Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

VorwortDas Kapitel 2 beschäftigt sich mit den verschiedenen Diffusionsverfahren, die seit1989 veröffentlicht worden sind. Begonnen wird mit einfacheren Verfahren erster undzweiter Ordnung. Danach folgen endliche Verfahren, die auf der Kenntnis von Eigenwertenbestimmter Matrizen zu Graphen basieren. Bei einem der endlichen Verfahren wirduntersucht, wie sich die Reihenfolge dieser Eigenwerte auf die numerische Stabilität desVerfahrens auswirkt.Das zentrale Kapitel der vorliegenden Arbeit ist das Kapitel 3 über Dimension-Exchange-Verfahren.Der wesentliche Unterschied zu Diffusionsverfahren liegt darin, dassdie einzelnen Iterationsschritte weiter unterteilt werden in Teilschritte, wobei stets dieaktuellsten Lastinformationen herangezogen werden. Die Abschnitte 3.1 und 3.2 widmensich der hierfür notwendigen Kantenfärbung der Graphen sowie Matrizen zur Beschreibunggefärbter Graphen. In den Abschnitten 3.3 bis 3.5 wird gezeigt, wie man ausden verschiedenen Diffusionsverfahren entsprechende Dimension-Exchange-Varianten gewinnt.Die Idee des Dimension-Exchange-Prinzips ist genauso alt wie die Diffusionsverfahren(siehe [Cyb89]), neu in dieser Arbeit sind endliche Dimension-Exchange-Verfahren.Von jeder Verfahrensvariante gibt es zwei Arten, eine mit unsymmetrischer undeine mit symmetrischer Iterationsmatrix. Bei den endlichen unsymmetrischen Algorithmenwird jeweils die Korrektheit nachgewiesen, bei den symmetrischen ist dies wegen derengeren Verwandtschaft zu Diffusionsverfahren nicht nötig. Wie im Diffusionsfall müssenauch für die endlichen Dimension-Exchange-Verfahren vorneweg Eigenwerte bestimmterGraphmatrizen ausgerechnet werden; in Abschnitt 3.6 werden für einige wichtige Graphenkonkrete Formeln für diese Eigenwerte hergeleitet. Bei vielen Graphen ist zudemdie Anzahl verschiedener Eigenwerte geringer als im Diffusionsfall, was sich unmittelbarauf die Laufzeiten der Verfahren auswirkt. Der konkrete Ablauf des Lastaustausches wirddurch Flüsse auf den Graphen beschrieben. Während Diffusionsverfahren Flüsse erzeugen,die eine minimale l 2 -Norm besitzen, entstehen beim Dimension-Exchange höhereFlüsse. Abschnitt 3.7 demonstriert, wie man die Flüsse durch zusätzliche Rechnungen,aber mit wenig zusätzlicher Kommunikation, verringern kann. In Abschnitt 3.8 werdenwichtige Resultate zur Berechnung und Abschätzung von Flüssen hergeleitet. Zu einemgegebenem Graphen und einem gegebenen Verfahren lassen sich Matrizen konstruieren,die angewandt entweder auf eine Ausgangslastverteilung oder einen mit irgendeinemanderen Verfahren berechneten Fluss den gesuchten Fluss liefern. Die Spektralnormendieser mit Hilfe von Moore-Penrose-Inversen bestimmten Matrizen sind ein Maß dafür,um wie viel die berechneten Flüsse im schlimmsten Fall über dem Minimum liegen. Füreinige spezielle Graphen lassen sich diese Matrixnormen theoretisch berechnen, für alleanderen wichtigen Fälle werden experimentell berechnete Werte angegeben. Das Kapitelendet mit Betrachtungen zu Aufwand und Stabilität sowie den diesbezüglichen Vorteilenvon Dimension-Exchange- gegenüber Diffusionsverfahren.Kapitel 4 ist den Verfahren der alternierenden Richtungen gewidmet, einer speziellenVerfahrensklasse für so genannte Produktgraphen wie Gitter und Torus. Basierendauf mehreren bereits existierenden Diffusionsverfahren werden sowohl neue Diffusionsvariantenals auch Dimension-Exchange-Verfahren für Produktgraphen konstruiert. DieErgebnisse zur Berechnung von Flüssen aus Kapitel 3 lassen sich zumindest auf einen Teilder Verfahren für Produktgraphen übertragen, ebenso wie Methoden zur Flussreduktion.14