (Tabelle 5.1) wird ersichtlich, dass einZustandsübergang in den Zustand 2 ein seltenes Ereignis und ein weiterer Zustandsübergangin den Zustand 3 sehr unwahrscheinlich ist. Für den Fall, dass insbesondere

50 5 MCS zur Modellierung Nicht-Markovscher Prozesseder Zustandsübergang 2 → 3 Gegenstand der Untersuchung ist, muss der Zustandsübergangin den Zustand 2 zunächst zeitlich forciert und hinsichtlich des Eintrittes vonZustand 2 begünstigt werden. Dasselbe Verfahren wird anschließend auf den Eintrittdes Zustandsüberganges 2 → 3 innerhalb der Betriebsdauer t B angewendet. Dies istmit einer Kombination der FTM und der TBM möglich (Kapitel 2.4).Der Zeitpunkt t eines Zustandsüberganges, der vor dem Erreichen der Betriebsdauer t Beintritt, wird überF1(t− t′)ξ = P1(T≤ t − t′| T ≤ tB− t′) = F1(t| t′, tB)=F (t − t′)(5.29)ermittelt.Der Zustand, der zum Zeitpunkt t mit dem Alter t − t′eingenommen wird, kann nunmit der TBM bezüglich des Eintrittes von Zustand 2 begünstigt werden:k−1j≠1k~~1 j(t− t′) ≤ ξ < γ1j(t − t′) mit (5.30)∑ γ ∑j≠1~12 γ (t − t′) = 1 und ~13 γ (t − t′) = 0 .Das erzeugte Ereignis (Eintritt in den Zustand 2 zum Zeitpunkt t´ < t ≤ t B ) wird anschließendgemäß der FTM und der TBM gewichtet:n n−1γ12(t − t′)w2(t) = w (t′1) ⋅ F1(tB− t′) ⋅ ~ = u12(t) .γ (t − t′(5.31))12Nach Einnahme des Zustandes 2 zum Zeitpunkt t´ < t ≤ t B mit dem Alter t − t′, lässtsich die Auftretenswahrscheinlichkeit des Zustandsüberganges 2 → 3 mit dem LESund dem FFS schätzen.5.4.1 Last-Event-SchätzerZunächst wird der Zustandsübergang 2 → 3 analog obiger Vorgehensweise ermittelt.Nachdem der absorbierende Zustand 3 zum Zeitpunkt t ≤ t B eingenommen wurde, wirddie Auftretenswahrscheinlichkeit des Zustandsüberganges 2 → 3 mit dem LES ermittelt.Im Falle gewichteter Stichproben wird der Mittelwert der n Gewichtungen berechnet.Die Schätzer für P 23 (t B ) bzw. F(t B ) lauten1Pˆ und (5.32)n(i)23(tB)= ⋅∑u23n i=11B

5.4 Gewichtete MCS 5111 (i)Fˆ (tB)= ⋅u3.nnn(i) (i)∑(u13+ u23) = ⋅∑i= 1n i= 1(5.33)Die zugehörigen Varianzen berechnen sich nach Gleichung (A.3.2) zus1n2(i)2= ⋅∑(u23−P23(tB)) und (5.34)n i=11s ∑ −n2( i)2= ⋅ (u3F(tB)) .n i=15.4.2 Free-Flight-Schätzer(5.35)Unter Berücksichtigung, dass der Zustand 2 zum Zeitpunkt t′ mit dem Alter t ′ − t′GLn−1und der Gewichtung w (t′2) = u (t′2) eingenommen wurde , berechnet sich die Zustandsübergangswahrscheinlichkeitt | t′, t ) zuP*23(tBP * 23( ′B GL| t′ , t′GL) = P (t | t′, t′GL) ⋅ u2(t′23 B) = ∫ q( τ | t′, t′) dτ⋅u(t′).(5.36)Innerhalb des i-ten Laufes kann der Zustand 2 m-mal eingenommen werden. DieWahrscheinlichkeit P i)(t ) berechnet sich dann zu∑( 23 B(i)*(i) (m)(i) (m) (i)P23 (tB) = P23(tB| tGL, tm) = P23(tB| tGL, tm) ⋅ u2(tm) .m∑Die Schätzer von P 23 (t B ) bzw. F(t B ) lautenn(i)23(tB)= ⋅∑P23(tB)n i=1mtBt′23GL2(5.37)1Pˆ und (5.38)nn1 ( i)(i) 1 (i)B) = ⋅∑(P13(tB)+ P23(tB))= ⋅∑F(tB)n i=1n i=1F ˆ(t. (5.39)Die zugehörigen Varianzen lauten nach Gleichung (A.3.2)ss2n1= ⋅∑(Pn1i=1(i)23(tB) − P23(tB))2und (5.40)n2(i)2= ⋅∑ (F (tB)− F(tB)). (5.41)n i=1

52 5 MCS zur Modellierung Nicht-Markovscher Prozesse5.5 ErgebnisdarstellungDie Analyse des Systems erfolgt für eine Betriebsdauer von t B = 300 Stunden. DasSystem sei zu Beginn der Betrachtung im Zustand 1 (P 1 (0) = 1). Die Ergebnisse derSystemanalyse (anal ytisch, ungewichtete und gewichtete MCS mit LES und FFS) sindin Tabelle 5.2 bis Tabelle 5.6 aufgeführt.Tabelle 5.2: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), approximativ - analytische LösungZustandsübergänge analytischP 13 (t B )8,661E−07P 23 (t B )4,730E−11F(t B )8,661E−07Tabelle 5.3: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), ung ewichtete MCS – LESZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 13 (t B ) 1,0E+05 −−−−− −−−−− −−−−−P 23 (t B ) 1,0E+05 −−−−− −−−−− −−−−−F(t B ) 1,0E+05 94,67 −−−−− −−−−−Tabelle 5.4: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), ung ewichtete MCS – FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 13 (t B ) 1,0E+05 −−−−− 8,661E−07 1,039E−16P 23 (t B ) 1,0E+05 −−−−− 5,527E−11 2,743E−17F(t B ) 1,0E+05 251,28 8,662E−07 2 ,195E−16Tabelle 5.5: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), gewichtete MCS – LESZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 13 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 8,650E−07 8,249E−15P 23 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 4,785E−11 4,980E−21F(t B ) 1,0E+04 10,63 8,650E−07 8,248E−15

5.5 Ergebnisdarstellung 53Tabelle 5.6: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), gewichtete MCS – FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 13 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 8,661E−07 1,119E−21P 23 (t B ) 1,0E+04 −−−−− 4,727E−11 4,251E−21F(t B ) 1,0E+04 548,44 8,661E−07 5,421E−21Das Bild 5.2 stellt den analytischen und simulierten Verlauf (ungewichtete MCS) derAusfallwahrscheinlichkeit dar.Bild 5.2:Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), ungewichtete MCS - FFSIn Bild 5.3 bis Bild 5.8 sind der analytische und der simulierte Verlauf (gewichteteMCS) der Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten sowie der Ausfallwahrscheinlichkeitdargestellt.Bild 5.3:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 13 (t), gewichtete MCS - LES

54 5 MCS zur Modellierung Nicht-Markovscher ProzesseBild 5.4:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 23 (t), gewichtete MCS - LESBild 5.5:Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), gewichtete MCS - LESBild 5.6:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 13 (t), gewichtete MCS - FFS

5.5 Ergebnisdarstellung 55Bild 5.7:Analytische und simulierte Wahrscheinlichkeit P 23 (t), gewichtete MCS - FFSBild 5.8:Analytische und simulierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), gewichtete MCS – FFS

56 5 MCS zur Modellierung Nicht-Markovscher Prozesse5.6 Zusammenfassung der ErgebnisseDie Ergebnisse (Tabelle 5.2 bis Tabelle 5.6, Bild 5.2 bis Bild 5.8) zeigen, dass dieMCS geeignet ist, Systeme mit Zeitabhängigkeiten, Semi-Markov-, regenerativen undnicht-regenerativen Eigenschaften zu modellieren und zu analysieren. Zusätzlich ist zuerkennen, dass Verfahren der Varianzreduktion (gewichtete MCS) auch bei komplexenFragestellungen angewendet werden können.Unter Berücksichtigung von Tabelle 5.3 zeigt es sich, dass unter Verwendung derungewichteten MCS (LES) keine brauchbaren Ergebnisse generiert werden konnten.Lediglich die ungewichtete MCS, unter Verwendung des FFS, erzielte für die Bewertungvon Einzelfehlern zufrieden stellende Ergebnisse (siehe Tabelle 5.4 und Bild 5.2).Zur Bewertung von Mehrfachfehlern bedarf es der Verwendung der gewichteten MCS,d.h. der Nutzung von varianzreduzierenden Verfahren wie der FTM und der TBM.Werden diese Verfahren angewandt, so stimmen die Ergebnisse sehr gut mit den analytischenLösungen überein (siehe Tabelle 5.5 bis Tabelle 5.6 und Bild 5.3 bis Bild5.8). Im Vergleich zu den ungewichteten Verfahren ist die Minimierung der Varianzen(LES: Tabelle 5.3 und Tabelle 5.5, FFS: Tabelle 5.4 und Tabelle 5.6) deutlich zu erkennen.Unter Berücksichtigung der Varianzen (gewichtete MCS, Tabelle 5.5 und Tabelle 5.6)fällt auf, dass die Varianzen unter Verwendung des FFS allgemein kleiner sind alsunter Verwendung des LES. Gleichzeitig ist ein Anstieg der Simulationsdauer unterVerwendung des FFS zu erkennen. Es zeigt sich, dass der LES besonders effizient zurBewertung von Mehrfachfehlern und der FFS besonders effizient zur Bewertung vonEinzelfehlern ist.

