Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.6 Eigenwerte gefärbter GraphenZur Korrektheit des Algorithmus ist zunächst anzumerken, dass ein verallgemeinerterEigenvektor z von M DE zum Eigenwert µ auch ein verallgemeinerter Eigenvektor vonL DE zum Eigenwert λ mit µ = 1 − αλ ist, denn( ) [ j 1(L DE − λI z = I − M DE) − 1 ] jα α (1 − µ) I z=(− 1 α) j (M DE − µI) jz= 0 falls(M DE − µI) jz = 0 .Schreibt man nun die Anfangsverteilung in der Form w 0 = ∑ mdann berechnet Algorithmus 3.8also die Gleichverteilung.w m−1 ===1∏k=m−11∏k=m−1m∑ ∑s i((I − 1λ DEk+1I − 1i=1 j=1 k=m−1= z 1,1 ,1∏λ DEk+1(L DE ) skw 0L DE ) ski=1 j=1i=1∑ m∑s iz i,j)I − 1skλ DE L DE z i,jk+1∑ sij=1 z i,j mit z 1,1 = w3.6 Eigenwerte gefärbter GraphenDer Aufwand für die im vorigen Abschnitt beschriebenen Verfahren hängt ab von der Anzahlder verschiedenen Eigenwerte. Diese Anzahl wiederum ist abhängig von der konkretgewählten Einfärbung. Bei den Diffusionsvarianten war von Vorteil, dass die Eigenwertevieler Standardgraphen bekannt sind und nicht aufwändig berechnet werden müssen.Ziel dieses Abschnittes ist es, nicht nur die Anzahl der Eigenwerte gefärbter Graphen zuermitteln sondern nach Möglichkeit auch die Eigenwerte selbst zu bestimmen.3.6.1 Mathematische GrundlagenZur Untersuchung der Eigenwerte benötigt man Kroneckerprodukte und zirkulante Matrizen.Deren Verwendung im Zusammenhang mit Matrizen gefärbter Graphen wurdezuerst vorgeschlagen in [XL95].51