Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.2 Matrizen für gefärbte GraphenE 1 = {{1, 2}} E 2 = {{2, 3}}⎛ ⎞⎛ ⎞1 00 0A 1 = ⎝−1 0⎠ A 2 = ⎝0 1 ⎠0 00 −1⎛⎞⎛1 − α α 01 0 0⎞M 1 = ⎝ α 1 − α 0⎠ M 2 = ⎝0 1 − α α ⎠0 0 10 α 1 − α⎛ ⎞⎛ ⎞1 −1 00 0 0L 1 = ⎝−1 1 0⎠ L 2 = ⎝0 1 −1⎠0 0 00 −1 1Das folgende sofort herleitbare Lemma fasst einige Eigenschaften der neu eingeführtenMatrizen zusammen.Lemma 3.6. Für die Laplace- und Inzidenzmatrizen der Teilgraphen gilt:L i = A i A T ic∑A = A Diff =L Diff =i=1c∑i=1A iL iA i A T j = 0 für i ≠ jDie neu einzuführenden Verfahren beruhen alle darauf, die Diffusionsmatrizen dereinzelnen Farben hintereinander auf den Lastvektor anzuwenden. Um eine möglichstkompakte Notation zu ermöglichen, werden die folgenden Matrizen eingeführt.Definition 3.7. Es seien M 1 , . . . , M c die Diffusionsmatrizen der Teilgraphen zu jeweilseiner Farbe. Dann werden die folgenden Matrizen definiert:M DE = M c · · · M 1M SDE = M 1 · · · M c · M c · · · M 1 = M DET M DEL DE = 1 (I − M DE)αL SDE = 1 (I − M SDE)αHierbei steht (S)DE für (symmetrisches) Dimension Exchange.41