6 Gesamtbewertung der ErgebnisseAnhand der Untersuchungen in Kapitel 3 wurde gezeigt, dass die MCS unter Verwendungvarianzreduzierender Verfahren geeignet ist, hochzuverlässige Markov-Prozessezu modellieren und zu analysieren.Die Modellierung und Analyse mehrparametriger stochastischer Prozesse (Kapitel 4)wurde am Beispiel eines Systems mit zwei Zuständen unter Berücksichtigung desTemperatureinflusses durchgeführt. Die MCS ist demnach geeignet, stochastischeProzesse der Zuverlässigkeitstheorie, die durch mehrere Zufallsgrößen gekennzeichnetsind, zu modellieren und zu analysieren. Zusätzlich wurden varianzreduzierende Verfahrenerfolgreich integriert.Aufgrund der Untersuchungen zur Modellierung Nicht-Markovscher Prozesse (Kapitel5) wurde gezeigt, dass unter Verwendung der MCS komplexe Einflüsse wie Zeitabhängigkeiten,Semi-Markov-, regenerative und nicht-regenerative Eigenschaften berücksichtigtund zusätzlich Zustandsübergänge mit sehr kleinen Zustandsübergangswahrscheinlichkeitenmodelliert werden können.Unter Beachtung der Varianz und der Simulationsdauer konnte gezeigt werden, dassder LES in Kombination mit der gewichteten MCS besonders effizient zur Bewertungvon Mehrfachfehlern ist. Der FFS lässt sich in Kombination mit der ungewichteten alsauch mit der gewichteten MCS besonders effizient zur Bewertung von Einzelfehlernverwenden. Diese Beobachtung konnte aufgrund weiterer Untersuchungen bestätigtwerden [Hau06].Aus den Untersuchungen und den erzielten Ergebnissen der Kapitel 3 bis Kapitel 5lässt sich folgern, dass die MCS dazu geeignet ist, hochzuverlässige mehrparametrigeSysteme mit unterschiedlichsten stochastischen Eigenschaften zu modellieren und zuanalysieren. Die in den Grundlagen (Kapitel 2, Anhang A.3.6 und Anhang A.3.7)dargestellten und in Kapitel 3 bis Kapitel 5 angewendeten und verifizierten Verfahrenwerden im Folgenden auf eine Systemanalyse unter realen Bedingungen übertragen.

7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unterbesonderer Berücksichtigung dynamischerSystemänderungenDie folgenden Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalysen erfolgen unter Berücksichtigungvon realen Bedingungen wie stochastischen Abhängigkeiten sowie systematischenund dynamischen Systemänderungen. Gegenstand der Untersuchungen ist ein 2-Kanal-Rechnersystem. Jeder Kanal übernimmt die Funktionen der Signalaufbereitung,-konditionierung und -prüfung, die Ausgabe des generierten Signals erfolgt übereinen der beiden Kanäle.Eine wesentliche Einflussgröße auf das Ausfallverhalten elektronischer Systeme ist dieTemperatur [NEC98]. Diese ist abhängig von dem gewählten Einbauort, der Einbaulageund dem Einsatzort des Systems. Der Temperatureinfluss führt dabei in der Regelzu einer wachsenden Schädigung, d.h. einer dynamischen Systemänderung und Schadensakkumulation(Kapitel 2.1.4 und Anhang A.3.7). Im Folgenden werden die Sicherheits-und Zuverlässigkeitsanalysen unter besonderer Berücksichtigung unterschiedlicherTemperaturbelastungen durchgeführt.Basierend auf den Ergebnissen der durchgeführten Systemsimulationen wird anschließendein temperaturabhängiges Prognosemodell entwickelt, mit dem die Sicherheitund Zuverlässigkeit für eine geänderte Temperaturbelastung prognostiziert werden.7.1 Beschreibung des 2-Kanal-RechnersystemsDas in Bild 7.1 dargestellte 2v2-System besteht aus zwei parallelen Kanälen mit jeeinem Mikrocontroller (μC).Bild 7.1:Blockschaltbild eines 2v2-Systems mit zwei Mikrocontrollern

7.1 Beschreibung des 2-Kanal-Rechnersystems 59Jeder μC erfasst die eingehenden Signale und generiert ein entsprechendes Ausgangssignal.Die Funktion des 2v2-Ausgangsvergleichers ist auf beiden Mikrocontrollernumgesetzt, die Prüfung des Ausgangssignals erfolgt somit kreuzweise. Systeme dieserArt werden insbesondere bei sicherheitskritischen Anwendungen, wie dem Antiblockiersystem(ABS), dem Elektronischen Stabilitätsprogramm (ESP) oder modernenLenksystemen wie der Aktivlenkung (AFS) [Eck02], eingesetzt. Die Funktionalität desSystems ist im Funktions- und Signalflussplan (Bild 7.2) dargestellt.Bild 7.2:Funktions- und Signalflussplan des 2v2-SystemsDas Systemverhalten lässt sich mit Systemzuständen und Zustandsübergängen in Formeines Zustandsmodells darstellen. Bild 7.3 zeigt ein vereinfachtes Zustandsmodell.Die Simulation des Systems wird in einen Fahrtzyklus eingebettet, der im Wesentlichenaus den Zuständen Zündung „AN“ und Zündung „AUS“ besteht. Während dasFahrzeug in Betrieb ist, können infolge temporärer oder permanenter Fehler unterschiedlicheFehlerzustände eingenommen werden. Tritt ein temporärer Fehler auf, sowechselt das System in den degradierten Systemzustand „Temporärer Fehler“. Einsolcher Fehler kann durch einen Neustart des Systems behoben werden. Infolge desNeustarts erfolgt keine Systemerneuerung, das System ist demnach bei der Wiederherstellungso gut oder schlecht wie zuvor (BAO). Im Falle eines permanenten Fehlerswechselt das System in den Systemzustand „Permanenter Fehler“ und ein Austauschder Hardware „Reparatur“ wird notwendig. Nach erfolgter Reparatur ist das Systemvollständig erneuert (GAN). Ein gefährlicher Systemzustand „Gefährlicher Fehler“wird erreicht, wenn ein fehlerhaftes Signal ausgegeben wird. Dies ist infolge einesFehlers aufgrund gemeinsamer Ursache (CCF) oder einer Fehlerkette möglich. Ist dasSystem nicht in Betrieb (Zustand „AUS“), so altert das System nicht.

60 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...Bild 7.3:Vereinfachtes Zustandsmodell des 2v2-SystemsEine detaillierte Systemdarstellung kann über die Definition eines Zustandsvektors z ierfolgen. Der Zustandsvektor beschreibt die einzelnen Situations- und Komponentenzuständeund fasst diese zu einem Systemzustand zi(siehe Tabelle 7.1) zusammen.Der Zustandsvektor z i ist gegeben durchzi = {ZF,iZAi,ZBi}. (7.1)Der Fahrtzustand ZF kann die Zustände 0 „Aus“ oder 1 „An“ annehmen. Jeder μC-Zustand {ZA, ZB) kann die Zustände 0 „intakt“, 1 „temporärer Fehler“ oder 2 „permanenterFehler“ annehmen. Alle definierten Systemzustände und Zustandsübergängekönnen der Tabelle 7.1 entnommen werden. Jede i-te Zeile enthält darin die Zustände,von denen aus der Zustand i erreichbar ist. Die letzte Spalte entspricht der Summealler Zustandseingänge (∑ E.). Zustände, die vom Zustand k aus erreicht werden können,sind in jeder k-ten Spalte eingetragen. Die Summe aller Zustandsausgänge (∑ A.)kann der letzten Zeile entnommen werden.Im Rahmen der Sicherheitsbewertung werden im Folgenden die Zustände untersucht,von denen eine Gefährdung ausgeht. Dies ist bei den Zuständen der Fall, die einen

7.1 Beschreibung des 2-Kanal-Rechnersystems 61Fehler beider Mikrocontroller beschreiben: {8, 9, 11, 12}. Die Zustände 8, 9, 11 und12 sind demnach bei der Sicherheitsbewertung als absorbierend zu betrachten (Summeder Zustandsausgänge ist gleich null, siehe Tabelle 7.1).Tabelle 7.1:Zustandsmatrix mit summierten Eingängen und Ausgängen je Zustandz i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12z i z i 0 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 2 Σ E.1 0 0 0 −−− 1 1 1 32 0 0 2 −−− 1 13 0 2 0 −−− 1 14 1 0 0 1 1 1 −−− 35 1 0 1 1 −−− 16 1 0 2 1 1 −−− 27 1 1 0 1 −−− 18 1 1 1 1 1 1 −−− 39 1 1 2 1 1 −−− 210 1 2 0 1 1 −−− 211 1 2 1 1 1 −−− 212 1 2 2 1 1 1 1 1 −−− 5Σ A. 1 1 1 7 5 3 5 0 0 3 0 0Eine Vereinfachung der in Tabelle 7.1 gegebenen Zustandsmatrix ist unter Verwendungvon Äquivalenzklassen [Kos79], [Bei97] oder Transportgleichungen [Dub00]möglich. Das in Bild 7.3 dargestellte Zustandsdiagramm stellt ein reduziertes undvereinfachtes Modell mit 6 Zuständen dar.Zusätzlich zu den Sicherheitsbetrachtungen werden Zuverlässigkeitsbewertungendurchgeführt. Hierbei werden die Zustände betrachtet, die zu einem dauerhaften, d.h.permanenten Fehler führen: {6, 9, 10, 11, 12}. Es ist zu beachten, dass die Zustände 6und 10 (permanenter Fehler eines Mikrocontrollers), im Gegensatz zu Tabelle 7.1, beieiner durchgeführten Zuverlässigkeitsbewertung absorbierende Zustände darstellen.Die verwendeten Größen, d.h. die Parameter, die das Ausfall- und Reparaturverhalten,die Standzeit und die Fahrtdauer kennzeichnen, wurden auf Basis von Erfahrungswertenbzw. praxisnahen Schätzungen bestimmt. Die verwendeten Parameter, die dieZustandsübergänge der Zustandsmatrix (Tabelle 7.1) beschreiben, sind in Tabelle 7.2angegeben.Anhand der Parameter der Zustandsübergänge (Tabelle 7.2) wird deutlich, dass unterschiedlicheArten von Systemabhängigkeiten berücksichtigt werden. Fehler sind im

