Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2.1 Matrizen für DiffusionsverfahrenDefinition 2.11. Es seien M Diff und L Diff wie oben. Die Anzahl paarweise verschiedenerEigenwerte dieser Matrizen werde mit m bezeichnet. Die zu M Diff gehörenden Eigenwerteseien so geordnet, dassµ Diff1 > µ Diff2 > · · · > µ Diffmund die von L Diff entsprechendλ Diff1 < λ Diff2 < · · · < λ Diffmmit µ Diffi= 1 − αλ Diffi .Bemerkung 2.12. Es ist der größte Eigenwert µ Diff1 = 1 mit zugehörigem Eigenvektor(1, . . . , 1) T [HJ85, Cor. 8.1.30]. Unter Voraussetzung 2.4 gilt außerdem µ Diffm > −1[Cyb89, Theorem 1].Definition 2.13. Mit γ Diff = max {∣ ∣µ Diff ∣2 , ∣ ∣µ Diff ∣ } m werde der betragsmäßig zweitgrößteEigenwert von M Diff bezeichnet.Lemma 2.14 ([DFM99, Lemma 1]). Es seien w 0 und w die Vektoren der anfänglichenLastverteilung bzw. der Gleichverteilung. Ferner seiw 0 =m∑i=1z ieine Darstellung von w 0 durch (nicht-normalisierte) Eigenvektoren z i von M Diff , d. h.M Diff z i = µ Diffi z i für i = 1, . . . , m. Dann giltw = z 1 .Definition 2.15. Ein polynomiales Loadbalancing-Verfahren ist ein Verfahren, bei demsich die Last im Schritt k ausdrücken lässt alsw k = p k (M Diff )w 0mit p k ∈ Π k . Hierbei bezeichnet Π k die Menge aller Polynome p vom Grad deg(p) ≤ k,für die p(1) = 1 ist.Alle Verfahren, die hier betrachtet werden, sind polynomiale Verfahren im Sinne obigerDefinition. Die Bedingung p k (1) = 1 bewirkt, dass alle Matrizen p k (M Diff ) doppeltstochastisch sind. Dies stellt sicher, dass die Gesamtlast unverändert bleibt, d. h. dass∑ ni=1 wk i = ∑ ni=1 w0 i ist.Definition 2.16. Mit e k = w k − w werde der Fehler nach dem k-ten Iterationsschrittbezeichnet.27