Nichtlineare Schwingungen - TTM
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<strong>Nichtlineare</strong><br />
<strong>Schwingungen</strong><br />
November 97<br />
Institut für Thermische Turbomaschinen und Maschinendynamik<br />
Technische Universität Graz
INHALTSVERZEICHNIS<br />
1. Einführung...................................................................................................................................1<br />
2. Lineare und nichtlineare <strong>Schwingungen</strong> am Beispiel des mathematischen Pendels...................2<br />
2.1 Freie ungedämpfte <strong>Schwingungen</strong> des Pendels ....................................................................2<br />
2.1.1 Lösung mit Hilfe der Störungsrechnung ........................................................................4<br />
2.1.2 Lösung mit Hilfe der Methode der harmonischen Balance............................................9<br />
2.1.3 Die exakte Lösung........................................................................................................10<br />
2.2 Freie gedämpfte <strong>Schwingungen</strong> ..........................................................................................15<br />
2.2.1 Der Einfluß kleiner Dämpfungsglieder ........................................................................15<br />
2.2.2 Die Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude ................................18<br />
2.3 Erzwungene <strong>Schwingungen</strong> ................................................................................................21<br />
2.3.1 Ungedämpfte erzwungene <strong>Schwingungen</strong> ...................................................................22<br />
2.3.2 Der Einfluß der Dämpfung und das Sprungphänomen ................................................26<br />
2.3.3 Subharmonische <strong>Schwingungen</strong>...................................................................................34<br />
2.3.4 Kombinationsfrequenzen .............................................................................................37<br />
2.4 Übungsaufgaben..................................................................................................................38<br />
3. Rotor-Lager-System unter Berücksichtigung nichtlinearer Lagerung (Diplomarbeit Lang).....64<br />
3.1 Dynamisches Verhalten von Gleitlagern.............................................................................64<br />
3.1.1 Reynolds’ sche Differentialgleichung ..........................................................................64<br />
3.1.2 Vollumschlossenes Kreislager .....................................................................................66<br />
3.2 Rotor-Lager–Ersatzsystem ..................................................................................................68<br />
3.2.1 Bewegungsgleichungen in zwei Richtungen................................................................69<br />
3.2.2 Erregerkräfte durch Streifkontakt.................................................................................70<br />
3.3 Anwendungsbeispiel ND-Läufer einer Dampfturbine ........................................................72<br />
3.3.1 Betriebsverhalten des Rotors........................................................................................72<br />
3.3.2 Eigenschwingung des Rotors aufgrund eines kurzzeitigen Kraftimpulses ..................74<br />
3.3.3 Erregung durch zeitlich veränderlichen Radialspalt.....................................................79<br />
3.3.4 Erregung durch elliptische Gehäuseverformung ..........................................................84<br />
3.3.5 Erregung durch versetztes Gehäuse..............................................................................89<br />
3.4 Abschätzung der Radialspaltveränderung durch das Abschmelzen der Streifkante ...........93<br />
3.5 Numerische Integration mit MATLAB-SIMULINK ..........................................................95
3.5.1 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen........................................95<br />
3.5.2 Erstellen eines SIMULINK-Koppelplans am Beispiel des Lavalrotors .......................97<br />
3.5.3 Beschreibung des verwendeten Simulationsblockdiagramms......................................99<br />
3.6 Literatur.............................................................................................................................102
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 1<br />
1. EINFÜHRUNG<br />
Warum befassen wir uns mit „nichtlinearen <strong>Schwingungen</strong>“? Im wesentlichen natürlich, weil die<br />
Differentialgleichungen, die reale physikalische Systeme beschreiben, stets nur in erster<br />
Näherung linear sind. Da die Behandlung nichtlinearer Differentialgleichungen wesentlich<br />
komplizierter als die der linearen ist, beschränkt man sich – wo immer möglich – auf lineare<br />
Modelle. Es zeigt sich, daß die Linearisierung oft die wesentlichen Eigenschaften des Systems<br />
richtig wiedergibt und eine den praktischen Anforderungen des Ingenieurs vollständig genügende<br />
Beschreibung liefert. Es gibt aber auch Fälle, in denen die Untersuchung des linearisierten<br />
Systems keine hinreichend genaue Darstellung ergibt; so zum Beispiel bei <strong>Schwingungen</strong> großer<br />
Amplituden in elastischen Systemen. Auch kann die nichtlineare Betrachtungsweise unter<br />
Umständen zu vollkommen neuen Erscheinungen führen, wie sie in linearen Systemen nicht<br />
möglich sind. Dies gilt zum Beispiel für die subharmonischen oder ultraharmonischen<br />
erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> oder für die Existenz eines Grenzzyklus (einer isolierten<br />
periodischen Schwingung eines selbsterregten Systems).<br />
Im modernen Ingenieurwesen mit der laufenden Verfeinerung der Instrumentation, den<br />
verbesserten Rechenmöglichkeiten und engeren Toleranzen gewinnt die Theorie nichtlinearer<br />
Systeme daher immer mehr an praktischer Bedeutung. Anwendungen der Theorie der<br />
nichtlinearen <strong>Schwingungen</strong> sind nicht nur in der klassischen Mechanik zu finden, sondern auch<br />
in der Elektrotechnik, Nachrichtentechnik, Quantenmechanik, Biologie und in vielen anderen<br />
Wissenszweigen.<br />
Abgesehen von ganz wenigen Ausnahmen ist es nicht möglich, für die bei nichtlinearen<br />
<strong>Schwingungen</strong> auftretenden Differentialgleichungen Lösungen in analytisch geschlossener Form<br />
anzugeben. Eine numerische Lösung führt natürlich zum Ziel, wenn wir die zu gegebenen<br />
Anfangsbedingungen gehörende Bewegung bestimmen wollen. Sie nützt uns allerdings wenig,<br />
wenn wir einen Überblick über die möglichen Arten von Lösungen und über deren Abhängigkeit<br />
von einzelnen Parametern zu erhalten suchen.<br />
Die analytischen Näherungsverfahren besitzen heute eine andere Bedeutung als vor dem Zeitalter<br />
elektronischer Rechenanlagen. Bei gegebenen Anfangsbedingungen und für vorgegebene<br />
Parameter können wir heute gewöhnliche Differentialgleichungen um ein vielfaches schneller<br />
und genauer numerisch integrieren als noch vor wenigen Jahrzehnten. Wollen wir aber einen<br />
Überblick über den Lösungscharakter und seine Abhängigkeit von bestimmten Parametern<br />
erhalten, so müssen wir die numerische Rechnung für viele verschiedene<br />
Parameterkombinationen wiederholen. Die Menge der anfallenden Daten kann dabei so sehr<br />
anwachsen, daß relativ einfache allgemeine Zusammenhänge nur noch schwer erkennbar sind.<br />
Die analytischen Näherungsverfahren dagegen gestatten es, einfache Zusammenhänge<br />
näherungsweise mit analytischen Ausdrücken direkt zu erfassen. Sie führen dabei oft zu gut<br />
überschaubaren und durchaus brauchbaren Ergebnissen. Mit wachsender Anzahl der Terme einer<br />
analytischen Approximation mag zwar die Genauigkeit zunehmen, es leidet aber die<br />
Überschaubarkeit. Wir werden uns daher bei allen Approximationen immer nur auf einige<br />
wenige Terme beschränken.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 2<br />
2. LINEARE UND NICHTLINEARE SCHWINGUNGEN AM<br />
BEISPIEL DES MATHEMATISCHEN PENDELS<br />
2.1 Freie ungedämpfte <strong>Schwingungen</strong> des Pendels<br />
Viele der mathematischen Hilfsmittel, die bei nichtlinearen <strong>Schwingungen</strong> eingesetzt werden,<br />
können wir mit Erfolg an einem der einfachsten mechanischen Systeme erproben: dem<br />
mathematischen Pendel. Bei Vernachlässigung der Reibung ist die Differentialgleichung der<br />
freien Schwingung des mathematischen Pendels durch<br />
oder<br />
mlx&& + mg sin( x)<br />
= 0<br />
(1)<br />
2<br />
x&& + ω sin( x)<br />
= 0<br />
(2)<br />
0<br />
2<br />
gegeben. Dabei ist m die Masse, 1 die Pendellänge, g die Erdbeschleunigung und 0 g / l = ω ; der<br />
Winkel x kennzeichnet die Auslenkung aus der (stabilen) lotrechten Gleichgewichtslage (siehe<br />
Abb.1). Bei der linearen Betrachtungsweise setzen wir näherungsweise sin(x)≈x, d.h. ,wir<br />
berücksichtigen nur das erste Glied der TAYLOR-Reihe sin x = x −<br />
kleine Winkel x voraussichtlich zu guten Ergebnissen führt.<br />
3<br />
x<br />
+<br />
3!<br />
5<br />
x<br />
−<br />
5!<br />
7<br />
x<br />
+ K,<br />
was für<br />
7!<br />
Abb.1: Das Mathematische Pendel<br />
Die nichtlineare Differentialgleichung (2) wird dann durch<br />
2<br />
0 ω x&& + x<br />
(3)<br />
0 =<br />
ersetzt, mit der allgemeinen Lösung<br />
x = A ω t)<br />
+ B cos( ω t)<br />
(4)<br />
sin( 0<br />
0
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 3<br />
wo A und B die durch die Anfangsbedingungen festzulegenden Integrationskonstanten sind. Die<br />
Eigenkreisfrequenz ω 0 hängt nicht von der Schwingungsamplitude ab. Dies ist, wie wir von den<br />
linearen <strong>Schwingungen</strong> wissen, eine allgemeine Eigenschaft linearer Systeme. Bezeichnen wir<br />
die Anfangswerte von x und x& zum Zeitpunkt t= 0 mit 0 x und x& 0 , so folgt<br />
und<br />
x0<br />
x = sin( ω0t)<br />
+ x0<br />
cos( ω0t)<br />
ω<br />
&<br />
0<br />
x& = x&<br />
ω t)<br />
− x ω sin( ω t)<br />
(6)<br />
0 cos( 0 0 0 0<br />
Das „Phasenporträt” entspricht in der x, x& -Ebene einer Ellipsenschar<br />
x<br />
2<br />
+<br />
x&<br />
ω<br />
2<br />
2<br />
0<br />
= x<br />
2<br />
0<br />
+<br />
x&<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
wie man leicht durch Elimination von t aus (5) und (6) erkennt, oder aber einer Schar von<br />
x&<br />
Kreisen, sofern man auf den Koordinatenachsen in der Phasenebene x, statt x, x& aufträgt<br />
2π<br />
(Abb.2). Alle diese Kreise (oder Ellipsen) werden in derselben Zeit T = durchlaufen. Diese<br />
ω0<br />
Tatsachen sind uns aus der Theorie der linearen <strong>Schwingungen</strong> wohlvertraut.<br />
Abb.2: Phasendiagramm des linearen Schwingers<br />
Offensichtlich versagt die lineare Darstellung aber vollkommen für große Winkel x. Die<br />
Differentialgleichung (2) hat ja sogar noch eine zweite ”Gleichgewichtslage” x = π, x& = 0,<br />
während die, „linearisierte” Differentialgleichung (3) nur den einen kritischen Punkt x = 0, x& = 0<br />
besitzt! Es ist zu erwarten, daß wir zu einer besseren Darstellung des Verhaltens der Lösungen<br />
von (2) kommen, wenn wir in der TAYLOR-Reihe nicht nur das erste Glied, sondern noch<br />
möglichst viele Glieder höherer Ordnung berücksichtigen. Obwohl wir (2) exakt lösen können,<br />
ω0<br />
(5)<br />
(7)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 4<br />
wollen wir zuerst verschiedene Näherungsverfahren anwenden, bevor wir die exakte Lösung<br />
angeben.<br />
In diesem Kapitel behandeln wir bis auf wenige Ausnahmen Gleichungen des Typs<br />
x && + h(<br />
x)<br />
x&<br />
+ f ( x)<br />
= p(<br />
t)<br />
, von welchen (2) ein Sonderfall ist (mit h(x) ≡ 0, p(t) ≡ 0). Dabei ist p(t)<br />
eine – meistens periodische – ”Erregung” und h( x)<br />
x&<br />
mit h ( x)<br />
≥ 0 ein ”Dämpfungsglied”.<br />
Differentialgleichungen dieser Art treten nicht nur bei einer Vielzahl von<br />
Schwingungsproblemen in der Mechanik, sondern oft auch in anderen Gebieten auf. So wird<br />
zum Beispiel der elektrische Schwingkreis der Abb.3 durch die Differentialgleichung<br />
di<br />
L + Ri + f ( q)<br />
= E sin( Ωt)<br />
oder Lq&& + Rq&<br />
+ f ( q)<br />
= E sin( Ωt)<br />
beschrieben. Hierbei ist i der<br />
dt<br />
Strom, L>0 die (lineare) Induktivität, R≥0 der (lineare) OHMsche Widerstand, u = f(q) die<br />
Spannung des nichtlinearen Kondensators mit der Ladung q und E sin(Ωt) die an den Klemmen<br />
vorgegebene Wechselspannung mit der Kreisfrequenz Ω.<br />
Abb.3: <strong>Nichtlineare</strong>r elektrischer Schwingkreis<br />
Das Pendel der Abb.1 entspricht in dieser Analogie dem kurzgeschlossenen Kreis (E=0) mit<br />
R=0. In diesem Kapitel wollen wir im weiteren von der physikalischen Realisierung der<br />
Differentialgleichung absehen, werden aber der Einfachheit halber meistens vom ”Pendel”<br />
sprechen.<br />
2.1.1 Lösung mit Hilfe der Störungsrechnung<br />
Wir schreiben jetzt sin(x)≈x–x 3 /6, was sicherlich eine bessere Näherung als sin(x)≈x ist, und<br />
erhalten so<br />
2<br />
2 ω0<br />
3<br />
x&& + ω0<br />
x − x = 0<br />
(8)<br />
6<br />
Um etwas allgemeiner zu bleiben, wollen wir vorläufig die ”DUFFINGsche<br />
Differentialgleichung”<br />
2 3<br />
x&& + ω x − μx<br />
= 0<br />
(9)<br />
0<br />
untersuchen, wobei μ ein „kleiner Parameter” ist. Man kann nun versuchen, eine Lösung in der<br />
Form
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 5<br />
x( 0<br />
1<br />
2<br />
m<br />
2<br />
m<br />
t)<br />
= x ( t)<br />
+ μx<br />
( t)<br />
+ μ x ( t)<br />
+ K K+<br />
μ x ( t)<br />
(10)<br />
zu finden, wobei die xi(t), i = 0, l, 2,... noch zu bestimmende Funktionen sind. Setzen wir (10) in<br />
(9) ein, so erhalten wir<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2 3 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( x&&<br />
+ ω x + x ) + μ ( x + ω x + 3x<br />
x ) + ( μ ) = 0<br />
x&& + ω x − μ<br />
&&<br />
o<br />
(11)<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
geordnet nach Potenzen von μ *) . Daraus folgt dann das Gleichungssystem<br />
usw.,<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
x&& + ω x = 0<br />
(12)<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
x&& + ω x = −x<br />
(13)<br />
3<br />
0<br />
x&& −<br />
(14)<br />
2<br />
2<br />
2 + ω0<br />
x2<br />
= 3x0 x1<br />
das rekursiv gelöst werden kann. Die allgemeine Lösung von (12) ist durch (4) gegeben und kann<br />
auch in der Form<br />
x t)<br />
= C sin( ω t + γ )<br />
(15)<br />
0 ( 0<br />
geschrieben werden, mit C und γ als neuen Integrationskonstanten. Durch Einsetzen von (15) in<br />
(13) erhalten wir<br />
2 3 3<br />
x&& + ω x = C ( ω t + γ )<br />
(16)<br />
1<br />
0<br />
1<br />
sin 0<br />
Um dies auf möglichst einfache Art zu lösen, schreiben wir die rechte Seite als Summe<br />
trigonometrischer Funktionen:<br />
2 3 3<br />
1 3<br />
x&& 1 + ω0<br />
x1<br />
= − C sin( ω0t<br />
+ γ ) + C sin( 3ω<br />
0t<br />
+ 3γ<br />
)<br />
(17)<br />
4<br />
4<br />
und erhalten<br />
3t<br />
3<br />
1 3<br />
x 1(<br />
t)<br />
= C cos( ω0t<br />
+ γ ) − C sin( 3ω<br />
0t<br />
+ 3γ<br />
) + C1<br />
sin( ω0t<br />
+ γ 1)<br />
(18)<br />
2<br />
8ω<br />
32ω<br />
0<br />
0<br />
mit den weiteren Integrationskonstanten C1 und γ1. Die Lösung (18) bestimmen wir als<br />
Überlagerung der freien Schwingung mit den beiden erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> der<br />
Kreisfrequenzen ω0 und 3ω0; dies ist möglich, da ja (15) wieder eine lineare<br />
Differentialgleichung ist.<br />
Bei der sukzessiven Lösung von (18) und der nachfolgenden Differentialgleichungen treten<br />
weitere Integrationskonstanten C2, C3,..., γ2, γ3,... die alle aus den Anfangsbestimmungen zu<br />
o(<br />
s)<br />
*) Das Symbol o(s) hat die in der Analysis übliche Bedeutung: es gilt = 0.<br />
Wir<br />
0<br />
1<br />
lim<br />
s→<br />
0 s<br />
unterscheiden zwischen o(s) und 0(s). Während o(s) Terme darstellt, deren Größenordnung klein<br />
O(<br />
s)<br />
gegen s ist, steht 0(s) für Glieder von der Größenordnung s, d.h., der Grenzwert lim ist<br />
s→<br />
0 s<br />
endlich!
