Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.5 Endliche Dimension-Exchange-VerfahrenBilinearform 〈f, g〉 = ∑ mj=2 ω jf j g j = f T Ωg. Damit erhalten wir eine neue Rekursion fürdie Vektoren f k :mitf 0 = (1, . . . , 1) Tf 1 = (α 1 I − M) f 0f k = (α k I − M) f k−1 − ˆβ k f k−2 , k = 2, . . . , m − 1α k = 〈Mf k−1, f k−1 〉〈f k−1 , f k−1 〉= f k−1 T MΩf k−1fk−1 T Ωf , k = 1, . . . , m − 1k−1ˆβ k = 〈f k−1, f k−1 〉〈f k−2 , f k−2 〉 = f k−1 T Ωf k−1fk−2 T Ωf , k = 2, . . . , m − 1k−2Da M DE eine reelle Matrix ist, sind die Eigenwerte µ DEi und die ω i entweder reell oder sietreten in komplex konjugierten Paaren auf. Folglich sind die Produkte 〈f, f〉 und 〈Mf, f〉reell – allerdings können sie negativ oder null werden. Im Falle 〈f k−1 , f k−1 〉 = 0 brichtder Algorithmus ab. Im folgenden wird davon ausgegangen, dass kein solcher Break-downauftritt. Dann kann man leicht nachweisen, dass 〈f k , f l 〉 = 0 ist für k ≠ l. Außerdemist keiner der Vektoren f 0 , . . . , f m−2 der Nullvektor, denn sonst gäbe es ein Polynomvom Grad k ≤ m − 2 mit m − 1 Nullstellen. Also muss f m−1 = 0 sein, was den Beweisabschließt.Bemerkung 3.16. Bei der Rekursion für die Vektoren f k im letzten Beweis handelt essich um nichts anderes als das komplex symmetrische Lanczos-Verfahren [CW85]. Esberechnet MF = F J mit F = (f 0 · · · f m−1 ) und J = tridiag(−1, α i , − ˆβ i+1 ).Auf den Abdruck der Verfahren SDE-OPT sowie SDE-OPS wird hier verzichtet, diealgorithmischen Unterschiede zu den unsymmetrischen Varianten ähneln denen zwischenDE-FOS (Alg. 3.3) und SDE-FOS (Alg. 3.4). Da die Matrix M SDE symmetrisch ist, ist sieim Gegensatz zu M DE auf jeden Fall diagonalisierbar und es treten keinerlei komplexeZahlen auf. Die Beweise für die Korrektheit von SDE-OPT und SDE-OPS stimmen exaktmit denen für OPT und OPS überein, da auch hier in beiden Fällen eine symmetrischeMatrix verwendet wird.Wie bei den Diffusionsverfahren auch wird zukünftig die Abkürzung DE-OPX für einbeliebiges der beiden Verfahren DE-OPS bzw. DE-OPT benutzt, entsprechendes gilt fürSDE-OPX.3.5.1 DE-OPT im nicht-diagonalisierbaren FallBisher ist nicht bekannt, ob überhaupt Graphen und Kantengewichte existieren, so dassM DE nicht diagonalisierbar ist. Dennoch soll in diesem Abschnitt gezeigt werden, dass dasDE-OPT-Verfahren so modifiziert werden kann, dass es auch dann noch eine Gleichverteilungberechnet. Allerdings muss dann statt der Eigenwerte von M DE deren Jordan-Form49