62 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...betrachteten System temperaturabhängig, zusätzlich spielt das Alter, gekennzeichnetdurch den Zeitpunkt der Systemerneuerung t GL , eine Rolle. Die Restdauer einer Fahrtist zudem abhängig vom Zeitpunkt t GF , zu dem ein Fahrtzyklus gestartet wurde (Beginneiner Fahrt).Tabelle 7.2:Verwendete Parameter der Zustandsübergänge mit gegebenen AbhängigkeitenZustandsübergänge Beschreibung Verteilung Parameter [h] Abhängigkeitλ 4-5 (t), λ 4-7 (t), λ 4-8 (t),λ 5-8 (t), λ 6-9 (t), λ 7-8 (t),λ 10-11 (t)Temporärer Fehler W(α, β)λ 4-6 (t), λ 4-10 (t), λ 4-12 (t),λ 5-6 (t), λ 5-11 (t), λ 5-12 (t),Permanenter Fehlerλ 6-12 (t), λ 7-9 (t), λ 7-10 (t),W(α, β)λ 7-12 (t), λ 10-12 (t)α o = 5·10 −7β = 1,5α o = 5·10 −6β = 0,5θ , t′GL, t′θ , t′GL, t′τ 1-4 Standzeit EXP(λ) λ = 0,144 −−−−−τ 4-1 (t), τ 5-1 (t), τ 6-2 (t),τ 7-1 (t), τ 10-3 (t)Fahrtdauer W(α, β)μ 2-4 (t), μ 3-4 (t) Reparatur LN(μ, σ 2 )α = 2β = 0,7μ = 3σ = 0,7t′GF, t′t′GR, t′Im Rahmen der Analyse werden zusätzlich Fehler gemeinsamer Ursache (CCF) betrachtet.So können die Zustände {1, 1, 1} und {1, 2, 2} durch einen CCF (Zustandsübergänge4 → 8, 4 → 12, 5 → 12, 7 → 12) eingenommen werden.Eine Empfehlung zur Bewertung von CCF ist in der IEC 61508 [IEC01] gegeben. Daes sich bei dem betrachteten System (Bild 7.1) gemäß der IEC 61508 um ein zweikanaligesSystem mit gegenseitiger Überwachung (siehe Bild 7.2) und hoher Wiederholungsratehandelt, wird der Parameter des Beta-Faktor Modells b = 0,01 gesetzt. Füreine W(α, β)-verteilte Ausfallrate folgtβ−1β−1β−1α ⋅β⋅ t = b ⋅α ⋅β⋅ t + (1 − b) ⋅α ⋅β⋅ t . (7.2)Die folgenden Untersuchungen werden für drei Temperaturbereiche durchgeführt, dieje nach Einbauort, -lage und Einsatzort durchaus üblich für die Automobilindustriesind (z.B. Motorraum, Anbau an Karosserie). Nachdem zunächst die TemperaturbereicheA und B näher untersucht werden, wird anschließend aus den erzielten Ergebnissenein temperaturabhängiges Prognosemodell entwickelt, mit dem die Sicherheit undZuverlässigkeit unter Berücksichtigung eines geänderten Temperaturbereiches C prognostiziertwerden. Die durchgeführte Prognose wird anschließend mit einer weiterenSimulation verifiziert.

7.2 Simulationsalgorithmen 63Die jeweiligen Temperaturbereiche seien im Folgenden N(μ, σ 2 )-verteilt. Die Parameterder Temperaturbereiche sind in Tabelle 7.3 angegeben.Tabelle 7.3:Verwendete Parameter der Temperaturbereiche (0 Kelvin = −273,15 °C)Beschreibung Verteilung Parameter [Kelvin]Temperaturbereich A N(μ, σ 2 )Temperaturbereich B N(μ, σ 2 )Temperaturbereich C N(μ, σ 2 )μ = 298σ = 10μ = 323σ = 10μ = 348σ = 10Es wird angenommen, dass das W(α, β)-verteilte Ausfallverhalten (temporärer undpermanenter Fehler - siehe Tabelle 7.2) repräsentativ für eine mittlere Temperaturist.θo = 323KelvinDer Einfluss der Temperatur wird im Folgenden mit dem Arrhenius-Modell (AnhangA.3.6) modelliert. Die Aktivierungsenergie sei mitEa = 0,7 eVfür den temporären und den permanenten Fehler (Tabelle 7.2) bekannt.7.2 SimulationsalgorithmenDa einige Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten des zu untersuchenden Systemssehr klein sind, erfolgt die Systemanalyse unter Anwendung der in Kapitel 2.4 beschriebenengewichteten MCS. Mit den gegebenen Temperatureinflüssen sind zusätzlicheSchadensakkumulationseffekte (Anhang A.3.7) zu berücksichtigen.Mit dem einfach zu handhabenden LES (Kapitel 2.4) werden in einem ersten Schrittalle möglichen Fehlerpfade aus den Zuständen 4 bis 10 bewertet. Der verwendeteTeilalgorithmus ist für den Zustand 4 ({1, 0, 0} bzw. „AN“) in Bild 7.4 dargestellt.

64 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...Bild 7.4:Teilalgorithmus LESDer FFS (Kapitel 2.4) eignet sich besonders zur Bewertung von Einzelfehlern (häufigCCF). Zustandsübergänge (insbesondere Einzelfehler), die sich im ersten Schritt derAnalyse (LES) als relevant (wahrscheinlich) erwiesen haben, werden unter Verwendungdes FFS genauer untersucht. Der verwendete Teilalgorithmus ist für den Zustand4 ({1, 0, 0} bzw. „AN“) in Bild 7.5 dargestellt.

7.3 Ergebnisdarstellung 65Bild 7.5:Teilalgorithmus FFS7.3 Ergebnisdarstellung7.3.1 Bewertung der Temperaturbereiche A und BDie Analyse des Systems erfolgt für eine Betriebsdauer von einem Jahr (8760 h). DasSystem sei zu Beginn der Betrachtung im Zustand 1 (P 1 (0) = 1). Die Ergebnisse derSicherheits- und Zuverlässigkeitsanalysen, d.h. die ermittelten Zustandsübergangswahrscheinlichkeitenund die daraus berechneten Gefährdungs- und Ausfallwahrscheinlichkeiten,unter Berücksichtigung der Temperaturbereiche A und B (ersterSchritt - LES), sind in Tabelle 7.4 bis Tabelle 7.7 aufgeführt.

66 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...Tabelle 7.4: Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t B ), Temperatur θ A , LESZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 4-8 (t B ) 100 −−−−− 4,263E−06 5,832E−11P 4-12 (t B ) 100 −−−−− 4,942E−07 8,787E−13P 5-8 (t B ) 100 −−−−− 3,323E−10 1,177E−18P 5-11 (t B ) 100 −−−−− 5,335E−11 3,891E−20P 5-12 (t B ) 100 −−−−− 6,803E−13 6,891E−24P 6-9 (t B ) 100 −−−−− 7,121E−11 2,935E−20P 6-12 (t B ) 100 −−−−− 5,296E−12 1,591E−22P 7-8 (t B ) 100 −−−−− 4,638E−10 2,526E−18P 7-9 (t B ) 100 −−−−− 4,033E−11 1,601E−20P 7-12 (t B ) 100 −−−−− 5,635E−13 4,745E−24P 10-11 (t B ) 100 −−−−− 4,549E−11 1,963E−20P 10-12 (t B ) 100 −−−−− 7,213E−12 1,341E−21G(t B ) 100 467,422 4,758E−06 3,093E−10Tabelle 7.5: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), Temperatur θ A , LESZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 4-6 (t B ) 100 −−−−− 3,284E−05 4,170E−09P 4-10 (t B ) 100 −−−−− 4,777E−05 6,645E−09P 4-12 (t B ) 100 −−−−− 5,262E−07 8,221E−13P 5-6 (t B ) 100 −−−−− 4,443E−11 2,600E−20P 5-11 (t B ) 100 −−−−− 6,728E−11 4,208E−20P 5-12 (t B ) 100 −−−−− 5,143E−13 6,280E−24P 7-9 (t B ) 100 −−−−− 4,271E−11 2,447E−20P 7-10 (t B ) 100 −−−−− 3,033E−11 1,088E−20P 7-12 (t B ) 100 −−−−− 3,873E−13 1,201E−24F(t B ) 100 343,264 8,114E−05 6,072E−08