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 6<br />
bestimmen sind. Da wir aber nur über zwei Anfangsbedingungen verfügen, gibt es hierzu<br />
verschiedene Möglichkeiten, von denen zwei besonders naheliegend sind:<br />
1. Man erfüllt die Anfangsbedingungen<br />
2<br />
x(<br />
0)<br />
= x ( 0)<br />
+ μx<br />
( 0)<br />
+ μ x<br />
0<br />
( 0)<br />
2<br />
x&<br />
( 0)<br />
= x&<br />
( 0)<br />
+ μx&<br />
( 0)<br />
+ μ x&<br />
( 0)<br />
+ K<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
+<br />
K,<br />
schon in der ”nullten Näherung”, das heißt, man wählt in (15) C und γ für vorgegebene x ( 0)<br />
,<br />
x& ( 0)<br />
so, daß x ( 0)<br />
= x(<br />
0)<br />
, x& ( 0)<br />
= x&<br />
( 0)<br />
ist, und setzt x ( 0)<br />
= 0 , x& ( 0)<br />
= 0 , i=1,2... .<br />
0<br />
0<br />
Hier wollen wir aber die Lösung nicht in Abhängigkeit von beliebigen x ( 0)<br />
, x& ( 0)<br />
bestimmen,<br />
sondern nur Lösungen mit x ( 0)<br />
= A , x& ( 0)<br />
= 0 berechnen (aus denen allerdings die allgemeine<br />
Lösung auf einfachem Wege folgt). Mit<br />
x0<br />
( 0)<br />
= A,<br />
x&<br />
0 ( 0)<br />
x ( 0)<br />
= 0,<br />
x&<br />
( 0)<br />
i<br />
i<br />
= 0<br />
=<br />
0,<br />
i = 1,<br />
2,...<br />
folgt dann aus (15) C=A und γ=π/2 und für i=1 mit (18)<br />
1<br />
32<br />
C<br />
ω<br />
3<br />
2<br />
0<br />
+<br />
C sin( γ ) = 0,<br />
1<br />
1<br />
C cos( γ ) = 0.<br />
1<br />
1<br />
Daraus erhält man dann γ1=π/2, ( ) 2<br />
3<br />
= −C<br />
/ 32ω<br />
1<br />
0<br />
⎪⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
C und schließlich<br />
3<br />
1 C<br />
x ( t)<br />
= C cos( ω0t)<br />
+ μ [ cos( 3ω<br />
0t)<br />
− cos( ω0t)<br />
−12ω0t<br />
sin( ω0t<br />
) ] + o(<br />
μ)<br />
(20a)<br />
2<br />
32 ω<br />
0<br />
Auf entsprechende Art und Weise können die Konstanten, die in den Näherungen höherer<br />
Ordnung auftreten, berechnet werden,<br />
2. Man setzt alle Ci, i=l,2... gleich Null (die γi bleiben unbestimmt) und bestimmt dann C und γ<br />
nicht direkt aus den Anfangsbedingungen für 0 x , x& 0 sondern aus (19), da die<br />
Anfangsbedingungen von i x , x& i (i=l,2,...) ja auch von C und γ abhängen. Fordern wir wieder<br />
x& ( 0)<br />
=0, so gilt jetzt<br />
3<br />
3<br />
⎡3<br />
C 3 C ⎤<br />
x&<br />
( 0)<br />
= 0 = Cω0<br />
cos( γ ) + μ⎢<br />
cos( γ ) − cos( 3γ<br />
) ⎥+<br />
⎣8<br />
ω0<br />
32 ω0<br />
⎦<br />
was durch γ = π/2 erfüllt wird. Die Lösung ist dann<br />
und es folgt<br />
3<br />
1 C<br />
x ( t)<br />
= C cos( ω0t<br />
) + μ [ cos( 3ω<br />
0t)<br />
− cos( ω0t)<br />
−12ω0t<br />
sin( ω0t<br />
) ] + o(<br />
μ)<br />
(20b)<br />
2<br />
32 ω<br />
3<br />
1 C<br />
x(<br />
0)<br />
= A = C + μ + o(<br />
μ)<br />
2<br />
32 ω<br />
Die Amplitude A = x(0) ist hier nicht mehr gleich C!<br />
0<br />
0<br />
i<br />
K<br />
i<br />
(19)<br />
(20)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 7<br />
Führen wir die Störungsrechnung in dieser Art weiter, so erhalten wir x(0) und damit im Falle<br />
einer periodischen Lösung auch die Amplitude in der Form<br />
2<br />
x 0)<br />
= C + μA<br />
( C)<br />
+ μ A ( C)<br />
+ K<br />
(21)<br />
( 1<br />
2<br />
Brechen wir die Reihen (20a), (20b) mit den Gliedern erster Ordnung in μ ab, so erkennen wir,<br />
daß ein linear mit der Zeit über alle Grenzen anwachsendes Glied auftritt, so daß scheinbar keine<br />
periodische Lösung vorhanden ist! Aus der Anschauung wissen wir aber, daß periodische<br />
Lösungen zu erwarten sind. Trotzdem ist diese Reihenentwicklung für kleine Zeitintervalle<br />
durchaus brauchbar und führt oft erst bei ”großen” Zeiten zu groben Fehlern. Die Begriffe ”groß”<br />
oder, „klein” beziehen sich hier auf einen Vergleich mit T = 2π / ω0<br />
. In der Himmelsmechanik,<br />
wo diese Art der Störungsrechnung zuerst angewandt wurde, kann ein Jahrhundert durchaus noch<br />
ein, „keines” Zeitintervall sein. Es hat sich aus diesem Grund die Bezeichnung ”säkulare<br />
Glieder” für diese mit der Zeit über alle Grenzen anwachsenden Terme eingebürgert. Tatsächlich<br />
sind natürlich die Lösungen von (9) periodisch, nur kann man dies nicht mehr an der nach<br />
endlich vielen Gliedern abgebrochenen Reihe erkennen. Das gleiche gilt ja auch für die<br />
TAYLOR-Entwicklung der periodischen Funktion ) t μ + ω bezüglich μ t :<br />
sin( 0<br />
2 2<br />
3 3<br />
μ t μ t<br />
ω 0 + μ)<br />
t)<br />
= sin( ω0t<br />
) + μt<br />
cos( ω0t)<br />
− sin( ω0t)<br />
− cos( ω t)<br />
+<br />
2!<br />
3!<br />
sin(( 0<br />
diese Reihe konvergiert zwar für alle μ t , nicht aber gleichmäßig in t *) !<br />
Es empfiehlt sich daher, die Störungsrechnung so abzuändern, daß man schon an endlich vielen<br />
Gliedern der Reihe die Periodizität erkennt, und so, daß man möglichst ein Restglied erhält, das<br />
in t gleichmäßig klein ist. Wir folgen dabei dem Vorschlag LINDSTEDTs (1883) und nutzen die<br />
Erfahrungstatsache aus, daß die Kreisfrequenz einer nichtlinearen Schwingung eine Funktion der<br />
Amplitude ist. Wir schreiben<br />
oder auch<br />
2 2<br />
2<br />
ω = ω + μe<br />
C)<br />
+ μ e ( C)<br />
+ K<br />
(22)<br />
0<br />
1(<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
ω = ω − μe<br />
( C)<br />
− μ e ( C)<br />
+ o(<br />
μ )<br />
(23)<br />
0<br />
1<br />
2<br />
Dies wird mit (10) in (9) eingesetzt und nach Potenzen von p geordnet:<br />
2 3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( x&&<br />
+ ω x + x − e x ) + μ ( x + ω x + 3x<br />
x − e x − e x ) + ( μ ) = 0<br />
x&& &&<br />
(24)<br />
2<br />
0 + ω x0<br />
+ μ 1 1 0 1 0<br />
2 2 0 1 2 0 1 1 o<br />
*) Man sagt, daß die Reihe ∑ ∞<br />
ν=<br />
1<br />
f (x)<br />
in dem Intervall a N(<br />
ε,<br />
x)<br />
.<br />
Man nennt die Reihe gleichmäßig konvergent in a
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 8<br />
Wir können (24) erfüllen, indem wir alle Koeffizienten der Potenzen von μ gleich Null setzen<br />
und damit<br />
2<br />
x&& + ω x = 0<br />
(25)<br />
0<br />
2<br />
3<br />
x 1 + ω x1<br />
= −x0<br />
+<br />
0<br />
&& e x<br />
(26)<br />
2<br />
2<br />
2 + ω x2<br />
= −3x0<br />
x1<br />
+ e2<br />
x0<br />
e1x1<br />
1<br />
0<br />
x && +<br />
(27)<br />
KK<br />
erhalten. Jetzt setzen wir x ( t)<br />
= C sin( ωt<br />
+ γ ) in(26) ein:<br />
1<br />
1<br />
0<br />
2<br />
3 3<br />
x&& + ω x = −C<br />
( ωt<br />
+ γ ) + e C sin( ωt<br />
+ γ )<br />
und erhalten<br />
sin 1<br />
2 3 3<br />
1 3<br />
x&& 1 + ω x1<br />
= − C sin( ωt<br />
+ γ ) + C sin( 3ωt<br />
+ 3γ<br />
) + e1C<br />
sin( ωt<br />
+ γ )<br />
(28)<br />
4<br />
4<br />
Damit in der Lösung von (28) keine säkularen Glieder auftreten, müssen wir Resonanz<br />
vermeiden und wählen die noch unbestimmte Funktion e1(C) als<br />
3<br />
C<br />
4<br />
2<br />
e 1C<br />
= (29)<br />
Dann ist wegen (22)<br />
und<br />
3 2<br />
2 2<br />
ω = ω0<br />
− μ C + o(<br />
μ)<br />
(30)<br />
4<br />
1 3<br />
x 1(<br />
t)<br />
= C1<br />
sin( ωt<br />
+ γ 1)<br />
+ C sin( 3ωt<br />
+ 3γ<br />
)<br />
(31)<br />
2<br />
32ω<br />
Die Integrationskonstante C1 können wir der Einfachheit halber gleich Null setzen, womit dann<br />
μ 3<br />
x ( t)<br />
= C sin( ωt<br />
+ γ ) + C sin( 3ωt<br />
+ 3γ<br />
) + o(<br />
μ)<br />
(32)<br />
2<br />
32ω<br />
ist (allerdings entspricht dann C nicht mehr der Amplitude von x(t)). Berücksichtigen wir noch<br />
die Glieder zweiter Ordnung in μ, so folgt ganz entsprechend<br />
μ<br />
x(<br />
t)<br />
= C sin( ωt<br />
+ γ ) −<br />
32ω<br />
2<br />
μ 5<br />
+ C 4<br />
1024ω<br />
2<br />
C<br />
3<br />
sin( 3ωt<br />
+ 3γ<br />
)<br />
[ sin( 5ωt<br />
+ 5γ<br />
) − 3sin(<br />
3ωt<br />
+ 3γ<br />
) ] + o(<br />
μ)<br />
2<br />
2<br />
2 3μ<br />
2 3μ<br />
4<br />
ω ( C ) = ω0<br />
− C + C + o(<br />
μ)<br />
(34)<br />
2<br />
4 128ω<br />
wobei wir auf der rechten Seite von (34) natürlich auch<br />
2<br />
ω 0 anstelle von<br />
2<br />
ω schreiben können.<br />
Man erkennt, daß das nichtlineare Glied in (9) harmonische Terme ungerader Ordnung in x(t)<br />
hervorruft und die Frequenz der freien <strong>Schwingungen</strong> von der Amplitude abhängig macht.<br />
(33)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 9<br />
Es ist im allgemeinen nicht leicht zu beweisen, daß eine gegebene nichtlineare<br />
Differentialgleichung Lösungen besitzt, die man in Form der hier benützten Potenzreihen<br />
schreiben kann; ebenso sind Fehlerabschätzungen außerordentlich schwierig (siehe CESARI,<br />
NAYFEH).<br />
2.1.2 Lösung mit Hilfe der Methode der harmonischen Balance<br />
Wir nehmen jetzt an, daß (8) eine Lösung besitzt, die man näherungsweise durch<br />
x( t)<br />
= C sin( ωt)<br />
(35)<br />
beschreiben kann, wobei aber die Kreisfrequenz ω(C) von der Amplitude abhängen darf. Mit<br />
folgt<br />
x<br />
3<br />
3 3<br />
3⎛<br />
3 1 ⎞<br />
= C sin ( ωt)<br />
= C ⎜ sin( ωt)<br />
− sin( 3ωt)<br />
⎟<br />
⎝4<br />
4 ⎠<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2⎛<br />
x ⎞ ⎛ 2 2 2 C ⎞<br />
2 C<br />
x&& + ω0<br />
⎜<br />
⎜x<br />
−<br />
0<br />
0 C sin( ωt)<br />
+ ω0<br />
sin( 3ωt)<br />
6 ⎟ = ⎜<br />
⎜ω<br />
− ω − ω<br />
8 ⎟<br />
(36)<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
24<br />
was natürlich im allgemeinen nicht gleich Null ist. Die rechte Seite von (36) müßte<br />
verschwinden, wenn x(t) eine Lösung von (8) wäre. Wir können aber zumindest den Faktor von<br />
sin(ωt) zum Verschwinden bringen, indem wir<br />
ω<br />
2<br />
= ω<br />
2<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝<br />
2<br />
C ⎞<br />
⎟<br />
8 ⎠<br />
setzen. Nehmen wir dann noch an, da C 3 klein ist, so ist die rechte Seite von (36) ”fast Null” und<br />
(8) näherungsweise erfüllt. Der Ausdruck (37) stimmt übrigens mit (30) überein, sofern wir dort<br />
2<br />
μ = −ω<br />
/ 6 setzen. Für kleine C kann man natürlich auch<br />
0<br />
ω = ω<br />
schreiben.<br />
0<br />
2 ⎛ C ⎞<br />
⎜<br />
⎜1<br />
− ⎟<br />
⎝ 16 ⎠<br />
Zu besseren Näherungen kommen wir im Verfahren der harmonischen Balance, wenn wir statt<br />
(35) einen Ansatz machen, der höhere Harmonische enthält:<br />
x<br />
m<br />
( t)<br />
= C ωt)<br />
+ ∑C<br />
n sin( nωt)<br />
+ ∑<br />
sin( D cos( nωt)<br />
(39)<br />
n=<br />
2<br />
m<br />
n=<br />
2<br />
n<br />
Man geht mit diesem Ansatz in (8) ein und schreibt die linke Seite der Differentialgleichung als<br />
Summe trigonometrischer Funktionen. Die Differentialgleichung wird näherungsweise erfüllt,<br />
wenn man in dieser Summe die Koeffizienten von sin( ω t)<br />
, sin( nω t)<br />
, cos( nω t)<br />
, n = 2,<br />
3Km<br />
gleich Null setzt. Dies ergibt dann 2m–l algebraische Gleichungen für die Unbekannten ω, C2, C3<br />
,..., Cm, D2, D3,..., Dm in Abhängigkeit von C. Man erkennt leicht, daß nur die Koeffizienten C3,<br />
C5, C7,... ungleich Null sind. Obwohl es im allgemeinen nicht möglich ist, eine<br />
zufriedenstellende mathematische Rechtfertigung für dieses Verfahren zu geben, ist es doch bei<br />
vielen praktischen Anwendungen sehr nützlich (siehe HAYASHI).<br />
(37)<br />
(38)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 10<br />
2.1.3 Die exakte Lösung<br />
Wir wollen hier zunächst etwas allgemeiner vorgehen und besprechen, wie man die<br />
Differentialgleichung<br />
mx&& + f ( x)<br />
= 0<br />
(40)<br />
analytisch lösen kann, wobei m konstant und f(x) eine beliebige integrierbare Funktion ist. Im<br />
besonderen kann – wie im Falle des Pendels – f(x) eine trigonometrische Funktion sein; sie kann<br />
aber auch die nichtlineare Kennlinie einer Feder darstellen, wobei man zwischen ”überlinearen”<br />
und ”unterlinearen” Federn unterscheidet, oder auch ein nichtlineares Element eines Netzwerkes,<br />
etwa eine nichtlineare Kapazität, darstellen (Abb.4 und Abb.5). Wir multiplizieren (40) mit x& ,<br />
integrieren über t und erhalten<br />
1 2<br />
m& x + ∫ f ( x)<br />
dx = const.<br />
= E0<br />
(41)<br />
2<br />
Abb.4: Kennlinie einer überlinearen Feder; die<br />
Federsteifigkeit wächst mit x<br />
