Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2.2 Einfache Diffusionsverfahren: FOS, SOS und Čebyševdiese erfüllen also die kurze Rekursionp FOS0 (t) = 1p FOSk(t) = tp FOS (t) k = 1, 2, . . . .k−1In [Cyb89] wird gezeigt, dass das FOS-Verfahren genau dann konvergiert, wenn die Zusatzvoraussetzung2.4 erfüllt ist. Dann gilt nämlich für γ = γ Diff aus Definition 2.13 dieBeziehung γ < 1 und für die Fehler gilt∥∥∥e k ∥∥2≤ γ k ∥ ∥e 0∥ ∥2.Der Wert γ wird dann möglichst klein und damit die Konvergenz im Sinne der obigen2Abschätzung möglichst gut, wenn α =λ 2 +λ mist, wobei λ 2 und λ m der zweitkleinstebzw. der größte Eigenwert der Laplace-Matrix L Diff sind [Cyb89, EFMP99].Falls γ nahe bei 1 liegt, konvergiert das FOS-Verfahren sehr langsam. Um die Konvergenzzu verbessern, haben Ghosh, Muthukrishnan und Schultz das Second Order Scheme(SOS) [MGS96] entwickelt, vgl. Algorithmus 2.3. Die Polynome erfüllen die Rekursionp SOS0 (t) = 1p SOS1 (t) = tp SOSk(t) = βtp SOSk−1 (t) + (1 − β) pSOS k−2 (t).Dabei ist β ∈ (0; 2) ein fest gewählter Parameter.w 1 = M Diff w 0x 1 = αA Diff T w 0for k = 2, 3, . . . dow k = βM Diff w k−1 + (1 − β) w k−2x k = βx k−1 + βαA Diff T w k−1 + (1 − β) x k−2end forAlgorithmus 2.3: SOS-VerfahrenDas SOS-Verfahren konvergiert für jedes β ∈ (0; 2), die beste Konvergenz ergibt sichfür2β = β opt =1 + √ 1 − γ ; 2in diesem Fall gilt für die Fehler [MGS96]∥ (∥∥e k ∥∥2≤ (β opt − 1) k 2 1 + k √ ) ∥∥1 − γ 2 e 0∥ ∥2.Eng verwandt mit dem SOS-Verfahren ist das Čebyšev-Verfahren [DFM99]. Statt einesfesten Parameters β werden in den einzelnen Schritten verschiedene Werte verwendet,nämlichβ 1 = 1, β 2 = 22 − γ 2 , β k =44 − γ 2 β k−1, k = 3, 4, . . . .29