7.3 Ergebnisdarstellung 67Tabelle 7.6: Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t B ), Temperatur θ B , LESZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 4-8 (t B ) 100 −−−−− 1,126E−04 6,438E−08P 4-12 (t B ) 100 −−−−− 1,047E−06 2,354E−12P 5-8 (t B ) 100 −−−−− 3,192E−07 1,117E−12P 5-11 (t B ) 100 −−−−− 1,617E−09 1,724E−17P 5-12 (t B ) 100 −−−−− 2,574E−11 5,809E−21P 6-9 (t B ) 100 −−−−− 1,766E−09 3,291E−17P 6-12 (t B ) 100 −−−−− 2,784E−11 3,760E−21P 7-8 (t B ) 100 −−−−− 8,385E−08 2,666E−14P 7-9 (t B ) 100 −−−−− 2,579E−09 4,234E−17P 7-12 (t B ) 100 −−−−− 2,091E−11 3,422E−21P 10-11 (t B ) 100 −−−−− 2,301E−09 4,808E−17P 10-12 (t B ) 100 −−−−− 9,860E−11 1,874E−19G(t B ) 100 471,344 1,141E−04 1,859E−07Tabelle 7.7: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), Temperatur θ B , LESZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 4-6 (t B ) 100 −−−−− 1,025E−04 2,797E−08P 4-10 (t B ) 100 −−−−− 1,389E−04 3,852E−08P 4-12 (t B ) 100 −−−−− 8,504E−07 1,953E−12P 5-6 (t B ) 100 −−−−− 2,437E−09 5,283E−17P 5-11 (t B ) 100 −−−−− 2,040E−09 3,941E−17P 5-12 (t B ) 100 −−−−− 1,906E−11 1,748E−21P 7-9 (t B ) 100 −−−−− 1,433E−09 1,173E−17P 7-10 (t B ) 100 −−−−− 2,454E−09 4,601E−17P 7-12 (t B ) 100 −−−−− 2,300E−11 7,028E−21F(t B ) 100 341,124 2,423E−04 5,545E−07

68 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...Es ist deutlich zu erkennen, dass nicht alle Zustandsübergänge einen relevanten Einflussauf die Gefährdungs- bzw. die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems haben.Zusätzlich ist bei einer Erhöhung der Temperatur von θ A auf θ B eine Erhöhung derGefährdungs- bzw. der Ausfallwahrscheinlichkeit zu beobachten. Im Folgenden werdenzur Bewertung der Sicherheit die Zustandsübergänge {4 → 8, 4 → 12} und zurBewertung der Zuverlässigkeit die Zustandsübergänge {4 → 6, 4 → 10, 4 → 12}untersucht. Da es sich um Einzelfehler handelt, erfolgen die Untersuchungen unterVerwendung des FFS.Die ermittelten Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten und die daraus berechnetenGefährdungs- und Ausfallwahrscheinlichkeiten unter Berücksichtigung der TemperaturbereicheA und B (zweiter Schritt - FFS) sind in Tabelle 7.8 bis Tabelle 7.11 angegeben.Tabelle 7.8:Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t B ), Temperatur θ A , FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 4-8 (t B ) 100 −−−−− 4,451E−06 1,310E−11P 4-12 (t B ) 100 −−−−− 4,820E−07 4,392E−14G(t B ) 100 420,062 4,933E−06 1,460E−11Tabelle 7.9: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), Temperatur θ A , FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 4-6 (t B ) 100 −−−−− 5,007E−05 4,780E−10P 4-10 (t B ) 100 −−−−− 5,007E−05 4,780E−10P 4-12 (t B ) 100 −−−−− 5,057E−07 4,877E−14F(t B ) 100 599,141 1,006E−04 1,931E−09Tabelle 7.10: Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t B ), Temperatur θ B , FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 4-8 (t B ) 100 −−−−− 9,371E−05 5,160E−09P 4-12 (t B ) 100 −−−−− 1,321E−06 3,234E−13G(t B ) 100 419,985 9,503E−05 5,239E−09

7.3 Ergebnisdarstellung 69Tabelle 7.11: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B ), Temperatur θ B , FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzP 4-6 (t B ) 100 −−−−− 1,311E−04 3,212E−09P 4-10 (t B ) 100 −−−−− 1,311E−04 3,212E−09P 4-12 (t B ) 100 −−−−− 1,324E−06 3,278E−13F(t B ) 100 602,062 2,635E−04 1,298E−08In Bild 7.6 bis Bild 7.11 sind die Ergebnisse der Sicherheitsanalyse, d.h. die Zustandsübergangswahrscheinlichkeitenund die daraus ermittelte Gefährdungswahrscheinlichkeitunter Berücksichtigung der Temperaturbereiche A und B dargestellt.Bild 7.6:Wahrscheinlichkeit P4-8(t), Temperatur θ A , FFSBild 7.7:Wahrscheinlichkeit P4-12(t), Temperatur θ A , FFS

70 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...Bild 7.8:Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t), Temperatur θ A , FFSBild 7.9:Wahrscheinlichkeit P4-8(t), Temperatur θ B , FFSBild 7.10: Wahrscheinlichkeit P4-12(t), Temperatur θ B , FFS

7.3 Ergebnisdarstellung 71Bild 7.11: Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t), Temperatur θ B , FFSIn Bild 7.12 bis Bild 7.19 sind die Ergebnisse der Zuverlässigkeitsanalyse, d.h. dieZustandsübergangswahrscheinlichkeiten und die daraus ermittelte Ausfallwahrscheinlichkeitunter Berücksichtigung der Temperaturbereiche A und B dargestellt.Bild 7.12: Wahrscheinlichkeit P4-6(t), Temperatur θ A , FFS

72 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...Bild 7.13: Wahrscheinlichkeit P4-10(t), Temperatur θ A , FFSBild 7.14: Wahrscheinlichkeit P4-12(t), Temperatur θ A , FFSBild 7.15: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), Temperatur θ A , FFS

7.3 Ergebnisdarstellung 73Bild 7.16: Wahrscheinlichkeit P4-6(t), Temperatur θ B , FFSBild 7.17: Wahrscheinlichkeit P4-10(t), Temperatur θ B , FFSBild 7.18: Wahrscheinlichkeit P4-12(t), Temperatur θ B , FFS

74 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...Bild 7.19: Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), Temperatur θ B , FFSAnhand von Tabelle 7.4 bis Tabelle 7.11 und Bild 7.6 bis Bild 7.19 ist zu erkennen,dass eine Erhöhung der Temperatur einen erwartungsgemäßen Anstieg der jeweiligentemperaturabhängigen Gefährdungs- bzw. Ausfallwahrscheinlichkeit zur Folge hat.7.3.2 Bewertung des Temperaturbereiches CAusgehend von den temperaturabhängigen Analysen A und B (insbesondere der generiertenDaten aus Kapitel 7.3.1) wird im Folgenden ein temperaturabhängiges Prognosemodellentwickelt. Unter Anwendung des Prognosemodells werden die Gefährdungs-und Ausfallwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung eines geänderten TemperaturbereichesC prognostiziert. Zu diesem Zweck werden die unbekannten Modellparameterα o , β und Ea der Gefährdungswahrscheinlichkeitβ⎛⎞⎜ ⎛⎞⎜Ea ⎛ 1 1 ⎞ βG(t | θ⎟ ⋅⎟n) = 1−exp − α⎜o⋅exp⋅⎜ −⎟t⎟(7.3)⎝ ⎝ k ⎝ θoθn⎠⎠⎠auf Basis der bekannten Methode der kleinsten Quadrate geschätzt [Har98]. Es ergibtsich folgender Ansatz:n ⎛Ea 1 1G ~ β⎛⎞⎞⎜SSE (t | ) 1 exp⎜ ⎛ ⎛ ⎞⎞β=⎟⎜ i ioexpt⎟∑ θ − + − α ⋅ ⎜⎟ ⋅i− >⎜⋅i 1k⎜ −⎟⎟⎟=o i⎝⎝ ⎝ ⎝ θ θ ⎠⎠⎠⎠2Min . (7.4)

7.3 Ergebnisdarstellung 75Die Schätzung der Parameter ergibtMit= 2,617E−10 h −β ,= 0,688 eV.berechnet sich die prognostizie rte Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t| θ ) zu(7.5)Die Schätzung der Modellparameter der Ausfallwahrscheinlichkeit ergibt in gleicherVorgehensweiseMitαoβEa= 1,411 undβαC = αo⋅ B(θo, θC) = 3,206E−09 h −βG(tαoβEaβ| θ ) = 1−exp( − α ⋅ t ) . (7.6)C= 2,397E−06 h −β ,= 0,523 und= 0,657 eV.βαC= αo⋅ B(θo, θC) = 5,819E−06 hCberechnet sich die prognostizierte Ausfallwahrscheinlichkeit zuF(t−β(7.7)β| θ ) = 1−exp( − α ⋅ t ) . (7.8)CCZwecks Verifikation der Prognose wird nun unter Berücksichtigung des TemperaturbereichesC eine weitere Simulation durchgeführt. Die Tabelle 7.12 zeigt die Ergebnisseder Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalyse.Tabelle 7.12: Gefährdungs- G(t B | θ C) und Ausfallwahrscheinlichkeit F(t B | θ C ), FFSZustandsübergänge Läufe Zeit [s] Mittelwert VarianzG(t B | θ C ) 100 431,688 1,300E−03 6,465E−07F(t B | θ C ) 100 604,562 6,313E−04 5,369E−08CDie simulierten und prognostizierten Verläufe der Gefährdungs- und der Ausfallwahrscheinlichkeitsind in Bild 7.20 bis Bild 7.21 dargestellt.