Abb.5: Kennlinie einer unterlinearen Feder; die<br />
Federsteifigkeit nimmt mit wachsendem x ab<br />
Hat m die Dimension einer Masse und x die Dimension einer Länge, so ist die kinetische Energie<br />
1 2<br />
T = mx&<br />
, während die potentielle Energie durch U ( x)<br />
=<br />
2<br />
∫ f ( x)<br />
dx gegeben ist ( U (x)<br />
ist bis auf<br />
eine additive Konstante definiert). Es folgt<br />
2<br />
x& = ± ( E0<br />
−U<br />
( x )<br />
(42)<br />
m<br />
und für jedes Energieniveau E0 kann direkt das Phasendiagramm gezeichnet werden (Abb.6). Es<br />
ist leicht zu erkennen, daß die Phasenkurven die x-Achse
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 11<br />
Abb.6: Federkennlinie, Energiediagramm und Phasenporträt eines nichtlinearen Schwingers<br />
nur orthogonal schneiden können, wenn man von den kritischen Punkten<br />
(”Gleichgewichtslagen”) absieht. Man gelangt im allgemeinen zu geschlossenen Phasenkurven,<br />
die periodischen Lösungen entsprechen, zu aperiodischen Lösungen sowie zur Separatrix S. Die<br />
Separatrix trennt in der Phasenebene einen Bereich periodischer Lösungen von einem Bereich, in<br />
dem aperiodische Lösungen oder periodische Lösungen von einem anderen Typ existieren. Man<br />
kann daher aus dem Phasenporträt den Typ der Bewegung sehr gut ablesen.<br />
Um nun noch den Zeitablauf der Schwingung zu bestimmen, müssen wir eine weitere Integration<br />
durchführen:<br />
t = t<br />
0<br />
+<br />
x<br />
∫<br />
dx<br />
= t<br />
x&<br />
( x)<br />
±<br />
x<br />
∫<br />
0<br />
x<br />
x 2<br />
0 0 ( E0<br />
−U<br />
( x )<br />
m<br />
dx<br />
Natürlich ist es nicht immer möglich, eine einfache geschlossene Lösung für (43) anzugeben,<br />
aber zumindest haben wir die Lösung der Differentialgleichung (40) auf Quadraturen, d.h. auf<br />
Integrationen, zurückgeführt. Ist U ein Polynom höchstens vierten Grades, so führt (43) auf<br />
elliptische Integrale. Wir betrachten nun das mathematische Pendel der Gleichung (1) und<br />
erhalten<br />
(43)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 12<br />
1 2 2<br />
ml x&<br />
+ ∫ mgl sin( x)<br />
dx<br />
= E0<br />
(44)<br />
2<br />
wobei der Faktor l eingeführt wurde, damit E0 die Dimension einer Energie hat. Die<br />
Integrationsgrenzen wurden in (44) so gewählt, daß die potentielle Energie in der<br />
Gleichgewichtslage x = 0 den Wert Null annimmt. Aus (44) folgt<br />
2 [ E − ml ω ( 1 cos( x))<br />
]<br />
2 2<br />
2 0<br />
0<br />
x& = ±<br />
−<br />
(45)<br />
ml<br />
2 2<br />
Bezeichnet man E /( ml ω ) mit E*, so gilt<br />
0<br />
( cos( x)<br />
−1<br />
E * )<br />
0<br />
x& = ± ω 2 −<br />
(46)<br />
0<br />
wobei 0 < E* < 2 den eigentlichen periodischen Lösungen und E* > 2 den Lösungen für das sich<br />
überschlagende Pendel entspricht. Für 0 < E* < 2 ist die Amplitude C der Schwingung durch<br />
cos(C) = l – E* gegeben. Das Phasenporträt kann nun ohne weiteres gezeichnet werden (Abb.<br />
1.7). Wegen der Periodizität unseres Systems ist es hier sinnvoll, den zylindrischen Phasenraum<br />
einzuführen. Dazu schneiden wir aus dem Phasenporträt der Abb.7<br />
Abb.7: Phasenporträt des mathematischen Pendels<br />
einen Streifen in dem Bereich 0 ≤ x ≤ 2π heraus und fügen die beiden zur x& -Achse parallelen<br />
Schnittkanten aneinander. Die periodischen Lösungen umkreisen die stabile Gleichgewichtslage<br />
auf der Zylinderfläche, ohne um den Zylinder herumzulaufen, während den Bewegungen des sich<br />
überschlagenden Pendels Kurven entsprechen, die die Zylinderachse umschlingen (Abb.8).
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 13<br />
Abb.8: Zylindrisches Phasenporträt für das mathematische Pendel<br />
Um das Zeitverhalten der periodischen Bewegungen mit der Amplitude C und für t0 = 0, x(0) = 0<br />
zu bestimmen, berechnen wir das Integral<br />
Mit<br />
t = t<br />
0<br />
1<br />
±<br />
ω<br />
0<br />
x<br />
dx<br />
∫ 2 −<br />
cos( x) = 1−<br />
2sin<br />
folgt<br />
2<br />
dx<br />
0<br />
( cos( x)<br />
cos( C)<br />
)<br />
2 x<br />
( cos( x)<br />
− cos( C)<br />
)<br />
=<br />
dx<br />
2 2<br />
⎛ 2⎛<br />
C ⎞ ⎛ x ⎞⎞<br />
2⎜sin<br />
⎜ ⎟−<br />
sin ⎜ ⎟⎟<br />
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠<br />
⎛ x ⎞ ⎛C<br />
⎞<br />
und mit der Substitution sin⎜ ⎟ = sin⎜<br />
⎟sin(<br />
z)<br />
erhält man<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
dx<br />
⎛C<br />
⎞<br />
= 2sin⎜<br />
⎟cos<br />
⎝ 2 ⎠<br />
womit sich (47) in<br />
dz<br />
⎛ x ⎞<br />
cos⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
α<br />
dz<br />
∫ 2 2<br />
0 0 1−<br />
sin ( )<br />
⎛C<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
( z)<br />
= 2sin<br />
cos(<br />
z)<br />
dz<br />
2⎛<br />
C ⎞ 2<br />
1−<br />
sin ⎜ ⎟sin<br />
( z)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
1<br />
t = ±<br />
(48)<br />
ω k z<br />
(47)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 14<br />
⎛C<br />
⎞<br />
k = sin⎜<br />
⎟,<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ x ⎞<br />
sin⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2<br />
α = arcsin<br />
⎠<br />
⎛C<br />
⎞<br />
sin⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
umformen läßt. Das Integral in (48) ist aber das elliptische Integral erster Gattung ( k,<br />
α)<br />
F , das<br />
⎛ ⎞<br />
z.B. in Handbüchern in Abhängigkeit von der Variablen a und dem Modul = sin⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
C<br />
k tabelliert<br />
ist. Wir haben also<br />
⎛<br />
⎛ x ⎞ ⎞<br />
⎜<br />
sin⎜<br />
⎟ ⎟<br />
1 ⎜ ⎛C<br />
⎞ ⎝ 2<br />
t = ± F sin<br />
⎠ ⎟<br />
⎜<br />
⎜ ⎟,<br />
arcsin<br />
(49)<br />
ω ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟<br />
0 2<br />
C<br />
⎜<br />
sin⎜<br />
⎟⎟<br />
⎝<br />
⎝ 2 ⎠⎠<br />
Wollen wir x explizit als Funktion von t angeben, so benötigen wir die Umkehrfunktion von<br />
F ( k,<br />
α)<br />
, den sinus amplitudinis ( , 0 ) t k sn ω . Die Schwingungsdauer läßt sich mit<br />
π<br />
2<br />
4 dz 4 ⎛ π⎞<br />
4 ⎛ ⎛C<br />
⎞⎞<br />
T = = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟⎟<br />
ω ∫<br />
F k,<br />
K sin<br />
(50)<br />
2 2<br />
0 1−<br />
sin ( ) ω0<br />
⎝ 2 ⎠ ω0<br />
⎝ ⎝ 2<br />
0 k z<br />
⎠⎠<br />
angeben, wobei K das vollständige elliptische Integral<br />
⎛C<br />
⎞ C<br />
ist. Für kleine Amplituden kann man sin⎜<br />
⎟ ≈<br />
⎝ 2 ⎠ 2<br />
2<br />
2<br />
π ⎡ ⎛1<br />
⎞<br />
⎤<br />
2 ⎛ 1⋅<br />
3 ⎞ 4<br />
K(<br />
k)<br />
= ⎢1<br />
+ ⎜ ⎟ k + ⎜ ⎟ k + K⎥<br />
2 ⎢⎣<br />
⎝2<br />
⎠ ⎝ 2⋅<br />
4⎠<br />
⎥⎦<br />
schreiben und erhält<br />
2π<br />
⎛ 1 2 ⎞<br />
T ≈ ⎜1<br />
+ C ⎟<br />
(51)<br />
ω ⎝ 16 ⎠<br />
0<br />
oder für die entsprechende Kreisfrequenz<br />
ω ≈ ω<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝<br />
2<br />
C ⎞<br />
⎟<br />
16 ⎠<br />
was das von den Näherungsverfahren her bekannte Ergebnis bestätigt.<br />
In diesem Abschnitt haben wir gesehen, wie man Differentialgleichungen vom Typ (40) lösen<br />
kann. Da sie immer ein erstes Integral der Art (41) besitzen (das Energieintegral), bezeichnet<br />
man diese Systeme auch als konservativ.<br />
(52)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 15<br />
2.2 Freie gedämpfte <strong>Schwingungen</strong><br />
2.2.1 Der Einfluß kleiner Dämpfungsglieder<br />
Bisher haben wir angenommen, daß keinerlei Dämpfungskräfte auf das mathematische Pendel<br />
wirken, so daß die mechanische Energie erhalten blieb. Diese Vorsetzung ist natürlich in der<br />
Praxis nicht erfüllbar: wir wissen, daß infolge Dämpfung die Amplitude der <strong>Schwingungen</strong> stetig<br />
abnimmt. Je nach der Realisierung des Pendels können verschiedene mathematische Ansätze für<br />
die Dämpfungsglieder sinnvoll sein. Wir wollen hier zwei Arten von Dämpfungsgesetzen<br />
untersuchen, und zwar das der linearen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung und das der<br />
trockenen oder COULOMBschen Reibung. Beide ”Dämpfungsgesetze” spielen nicht nur bei den<br />
Anwendungen aus der Mechanik, sondern auch in vielen anderen Gebieten eine wichtige Rolle.<br />
Die Bewegungsgleichung des Pendels sei durch<br />
mlx&& + mlh(<br />
x&<br />
) + mg sin( x)<br />
= 0<br />
(53)<br />
gegeben, wobei für lineare Dämpfung<br />
h( x&<br />
) = 2δ<br />
x&<br />
, 2δ<br />
> 0<br />
(54)<br />
und für COULOMBsche Dämpfung<br />
h( x&<br />
) = ρsgn(<br />
x&<br />
), ρ > 0<br />
(55)<br />
ist (in diesem Kapitel setzen wir voraus, daß Haftungs- und Reibungskoeffizient beide gleich ρ<br />
sind). Andere übliche Annahmen für Dämpfungsgesetze sind z.B. die der quadratischen<br />
2<br />
2<br />
Dämpfung, die einem Glied der Art x& sgn(<br />
x&<br />
) entspricht, oder x x&<br />
für ”mechanische<br />
Hysterese”. Wir wollen hier nicht untersuchen, für welche physikalischen Systeme diese<br />
Annahmen gerechtfertigt sind, sondern lediglich den Einfluß dieser Glieder auf die freien<br />
<strong>Schwingungen</strong> besprechen.<br />
Für die in x linearisierte Differentialgleichung, bei der wir in (53) sin(x) durch x ersetzen, ist uns<br />
für die Dämpfungsgesetze (54), (55) die Lösung aus der Theorie der linearen <strong>Schwingungen</strong><br />
bekannt. Bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung nach (54) haben wir die üblichen<br />
linearen gedämpften <strong>Schwingungen</strong>, und bei Annahme von (55) erhalten wir ein stückweise<br />
lineares Problem, dessen Lösung wir ebenfalls als bekannt voraussetzen. Wir betrachten hier nur<br />
das nichtlineare Problem und werden uns auf die Anwendung von Näherungsverfahren<br />
beschränken. Dabei nehmen wir an, daß die Dämpfungskräfte klein sind, so daß die während<br />
einer kurzen Zeitspanne betrachtete Bewegung von der gleichen Art wie im ungedämpften Fall<br />
ist. Diese Annahme ist bei den meisten physikalischen Systemen durchaus vertretbar.<br />
3<br />
Wir nehmen weiter an, daß die Amplitude nicht zu groß ist, so daß (53) mit sin( x) ≈ x − x 6 als<br />
3<br />
2⎛<br />
x ⎞<br />
x&& + h(<br />
x&<br />
) + ω0<br />
⎜<br />
⎜x<br />
− = 0<br />
6 ⎟<br />
(56)<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
geschrieben werden kann. Integrieren wir jetzt die mit ml x&<br />
multiplizierte Gleichung (56) nach<br />
der Zeit zwischen t und t+Δt so ergibt sich<br />
mit<br />
( U ) = ( T + U ) + ΔE<br />
T + t+<br />
Δt<br />
t<br />
(57)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 16<br />
4<br />
t+<br />
Δt<br />
1 2 2<br />
2 2 1 ⎛ 2 x ⎞<br />
2<br />
T = ml x&<br />
, U = ml ω ⎜<br />
⎜x<br />
− ⎟<br />
⎟,<br />
ΔE<br />
= − ∫ ml h(<br />
x&<br />
) x&<br />
0<br />
dt<br />
2<br />
2 ⎝ 12 ⎠<br />
t<br />
Der Term ΔE in (57) entspricht der Änderung der mechanischen Energie (Verlust) während der<br />
Bewegung im Zeitintervall [t, t+Δt]. Den Wert dieses Integrals können wir nicht direkt<br />
berechnen, da wir die Abhängigkeit x(t) nicht kennen, denn die Lösung von (56) ist ja nicht<br />
bekannt. Wenn wir allerdings annehmen, daß während eines Zeitintervalls der Länge T = 2π<br />
/ ω<br />
die Lösung näherungsweise von der Form<br />
x(<br />
t)<br />
= C sin( ωt<br />
+ ϕ)<br />
ist, wobei der Zusammenhang zwischen C und ω dem bei kleinen ungedämpften <strong>Schwingungen</strong><br />
entspricht:<br />
2 ⎛ C ⎞<br />
ω = ω ⎜ − ⎟<br />
0 1<br />
⎝ 16 ⎠<br />
und wobei C und ϕ während dieses Zeitintervalls als konstant angenommen werden, dann<br />
können wir<br />
ΔE<br />
= −<br />
T<br />
∫<br />
0<br />
2<br />
ml h(<br />
x&<br />
) x&<br />
dt<br />
(58)<br />
berechnen. Für den Fall der linearen Dämpfung ergibt sich<br />
T<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
ΔE = −2ml<br />
δ C ω ∫ cos ( ωt<br />
+ ϕ)<br />
dt = −2ml<br />
δπωC<br />
(59)<br />
0<br />
Die Gesamtenergie E=T+U ist aber bei einer Amplitude C unter den obigen Annahmen durch<br />
1<br />
2<br />
2 2 2<br />
E = − ml C ω<br />
(60)<br />
gegeben (dies entspricht der kinetischen Energie beim Nulldurchgang x=0). In erster Näherung<br />
ist daher<br />
2 2<br />
ΔE<br />
= ml ω CΔC<br />
und mit (59) folgt<br />
