Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2.4 Eigenwerte von GraphenNach Lemma 2.14 aber ist z 1 = w.Um zu sehen, dass auch OPT ein polynomiales Verfahren im Sinne von Definition 2.15ist, lässt sich die Iterationsvorschrift auch auf folgende Weise unter Verwendung derMatrix M Diff schreiben:w k =(11 − µ Diff M Diff −k+1)µDiff k+11 − µ Diff I w k−1 (2.5)k+1Bemerkung 2.19. Die nach m − 1 Schritten von OPS und OPT berechneten Polynomesind identisch, denn es gibt nur ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad m − 1 mitden Eigenschaften p(µ Diffi ) = 0 für i = 2, . . . , m und p(1) = 1, siehe auch [DFM99]:p OPSm−1(t) = p OPTm−1(t) =m∏i=2t − µ Diffi1 − µ DiffiBei exakter Rechnung sind die beiden Verfahren OPS und OPT also gleichwertig bezüglichder Anzahl der benötigten Schritte und des Flusses.Bemerkung 2.20. Wegen der engen Verwandtschaft von OPS und OPT gelten viele derim folgenden untersuchten Eigenschaften für beide gleichermaßen. In solchen Fällen wirdabkürzend OPX geschrieben.2.4 Eigenwerte von GraphenEs mag als ein großer Nachteil des OPS- bzw. OPT-Verfahrens erscheinen, dass vor demeigentlichen Loadbalancing erst alle Eigenwerte des Graphen berechnet werden müssen.Für die wichtigsten Standardgraphen, die als Parallelrechnertopologien in der Praxisauftreten, sind die Eigenwerte jedoch bekannt. Tabelle 2.1 enthält die Eigenwerte dermeisten in Abschnitt 1.7 eingeführten Standardgraphen. Die angegeben Formeln stammenaus [CDS95, Els02]. Bei den Formeln, die für Zyklus, Gitter und Torus angegebenGraph Abk. λ DiffiPfad P n 2 − 2 cos ( πn j) , j = 0, . . . , n − 1Zyklus C n 2 − 2 cos ( 2π( ( n j) ,)j = 0, .(. . , n −))1πn 1j π 1 n 2j 2Gitter G n1 ,n 24 − 2Torus T n1 ,n 24 − 2cos( (cos 2πHypercube H d 0, 2, . . . , 2dStern S n 0, 1, nKompl. Gr. K n 0, n+ cosn 1j 1)+ cos, j i = 0, . . . , n i − 1, i = 1, 2( ))2πn 2j 2 , j i = 0, . . . , n i − 1, i = 1, 2Tabelle 2.1: Eigenwerte der Laplace-Matrizen einiger Standardgraphensind, ist zu beachten, dass einige Eigenwerte mehrfach auftreten können. Falls der Graph33