76 7 Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung ...Bild 7.20: Simulierte und prognostizierte Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t | θ C ), FFSBild 7.21: Simulierte und prognostizierte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t | θ C ), FFS

7.4 Zusammenfassung der Ergebnisse 777.4 Zusammenfassung der ErgebnisseDas gegebene System wurde unter Verwendung der MCS und der teils sehr kleinenZustandsübergangswahrscheinlichkeiten sowie unter Beachtung realer Bedingungenwie stochastische Abhängigkeiten, systematische und dynamische Systemänderungenerfolgreich bewertet.Zunächst erfolgten die Analysen unter Nutzung des einfach zu handhabenden LES. Eszeigte sich, dass nur einzelne Zustandsübergänge einen relevanten Einfluss auf dieGefährdungs- bzw. die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems haben (Tabelle 7.4 bisTabelle 7.7). Im Anschluss wurden die Gefährdungs- und die Ausfallwahrscheinlichkeitauf Grundlage der relevanten Zustandsübergänge unter Verwendung des FFSuntersucht (Tabelle 7.8 bis Tabelle 7.11 und Bild 7.6 bis Bild 7.19). Anhand allerErgebnisse (Tabelle 7.4 bis Tabelle 7.12 und Bild 7.6 bis Bild 7.21) ist der Einfluss derTemperatur auf die Sicherheit und Zuverlässigkeit des betrachteten Systems zu erkennen.Es zeigt sich, dass die Erhöhung der Temperatur eine deutliche Steigerung derGefährdungs- und der Ausfallwahrscheinlichkeit zur Folge hat.Mit der gegebenen Fragestellung „Wie verhält sich das System bezüglich der Sicherheitund Zuverlässigkeit unter Berücksichtigung eines geänderten Temperaturbereiches?“konnte auf Basis der generierten Daten (Temperaturbereich A und B, FFS) eintemperaturabhängiges Prognosemodell entwickelt werden. Diesbezüglich wurden dieModellparameter wie Aktivierungsenergie sowie die Parameter der Weibull-Verteilung geschätzt. Auf Grundlage des erstellten Prognosemodells wurden die Gefährdungs-sowie die Ausfallwahrscheinlichkeit für einen geänderten TemperaturbereichC prognostiziert. Mit den anschließend durchgeführten Simulationen konnten dieprognostizierten Modelle der Gefährdungs- und der Ausfallwahrscheinlichkeit bestätigtwerden.

8 Zusammenfassung und AusblickModerne elektronische Systeme im Kraftfahrzeug sind gekennzeichnet durch einenhohen Grad an Komplexität und Vernetzung von Informationen und Funktionen. Zusätzlichgilt es, neue Systeme kostengünstig und in immer kürzeren Intervallen zuentwickeln sowie den sicherheits- und zuverlässigkeitstechnischen Anforderungen vonSeiten des Gesetzgebers und des Kunden gerecht zu werden. Dementsprechend ist esnotwendig, die entwickelten Systeme frühzeitig unter sicherheits- und zuverlässigkeitstechnischenAspekten zu planen und gegenüber äußeren Einflüssen robust auszulegen.Im Sinne einer modernen Sicherheits- und Zuverlässigkeitsplanung und -analyse sollteninsbesondere reale Bedingungen, wie stochastische Abhängigkeiten (zustandsabhängigeSystemdegradation u.a.), systematische Systemänderungen (Früh- und Verschleißausfälleu.a.) sowie dynamische Systemänderungen (physikalische Einflussgrößenu.a.), erfasst, untersucht und integriert werden.Die gängigen Verfahren wie FMEA, FBA und Markov-Analyse sind nur bedingt inder Lage, die oben genannten realen Bedingungen adäquat zu berücksichtigen.Modelle, die auf stochastischen Prozessen wie dem Nicht-Markovschen Prozess basieren,sind zwar in der Lage reale Bedingungen abzubilden, jedoch sind die Gleichungssystemedes Prozesses aufgrund der Vielfalt und Dynamik der Einflussgrößen seltengeschlossen lösbar.Ein Ansatz zur Modellierung und Lösung von stochastischen Prozessen mit entsprechendkomplexen Inhalten ist über die MCS gegeben. Unter Anwendung der MCSlassen sich reale Bedingungen abbilden und in die Untersuchungen integrieren. Mit derAnwendung im Bereich der Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalyse sind aufgrundder hohen Sicherheits- und Zuverlässigkeitsforderungen spezielle Verfahren zur Varianzreduktion(gewichtete MCS) zu berücksichtigen.In Kapitel 2 wurden die Grundlagen und die wesentliche Theorie der MCS erläutert.Die MCS wurde anhand der Systemtransporttheorie dargestellt. Mit dem Ziel, denEinfluss der Temperatur auf die Systemsicherheit und -zuverlässigkeit abzubilden,wurde die Systemtransporttheorie erstmalig um ein Schadensakkumulationsmodellerweitert. Zusätzlich wurden spezielle Verfahren zur Ergebnisschätzung und zur Bewertungseltener Ereignisse (gewichtete MCS) erläutert.

8 Zusammenfassung und Ausblick 79Die Anwendbarkeit der MCS zur Analyse eines Systems unter Berücksichtigung dynamischerSystemänderungen wurde mit Hilfe einzelner Teiluntersuchungen schrittweiseverifiziert. In Kapitel 3 erfolgte die Analyse eines hochzuverlässigen Markov-Modells. Grundlage der Untersuchungen in Kapitel 4 war ein mehrparametriges System,dessen Ausfallverhalten zeit- und temperaturabhängig ist. In Kapitel 5 wurde einSystem untersucht, welches zu den Nicht-Markov-Prozessen mit Regenerationspunktenzählt. Es wurden insbesondere Zeitabhängigkeiten, Semi-Markov-, regenerativeundnicht regenerative Eigenschaften berücksichtigt. Die Systeme (Kapitel 3 bis Kapitel5) waren so gewählt, dass eine Vergleichslösung (analytisch, approximativ) zurMCS ermittelt werden konnte. Es zeigte sich in allen Untersuchungen, dass die MCSgeeignet ist, hochzuverlässige, mehrparametrige Systeme mit unterschiedlichstenstochastischen Eigenschaften zu modellieren und zu analysieren. Zudem wurden Verfahrenzur Ergebnisschätzung und zur Varianzreduktion (gewichtete MCS) untersuchtund somit ein Beitrag zur Weiterentwicklung und Optimierung von bestehenden Simulationsalgorithmengeleistet.Basierend auf den Grundlagen (Kapitel 2 und Anhang A.3) und den Ergebnissen ausKapitel 3 bis Kapitel 5 erfolgte in Kapitel 7 die Analyse eines 2-Kanal-Rechnersystems unter besonderer Berücksichtigung dynamischer Systemänderungen.Die Temperatur wurde als wesentliche dynamische Einflussgröße im Rahmen derSicherheits- und Zuverlässigkeitsanalysen betrachtet. Hierbei wurden Temperaturbereicheuntersucht, die je nach Einbauort, -lage und Einsatzort üblich für die Automobilindustriesind (z.B. Motorraum, Anbau an Karosserie). Des Weiteren wurden realeBedingungen wie stochastische Abhängigkeiten (Zeitpunkt der Instandsetzung, Beginneiner Fahrt) und systematische Systemänderungen wie Zeitabhängigkeiten (Ausfallverhalten,Fahrtdauer, Reparaturdauer) berücksichtigt. Insgesamt konnte gezeigt werden,dass sich reale Bedingungen in eine realitätsnahe Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalyseunter Anwendung der MCS einbinden lassen.Die MCS entspricht somit nicht nur einer Alternative zu den bestehenden Methodenwie FMEA, FBA oder Markov-Analyse, sondern ist vielmehr als einzig praktikablesVerfahren zur realitätsnahen Systemmodellierung und -analyse, insbesondere zurvirtuellen Erprobung, zu betrachten. Es sei jedoch angemerkt, dass der Simulationsalgorithmuszunächst in einer entsprechenden Entwicklungsumgebung generiert werdenmuss. Die Programmierung, insbesondere der Verfahren zur Ergebnisschätzung undVarianzreduktion, setzt eine gewisse Erfahrung im Umgang mit der MCS voraus. Derhöhere Aufwand, im Gegensatz zu Methoden wie FMEA, FBA oder Markov-Analyse,

80 8 Zusammenfassung und Ausblickist im Sinne einer realitätsnahen Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalyse zu rechtfertigen.Basierend auf den untersuchten Temperaturbereichen wurde ein neues temperaturabhängigesPrognosemodell entwickelt. Unter Anwendung dieses Modells konnten derTemperatureinfluss (Aktivierungsenergie des Arrhenius-Modells) sowie das Ausfallverhaltendes Systems mittels einer Weibull-Verteilung geschätzt und zur SicherheitsundZuverlässigkeitsprognose unter geänderten Temperaturbedingungen (Einbauort, -lage, Einsatzort u.a.) verwendet werden. Das Verfahren zeigt, wie sich, z.B. mit Hilfevon Felddaten, Aussagen über das zukünftige Ausfallverhalten mit den gegebenenEinflüssen ermitteln lassen. Diese Erkenntnisse sind wiederum notwendig, um neueEntwicklungen realitätsnah zu entwerfen, zu bewerten und zu prüfen. Maßnahmen zurErhöhung der Robustheit und die damit verbundenen Verbesserungen der Systemsicherheitund Zuverlässigkeit können somit rechtzeitig geplant werden.Da Verfahren wie die MCS von den Daten abhängig sind, die das Systemmodell unddie Zustandsübergänge beschreiben, ist es erforderlich, diese Daten im Vorhinein unterBerücksichtigung der Datenqualität und -quantität zu generieren. Daten wie Ausfallverhaltenund Lastkollektive sind somit anhand von Felddaten (Garantiedaten, Fehlerspeicher,Testfahrten u.a.) zu erheben. Sind diese Rahmenbedingungen gegeben, solassen sich die in dieser Arbeit beschriebenen und angewendeten Verfahren weiterentwickelnund in der Praxis im Sinne einer zeitgemäßen Sicherheits- und Zuverlässigkeitsanalysenutzen.Ein weiteres Ziel sollte es sein, die einfache Anwendbarkeit der MCS zu erhalten. Zudiesem Zweck sind einfach zu handhabende Verfahren zur Generierung von seltenenEreignissen und komplexen Zustandsübergängen zu entwickeln. Die Systemmodellierungund die Programmierung der notwendigen Algorithmen könnten z.B. unter Verwendungvon Petri-Netzen [Cha01], [Poz06] erfolgen.Zusätzlich ist es möglich die MCS mit Methoden wie der Bayes-Statistik [Klo05], derFuzzy-Logik [Sic05], den genetischen Algorithmen [Mar00] oder den NeuronalenNetzen [Ric98] zu kombinieren. Es ließen sich so die Unschärfe von Eingangsgrößenberücksichtigen sowie Einflüsse beschreiben, deren mathematisch physikalischerHintergrund nur unzureichend bekannt ist.