ΔC<br />
= −Tδ<br />
C<br />
(hier ist T die Schwingungsdauer!). Wir erhalten also eine Näherungslösung für (53), (54), wenn<br />
, 2 / ( ) C ω π durch<br />
wir annehmen, daß die Lösung während des Zeitintervalls [ ]<br />
0 sin<br />
( ω(<br />
C ) + )<br />
0<br />
0<br />
0 0<br />
x ( t)<br />
= C t ϕ<br />
(63)<br />
während des Zeitintervalls [ / ω(<br />
C ), 2π<br />
/ ω(<br />
C ) + 2π<br />
/ ω(<br />
C ) ]<br />
mit<br />
1 sin<br />
( ω(<br />
C ) + )<br />
1<br />
2 0<br />
0<br />
1<br />
π durch<br />
x ( t)<br />
= C t ϕ<br />
(64)<br />
1<br />
(61)<br />
(62)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 17<br />
usw.<br />
( ) ⎟⎟<br />
⎛ 2πδ<br />
⎞<br />
C ⎜<br />
1 = C0<br />
1−<br />
(65)<br />
⎝ ω C0<br />
⎠<br />
gegeben ist. Da die Schwingungsdauer T bei nicht zu großen Amplituden näherungsweise<br />
konstant ist, können wir auch sagen, daß der Differenzenquotient ΔC/C konstant ist, und die<br />
Amplitude daher exponentiell mit der Zeit abnimmt. In Wirklichkeit ist die Amplitudenänderung<br />
natürlich stetig, und wenn wir<br />
dC<br />
dt<br />
ΔC<br />
≈ = −Cδ<br />
dt<br />
schreiben, ergibt sich<br />
C<br />
−δ<br />
t<br />
= C0<br />
e<br />
(67)<br />
Ganz analog können wir im Fall der COULOMBschen Dämpfung vorgehen; wir erhalten aus<br />
(58)<br />
und damit<br />
oder<br />
T<br />
2<br />
2<br />
ΔE = −ml<br />
ρCω∫<br />
cos( ωt<br />
+ ϕ)<br />
dt = −4ml<br />
ρC<br />
(68)<br />
2ρ<br />
ΔC<br />
= − T<br />
πω<br />
dC<br />
dt<br />
ρ<br />
≈<br />
πω<br />
2<br />
0<br />
Bei COULOMBscher Dämpfung nimmt also die Amplitude etwa linear mit der Zeit ab, solange<br />
die Kreisfrequenz ω im wesentlichen konstant bleibt. Berücksichtigt man dagegen die<br />
Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Amplitude, so folgt mit<br />
aus (70)<br />
2 ⎛ C ⎞<br />
ω = ω ⎜ − ⎟<br />
0 1<br />
⎝ 16 ⎠<br />
2<br />
2<br />
⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞ 0 2ρ<br />
ω C ⎜<br />
⎟ = ω C<br />
⎜ −<br />
⎟<br />
0 1−<br />
0 0 1 − t<br />
⎝ 48 ⎠ ⎝ 48 ⎠ π<br />
wobei C0 die Amplitude für t=0 ist. Damit im Falle der COULOMBschen Dämpfung aber<br />
überhaupt eine Bewegung eintritt, muß noch vorausgesetzt werden, daß die “Rückstellkraft“<br />
größer ist als die, „Haftungskraft“, d.h. es muß<br />
2<br />
2⎛<br />
C ⎞ 0<br />
C ω<br />
⎜<br />
⎜1<br />
−<br />
⎟<br />
0 0 > ρ<br />
(73)<br />
⎝ 6 ⎠<br />
sein, da sich sonst das Pendel in einer Gleichgewichtslage befände.<br />
(66)<br />
(69)<br />
(70)<br />
(71)<br />
(72)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 18<br />
2.2.2 Die Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude<br />
Zu (66) und (70) können wir auch noch auf einem vielleicht etwas weniger anschaulichen, dafür<br />
aber allgemeineren Weg gelangen. Wir betrachten die Differentialgleichung<br />
wo f ( x x&<br />
)<br />
( x x)<br />
2<br />
x&& x f , & ω + (74)<br />
x<br />
0 =<br />
, jetzt eine beliebige integrable Funktion sein darf, und führen die durch<br />
( ) ( ) ( ( )<br />
⎬<br />
( ) ( ) ( ( ) ⎭ ⎫<br />
t = a t sin ω0t<br />
+ ψ t<br />
t = a t ω cos ω t + ψ t<br />
x&<br />
0<br />
0<br />
definierte Koordinatentransformation von x, x&<br />
nach a , ψ aus. Leitet man die erste Gleichung<br />
(75) nach der Zeit ab und vergleicht das Ergebnis mit der zweiten, so folgt<br />
( t)<br />
( ω t + ψ(<br />
t ) + a(<br />
t)<br />
ψ(<br />
t)<br />
cos(<br />
ω t + ψ(<br />
t ) = 0<br />
a& &<br />
(76)<br />
sin 0<br />
0<br />
Wir wollen nun (74) in den neuen Variablen a ( t)<br />
und ψ ( t)<br />
schreiben. Dazu bilden wir x&& mit<br />
Hilfe der zweiten Gleichung (75), setzen dieses sowie x aus der ersten Gleichung (75) in (74) ein<br />
und erhalten<br />
( ω t + ψ(<br />
t ) − aψ&<br />
sin(<br />
ω t + ψ(<br />
t ) = f ( x(<br />
a,<br />
ψ)<br />
, x(<br />
a ψ )<br />
a& ω & ,<br />
(77)<br />
0 cos 0<br />
0<br />
multiplizieren wir abwechselnd (76) und (77) jeweils mit sin ( t + ψ(<br />
t ) bzw. cos(<br />
t + ψ(<br />
t )<br />
und addieren, so folgt schließ1ich<br />
1<br />
a&<br />
=<br />
ω<br />
0<br />
f<br />
1<br />
ψ&<br />
= f<br />
ω a<br />
0<br />
( a sin(<br />
ω t + ψ(<br />
t ) , aω<br />
cos(<br />
ω t + ψ(<br />
t ) cos(<br />
ω t + ψ(<br />
t )<br />
0<br />
( asin(<br />
ω t + ψ(<br />
t ) , aω<br />
cos(<br />
ω t + ψ(<br />
t ) sin(<br />
ω t + ψ(<br />
t )<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
Bisher wurde lediglich eine Koordinatentransformation durchgeführt, und die<br />
Differentialgleichungen (78) sind noch exakt zu (74) äquivalent. Ist f ( x,<br />
x&<br />
) „klein“, so ist auch<br />
a& und ψ& klein, das heißt, Amplitude a und Phase ψ verändern sich nur langsam. “Langsam“<br />
bedeutet hierbei, daß während eines Zeitintervalls von der Dauer T 0 = 2π ω0<br />
der Wert von ψ<br />
im Argument ( ω0 t + ψ)<br />
ebenso wie der Wert von a(t) praktisch konstant bleibt. Da es im<br />
allgemeinen nicht möglich ist, (78) streng zu lösen, wollen wir die Differentialgleichungen<br />
vereinfachen, indem wir die rechten Seiten durch ihren zeitlichen Mittelwert im Intervall<br />
[ t , t + T0<br />
] ersetzen. Bei der Bildung dieses Mittelwertes werden wir auf den rechten Seiten von<br />
(78) a und ψ konstant halten. Statt (78) schreiben wir also<br />
1<br />
a&<br />
=<br />
ω 2<br />
0<br />
π<br />
2π<br />
∫<br />
1<br />
ψ&<br />
=<br />
aω<br />
2π<br />
0<br />
0<br />
f<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
( asin(<br />
Θ + ψ)<br />
, aω<br />
cos(<br />
Θ + ψ)<br />
cos(<br />
Θ + ψ )<br />
f<br />
0<br />
( ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪<br />
a sin Θ + ψ , aω<br />
cos Θ + ψ sin Θ + ψ dΘ<br />
0<br />
Hiermit haben wir jetzt ein autonomes (d.h. zeitunabhängiges) Gleichungssystem erhalten, das in<br />
erster Näherung die zeitliche Veränderung der Amplitude und der Phase beschreibt. Diese<br />
Methode wird daher auch oft als Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude<br />
0<br />
0<br />
dΘ<br />
ω 0<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎭<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪⎭<br />
ω 0<br />
(75)<br />
(78)<br />
(79)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 19<br />
bezeichnet. Sie entspricht gleichzeitig der ersten Näherung der asymptotischen Methode nach<br />
BOGOLJUBOW und MITROPOLSKI. Wir wollen nun (79) auf den durch (56) und (54)<br />
beschriebenen Fall der linearen Dämpfung anwenden; mit<br />
f<br />
3<br />
2 x<br />
, = ω0<br />
− 2δ<br />
x&<br />
6<br />
2<br />
ω0<br />
3 3<br />
= a sin<br />
6<br />
2<br />
ω0<br />
3<br />
= a<br />
24<br />
( x x&<br />
)<br />
folgt aus (79)<br />
a&<br />
= −δ<br />
a<br />
ψ&<br />
= −ω<br />
0<br />
2<br />
a<br />
16<br />
( ω t + ψ)<br />
− 2δ<br />
aω<br />
cos(<br />
ω t + ψ)<br />
0<br />
[ 3sin(<br />
ω t + ψ)<br />
− sin(<br />
3ω<br />
t + 3ψ)<br />
] − 2δ<br />
aω<br />
cos(<br />
ω t + ψ)<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
0<br />
0<br />
0<br />
Die erste Differentialgleichung können wir integrieren, das Ergebnis in die zweite einsetzen und<br />
a 0 = C , ψ ( 0 ) = 0 schließ1ich<br />
erhalten mit den Anfangsbedingungen ( ) 0<br />
a<br />
ψ<br />
( t)<br />
= C0e<br />
−δ<br />
t<br />
2 ω0<br />
−2δ t<br />
( t)<br />
= C ( e −1)<br />
0<br />
32δ<br />
was nach der ersten Gleichung (75) zur Näherungslösung<br />
0<br />
−δ<br />
t ⎡<br />
2 ω0<br />
−2δ<br />
t ⎤<br />
x ( t)<br />
= C0<br />
e sin⎢ω<br />
0t<br />
+ C0<br />
( e −1)<br />
⎥⎦<br />
(82)<br />
⎣ 32δ<br />
2 ⎡ ⎛ C ⎞⎤<br />
0<br />
führt. Mit δ = 0 folgt aus (81) ganz analog x ( t)<br />
= C ⎢ ⎜ ⎟<br />
0 sin ω0t<br />
⎜<br />
1−<br />
⎟⎥<br />
in Übereinstimmung mit<br />
⎢⎣<br />
⎝ 16 ⎠⎥<br />
⎦<br />
der Näherungslösung für den ungedämpften Fall.<br />
Im Falle der COULOMBschen Dämpfung (69) ist<br />
f<br />
3<br />
x<br />
0<br />
6<br />
2<br />
ω0<br />
3<br />
= a<br />
24<br />
2 ( x,<br />
x&<br />
) = ω − ρsgn(<br />
x&<br />
)<br />
und daraus folgt mit (79)<br />
2ρ<br />
a&<br />
= −<br />
πω<br />
ψ&<br />
= −ω<br />
2<br />
a<br />
16<br />
Die Integration liefert<br />
0<br />
0<br />
[ 3sin(<br />
ω t + ψ)<br />
− sin(<br />
3ω<br />
t + 3ψ)<br />
] − ρsgn<br />
cos(<br />
ω t + ψ)<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪⎭<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
(80)<br />
(81)<br />
(83)<br />
(84)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 20<br />
a<br />
ψ<br />
( t)<br />
= C − t<br />
( t)<br />
0<br />
= −C<br />
2<br />
0<br />
2ρ<br />
πω<br />
0<br />
ω0<br />
t + C<br />
16<br />
0<br />
ρ<br />
t<br />
8π<br />
und damit die Näherungslösung<br />
2<br />
ρ<br />
− 2<br />
12π<br />
ω<br />
0<br />
t<br />
3<br />
2 ⎡<br />
2<br />
⎛ 2ρ<br />
⎞ ⎛ C ⎞<br />
⎤<br />
0 ρ 2 ρ 3<br />
x ( t)<br />
= C ⎜ ⎟ ⎢ω<br />
⎜ ⎟<br />
0 ⎜<br />
1− t<br />
⎟<br />
sin 0⎜<br />
1−<br />
⎟<br />
t + C0<br />
t − t 2 ⎥<br />
(85)<br />
⎝ πω0C<br />
0 ⎠ ⎢⎣<br />
⎝ 16 ⎠ 8π<br />
12π<br />
ω0<br />
⎥⎦<br />
für (56) mit COULOMBscher Dämpfung.<br />
Abb.9: Phasenporträt der freien linear gedämpften <strong>Schwingungen</strong> des mathematischen Pendels,<br />
C 1,<br />
ω 1,<br />
2 . 0 = δ<br />
0 =<br />
0 =<br />
Wir werden diese sehr bequeme und anschauliche Methode noch auf eine Reihe von anderen<br />
Problemen anwenden. Wie gute Ergebnisse man unter Umständen dabei erzielen kann, ist zum<br />
Beispiel in den Phasendiagrammen der Abb.9 und Abb.10 zu erkennen, wo die – mit dem<br />
Rechner bestimmten – exakten“ Phasenkurven mit den hier angenäherten verglichen werden.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 21<br />
Abb.10: Phasenporträt der freien <strong>Schwingungen</strong> des mathematischen Pendels mit<br />
COULOMBscher Dämpfung, C 1,<br />
ω 1,<br />
16 . 0 = ρ<br />
2.3 Erzwungene <strong>Schwingungen</strong><br />
Wir betrachten jetzt die Differentialgleichung der gedämpften erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> des<br />
Pendels. Dabei nehmen wir an, daß die Erregung harmonisch ist mit der Kreisfrequenz Ω, so daß<br />
die Differentialgleichung die Gestalt<br />
mlx&& + mlh(<br />
x&<br />
) + mg sin( x)<br />
= F sin( Ωt)<br />
(86)<br />
annimmt, wobei die Konstante F die Amplitude der erregenden Kraft beschreibt. Auf ähnliche<br />
Differentialgleichungen führt zum Beispiel auch die Untersuchung von <strong>Schwingungen</strong> in<br />
bestimmten elektrischen Stromkreisen sowie einer Reihe von anderen Problemen. Die<br />
Differentialgleichung (86) kann nicht mehr exakt analytisch gelöst werden, und wir sind daher<br />
bei quantitativen Untersuchungen im wesentlichen auf Näherungsverfahren angewiesen.<br />
0 =<br />
0 =
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 22<br />
2.3.1 Ungedämpfte erzwungene <strong>Schwingungen</strong><br />
Hier sollen die ungedämpften erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> des Pendels mit harmonischer<br />
3<br />
x<br />
Erregung untersucht werden, wobei wieder sin( x) ≈ x − gesetzt wird, so daß sich aus (86) die<br />
6<br />
Differentialgleichung<br />
2 3<br />
x&& + ω x + μx<br />
= Psin(<br />
Ωt)<br />
(87)<br />
0<br />
2<br />
mit 0 g / l = ω , ) 6 /( l g − = μ und ) /(ml F P = ergibt. Ihre Lösung läßt sich nicht geschlossen<br />
angeben. Wir wollen uns zunächst darauf beschränken, periodische Lösungen mit der<br />
Kreisfrequenz Ω zu besprechen. Die Existenz solcher periodischer Bewegungen kann streng<br />
bewiesen werden.<br />
Um auf einfachem Wege einen Überblick über die wichtigsten Erscheinungen zu geben, wenden<br />
wir das von DUFFING benützte Verfahren an, obwohl dessen Konvergenz weitgehend ungeklärt<br />
ist. Die damit erhaltenen Ergebnisse werden wir später zum Teil noch mit anderen Methoden<br />
überprüfen. Wir schreiben (87) in der Form<br />
2 3<br />
x&& = −ω<br />
x − μx<br />
+ Psin(<br />
Ωt)<br />
(88)<br />
0<br />
und nehmen als erste Näherung x = C sin( Ωt),<br />
C=const an.<br />
1<br />
Dies setzen wir in die rechte Seite von (88) ein, bezeichnen den so erhaltenen Ausdruck mit x&& 2<br />
