78 stand- punkt 14 markt- report - Goldman Sachs

DELTA EINES „CASH-OR-NOTHING“-CALLS
Die absoluten Zahlenwerte sind schematisch für einen Strike von 100 dargestellt.
60
50
40
30
20
10
Delta Vanilla-Option
Delta binäre Option
0
50 75 100 125 150
2. Das Vega
Schon die oben stehende Grafik zeigt
deutlich, wie schwierig es ist, etwa einen
Asset-or-nothing-Put zu bewerten. Dies
soll an folgendem Beispiel verdeutlicht
werden: Der Strike eines beispielhaften
Asset-or-nothing-Puts liegt bei 50 EUR,
der Basiswert steht momentan bei 60
EUR. Steigt in diesem Fall die Volatilität
des Basiswertes, steigt auch die Wahrscheinlichkeit,
dass die Aktie am Laufzeitende
unter 50 EUR schließen wird
und die Option mithin nicht wertlos verfällt,
woraus sich ergäbe, dass der Wert
der Option steigt. Umgekehrt steigt natürlich
auch die Wahrscheinlichkeit, dass
die Aktie über 70 EUR schließen wird.
Durch die höhere Schwankungsbreite
wird also die Wahrscheinlichkeit erhöht,
dass die Aktie am Laufzeitende weiter
vom aktuellen Preis entfernt notiert.
Fällt die Aktie nun aber tatsächlich
auf 45 EUR, dreht sich die Sensitivität
der binären Option bezüglich der Volatilität
(Vega) wieder um. Steigen jetzt die
Schwankungen des Basiswertes, erhöht
sich sowohl die Wahrscheinlichkeit, dass
der Basiswert am Laufzeitende über 50
EUR notieren wird (damit wäre die Option
wertlos), als auch die Wahrscheinlichkeit,
dass der Basiswert tiefer als
45 EUR notiert (damit verliert die Option
an Wert). Steht hingegen der Basiswert
zum Beispiel bei 5 EUR, ist das Vega
wieder positiv, da nun die Wahrscheinlichkeit
für größere Gewinne steigt.
3. Gamma und Theta
Hält der Anleger eine binäre Option, die
im-Geld steht, besitzt er eine Short-Gamma-Position
und verdient dafür aber das
Theta (siehe dazu die Erläuterung im
Kasten). Die Vorzeichen drehen sich um
(d.h. der Anleger wird Long Gamma und
bezahlt Theta), wenn die binäre Option
aus-dem-Geld steht. Dieses Verhalten
wird „risk reversal“ genannt. Ein Optionshändler
soll dieses Verhalten wie
folgt beschrieben haben: „Eine Versicherung
gegen Überschwemmung verkaufen,
um eine Versicherung gegen Dürre zu finanzieren.“
Am-Geld verhält sich die binäre
Option wie ein Future und verliert ihre
OPTIONSSCHEINE-KNOW-HOW
EXKURS: GAMMA
Was bedeutet es, eine Long-Gamma-Position zu halten?
AKADEMIE
Optionalität, so dass Gamma und Vega
gleich null sind.
Absicherung („Hedging“)
aus Sicht des Emittenten
Ein Nachteil des für Vanilla-Optionen benutzten
Black-Scholes-Modells ist, dass
es die Hedging-Problematik unterschätzt
und damit die binäre Option unterbewertet.
Gerade wenn es auf das Ende der
Laufzeit zugeht, ist es einem Emittenten
nahezu unmöglich, auf herkömmliche
Weise seine Short-Position (short, da er
die Option verkauft hat) in einer binären
Option abzusichern. Doch auch bei binären
Optionen mit langer Restlaufzeit
wurde von Händlern schon viel Geld
durch falsches Hedging verloren.
Eine Möglichkeit, eine binäre Option
abzubilden, ist diejenige über einen Call-
Spread. Ein Call-Spread setzt sich aus
zwei Call-Optionen mit unterschiedlichem
Strike zusammen. Die Option mit
dem niedrigeren Strike (z.B. 100,00 EUR)
wird gekauft, und die Option mit dem
höheren Strike (z.B. 100,01 EUR) wird
verkauft. Damit lässt sich ein sehr vergleichbares
stufenförmiges Auszahlungsprofil
erreichen.
Allerdings ist diese Replikation aufgrund
der Volatilitäts-Skew (englisch
skew: Schiefe oder Schräge) nicht perfekt,
sondern in der Regel teurer als die
Zunächst einmal gibt das Gamma an, um wie viel Einheiten sich das Delta verändert, wenn der Basiswert
um eine Einheit steigt. Herkömmliche Call-Optionen weisen ein positives Gamma auf. Steigt
der Basiswert, erhöht sich das Delta. Bei einer binären Option, die im-Geld steht, ist der Sachverhalt
anders.
Beispiel:
Die Rückzahlung eines Cash-or-nothing-Calls mit einem Strike von 100 EUR beträgt 100 EUR, wenn die
Option im-Geld notiert. Der aktuelle Preis des Basiswertes liegt nun bei 120 EUR. Der Wert der binären
Option wird bei einem Anstieg des Basiswertes um 1 EUR zwar leicht zunehmen, allerdings viel
weniger, als er zunehmen würde, wenn der Basiswert bei 95 EUR stünde. Das heißt, das Delta ist niedriger,
wenn die Option im-Geld/aus-dem-Geld steht verglichen mit dem Delta der Option, wenn sie
am-Geld steht. Das wiederum bedeutet, dass das Gamma, das die Sensitivität des Deltas gegenüber
dem Basiswertkurs angibt, negativ sein muss, wenn der Basiswertkurs größer als der Strike ist.
Steht der Basiswert bei 200 EUR und beträgt die Restlaufzeit 1 Monat, so wird der aktuelle Preis der
Option dem diskontierten Wert von 100 EUR entsprechen, da es als faktisch sicher gelten würde,
dass der Basiswert in der verbleibenden Restlaufzeit nicht mehr unter die Barriere von 100 Euro fälllt.
Das heißt, dass der Wert der Option ceteris paribus mit abnehmender Restlaufzeit zunimmt, was im
Händlerjargon bedeutet, dass man „Theta (Zeitwert) verdient“.
(Zu den „Griechen“ vgl. auch KnowHow-Akademie Folge 7 und 8, Heft 1 und 2 2003)
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