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AnhangA.1 AbkürzungenABSAFSBAOBTFCCFCKESPFBAFFKFFSFMEAFTMGANLESMCSmodMTBFPSASSETBMμCAntiblockiersystemAktivlenkung (engl. Active Front Steering)Bad As OldBirth point Transfer FunctionCommon Cause FailureCollision-KernelElektronisches StabilitätsprogrammFehlerbaumanalyseFree-Flight-KernelFree-Flight-SchätzerFehler-Möglichkeits- und Einfluss-AnalyseForced Transition MethodGood As NewLast-Event-SchätzerMonte-Carlo-SimulationModuloMean Time Between FailureProbabilistische SicherheitsanalyseSumme der Abweichungsquadrate (engl. sum of squared error)Transition Biasing MethodMikrocontroller

86 AnhangA.2 Symbolverzeichnis∀∈R≈Für alle…gilt……ist Element von…Menge der reellen Zahlen…ist ungefähr gleich zu…exp Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e als Basisln Natürlicher LogarithmusξGL(0, 1)-verteilte ZufallszahlF −1 (ξ) Umkehrfunktion der Ausfallwahrscheinlichkeit F(~)X Zufallsvariablex Realisierung der Zufallsvariablen XT Zufallsvariable der LebensdauertRealisierung der Zufallsvariablen T (Lebensdauer)t Gt GRt GLt GFGeburtspunkt, Zeitpunkt der InbetriebnahmeZeitpunkt zu dem eine Reparatur begonnen wirdRegenerationspunkt, Zeitpunkt der SystemerneuerungZeitpunkt zu dem ein Fahrtzyklus begonnen wirdt´ Gegenwärtiger Betrachtungszeitpunktt BΘθBetriebsdauerZufallsgröße der Temperatur (in Kelvin)Realisierung der Zufallsvariablen Θ (Temperatur)F´ Gruppe der ausgefallenen absorbierenden ZuständeG´ Gruppe der gefährlichen absorbierenden Zustände

A.2 Symbolverzeichnis 87xs 2Empirischer MittelwertEmpirische VarianzP ~ k (t) Empirische Zustandswahrscheinlichkeit des Zustandes k~F(t) Empirische AusfallwahrscheinlichkeitG ~ (t) Empirische Gefährdungswahrscheinlichkeitf(x)F(x)E(X)σ 2 (X)Cov(X, Y)VerteilungsdichteVerteilungsfunktionErwartungswert von XVarianz von XKovarianzPˆk (t) Schätzer der Zustandswahrscheinlichkeit des Zustandes kP k (t)F(t)R(t)f(t)λ(t)μ(t)E(T)Zustandswahrscheinlichkeit des Zustandes kAusfallwahrscheinlichkeitÜberlebenswahrscheinlichkeitAusfalldichteAusfallrateReparaturrateMittlere LebensdauerF (t |~) Bedingte AusfallwahrscheinlichkeitR (t |~) Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeitf (t |~) Bedingte Ausfalldichteλ (t |~) Bedingte AusfallrateG(t)S(t)g(t)ρ(t)GefährdungswahrscheinlichkeitSicherheitswahrscheinlichkeitGefährdungsdichteGefährdungsrate

88 AnhangGL(a, b)N(μ, σ 2 )LN(μ, σ 2 )EXP(λ)W(α, β)Gleichverteilung mit den Parametern a und bNormalverteilung mit den Parametern μ und σLogarithmische Normalverteilung mit den Parametern μ und σExponentialverteilung mit dem Parameter λWeibull-Verteilung mit den Parametern α und βδ(t)Dirac-Deltafunktionλ (~) k′kZustandsübergangsrate von Zustand k´ nach Zustand kλ (~) Kumulierte Zustandsübergangsrate von Zustand k´k′γk′ (~) kWahrscheinlichkeit eines Zustandsüberganges in den Zustand k unter derBedingung, dass dieser aus dem Zustand k´ erfolgtq k(~) k′Partielle Wahrscheinlichkeitsdichte eines Zustandsüberganges von Zustandk´ nach Zustand kψ k (~)Ereignisdichte des Zustandes kψ n (~) Ereignisdichte des Zustandes k nach n ZustandsübergängenkK (~) TransportgleichungT (~) Free-Flight-KernelC (~) Collision-Kernelψ ~k(~) Modifizierte Ereignisdichte des Zustandes kK ~ (~) Modifizierte TransportgleichungT ~ (~) Modifizierter Free-Flight-KernelC ~ (~) Modifizierter Collision-Kernel~f (~) Modifizierte Ausfalldichte~λ (~) Modifizierte Zustandsübergangsrate von Zustand k´ nach Zustand kk′k~k′λ (~) Modifizierte kumulierte Zustandsübergangsrate von Zustand k´~ γk′ k(~) Modifizierte Wahrscheinlichkeit eines Zustandsüberganges in den Zustandk unter der Bedingung, dass dieser aus dem Zustand k´ erfolgt

A.2 Symbolverzeichnis 89wuknk n(tn)Kumulierte Gewichtung zum Zeitpunkt t n des n-ten ZustandsübergangesGewichtung nach Eintritt in den Zustand kEakAktivierungsenergie (eV)Boltzmannkonstante u.a.B (~) Beschleunigungsfaktorf ( θ , t) Bivariate DichtefunktionF(θ , t) Bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktionθoαoηotmittlere TemperaturBei der Temperatur θoermittelter Weibull-ParameterBei der Temperatur θoermittelte charakteristische Lebensdauer ηoOriginal-Zeitbereich(n)t Auf θ n normierter Äquivalenz-Zeitbereich(n)tGAuf θ n normierter Zeitpunkt der Inbetriebnahmeαo

90 AnhangA.3 GrundlagenIm Folgenden werden die für diese Arbeit relevanten Grundlagen der Statistik, Zuverlässigkeitstheorieund der angewandten Methoden erläutert. Sie orientieren sich imWesentlichen an Standardwerken wie [Stö83], [Bir97], [Har98], [Mey03] u.a.A.3.1StichprobenfunktionenAus einer gegebenen Stichprobe mit den Stichprobenwerten x = (x1,x2,...,xn) lassensich wichtige Stichprobenkenngrößen bilden.Empirischer MittelwertDer empirische Mittelwert x , auch arithmetischer Mittelwert genannt, berechnet sichzun1x = ⋅∑x i≈ μ . (A.3.1)ni=1Empirische VarianzIst der Erwartungswert μ der Grundgesamtheit bekannt, so lautet die empirische Varianzn2 12 2s = ⋅∑(xi− μ)≈ σ . (A.3.2)ni=1Ist der Erwartungswert μ der Grundgesamtheit unbekannt, so ist die empirische Varianzgegeben durchn2 12 2s = ⋅∑(xi− x) ≈ σ . (A.3.3)n −1i=1Erwartungswert der SummeSind X1und X2beliebige Zufallsgrößen, so entspricht der Erwartungswert der SummeE(X1 + X2) = E(X1)+ E(X2) . (A.3.4)Varianz der SummeDie Varianz der Summe lautet222σ X + X ) = σ (X ) + σ (X ) + 2 ⋅ Cov(X , X ) . (A.3.5)(1 2121 2

A.3 Grundlagen 91Sind X1und X2unkorrelierte und insbesondere unabhängige Zufallsgrößen, so entsprichtdie Varianz der Summe der Gleichung222σ X + X ) = σ (X ) + σ (X ) . (A.3.6)A.3.2(1 212Theoretische Zuverlässigkeitskenngrößen nicht reparierbarer SystemeEinem Ereignis, wie z.B. dem Ausfall einer Komponente, können reelle endliche Zahlenwertezugeordnet werden. Diese Zahlenwerte, z.B. die Lebensdauer der Komponentebis zu ihrem Ausfall, bilden dann eine Zufallsgröße.Die Zeitspanne zwischen dem Betriebsbeginn und dem Ausfall technischer Komponentenund Systeme wird als Lebensdauer mit der Zufallsvariablen T bezeichnet.AusfallwahrscheinlichkeitDie Ausfallwahrscheinlichkeit ist definiert alsF(t)= P(T ≤ t)(A.3.7)mit den EigenschaftenF(t)= P(T ≤ t) = 0 ∀ t ≤ 0 und (A.3.8)lim F(t) = lim P(T ≤ t) = 1.t → ∞ t →∞(A.3.9)ÜberlebenswahrscheinlichkeitDie komplementäre Größe der Ausfallwahrscheinlichkeit heißt Überlebenswahrscheinlichkeitund ist gegeben durchR(t)= P(T > t) = 1−P(T ≤ t) = 1−F(t) . (A.3.10)AusfalldichteDie Wahrscheinlichkeitsdichte wird bei Lebensdauerbetrachtungen als Ausfalldichtebenannt und entsprichtdF(t)f (t) = (A.3.11)dtmit den Eigenschaftenf (t) = 0 ∀ t < 0, (A.3.12)f (t) ≥ 0 ∀ t ≥ 0 und (A.3.13)