und können nun durch zweimalige Integration x 2 berechnen. Mit<br />
1<br />
sin ( ) ( 3sin(<br />
) sin( 3 ) )<br />
4<br />
3<br />
Ω t = Ωt<br />
− Ωt<br />
folgt<br />
3<br />
⎛ 2 3 3 ⎞ μC<br />
x&& 2 = ⎜P<br />
− ω0C<br />
− μC<br />
⎟sin(<br />
Ωt)<br />
+ sin( 3Ωt)<br />
(89)<br />
⎝ 4 ⎠ 4<br />
zweimalige Integration ergibt bei Annahme einer periodischen Lösung (dadurch verschwinden<br />
die Integrationskonstanten):<br />
3<br />
1 ⎡ 2 3 2 P⎤<br />
1 μC<br />
x2 = 0 C C sin( t)<br />
sin( 3Ωt)<br />
2 ⎢ω<br />
+ μ − Ω −<br />
2<br />
⎣ 4 C ⎥<br />
(90)<br />
Ω<br />
⎦ 36 Ω<br />
Durch erneutes Einsetzen von x2 in die rechte Seite von (88) und durch weitere Integrationen<br />
könnte man den Iterationsprozeß fortsetzen. Wir wollen dies nicht tun, sondern vielmehr das<br />
Verfahren hier abbrechen, da der erste Iterationsschritt eine durchaus brauchbare Näherung<br />
liefert. In (90) ist die Konstante C noch unbestimmt. DUFFING bestimmt sie, indem er die<br />
Amplituden der Anteile mit der Frequenz Ω in x1(t) und x2(t) gleichsetzt:<br />
1<br />
C =<br />
Ω<br />
2<br />
⎡<br />
⎢<br />
ω<br />
⎣<br />
2<br />
0<br />
+<br />
3<br />
μC<br />
4<br />
2<br />
−<br />
P⎤<br />
C<br />
C ⎥<br />
⎦<br />
woraus sich dann die Frequenz-Amplituden-Beziehung<br />
Ω<br />
ω<br />
2<br />
2<br />
0<br />
P 3 μ<br />
= 1− + C<br />
Cω<br />
4 ω<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
(91)<br />
(92)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 23<br />
ergibt. Diese Beziehung gilt bekanntlich streng für die linearen <strong>Schwingungen</strong> (d.h. für μ=0). Für<br />
μ≠0 werden wir (92) mit Hilfe anderer Verfahren noch überprüfen. Die zweite Näherung ist also<br />
x<br />
2<br />
( t)<br />
= C sin( Ωt)<br />
−<br />
= C sin( Ωt)<br />
−<br />
2 2<br />
wobei C ( , ω , P)<br />
0<br />
1<br />
36<br />
1<br />
36<br />
ω<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
μ<br />
3<br />
C sin( 3Ωt)<br />
P 3 2<br />
− + μC<br />
C 4<br />
μ 3<br />
C sin( 3Ωt)<br />
+ o(<br />
μ)<br />
P<br />
−<br />
C<br />
Ω durch (92) gegeben ist. An die Stelle des Resonanzdiagramms im linearen<br />
Fall (μ=0, Abb.11), tritt jetzt ein komplizierteres Diagramm. Die Resonanzkurve im<br />
nichtlinearen Fall können wir uns leicht mit dem Hilfsdiagramm der Abb.12 zeichnen. Man<br />
erhält damit die Resonanzkurve in Abb.13. Die Größe C – sie entspricht, wie man an (93)<br />
erkennt, nicht genau der Schwingungsamplitude – ist in den Abb.11 bis Abb.13 auf die “statische<br />
2<br />
Auslenkung“ C = P ω des linearisierten Problems bezogen.<br />
0<br />
0<br />
Abb.11: Resonanzkurven für den nichtlinearen Schwinger (μ=0)<br />
(93)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 24<br />
Abb.12: Hilfsdiagramm zur Bestimmung der Resonanzkurven<br />
Im Gegensatz zum linearen Problem gibt es jetzt für gewisse Werte von Ω nicht nur eine<br />
mögliche Amplitude für die erzwungene Schwingung, sondern sogar drei Werte für C! Ein<br />
weiterer Unterschied besteht darin, daß hier C für alle Werte von Ω endlich bleibt, während im<br />
linearen Problem bei Resonanz die Amplitude nicht mehr bestimmt ist. Untersucht man ein<br />
ungedämpftes schwingendes System in der Nähe der Resonanz, so muß man daher auf jeden<br />
Abb.13: Resonanzkurven für den nichtlinearen Schwinger<br />
Fall die nichtlinearen Glieder berücksichtigen, um die Amplitude der erzwungenen Schwingung<br />
zu bestimmen. Vergleicht man die Abb.11 und Abb.13, so erkennt man, daß Abb.13 durch ein
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 25<br />
Verbiegen der strichpunktierten Skelettlinie entsteht. Für das Pendel gilt wegen<br />
Abb.13b.<br />
2<br />
ω0<br />
μ = − die<br />
6<br />
Ein anderes Verfahren zur Berechnung der erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> ist die Methode von<br />
RAUSCHER (siehe z.B. STOKER). Hierbei geht man für die erste Näherung nicht von den<br />
linearen erzwungenen, sondern von den freien nichtlinearen <strong>Schwingungen</strong> aus. Im Unterschied<br />
zu anderen Verfahren werden jedoch P und C vorgegeben, und die zugehörige Erregerfrequenz<br />
Ω wird iterativ bestimmt. Wir betrachten<br />
( x)<br />
= Psin(<br />
t)<br />
x&& + f Ω<br />
(94)<br />
wobei f(x)= –f(–x) eine ungerade Funktion ist. Diese Annahme ist zwar nicht wesentlich,<br />
vereinfacht aber die folgenden Rechnungen. Es ist zweckmäßig, die dimensionslose Zeit τ = Ωt<br />
einzuführen, womit (94) dann die Form<br />
( x)<br />
= sin( τ)<br />
2<br />
Ω f P<br />
x +′<br />
(95)<br />
2<br />
d<br />
annimmt (es sei x =′ x ). Wir beginnen die Iteration mit der freien ungedämpften<br />
2<br />
dτ<br />
Schwingung, und zwar mit der Lösung von<br />
2<br />
1<br />
( ) = 0<br />
Ω x +′ f x<br />
(96)<br />
2<br />
wobei Ω 1 so gewählt wird, daß x(τ) 2π-periodisch ist. Mit den Anfangsbedingungen x(0)= C,<br />
x’(0)= 0 und mit<br />
x<br />
∫<br />
F(<br />
x)<br />
= f ( x)<br />
dx<br />
(97)<br />
0<br />
folgt für 0 ≤ τ ≤ π als erste Näherung<br />
τ =<br />
τ<br />
und daraus<br />
1<br />
Ω<br />
1<br />
1<br />
( x)<br />
C<br />
x<br />
− dx<br />
= Ω1∫<br />
2 −<br />
C<br />
2 + dx<br />
=<br />
π ∫ 2 −<br />
0<br />
[ F(<br />
C)<br />
F(<br />
x)<br />
]<br />
[ F(<br />
C)<br />
F(<br />
x)<br />
]<br />
Die nunmehr bekannte Funktion ( x)<br />
schreiben<br />
2<br />
2<br />
( x)<br />
− P ( τ ( ) = 0<br />
sin 1<br />
1<br />
(98)<br />
(99)<br />
τ setzen wir auf der rechten Seite von (95) ein und<br />
Ω x +′ f<br />
x<br />
(100)<br />
mit der neuen noch zu bestimmenden Größe<br />
2<br />
Ω 2 . Diese Differentialgleichung ist wieder vom Typ<br />
x Ω . Dieser<br />
(96) und kann integriert werden. Daraus folgt die zweite Näherung ( )<br />
Iterationsprozeß kann nach der Vorschrift<br />
( x)<br />
− P ( τ ( ) = 0<br />
Ω +′<br />
− x<br />
2<br />
n x f sin n 1<br />
τ 2 und 2<br />
(101)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 26<br />
( τ) = x(<br />
τ + 2π)<br />
x , x ( 0 ) = C , x ′0 ( ) = C beliebig fortgesetzt werden. Man wiederholt dies solange,<br />
2 2<br />
bis die Differenz Ω n+<br />
1 − Ωn<br />
kleiner als eine bestimmte Schranke ist. Das Verfahren kann in<br />
leicht abgewandelter Form natürlich auch für Probleme verwendet werden, bei denen f(x) keine<br />
ungerade Funktion ist oder sogar Dämpfung auftritt. Die Konvergenz ist im allgemeinen recht<br />
gut, sofern P nicht zu groß ist.<br />
2.3.2 Der Einfluß der Dämpfung und das Sprungphänomen<br />
Bei den ungedämpften erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> von (87) beträgt der Phasenwinkel zwischen<br />
der Erregung und der periodischen Bewegung x(t) immer 0 oder π. Fügen wir ein lineares<br />
Dämpfungsglied 2 δ x& hinzu ( δ > 0 ), so sind wie beim linearen Schwinger auch<br />
dazwischenliegende Phasenwinkel zu erwarten. Anstatt aber für die Erregung P sin( Ω t)<br />
und für<br />
die periodische Lösung: x1 = C sin(<br />
Ωt<br />
− )γ zu schreiben, wollen wir lieber<br />
mit<br />
2 3<br />
x&& + δ x&<br />
+ ω x + μx<br />
= P sin( Ωt)<br />
+ P cos( Ωt)<br />
(102)<br />
2 0<br />
1<br />
2<br />
=<br />
2<br />
P2<br />
und x1 = C sin(<br />
Ωt)<br />
schreiben. Für diesen Ansatz folgt aus (102) mit dem<br />
sin 3Ωt<br />
2 2<br />
P P1<br />
+<br />
Verfahren der harmonischen Balance und unter Vernachlässigung des Gliedes in ( )<br />
so daß sich<br />
bzw.<br />
und<br />
2 2 3 3<br />
( ω0<br />
− Ω ) C + μC<br />
= P1<br />
, 2δ<br />
CΩ<br />
= P2<br />
4<br />
2<br />
2 2 2 ⎡ 2 2 3 3⎤<br />
2 2 2<br />
P = P1<br />
+ P2<br />
= ( ω0<br />
− Ω ) C + μC<br />
+ 4δ<br />
C Ω<br />
(103)<br />
ω<br />
⎢<br />
⎣<br />
2<br />
Ω 2<br />
2<br />
0<br />
tan<br />
4<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
2<br />
δ 3 μ 2 1 P 2⎛<br />
2 2 3 ⎞<br />
= 1− 2 + C ± + 4δ<br />
⎜δ<br />
− ω0<br />
− μC<br />
2 2<br />
2 2<br />
⎟<br />
(104)<br />
ω 4 ω ω C ⎝ 4 ⎠<br />
P<br />
P<br />
1<br />
0<br />
0<br />
2 2 3 3<br />
( ω − Ω ) C + μC<br />
0<br />
2δ<br />
CΩ<br />
0<br />
2<br />
γ = =<br />
(105)<br />
4<br />
ergibt. Für verschiedene Werte von δ und für ein festes P zeigt Abb.14 die Resonanzkurven,<br />
während in Abb.15 entsprechende Kurven für ein festes δ>0, jedoch für verschiedene Werte von<br />
2<br />
P, angegeben sind. Dabei ist C in Abb.14 wieder auf C 0 = P ω0<br />
bezogen. Die strichpunktierten<br />
Skelettlinien in Abb.15 sind durch die vor der Wurzel stehende Summe in (104) gegeben.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 27<br />
2<br />
Abb.14: Resonanzkurven zu (102) mit 1.<br />
0 ω P<br />
Wie verhält sich nun eine periodische Lösung, wenn man mit festem P die Erregerfrequenz Ω<br />
langsam verändert? Dazu nehmen wir an, daß sich die Frequenz “quasi-statisch“ ändert, so daß<br />
die Lösung eine Folge von stationären <strong>Schwingungen</strong> mit verschiedenen Werten von Ω ergibt.<br />
Reduziert man die Erregerfrequenz Ω langsam ausgehend von ΩA (Abb.16a), so wandert der<br />
entsprechende Punkt auf der Resonanzkurve von A nach B1. Wird Ω von ΩB an noch weiter<br />
reduziert, so treten plötzlich starke instationäre <strong>Schwingungen</strong> auf, nach deren Abklingen sich<br />
wieder eine stationäre Schwingung einstellt, die dem Punkt B2 entspricht. Von nun an wandert<br />
bei abnehmendem Ω der Arbeitspunkt in der Resonanzkurve von B2 aus in Richtung D.<br />
Umgekehrt springt bei von Null aus anwachsender Erregerfrequenz Ω der entsprechende Punkt<br />
der Resonanzkurve von C2 nach C1, wenn ΩC überschritten wird. Der Teil der Resonanzkurve<br />
zwischen B1 und C2 entspricht zwar einer stationären Lösung, die aber instabil ist und daher<br />
wegen der immer vorhandenen kleinen Störungen nicht realisiert werden kann. Im Falle μ
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 28<br />
gewissen Systemen von Antrieb und Belastung bestimmte Betriebszustände nicht einstellen<br />
lassen, da sie instabilen Lösungen entsprechen.<br />
2<br />
Abb.15: Resonanzkurven zu (102) mit 0.<br />
1 ω δ<br />
Die Grenzpunkte des instabilen Bereiches treten dort auf, wo die Resonanzkurve eine lotrechte<br />
Tangente besitzt. Diese Punkte können wir leicht bestimmen, indem wir die Beziehung (103)<br />
nach C differenzieren und dann dΩ/dC gleich Null setzen. Wir erhalten die Gleichung<br />
⎛ 2 2 3 2 ⎞⎛<br />
2 2 9 2 ⎞ 2 2<br />
⎜ω<br />
0 − Ω + μC<br />
⎟⎜ω<br />
0 − Ω + μC<br />
⎟+<br />
4δ<br />
Ω = 0<br />
(106)<br />
⎝ 4 ⎠⎝<br />
4 ⎠<br />
deren Lösungen für δ=0 durch<br />
Ω<br />
ω<br />
Ω<br />
ω<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
3 μ<br />
= 1+ C<br />
4 ω<br />
2<br />
0<br />
9 μ<br />
= 1+ C<br />
4 ω<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0 =<br />
(107)<br />
(108)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 29<br />
Abb.16: Das „Sprungphänomen“ bei den erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> der DUFFINGschen<br />
Differentialgleichung mit Dämpfung<br />
Abb.17: Ortskurven für die vertikale Tangenten der Resonanzkurven aus Abb.15<br />
gegeben sind. Für kleine Werte von δ liegen die Lösungen sicherlich in der Nähe der durch (107)<br />
und (108) definierten Kurven. In Abb.17 sind die Lösungen von (106) im ungedämpften Fall mit<br />
durchgezogener Linie eingezeichnet, während die Lösungen für ein festes 0 0 > ω δ gestrichelt<br />
wiedergegeben sind. Diese gestrichelten Kurven sind auch schon in den Resonanzdiagrammen<br />
der Abb.15 angegeben. Die Tatsache, daß die gestrichelten Kurven C(Ω) der Abb.17a) und b) ein<br />
2<br />
relatives Minimum aufweisen, zeigt, daß die Resonanzkurven für genügend kleines P ω0<br />
keine<br />
lotrechte Tangente und daher auch keinen instabilen Bereich besitzen. Zu den gleichen<br />
Ergebnissen, wie wir sie hier mit dem DUFFINGschen Verfahren erhielten, gelangt man<br />
natürlich auch auf anderen Wegen. Wir können<br />
2 3<br />
x&& + 2δ<br />
x&<br />
+ ω x + μx<br />
= P sin( Ωt)<br />
(109)<br />
0
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 30<br />
zum Beispiel mit der Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude untersuchen.<br />
Mit der Koordinatentransformation<br />
