Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

w 1 = 1 γ 1[α1 w 0 − M Diff w 0]x 1 = 1 γ 1αA Diff T w 0for k = 2, . . . , m − 1 dow k = 1 [γ αk kw k−1 − M Diff w k−1 − β k w[k−2]]x k = 1γ k(α k − 1) x k−1 − αA Diff T w k−1 − β k x k−2end for2.3 Endliche Diffusionsverfahren: OPS und OPTAlgorithmus 2.4: OPS-VerfahrenAllgemein gilt bei polynomialen Loadbalancing-Verfahren nach Lemma 2.17 für dieFehlerm∑e k = p k (µ Diffi )z i ,i=2wobei die z i wieder Eigenvektoren von M Diff sind. Beachtet man, dass die z i paarweiseorthogonal sind, erhält man nach Übergang zur euklidischen Norm∥∥∥e k ∥∥2m ( = ∑m)p k (µ Diffi ) 2 ‖z i ‖ 2 2 ≤ ∑p k (µ Diffi ) 2 mmax ‖z i‖ 22 i=22 .i=2In [DFM99] wird gezeigt, dass der Faktor ∑ mi=2 p k(µ Diffi ) 2 aus der letzten Abschätzung∑für obige Wahl der ω i in jedem Schritt minimal wird. Insbesondere ist e m−1 =mi=2 p m−1(µ Diffi )z i = 0 und damit w m−1 = w.Die Konvergenz der verschiedenen Diffusionsverfahren (FOS, SOS, Čebyšev und OPS)ist in Abbildung 2.1 am Beispiel eines Zyklus der Länge 12 dargestellt. Für die Parameterα bzw. β wurden in den entsprechenden Verfahren jeweils die optimalen Wertegewählt. In dem Diagramm wird die Überlegenheit des OPS-Verfahrens deutlich, SOSund Čebyšev unterscheiden sich nur geringfügig, FOS ist nicht konkurrenzfähig. In derAbbildung wie auch in allen anderen Beispielen, sofern nicht anders angegeben, beträgtdie Gesamtlast 100·n, wobei n die Anzahl der Knoten ist. Die Ausgangsverteilung wurdezufällig erzeugt. Bei den nicht-endlichen Verfahren wird jeweils iteriert, bis der absoluteFehler in der l 2 -Norm garantiert kleiner ist als 0,5. Denn schließlich muss am Ende derRechnung jeder Lastwert auf die nächste natürliche Zahl gerundet werden, da nur ganzeLasteinheiten verschoben werden können. In den Beispielen bleibt also ein relativerFehler von 0,5 %. Beim Vergleich der Verfahren sollte man also nicht vergessen, dassdie Anzahl der Schritte bei den nicht-endlichen Verfahren mit wachsender Gesamtlastzunimmt, bei den endlichen Verfahren dagegen konstant ist.Das OPS-Verfahren ist im Gegensatz zu den anderen Verfahren etwas aufwändiger zuimplementieren, da zunächst die Skalare α k , β k und γ k aus den Eigenwerten berechnetwerden müssen. In [EFMP99] wird mit dem OPT -Verfahren ein anderer Algorithmusvorgestellt, der wesentlich einfacher und unmittelbar verständlich ist. Er kommt ohnedie Dreitermrekursion aus, vgl. Algorithmus 2.5. Auch wenn die Eigenwerte im Algorithmusaufsteigend durchlaufen werden, hat die Reihenfolge bei exakter Rechnung keineni=231