92 Anhang∞∫0f (t)dt = 1. (A.3.14)AusfallrateEine weitere wichtige Kenngröße ist die Ausfallrate λ(t). Mit dem Produkt λ ( t) ⋅ Δtwird, bei hinreichend kleinem Δt, die bedingte Wahrscheinlichkeit ermittelt, dass eineKomponente im Intervall (t, t + Δt) ausfallen wird, unter der Bedingung, dass sie biszum Zeitpunkt t überlebt hat. Die Ausfallrate lässt sich damit als ein Maß für die Anfälligkeiteiner Komponente, in Abhängigkeit von dem erreichten Alter t, interpretieren[Köc83] und lautetf (t) dln R(t)λ ( t) = = − . (A.3.15)R(t) dtMittlere LebensdauerDer zur Verteilungsfunktion F(t) zugehörige Erwartungswert E(T) gibt die mittlereLebensdauer an. Der Erwartungswert der zufälligen Lebensdauer T ist gegeben durch∞∫∞∫E (T) = t ⋅f (t)dt = R(t)dt . (A.3.16)00Der Zusammenhang der Kenngrößen ist in Tabelle A.1 dargestellt.Tabelle A.1: Zusammenhang zwischen den Zuverlässigkeitskenngrößen nicht reparierbarer Systeme[Mey03]AusfallwahrscheinlichkeitF(t)ÜberlebenswahrscheinlichkeitR(t)Ausfalldichtef(t)Ausfallratet⎛ ⎞F(t) −−−−− 1− R(t)∫ f ( τ) dτ1 − exp⎜−∫ λ(τ)dτ⎟ ⎝ 0 ⎠R(t) F(t)f(t)λ(t)t0λ(t)⎛ ⎞1 − −−−−− f ( τ) dτexp ⎜− t ∫ ( τ)dτ⎟ ⎝ 0λ⎠dF(t)dt1 dF(t)⋅1−F(t) dt∞∫ttdR(t)⎛ ⎞− −−−−− λ(t)⋅exp⎜− ∫ λ(τ)dτ⎟ dt⎝ 0 ⎠f (t)1 dR(t)− ⋅∞−−−−−R(t) dt ∫ f ( τ) dτt

A.3 Grundlagen 93Bedingte AusfallwahrscheinlichkeitWurde eine Komponente zum Zeitpunkt t Gin Betrieb genommen und ist zum gegenwärtigenBetrachtungszeitpunkt t′ ≥ t Gnoch intakt, so ist die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeitgegeben durchF(t − tG) − F(t′− tG)P(T ≤ t − tG| T > t′− tG) = F(t | tG, t′) =.1−F(t′(A.3.17)− t )Bedingte ÜberlebenswahrscheinlichkeitDas Komplementärereignis, d.h. die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit entsprichtR(t − tG)P(T > t − tG| T > t′− tG) = R(t | tG, t′) = .R(t′(A.3.18)− t )Bedingte AusfalldichteMit der bedingten Ausfallwahrscheinlichkeit berechnet sich die bedingte Ausfalldichtezuf (t | tGdF(t | t , t′G) f (t − tG), t′ ) ==.dt 1−F(t′(A.3.19)− t )Bedingte AusfallrateGMit der bedingten Überlebenswahrscheinlichkeit und der bedingten Ausfalldichteberechnet sich die bedingte Ausfallrate zuf (t | t , t′G) f (t − tG)λ ( t | t , t′G) == = λ(t− tG) .R(t | t , t′(A.3.20)) R(t − t )A.3.3GGTheoretische Sicherheitskenngrößen nicht reparierbarer SystemeSicherheitskenngrößen lassen sich in Analogie zu den Zuverlässigkeitskenngrößendefinieren, betrachtet werden dabei alle sicherheitsrelevanten Ereignisse, die eineGefährdung bewirken [Mey82].Die Tabelle A.2 gibt eine Gegenüberstellung der sicherheits- und zuverlässigkeitstechnischenKenngrößen.GG

94 AnhangTabelle A.2: Sicherheits- und Zuverlässigkeitskenngrößen nicht reparierbarer SystemeKenngrößeSicherheitGefährdungswahrscheinlichkeitSicherheitswahrscheinlichkeitG(t)S(t)ZuverlässigkeitKenngrößeAusfallwahrscheinlichkeitÜberlebenswahrscheinlichkeitGefährdungsdichte g(t) Ausfalldichte f(t)F(t)R(t)Gefährdungsrate ρ(t) Ausfallrate λ(t)Entsprechend dem Zusammenhang der Zuverlässigkeitskenngrößen (Tabelle A.1) lässtsich der Zusammenhang der Sicherheitskenngrößen darstellen (Tabelle A.3).Tabelle A.3: Zusammenhang zwischen den Sicherheitskenngrößen nicht reparierbarer Systeme[Mey82]GefährdungswahrscheinlichkeitG(t)SicherheitswahrscheinlichkeitS(t)FormelzeichenFormelzeichenGefährdungsdichteg(t)Gefährdungsratet⎛ ⎞G(t) −−−−− 1− S(t)∫ g ( τ)dτ1 − exp⎜− ∫ρ(τ)dτ⎟ ⎝ 0 ⎠S(t) G(t)g(t)ρ(t)t0ρ(t)⎛ ⎞1− −−−−− g ( τ) dτexp ⎜− t ∫ ( τ)dτ⎟ ⎝ 0ρ⎠dG(t)dt1 dG(t)⋅1−G(t) dt∞∫ttdS(t)⎛ ⎞− −−−−− ρ(t)⋅exp⎜− ∫ρ(τ)dτ⎟ dt⎝ 0 ⎠g(t)1 dS(t)− ⋅∞S(t) dt ∫−−−−−g( τ) dτtDie bedingten Sicherheitskenngrößen lassen sich analog zu den bedingten Zuverlässigkeitskenngrößen(Gleichung (A.3.17) bis Gleichung (A.3.20)) ermitteln.A.3.4Empirische KenngrößenAuf Basis erhobener Daten lassen sich empirische Kenngrößen bestimmen. Die Vorgehensweisewird anhand der empirischen Zuverlässigkeitskenngrößen vorgestellt undist auf den Bereich der Sicherheitstheorie übertragbar.

A.3 Grundlagen 95Kennzeichnet n o eine hinreichend große Anzahl gleicher Einheiten einer Grundgesamtheitund n a (t) die Anzahl der bis zum Zeitpunkt t beobachteten Ausfälle, so berechnetsich die Anzahl der betriebsbereiten Einheiten n b (t) zunb(t) = no− na(t) . (A.3.21)Empirische AusfallwahrscheinlichkeitDie empirische Ausfallwahrscheinlichkeit entspricht~F(t)n (t)na= . (A.3.22)oEmpirische ÜberlebenswahrscheinlichkeitDie komplementäre Größe heißt empirische Überlebenswahrscheinlichkeit und berechnetsich übern (t)nbR ~ (t) = . (A.3.23)oEmpirische AusfalldichteAus der empirischen Ausfallwahrscheinlichkeit folgt die empirische Ausfalldichte.Liegt t im i-ten Zeitintervall der Länge Δt i , so kann die empirische Ausfalldichte alsdie Anzahl der im Zeitintervall Δt i beobachteten Ausfälle Δn a,i , bezogen auf die Gesamtanzahln o , interpretiert werden und entspricht~ 1 Δna, if (t) = ⋅ . (A.3.24)n ΔtoEmpirische AusfallrateiLiegt t im i-ten Zeitintervall der Länge Δt i , so kann die empirische Ausfallrate als dieAnzahl der im Zeitintervall Δt i ausgefallenen Einheiten Δn a,i , bezogen auf die Mengeder am Ende des Zeitintervalls noch betriebsbereiten Einheiten n b (t), interpretiert werdenund lautet~ 1 Δna,iλ (t) = ⋅ . (A.3.25)n (t) ΔtbEmpirischer ErwartungswertiDer empirische Erwartungswert, die mittlere Lebensdauer, berechnet sich mit dengegebenen Realisierungen t = (t ,t ,..., t ) nach Gleichung (A.3.1) zu12n

96 Anhang1t = ⋅ . (A.3.26)nA.3.5n∑t ii=1Ausgewählte VerteilungsfunktionenIm Folgenden werden die für diese Arbeit relevanten Verteilungsfunktionen vorgestellt.Es handelt sich hierbei sowohl um statistische als auch um spezielle Lebensdauerverteilungen.GleichverteilungEine Zufallsvariable heißt gleichverteilt, mit den Parametern a < b, kurz GL(a, b)-verteilt, wenn sie die Verteilungsdichtef (x)1= ∀ x ∈R mit a ≤ x ≤ b(A.3.27)b − abesitzt. Die Gleichverteilung findet insbesondere bei der Generierung von Zufallszahlenihre Anwendung.Für die bedingte Gleichverteilung mit P(X ≤ x | X > c) folgt die Verteilungsdichtef (x |1x > c) = ∀ x ∈R mit c ≤ x ≤ b . (A.3.28)b − cNormalverteilungEine stetige Zufallsvariable X ist normalverteilt, kurz N(μ, σ 2 )-verteilt, wenn ihreVerteilungsdichte f(x) der Gleichung21 ⎛ (x − μ)⎞(x) = ⋅exp⎜−⎟ ∀ x ∈Rσ⋅ 2π⎝ 2σ⎠f2(A.3.29)entspricht. Eine N(0, 1)-verteilte Zufallsgröße wird standard-normalverteilt genannt,mit dem Mittelwert μ = 0 und der Varianz σ 2 = 1. Die Verteilungsdichte ist gegebendurchf (x) =21 ⎛ x ⋅ exp⎜ −2π⎝ 2⎞⎟ . (A.3.30)⎠Für die bedingte Normalverteilung mit P(X ≤ x | X > c) lautet die Verteilungsdichteund21 ⎛ (x − μ)⎞(x | x > c) = ⋅exp∀ x ∈R mit x ≥ ca 2⎜−2⎟(A.3.31)⋅σ⋅ π ⎝ σ ⎠f2