folgt<br />
x = asin(<br />
Ωt<br />
+ ψ)<br />
x&<br />
= aΩcos(<br />
Ωt<br />
+ ψ)<br />
P a<br />
a&<br />
= csin(<br />
Ωt)<br />
+<br />
Ω Ω<br />
P s 1<br />
ψ&<br />
= − sin( Ωt)<br />
−<br />
Ω a Ω<br />
wobei die Abkürzung<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
2 2 ( Ω − ω )<br />
0<br />
sc − 2δ<br />
ac<br />
−<br />
μ<br />
Ω<br />
( ) ⎪ 2 2 2 μ 2 4<br />
Ω − ω s + 2δ<br />
sc + a s<br />
0<br />
2<br />
a<br />
Ω<br />
3<br />
s<br />
3<br />
c<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎭<br />
(110)<br />
(111)<br />
s = sin( Ωt<br />
+ ψ),<br />
c = cos( Ωt<br />
+ ψ)<br />
(112)<br />
benützt wurde. Die Mittelung der rechten Seiten ergibt die autonomen Gleichungen<br />
P<br />
a&<br />
= − sin( ψ)<br />
− δ a<br />
2Ω<br />
P 1<br />
ψ&<br />
= − cos( ψ)<br />
−<br />
2Ωa<br />
2Ω<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
( ) ⎪ 2 2 3 μ 2<br />
Ω − ω + a<br />
0<br />
8 Ω<br />
⎭<br />
(113)<br />
Stationäre Lösungen erhalten wir für a& = 0 , also a=aS =C; aus der 1. Gleichung (113) folgt<br />
damit ψ = ψ s , also ψ& = 0 . Zur Berechnung von C und ψ s ergibt sich so<br />
P<br />
0 = − sin( ψ s ) − δ C<br />
2Ω<br />
P<br />
1<br />
0 = − cos( ψ s ) −<br />
2Ωa<br />
2Ω<br />
und schließlich<br />
2 2 3 μ 2<br />
( Ω − ω ) + C<br />
0<br />
8 Ω<br />
2<br />
⎡<br />
⎤<br />
2 2 2 2 ⎛ 2 2 3 2 ⎞<br />
P = C ⎢4<br />
δ Ω + ⎜ω<br />
0 − Ω + μC<br />
⎟ ⎥<br />
(114)<br />
⎢⎣<br />
⎝ 4 ⎠ ⎥⎦<br />
was mit (103) identisch ist.<br />
Die Näherungsgleichungen (113) gestatten es aber nicht nur, die stationäre Lösung zu berechnen,<br />
sondern ermöglichen auch die Untersuchung der instationären Bewegungen. Ein anschauliches<br />
Bild der so näherungsweise bestimmten “Übergangsbewegungen“ erhält man, wenn man die<br />
Lösungen von (113) in dem kartesischen Achsenkreuz mit acos(ψ ), asin(ψ ) als Koordinaten<br />
aufträgt. Dies ergibt ein Phasendiagramm von (113) in den neuen Koordinaten (ein<br />
Phasendiagramm für (109) ist nicht sinnvoll, da diese Differentialgleichung die Zeit explizit<br />
enthält). Besonders einfach wird dies im ungedämpften Fall (mit δ=0), da dann (113) das erste<br />
Integral<br />
2 2 ( Ω − ω )<br />
2<br />
P a<br />
0 3 μ 4<br />
a cos( ψ)<br />
+ − a = K<br />
(115)<br />
Ω<br />
2Ω<br />
16 Ω<br />
besitzt. Zu (115) gelangt man, indem man mit (113)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 31<br />
2<br />
P Ω − ω<br />
cos( ψ)<br />
+<br />
dψ<br />
= −<br />
2Ωa<br />
2Ω<br />
da<br />
P<br />
sin( ψ)<br />
2Ω<br />
bildet und diesen Ausdruck als<br />
P ⎡ P a<br />
sin( ψ)<br />
dψ<br />
− cos( )<br />
2 ⎢<br />
ψ +<br />
Ω ⎣2Ω<br />
2Ω<br />
2<br />
0<br />
3 μ<br />
− a<br />
8 Ω<br />
2<br />
2 2 3 μ 3⎤<br />
( Ω − ω ) − a da = 0<br />
0<br />
8 Ω<br />
⎥<br />
⎦<br />
(116)<br />
Abb.18: Phasendiagramm der erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> der DUFFINGschen Gleichung in der<br />
2<br />
VAN DEN POLschen Ebene 0 ω μ<br />
0
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 32<br />
schreibt. Es ist leicht zu erkennen, daß (116) ein exaktes Differential der Funktion auf der linken<br />
Seite von (115) ist. Die Anfangswerte von a und ψ legen die Konstante K fest.<br />
In den Abb.18a) und b) sind die entsprechenden Kurven für ein μ α .<br />
0<br />
Abb.19: Resonanzkurve des ungedämpften DUFFINGschen Schwingers<br />
Wir wollen nun überlegen, wie man eine periodische Lösung von (109) mit dem Verfahren der<br />
harmonischen Balance bestimmen kann. Hierzu schreiben wir näherungsweise<br />
x<br />
1<br />
2<br />
m<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
( t)<br />
≈ B + ( A sin(<br />
nΩt)<br />
+ B cos(<br />
nΩt<br />
)<br />
0<br />
n<br />
n<br />
0<br />
(117)<br />
wobei die An, Bn noch zu bestimmende Größen sind, die für die gesuchte periodische Lösung<br />
konstant sein sollen. Wir gehen mit diesem Ansatz in die linke Seite von<br />
2 3<br />
x&& + 2δ<br />
x&<br />
+ ω x + μx<br />
− Psin(<br />
Ωt)<br />
= 0<br />
(118)<br />
ein und erhalten den Fehler<br />
0
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 33<br />
e = −Ω<br />
+<br />
+<br />
2<br />
ω<br />
2<br />
Ωδ<br />
2<br />
0<br />
2<br />
B<br />
m<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
m<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
0<br />
+<br />
n<br />
n<br />
⎡1<br />
+ μ⎢<br />
B0<br />
+<br />
⎣2<br />
− Psin<br />
2<br />
( Ωt)<br />
( A sin(<br />
nΩt)<br />
+ B cos(<br />
nΩt<br />
)<br />
( A cos(<br />
nΩt)<br />
+ B sin(<br />
nΩt<br />
)<br />
ω<br />
m<br />
2<br />
0∑<br />
n=<br />
1<br />
m<br />
n<br />
∑<br />
n<br />
n=<br />
1<br />
( A sin(<br />
nΩt)<br />
+ B cos(<br />
nΩt<br />
)<br />
( A sin(<br />
nΩt)<br />
+ B cos(<br />
nΩt<br />
)<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(119)<br />
der natürlich nicht identisch verschwindet. Mit Hilfe der elementaren Formeln der Trigonometrie<br />
können wir e aber in der Form<br />
e = E<br />
0<br />
+<br />
p<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( D ( iΩt)<br />
+ E cos(<br />
iΩt<br />
)<br />
i<br />
sin (120)<br />
i<br />
2<br />
mit p>m schreiben, wobei die Di, i≥1 und Ei, i≥0 nur von den An, Bn und von δ , ω0<br />
, μ und P<br />
abhängen. Wir können nun die An und Bn so wählen, daß zwar e nicht verschwindet, jedoch die<br />
Ei, i= 0, 1,..., m und Di, i= l, 2,..., m gleich Null werden. Dies durchzuführen ist allerdings<br />
schwierig, da die Ei, Di in komplizierter nichtlinearer Weise von den An, Bn abhängen. Bei<br />
Beschränkung auf die erste Näherung<br />
1<br />
x 0 1<br />
1 Ω<br />
2<br />
( t)<br />
= B + A sin(<br />
Ωt)<br />
+ B cos(<br />
t)<br />
ist das Problem aber noch ohne weiteres lösbar. Es folgt<br />
e =<br />
+<br />
2 2<br />
2 2<br />
[ ( ω − Ω ) A − 2 Ωδ B − P]<br />
sin(<br />
Ωt)<br />
+ [ ( ω − Ω ) B − 2 Ωδ A]<br />
cos(<br />
Ωt)<br />
ω<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
B<br />
0<br />
⎡1<br />
+ μ⎢<br />
B0<br />
+<br />
⎣2<br />
Asin<br />
( ) ( ) 3<br />
⎤<br />
Ωt<br />
+ B cos Ωt<br />
woraus man leicht erkennt, daß für E0= 0 auch B0 = 0 ist. Mit<br />
3<br />
4<br />
1<br />
+ A<br />
4<br />
3<br />
2 2<br />
2 2<br />
[ Asin(<br />
Ωt)<br />
+ B cos(<br />
Ωt)<br />
] = A(<br />
A + B ) sin(<br />
Ωt)<br />
+ B(<br />
A + B ) cos(<br />
Ωt)<br />
ergeben sich dann aus E1= 0, D1= 0 die Gleichungen<br />
mit<br />
⎛<br />
⎜ω<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜ω<br />
⎝<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
−<br />
−<br />
Ω<br />
Ω<br />
C +<br />
2<br />
2<br />
+<br />
+<br />
3 2 ⎞<br />
μC<br />
⎟A<br />
− 2 Ωδ B = P<br />
4 ⎠<br />
3 2 ⎞<br />
μC<br />
⎟A<br />
+ 2 Ωδ A = 0<br />
4 ⎠<br />
2 2<br />
= A B . Daraus erhält man<br />
0<br />
⎥<br />
⎦<br />
3<br />
4<br />
2 2 1<br />
2 2<br />
( − A + 3B<br />
) sin(<br />
3Ωt)<br />
+ B(<br />
− 3A<br />
+ B ) cos(<br />
3Ωt)<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪⎭<br />
4<br />
(121)<br />
(122)<br />
(123)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 34<br />
⎛ 2 2 3 2 ⎞<br />
P⎜ω<br />
0 − Ω + μC<br />
⎟<br />
4<br />
A =<br />
⎝<br />
⎠<br />
2<br />
2 2 ⎛ 2 2 3 2 ⎞<br />
4δ<br />
Ω + ⎜ω<br />
0 − Ω + μC<br />
⎟<br />
⎝ 4 ⎠<br />
und schließlich<br />
⎡<br />
2<br />
2 2 2 ⎛ 2 2 3 2 ⎞ 2<br />
C ⎢4<br />
δ Ω + ⎜ω<br />
0 − Ω + μC<br />
⎟ ⎥ = P<br />
⎢⎣<br />
⎝<br />
4<br />
⎤<br />
⎠ ⎥⎦<br />
B =<br />
2<br />
4δ<br />
Ω<br />
2<br />
⎛<br />
+ ⎜ω<br />
⎝<br />
2δ<br />
PΩ<br />
2<br />
0<br />
−<br />
Ω<br />
2<br />
+<br />
3<br />
μC<br />
4<br />
was mit dem früheren Ergebnis (114) übereinstimmt. Ebenso kann man die Phasenverschiebung<br />
zwischen Erregung und Antwort natürlich leicht berechnen.<br />
Auch das Verfahren von RAUSCHER und die Störungsrechnung können ohne weiteres zur<br />
Bestimmung der erzwungenen gedämpften <strong>Schwingungen</strong> verwendet werden. Die Näherungen<br />
höherer Ordnung verändern die Resonanzkurven aus der ersten Näherung nur wenig, sofern μ<br />
nicht zu große Werte annimmt (siehe z.B. KAUDERER).<br />
2.3.3 Subharmonische <strong>Schwingungen</strong><br />
Ein wesentlicher Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen erzwungenen <strong>Schwingungen</strong><br />
besteht darin, daß bei den letzteren nicht nur periodische <strong>Schwingungen</strong> mit der Kreisfrequenz Ω<br />
der Erregung existieren, sondern daß auch noch periodische <strong>Schwingungen</strong> mit anderen<br />
Kreisfrequenzen möglich sind. Außer den <strong>Schwingungen</strong> mit der Kreisfrequenz Ω werden am<br />
häufigsten solche mit den Kreisfrequenzen Ω/2, Ω/3,..., Ω/n beobachtet; sie werden als<br />
subharmonische <strong>Schwingungen</strong> bezeichnet. Die wichtigste subharmonische Schwingung der<br />
DUFFINGschen Gleichung ist die mit der Kreisfrequenz Ω/3. Sie kann mit allen schon bisher<br />
verwendeten Methoden näherungsweise berechnet werden. Wir wollen sie hier nur kurz mit<br />
Hilfe des Verfahrens der harmonischen Balance besprechen (siehe STOKER), und zwar nur für<br />
den ungedämpften Fall.<br />
Wir suchen eine periodische Lösung von<br />
2 3<br />
x&& + ω x + μx<br />
= P sin( Ωt)<br />
(124)<br />
0<br />
mit der Kreisfrequenz Ω/3. Eine solche Lösung kann als<br />
∑ ∞ ⎛ ⎛nΩt ⎞ ⎛nΩt ⎞⎞<br />
x = ⎜A<br />
n sin⎜<br />
⎟+<br />
Bn<br />
cos⎜<br />
⎟⎟<br />
(125)<br />
n=<br />
1 ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠<br />
⎛nΩt ⎞<br />
geschrieben werden. Es ist leicht zu zeigen, daß nur Glieder in sin⎜<br />
⎟ mit ungeradem n<br />
⎝ 3 ⎠<br />
verschieden von Null sind. Wir schreiben daher<br />
⎛Ωt<br />
⎞<br />
⎛5Ωt ⎞<br />
x = C1/<br />
3 sin⎜ ⎟+<br />
C1<br />
sin(<br />
Ωt)<br />
+ C5<br />
/ 3 sin⎜<br />
⎟+<br />
K<br />
(126)<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎝ 3 ⎠<br />
Gehen wir mit dem Ansatz<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 35<br />
⎛Ωt<br />
⎞<br />
x = C1<br />
/ 3 sin⎜ ⎟+<br />
C1<br />
sin Ω<br />
⎝ 3 ⎠<br />
( t)<br />
in (124) ein, so ergibt der Koeffizientenvergleich<br />
2 ⎛ 2 Ω ⎞<br />
⎜<br />
⎜ω<br />
0 − ⎟<br />
⎟C1<br />
⎝ 9 ⎠<br />
+<br />
4<br />
μ<br />
3<br />
3 2<br />
2<br />
( C − C C + 2C<br />
C )<br />
⎫<br />
= 0⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
( ) ( ) ⎪ ⎪<br />
2 2 1 3 2<br />
2<br />
ω − Ω C + μ − C + 6C<br />
C + 3C<br />
= P<br />
0<br />
1<br />
/ 3<br />
3<br />
1/<br />
3<br />
1/<br />
3<br />
1/<br />
3<br />
1/<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1/<br />
3<br />
Für C ≠ 0 erhält man aus der ersten Gleichung (128)<br />
1/<br />
3<br />
27<br />
4<br />
( ) 2<br />
2<br />
C − C C + 2<br />
1<br />
1<br />
⎭<br />
(127)<br />
(128)<br />
2 2<br />
Ω = 9ω0 + μ 1/<br />
3 1/<br />
3 1 C1<br />
(129)<br />
Durch Elimination von Ω 2 folgt<br />
3<br />
2<br />
2<br />
( − C − 21C<br />
C + 27C<br />
C 51 )<br />
2 1<br />
− 8ω 0C1<br />
= P − μ 1/<br />
3 1/<br />
3 1 1/<br />
3 1 − C1<br />
(130)<br />
4<br />
Diese Gleichungen sollen für kleine Werte von μ iterativ gelöst werden. Für μ= 0 folgt in erster<br />
Näherung für ein beliebig vorgegebenes C1/3<br />
Ω<br />
= 3ω<br />
,<br />
P<br />
C = −<br />
(131)<br />
8ω<br />
( 1)<br />
0 1,<br />
( 1)<br />
2<br />
und damit dann aus (129), (130) in zweiter Näherung<br />
0<br />
( )<br />
( ) ⎪ ⎪<br />
2<br />
⎫<br />
2 2 27 ⎛ 2 P P ⎞<br />
Ω<br />
⎜<br />
⎟<br />
2 = 9ω0<br />
+ μ C1/<br />
3 − C1/<br />
3 + 2<br />
4<br />
⎪<br />
4 ⎝ 8ω<br />
0 32ω0<br />
⎠<br />
⎪<br />
⎬<br />
2<br />
3<br />
P 1 μ ⎛ 3<br />
2 P P P ⎞<br />
C = − +<br />
⎜<br />
⎜−<br />
+ + +<br />
⎟<br />
1 2<br />
C<br />
2<br />
2 1/<br />
3 21C1<br />
/ 3 27C<br />
2 1/<br />
3 51<br />
2 4 3 6<br />
8ω0<br />
32 ω0<br />
⎝<br />
8ω<br />
0 8 ω0<br />
8 ω0<br />
⎠ ⎭<br />
(132)<br />
Die erste dieser Gleichungen stellt je nach Vorzeichen von μ eine Ellipse oder eine Hyperbel in<br />
der C1/3-Ω-Ebene dar.<br />
Zu jedem angenommenen Wert von C1/3 erhalten wir daraus den entsprechenden Wert von Ω,<br />
während uns die zweite Gleichung den zugehörigen Wert von C1 liefert. Aus den oberen<br />
