Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2 DiffusionsverfahrenBei den Diffusionsverfahren handelt es sich um die Verfahrensklasse, die speziell auf dasAll-Port-Rechnermodell ausgerichtet ist. Nach einigen Definitionen werden verschiedeneDiffusionsverfahren vorgestellt, die alle innerhalb der letzten etwa zehn Jahre veröffentlichtwurden. Es folgen einige Bemerkungen zu Eigenwerten von Matrizen zur Beschreibungvon Graphen sowie zu den Auswirkungen verschiedener Anordnungen derEigenwerte auf die numerische Stabilität der Diffusionsverfahren.2.1 Matrizen für DiffusionsverfahrenZunächst werden mehrere Matrizen zur Beschreibung von Graphen definiert.Definition 2.1. Es sei G ein zusammenhängender ungerichteter Graph und α ( ∈ (0; 1) )ein konstantes Kantengewicht. Definiere die Matrix M Diff ∈ R n×n , M Diff = m Diffijdurch⎧⎪⎨ 1 − α deg(i) falls i = jm Diffij = αfalls {i, j} ∈ E⎪⎩0 sonst,wobei deg(i) den Grad des Knotens i bezeichnet. Sind alle m Diffijeine Diffusionsmatrix des Graphen G.≥ 0, so nennt man M DiffBemerkung 2.2. Die Matrix M Diff ist symmetrisch und doppelt stochastisch, das heißtalle Zeilensummen und Spaltensummen ergeben 1.Graph-Beispiel 2.3.⎛1 − α α 0⎞M Diff = ⎝ α 1 − 2α α ⎠0 α 1 − αIm folgenden sei stets die nachstehende Zusatzvoraussetzung erfüllt. Sie garantiert dieKonvergenz der Diffusionsverfahren, vergleiche Bemerkung 2.12.Voraussetzung 2.4. Es gelte eine der beiden Bedingungen:1. Ein Diagonalelement m Diffiider Diffusionsmatrix M Diff ist positiv.2. Der Graph G ist nicht bipartit.25