A.3 Grundlagen 97∞21 ⎛ (x − μ)⎞a = ∫ ⋅expdx2c2⎜−2⎟ . (A.3.32)σ⋅ π ⎝ σ ⎠Aufgrund ihrer Definition ist die Normalverteilung an und für sich nicht zur Beschreibungder Lebensdauer geeignet, da die Zufallsvariable auch Werte x < 0 annehmenkann. Die Normalverteilung lässt sich aber dennoch anwenden, wenn die Verteilungsdichtemit c = 0 einseitig auf das Intervall [0, ∞) gestutzt wird [Har98]. Für den Fall,dass die Standardabweichung sehr viel kleiner als der Mittelwert ist, somit σ 0, kurz LN(μ, σ 2 )-verteilt.Die Zufallsgröße kann dann keine negativen Werte annehmen, so dass die Normierungfür Lebensdauerverteilungen mit0∫−∞f (x)dx = 0(A.3.34)gegeben ist. Die Verteilungsdichte lautet21 ⎛ (ln x − μ)⎞(x) = ⋅exp∀ x > 0x 2⎜−2⎟ . (A.3.35)σ⋅ ⋅ π ⎝ σ ⎠f2Da die Verteilungsdichte der Logarithmischen Normalverteilung mit wachsendem xschnell ansteigt und nach Erreichen des Maximums wieder abnimmt, können mit derLogarithmischen Normalverteilung Betriebsdauern, Fahrleistungsdauern, Instandsetzungszeiten,zeitraffende Prüfungen etc. gut beschrieben werden [Mey03].Für die bedingte Logarithmische Normalverteilung mit P(X ≤ x | X > c) folgt die Verteilungsdichteund21 ⎛ (ln x − μ)⎞(x | x > c) =⋅exp∀ x ≥ c mit x > 0a x 2⎜−2⎟(A.3.36)⋅σ⋅ ⋅ π ⎝ σ ⎠f2

98 Anhang∞21 ⎛ (ln x − μ)⎞a = ∫ ⋅expdx2cx 2⎜−2⎟ . (A.3.37)σ⋅ ⋅ π ⎝ σ ⎠ExponentialverteilungEine Zufallsvariable heißt exponentialverteilt, kurz EXP(λ)-verteilt, mit dem Parameterλ > 0, wenn sie die Verteilungsdichtef (x)besitzt.= λ⋅exp(−λ ⋅ x) ∀ x ≥ 0(A.3.38)Da die Ausfallrate der Exponentialverteilung konstant verläuft, d.h. das Ausfallverhaltenstochastisch ist, wird die Exponentialverteilung aufgrund der damit verbundenenUnabhängigkeit vom Alter der betrachteten Komponente auch als „gedächtnislos“bezeichnet. Sie ist damit zur Beschreibung der Lebensdauer realer Komponenten nurbedingt anwendbar.Für die bedingte Exponentialverteilung mit P(X ≤ x | X > c) folgt die Verteilungsdichtef (x | x > c) = λ ⋅exp(−λ ⋅(x− c)) ∀ x ≥ c. (A.3.39)Weibull-VerteilungDie Verteilungsdichte einer Weibull-Verteilung W(α, β) mit den Parametern α, β > 0ist mitf (x) = α ⋅β⋅ xβ−1⋅exp(−α ⋅ xβ)∀x > 0(A.3.40)gegeben. Durch eine geeignete Wahl des Parameters β lassen sich alle Bereiche derbekannten Badewannenkurve darstellen [Mey03]. Die Weibull-Verteilung eignet sichdemnach sehr gut zur Beschreibung von Lebensdauern mit Frühausfall- (β 1). Mit β = 1 geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilungüber.Für die bedingte Weibull-Verteilung mit P(X ≤ x | X > c) folgt die Verteilungsdichtef (x | x > c) = α ⋅β⋅ xA.3.6β−1⋅exp(−α ⋅(x− cAngewandte Belastungsmodelleββ))∀x ≥ c mit x > 0 . (A.3.41)Mit dem Arrhenius-Modell lassen sich Fehlermechanismen wie Korrosion, Ionen-Kontamination und Elektromigration abbilden. Ursache der Fehler ist dabei überwiegendder Temperatureinfluss [NEC98]. Die Temperaturabhängigkeit der Reaktionsge-

A.3 Grundlagen 99schwindigkeit ν lässt sich mit der Arrhenius-Gleichung beschreiben [VDA00]. Es giltdie Beziehungmit:⎛ Ea ⎞ν = ν0 ⋅exp⎜−⎟(A.3.42)⎝ k ⋅θ ⎠ν 0 : Proportionalitätskonstante (bauteil- und fehlerspezifisch)Ea: Aktivierungsenergie (bauteil- und fehlerspezifisch) (in eV)k: Boltzmannkonstante (k = 8,617·10 −5 eV/Kelvin)θ: absolute Temperatur (in Kelvin).Wird das Arrhenius-Modell in den Bereich der Zuverlässigkeits- und Sicherheitstheorieübertragen, so kann eine messbare Lebensdauergröße (MTBF, η, etc.) mit der Beziehung⎛ Ea ⎞L ( θ)= C⋅exp⎜⎟(A.3.43)⎝ k ⋅θ ⎠beschrieben werden [Nel90] mit:L(θ):messbare LebensdauergrößeC: Modellparameter (bauteil- und fehlerspezifisch).Das Ausfallverhalten einer W(α, β)-verteilten Komponente sei auf Basis von Erprobungs-oder Felderfahrungen bei einer anliegenden Temperatur θ o bekannt. Die Parameterη o und α o berechnen sich mit Gleichung (A.3.43) zuηαoo⎛ Ea ⎞= L ( θo) = C⋅exp⎜⎟ und (A.3.44)⎝ k ⋅θo⎠⎛ 1=⎜⎝ ηo⎞⎟⎠β⎛= ⎜⎝1C⎛ Ea⋅exp⎜−⎝ k ⋅θo⎞⎞⎟⎟⎠⎠β. (A.3.45)(0)Wird bei einer anliegenden Temperatur θ o die Zeit t obeobachtet, so lässt sich diese(1)Zeit in eine äquivalente Zeit bei anliegender Belastung θ 1 umrechnen. Mitt o(0)(1)F(to| θo) = F(to| θ1)gilt (A.3.46)⎛⎞(1) (0)⎜Ea ⎛ 1 1 ⎞t ⎟o= to⋅exp⋅⎜ −⎟. (A.3.47)⎝ k ⎝ θ1θo⎠⎠

100 AnhangDie Ausfallwahrscheinlichkeit entsprechend einer Weibull-Verteilung ergibt sich dannzuF(t(1)o(1)| θ ) = 1−exp( −α ⋅ B( θ , θ )β ⋅ t ) . (A.3.48)1oo1Mit der gegebenen Ausfallwahrscheinlichkeit berechnet sich die Ausfalldichte zuoβf (t(1)oβ−1β (1)β (1)| θ ) = α ⋅ B( θ , θ ) ⋅β ⋅ t ⋅ exp( −α ⋅ B( θ , θ ) ⋅ t ) . (A.3.49)1oo1ooo1oβDie zugehörige Ausfallrate lautet(1)o1oo1(1) β−1o1(1) β−1oβλ (t | θ ) = α ⋅ B( θ , θ ) ⋅β ⋅ t = α ⋅ β ⋅ t . (A.3.50)(1)(0)Dabei entspricht t oder auf θ 1 normierten Zeitdauer tound B(θ o, θ1)dem Beschleunigungsfaktor,für den gilt:⎛⎞⎜Ea ⎛ 1 1 ⎞B ( θ⎟o, θ1)= exp⋅⎜ −⎟. (A.3.51)⎝ k ⎝ θoθ1⎠⎠A.3.7SchadensakkumulationWird ein Bauteil infolge einer erhöhten Temperatur zusätzlich belastet, so hat dieseBelastung einen Einfluss auf das zukünftige Ausfallverhalten. Es ist demnach erforderlich,die akkumulierte Schädigung auf Basis aller erfahrenen Belastungen zu bestimmen.Im Folgenden wird ein Schadensakkumulationsmodell nach Nelson [Nel90]vorgestellt. Wesentliche Modellannahmen sind:• Das Ausfallverhalten hängt von der gegenwärtigen akkumulierten Schädigungab.• Die akkumulierte Schädigung hängt von den Expositionszeiten ab und ist unabhängigvon der Reihenfolge der einzelnen Belastungen.Gegeben seien die beobachteten {Zeit, Temperatur}-Paare {{t o , θ o }, {t 1 , θ 1 }, ...,{t i , θ i }, ..., {t n , θ n }}. Die akkumulierte Schädigung, gegeben durch die Lebensdauer(n)zum Zeitpunkt t n, bei anliegender Temperaturbelastung θ n , berechnet sich dann aufBasis der Beobachtungen zun(n) (n−1)n= tn⋅ B( θn,θn−1)= ∑(ti− ti−1)⋅ B( θn,θi−1)i=1t für den Fall t o= 0 .(A.3.52)Es erfolgt somit eine Transformation aus einem Original-Zeitbereich t in einen, auf θ n(n)(n)normierten, Äquivalenz-Zeitbereich t . Die Ausfallwahrscheinlichkeit F(tn| θn)berechnet sich dann entsprechend der Gleichung (A.3.48).