Diagrammen in Abb.20 und aus der ersten
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 36<br />
Abb.20: Resonanzkurve für C1, C1/3 und C<br />
Gleichung (132) erkennt man, daß subharmonische Resonanz, d.h. C ≠ 0 , nicht für alle<br />
Frequenzen Ω möglich ist, sondern nur für Werte von Ω, die oberhalb (unterhalb) eines<br />
bestimmten kritischen Wertes liegen, wenn μ>0 (μ
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 37<br />
2<br />
2<br />
P ⎛ 51 P ⎞<br />
“harmonischen“ Schwingung an der Stelle C ⎜ ⎟<br />
1 = C =<br />
⎜<br />
μ −1<br />
4<br />
2 6<br />
8 ω<br />
⎟<br />
(Punkt B). Abb.20<br />
2<br />
0 ⎝32<br />
8 ω 0 ⎠<br />
zeigt die Resonanzkurven für C1 und C1/3 für subharmonische Resonanz sowie auch die<br />
Resonanzkurven der „gewöhnlichen“ erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> C(Ω/ω0)<br />
2.3.4 Kombinationsfrequenzen<br />
Bisher haben wir ausschließlich erzwungene <strong>Schwingungen</strong> untersucht, die durch eine einzige<br />
harmonische Kraft erregt werden. Bei linearen Systemen konnte man den Fall gleichzeitiger<br />
Erregung durch zwei oder mehr harmonische Erregerglieder verschiedener Frequenzen durch<br />
Superposition lösen. Im nichtlinearen Fall ist dies nicht mehr möglich, und es können sich<br />
vollkommen neue Arten von <strong>Schwingungen</strong> ergeben. Betrachten wir die DUFFINGsche<br />
Gleichung im ungedämpften Fall bei gleichzeitiger Erregung durch zwei Terme verschiedener<br />
Frequenzen:<br />
2 3<br />
x&& + ω x + μx<br />
= P Ω t)<br />
+ P cos( Ω t)<br />
(133)<br />
0<br />
1 cos( 1 2 2<br />
Diese Gleichung kann wieder mit verschiedenen, schon benützten Näherungsverfahren behandelt<br />
werden. Wir wollen hier nur kurz einige Ergebnisse besprechen. DUFFING erhielt mit seinem<br />
Verfahren (siehe „Ungedämpfte erzwungene <strong>Schwingungen</strong>“) und dem Ansatz<br />
x = A Ω t)<br />
+ B cos( Ω t)<br />
(134)<br />
1<br />
cos( 1<br />
2<br />
in der nächsten Näherung<br />
x<br />
2<br />
3<br />
3<br />
μA<br />
μA<br />
= Acos(<br />
Ω1t)<br />
+ B cos( Ω2t<br />
) − cos( 3Ω1t)<br />
− cos( 3Ω<br />
2t)<br />
36<br />
36<br />
3 ⎡ 2 1<br />
1<br />
− μA<br />
B⎢<br />
cos(<br />
( Ω2<br />
+ 2Ω1)<br />
t)<br />
+<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
4 ⎣(<br />
Ω2<br />
+ 2Ω1)<br />
( Ω2<br />
− 2Ω1)<br />
−<br />
3<br />
μAB<br />
4<br />
2<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
2 ( Ω + 2Ω<br />
)<br />
2<br />
1<br />
1<br />
cos<br />
wo A und B die algebraischen Gleichungen<br />
2 2 3 2 2<br />
( ω − Ω ) A + μA(<br />
A + 2B<br />
)<br />
0<br />
( ) ( ) ⎪ 2 2 3 2 2<br />
ω − Ω B + μB<br />
B + 2A<br />
= P<br />
0<br />
1<br />
2<br />
4<br />
4<br />
( ( Ω2<br />
+ 2Ω1)<br />
t)<br />
+<br />
2 ( Ω − 2Ω<br />
)<br />
= P<br />
1<br />
2<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎭<br />
2<br />
1<br />
1<br />
cos<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
( ( Ω − 2Ω<br />
) t)<br />
2<br />
⎤<br />
( ( Ω2<br />
− 2Ω1)<br />
t)⎥<br />
⎦<br />
1<br />
(135)<br />
(136)<br />
erfüllen. Wesentlich hierbei ist, daß jetzt in den erzwungenen <strong>Schwingungen</strong> Terme mit den<br />
Kreisfrequenzen Ω 2 ± 2Ω1<br />
und Ω 1 ± 2Ω2<br />
auftreten, die als Kombinationsfrequenzen bezeichnet<br />
werden. In ganz entsprechender Art hat HELMHOLTZ mit der nichtlinearen Charakteristik des<br />
menschlichen Ohres die Tatsache erklärt, daß man gelegentlich bei zwei Tönen mit den<br />
Kreisfrequenzen ω1 und ω2 auch Töne der Frequenzen ω1 ± ω2 hört, besonders wenn es sich um<br />
sehr laute Töne handelt. Wir wollen hier von einer tiefergehenden Diskussion dieser Ergebnisse<br />
absehen, obwohl sie zum Beispiel im Zusammenhang mit der Himmelsmechanik sehr wichtig<br />
sind, und verweisen statt dessen auf STOKER und andere Autoren.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 38<br />
2.4 Übungsaufgaben<br />
1. Übung:<br />
Das unten dargestellte System besteht aus zwei nichtlinearen Federn und aus zwei<br />
Massenpunkten mit den Massen m1, m2. Bezeichnet man die von der entspannten Lage aus<br />
gezählten Verlängerungen der Federn 1 und 2 mit q1, q2, so werden die Rückstellkräfte durch<br />
( ) ( ) 2<br />
q1<br />
= c1q1<br />
+<br />
2<br />
1 1<br />
( ) ( ) 2<br />
q = c q +<br />
2<br />
f1 1 α q<br />
f α<br />
2 2 2 2 1 2q<br />
2<br />
gegeben, wobei c1, c2, α 1 , α 2 konstant sind (es sei α 1 / α 2 =8, c1/c2=2, m1/m2=1/4,<br />
α g = 2c / m , g= Fallbeschleunigung).<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Man stelle die Bewegungsgleichungen auf und bestimme durch Linearisierung um die<br />
Gleichgewichtslage eine Näherungslösung für <strong>Schwingungen</strong> mit kleinen Ausschlägen.<br />
Lösung:<br />
Die Bewegungsgleichungen sind<br />
m q&&<br />
1<br />
2<br />
1<br />
m q&&<br />
=<br />
3<br />
= −<br />
wobei q 3 q1<br />
+ q2<br />
f<br />
1<br />
( q1)<br />
+ f 2(<br />
q2<br />
) + m1g<br />
− f ( q ) + m g<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= die Auslenkung von m 2 darstellt. Man erhält so das nichtlineare<br />
Differentialgleichungssystem<br />
m q&&<br />
m<br />
1<br />
2<br />
1<br />
= −c<br />
q<br />
2 2<br />
2 2<br />
( 1+<br />
α q ) + c q ( 1+<br />
α q )<br />
2 2<br />
( q&&<br />
+ q&&<br />
) =<br />
− c q ( 1+<br />
α q ) + m g<br />
1<br />
das durch Transformation<br />
x α<br />
2<br />
1 = 1q1<br />
, x2 α 2q<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
c1<br />
= , τ<br />
= t<br />
m<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ m g<br />
1<br />
2
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 39<br />
in<br />
x<br />
x<br />
1<br />
1<br />
+′ x<br />
1<br />
+′ 8x<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
x1<br />
) − 4x2<br />
( 1+<br />
x2<br />
)<br />
2<br />
+′ x ( 1+<br />
x ) = 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= 2<br />
übergeht, wobei die Striche Ableitungen nach τ bedeutet. Für die Gleichgewichtslage x st folgt<br />
x<br />
x<br />
1st<br />
2st<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
x1st<br />
) − 4x<br />
2st<br />
( 1+<br />
x2st<br />
)<br />
2 ( 1+<br />
x ) = 2<br />
2st<br />
1 = st<br />
= 2<br />
und damit x 2,<br />
1 = x als einzige reelle Lösung.<br />
Wir schreiben<br />
x st +<br />
2 st<br />
1 x1<br />
x1<br />
= , x2 x2<br />
st x2<br />
+ =<br />
und vernachlässigen in den Bewegungsgleichungen alle in x 1,<br />
x 2 nichtlinearen Glieder, woraus<br />
x<br />
x<br />
1<br />
1<br />
+′ 13x<br />
+′ 8x<br />
2<br />
1<br />
−16x<br />
+′ 4x<br />
2<br />
2<br />
= 0<br />
= 0<br />
folgt. Der Lösungsansatz = A cos ( ωτ + α ) , i = 1,<br />
2,<br />
2 ( 13−<br />
ω )<br />
−<br />
ω<br />
2<br />
A<br />
A<br />
1<br />
1<br />
+<br />
x i<br />
i<br />
i führt auf<br />
−16A<br />
= 0<br />
2 ( 4 − 8ω<br />
) A = 0<br />
2<br />
2<br />
Damit dieses homogene lineare algebraische Gleichungssystem in A 1 , A 2 eine nichttriviale<br />
Lösung besitzt, muß die Koeffizientendeterminante verschwinden. Diese Bedingung liefert die<br />
charakteristische Gleichung<br />
2ω<br />
4<br />
− 31ω<br />
2<br />
+ 13 = 0<br />
2<br />
mit den Wurzeln ω 0.<br />
43 und 07 . 15<br />
2<br />
ω<br />
1 =<br />
2 =<br />
Für die Amplitudenverhältnisse ρ 1 und ρ 2 erhält man<br />
ρ<br />
ρ<br />
1<br />
2<br />
⎛ A1<br />
⎞<br />
= ⎜<br />
⎟ =<br />
⎝ A2<br />
⎠<br />
1<br />
2<br />
16<br />
13−<br />
ω<br />
2<br />
1<br />
⎛ A1<br />
⎞ 16<br />
= ⎜<br />
⎟ =<br />
⎝ A2<br />
⎠ 13 − ω<br />
2<br />
2<br />
= 1.<br />
27<br />
= −<br />
7.<br />
73<br />
und damit die Lösung für kleine <strong>Schwingungen</strong> um die Gleichgewichtslage:<br />
x<br />
x<br />
1<br />
2<br />
= ρ B<br />
=<br />
1<br />
1<br />
B<br />
1<br />
cos<br />
cos<br />
( ω1τ<br />
+ β1<br />
) + ρ2<br />
B2<br />
cos(<br />
ω 2τ<br />
+ β2<br />
)<br />
( ω τ + β ) + B cos(<br />
ω τ + β )<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
wobei die vier Integrationskonstanten B 1 , B2<br />
, β1,<br />
β2<br />
aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen<br />
sind.<br />
2
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 40<br />
2. Übung:<br />
An den Lagern A und B, die den Abstand 21 voneinander aufweisen, sind zwei gleiche masselose<br />
lineare Federn mit der Federsteifigkeit c angebracht. Sie haben im entspannten Zustand die<br />
Länge s 0 = l(<br />
1+<br />
α)<br />
und sind miteinander durch ein Gelenk verbunden, das die Masse m trägt und<br />
reibungsfrei an die Gerade EF gefesselt ist. Das Gewicht wird vernachlässigt (Bewegung auf<br />
horizontaler, glatter Ebene).<br />
a) Man stelle die Differentialgleichung der Bewegung auf und normiere sie in geeigneter Weise<br />
( x = q / l ).<br />
b) Für die Parameterwerte α = 0 . 5;<br />
0;<br />
+ 0.<br />
5 ist die Rückstellkraft (in Richtung EF) als Funktion<br />
von x zu zeichnen. Für welchen Parameterwert α ist eine Linearisierung um die<br />
Gleichgewichtslage q= 0 nicht sinnvoll?<br />
c) Für α = −0<br />
. 5;<br />
0;<br />
+ 0.<br />
5 zeichne man das Phasenporträt.<br />
Lösung:<br />
a) Die Bewegungsgleichung lautet<br />
⎡<br />
1+<br />
α<br />
⎤<br />
mq&& + 2c⎢1<br />
− ⎥q<br />
= 0<br />
2 ⎢ 1 ( ) ⎥<br />
⎣ + q l ⎦<br />
2c<br />
sie geht mit x = q l , τ = t in<br />
m<br />
x<br />
⎛ 1+<br />
α ⎞<br />
+′ ⎜1<br />
⎟<br />
⎜<br />
− = 0<br />
2 ⎟<br />
x<br />
⎝ 1+<br />
x ⎠<br />
über (Striche bedeuten Ableitungen nach τ )<br />
⎛<br />
b) Die normierte „Rückstellkraft“ f ( x)<br />
= ⎜<br />
1 −<br />
⎝<br />
der folgenden Abbildung dargestellt.<br />
1+<br />
α<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
⎞<br />
⎟<br />
x ist für verschiedene Werte von α in<br />
⎠
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 41<br />
Rückstellkraft<br />
Eine Entwicklung der Rückstellkraft in eine Potenzreihe liefert die Bewegungsgleichung in der<br />
Form<br />
x<br />
1 1⋅<br />
3<br />
1⋅<br />
3⋅<br />
5<br />
−′ αx<br />
+<br />
K<br />
2 2⋅<br />
4 2⋅<br />
4⋅<br />
6<br />
3<br />
5<br />
7<br />
( 1+<br />
α)<br />
x − ( 1+<br />
α)<br />
x + ( 1+<br />
α)<br />
x − = 0<br />
Man erkennt sofort, daß eine Linearisierung für α = 0 sicherlich nicht sinnvoll ist, da dann die<br />
linearisierte Gleichung die Form x =′ 0 annimmt und man nicht einmal mehr etwas über die<br />
Stabilität oder Instabilität der Gleichgewichtslage x = 0 aussagen kann.<br />
c) Die Gleichgewichtslagen bestimmt man mit x =′ 0 aus der vollständigen nichtlinearen<br />
Bewegungsgleichung. Es ergibt sich x 1 = 0 und x 2,<br />
3 = ± α(<br />
2 + α)<br />
. Nichttriviale reelle<br />
Gleichgewichtslagen kann es daher nur für α < −2<br />
und für α > 0 geben. Anderseits wird aber<br />
die natürliche Länge der Federn s 0 = l(<br />
1+<br />
α)<br />
negativ für α < −1,<br />
so daß sinnvolle nichttriviale<br />
reelle Lösungen tatsächlich nur für α > 0 existieren.<br />
Aus der nichtlinearen Bewegungsgleichung folgt durch zeitfreie Integration<br />
mit<br />
x =′ ± 2 −<br />
( E F(<br />
x )<br />
x<br />
F −<br />
2<br />
2<br />
( x)<br />
= − ( 1+<br />
α)<br />
1 x<br />
Damit kann man leicht die Phasendiagramme zeichnen. Wegen der Symmetrie wurden die<br />
Diagramme nur im ersten Quadranten wiedergegeben.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 42<br />
3. Übung:<br />
Phasenkurven<br />
Der Schwinger in der unterstehenden Abbildung besteht aus einer Masse m, einer linearen<br />
masselosen Feder (Federkonstante c) und einem Faden (der keine Druckkräfte aufnehmen kann).<br />
Man zeichne das Phasenporträt und bestimme die Schwingungsdauer für beliebige<br />
Auslenkungen.<br />
Lösung:<br />
Die Bewegungsgleichung lautet<br />
( z)<br />
mg<br />
m z&&<br />
= − f +<br />
wobei z von der statischen Ruhelage aus gezählt wird. Für die Rückstellkraft f ( z)<br />
gilt<br />
f<br />
f<br />
( z)<br />
= 0 für z ≤ −e<br />
( z)<br />
= mg + cz für z ≥ −e<br />
mit der statischen Federverlängerung e = gm c = g<br />
2<br />
ω und ω = c m<br />
2<br />
seien vorgegeben z& ( 0 ) = 0 und ( 0) 0 0<br />
. Als Anfangsbedingung<br />
> z = z .
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 43<br />
Rückstellkraft f ( z)<br />
Zwei Bewegungsabschnitte müssen unterschieden werden:<br />
a) Für z0 ≤ e erhält man<br />
2<br />
z&& + ω z =<br />
mit den durch<br />
2<br />
0<br />
⎛ z& ⎞ ⎛ z ⎞ ⎛ z0<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎝ω<br />
e⎠<br />
⎝e<br />
⎠ ⎝ e ⎠<br />
gegebenen Phasenkurven, die in der<br />
2<br />
2<br />
z& −<br />
ωe<br />
z<br />
e<br />
–Ebene Kreisen entsprechen.<br />
b) Bei z ≥ e f z für einen Teil der Bewegung zu Null, und der Körper bewegt sich dann<br />
unter dem Einfluß der Schwerkraft.<br />
0 wird ( )<br />
b1) Für z ≥ −e<br />
gilt<br />
und<br />
2<br />
z&& + ω z =<br />
2<br />
0<br />
⎛ z& ⎞ ⎛ z ⎞ ⎛ z0<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎝ω<br />
e⎠<br />
⎝e<br />
⎠ ⎝ e ⎠<br />
2<br />
das heißt, die Lösungskurven sind wieder Kreise.<br />
b2) Für z ≤ −e<br />
gilt<br />
m z&&<br />
=<br />
mg<br />
mit den Parabeln<br />
2<br />
2<br />
z&<br />
z&<br />
1<br />
− gz = − gz<br />
2 2<br />
als Phasenkurven.<br />
1<br />
2<br />
Die Integrationskonstanten bestimmt man aus der Anschlußbedingung zwischen Kreis und<br />
Parabel. Bei z = z1<br />
= −e<br />
gilt
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 44<br />
2<br />
⎡ ⎤<br />
2 2 2 2 ⎛ z0<br />
⎞<br />
z& = z&<br />
1 = ω e ⎢⎜<br />
⎟ −1⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ e ⎠ ⎥⎦<br />
und daraus folgt für die Parabelbogen<br />
2<br />
⎛ z& ⎞ z ⎛ z0<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ − 2 = ⎜ ⎟ −<br />
⎝ωe<br />
⎠ e ⎝ e ⎠<br />
2<br />
Das entsprechende Phasendiagramm ist unten dargestellt.<br />
1<br />
Phasenkurven<br />
Die Schwingungsdauer T kann leicht bestimmt werden. Für Kleine Amplituden ( z < e)<br />
einfach T = 2 π m c . Für große Amplituden gilt für die Bewegung auf den Kreisbogen<br />
und damit<br />
bzw.<br />
z& = ω z −<br />
ω<br />
t<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
ωt<br />
dt =<br />
1<br />
2<br />
0<br />
z<br />
0<br />
∫<br />
e<br />
z<br />
z<br />
2<br />
2<br />
0<br />
dz<br />
⎛<br />
= arccos ⎜<br />
⎜−<br />
⎝<br />
−<br />
z<br />
e<br />
z<br />
Für die Bewegung auf dem Parabelbogen ist<br />
und<br />
0<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 2<br />
z& = ± ω z + e + 2ez<br />
0<br />
0 gilt
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 45<br />
2<br />
−e 2<br />
∫<br />
z<br />
m<br />
z<br />
2<br />
0<br />
Mit ( z ) = 0<br />
+<br />
dz<br />
= ω∫<br />
dt<br />
2<br />
e + 2ez<br />
t<br />
z& m folgt ( ) 2 2<br />
2ezm − z0<br />
+ e<br />
Schwingungsdauer ergibt sich in diesem Fall:<br />
t<br />
1<br />
⎡<br />
2<br />
m<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎛ z0<br />
⎞<br />
T = t + = 2 arccos(<br />
− ) + ⎜ ⎟ −1⎥<br />
1 t2<br />
e z0<br />
c ⎢<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎝ e ⎠<br />
⎦<br />
= und damit ω( − t ) = ( z e)<br />
−1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
2<br />
t . Für die<br />
T<br />
mit der Näherungslösung<br />
2π<br />
c 1<br />
≈ +<br />
m 2<br />
z0<br />
z0 für große Werte von . Die Schwingungsdauer ist<br />
πe<br />
e<br />
in dem Diagramm als Funktion des Maximalausschlages gegeben.<br />
Man beachte, daß hier wegen der fehlenden Symmetrie der Maximalausschlag nicht mit der<br />
Amplitude identisch ist; diese wird durch A = ( z − z ) / 2 definiert.<br />
4. Übung:<br />
Die nichtlineare Differentialgleichung<br />
x&& + x + x<br />
2 =<br />
0<br />
max<br />
Schwingungsdauer als Funktion des Maximalausschlages<br />
kann mit Hilfe elliptischer Funktionen streng gelöst werden.<br />
a. Für kleine Schwingungsamplituden forme man sie so um, daß die Störungsrechnung nach<br />
LINDSTEDT angewandt werden kann.<br />
b. Man berechne die drei ersten Näherungen.<br />
c. Wie ändert sich die Kreisfrequenz ω in Abhängigkeit von der Amplitude?<br />
min
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 46<br />
Lösung:<br />
a) Die Differentialgleichung wird mit τ = ωt<br />
, x = μy<br />
in<br />
2<br />
2<br />
ω y y + μy<br />
+′<br />
= 0<br />
umgeformt, wobei ω 2 π die zu bestimmende Frequenz der freien <strong>Schwingungen</strong> und μ ein<br />
kleiner Parameter ist, der gleich dem Maximalausschlag C gewählt wird.<br />
b) Der Ansatz<br />
ω = 1+<br />
y = y<br />
0<br />
μω<br />
1<br />
+<br />
+ μy<br />
1<br />
+<br />
μ<br />
2<br />
μ<br />
ω<br />
2<br />
2<br />
y<br />
2<br />
+<br />
+<br />
K<br />
K<br />
Liefert nach Einsetzen in die Differentialgleichung und Vergleich der Glieder gleicher Ordnung<br />
in μ das System<br />
y<br />
y<br />
y<br />
0<br />
1<br />
2<br />
+′<br />
+′<br />
KK<br />
y<br />
y<br />
1<br />
0<br />
2<br />
= 0<br />
+′ y = −2ω<br />
y −′<br />
1<br />
1<br />
0<br />
= −2ω<br />
y<br />
1<br />
−′<br />
y<br />
2<br />
0<br />
2 ( ω + 2ω<br />
)<br />
1<br />
2<br />
y −′ 2y<br />
y<br />
das rekursiv gelöst wird. Mit den Anfangsbedingungen ( 0 ) = 1<br />
y ( τ) = cos(<br />
τ)<br />
.<br />
0<br />
Die Differentialgleichung für ( τ)<br />
y<br />
1<br />
1<br />
0<br />
y nimmt damit die Form<br />
1 1<br />
+′ y1<br />
= 2ω1 cos<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
2 ( τ)<br />
− cos ( τ)<br />
= 2ω<br />
cos(<br />
τ)<br />
− − cos(<br />
τ)<br />
an. Um Resonanz zu vermeiden, setzen wir ω 1 = 0 und erhalten<br />
y<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
6<br />
( τ) = C ( τ + γ ) − + cos(<br />
2τ)<br />
1 cos 1<br />
was mit den Anfangsbedingungen ( 0)<br />
= 0<br />
y1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
6<br />
( τ) = − + cos(<br />
τ)<br />
+ cos(<br />
2τ)<br />
ergibt. Für y 2 folgt damit die Gleichung<br />
y<br />
2<br />
+′<br />
y<br />
2<br />
= 2ω<br />
= −<br />
2<br />
cos<br />
1 ⎛<br />
+ ⎜2ω<br />
2<br />
3 ⎝<br />
y , y′<br />
( 0)<br />
= 0<br />
1<br />
2<br />
( τ)<br />
+ cos(<br />
τ)<br />
− cos ( τ)<br />
− cos(<br />
2τ)<br />
cos(<br />
τ)<br />
+<br />
5⎞<br />
⎟cos<br />
6⎠<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
1<br />
6<br />
( τ)<br />
− cos(<br />
2τ)<br />
− cos(<br />
3τ)<br />
y , y ′ ( 0 ) = 0 erhält man zunächst<br />
wo wir zur Vermeidung von Resonanz 2ω 2 + 5 6 = 0 und somit ω 2 = − 5 12 setzen. Mit<br />
Anfangsbedingungen y ( 0)<br />
= 0 und y ′ ( 0)<br />
= 0 ergibt sich<br />
y2<br />
1<br />
3<br />
29<br />
144<br />
2<br />
( τ) = − + cos(<br />
τ)<br />
+ cos(<br />
2τ)<br />
+ cos(<br />
3τ)<br />
1<br />
9<br />
2<br />
1<br />
48
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 47<br />
Mit μ = C gilt daher<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4<br />
3<br />
2⎛<br />
1 C ⎞ ⎛ C 29 2 ⎞<br />
2⎛<br />
1 C ⎞ C<br />
τ = −C<br />
⎜ + ⎟+<br />
C⎜1<br />
+ + C ⎟cos<br />
τ + C ⎜ + ⎟cos<br />
2τ<br />
+ cos 3τ<br />
0 C<br />
x +<br />
⎝2<br />
3 ⎠ ⎝ 3 144 ⎠ ⎝6<br />
9 ⎠ 48<br />
Wie zu erwarten war, sind die <strong>Schwingungen</strong> nicht symmmetrisch zu x = 0.<br />
Die Kreisfrequenz<br />
2<br />
ist ω = 1−<br />
5C<br />
/ 12 , das heißt, sie nimmt bei wachsendem Maximalausschlag ab.<br />
c) Es ist zu beachten, daß C hier wegen der fehlenden Symmetrie nicht mit der Amplitude<br />
identisch ist, die ja durch A = ( xmax<br />
man<br />
− xmin<br />
) / 2 definiert wird. Aus dem Ausdruck für x ( τ)<br />
erhält<br />
⎛<br />
A = C ⎜<br />
⎜1<br />
+<br />
⎝<br />
⎛<br />
= C⎜1<br />
+<br />
⎝<br />
C<br />
+<br />
3<br />
C<br />
+<br />
3<br />
29<br />
144<br />
2<br />
C<br />
9<br />
C<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
+<br />
2<br />
C ⎞<br />
⎟<br />
48 ⎠<br />
Daraus kann man mit dem Ansatz<br />
C = A + a<br />
2<br />
A<br />
2<br />
+<br />
a<br />
3<br />
A<br />
durch Koeffizientenvergleich<br />
1<br />
3<br />
2<br />
C = A − A +<br />
0<br />
3<br />
+<br />
( ) 3<br />
A<br />
bestimmen und erhält damit<br />
5 ⎛ 2 2<br />
ω = 1− ⎜A<br />
− A<br />
12 ⎝ 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3<br />
K<br />
Exakte und angenäherte Phasenkurven<br />
Die exakten Phasenkurven ergeben sich durch zeitfreie Integration aus der ursprünglichen<br />
Differentialgleichung. Sie sind durch
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 48<br />
x& = ±<br />
E<br />
0<br />
2 ⎛ x<br />
− 2 ⎜ +<br />
⎝ 2<br />
3<br />
x ⎞<br />
⎟<br />
3 ⎠<br />
gegeben. In der oben stehenden Abbildung werden sie mit den Näherungslösungen verglichen.<br />
5. Übung:<br />
Man ermittle für x&& + g(<br />
x)<br />
= 0 mit den unter a) und b) skizzierten Rückstellkräften eine<br />
Näherungslösung mit Hilfe der Methode der langsam veränderlichen Amplitude und Phase und<br />
vergleiche die so ermittelte Schwingungsdauer mit der exakten Lösung. Man zeichne die<br />
Phasendiagramme.<br />
Lösung:<br />
2<br />
a) Die Rückstellkraft ist mit ω = tan(<br />
α)<br />
2 ( x)<br />
= ω x P x<br />
g sgn<br />
0 +<br />
0 durch<br />
gegeben, so daß die Differentialgleichung<br />
2<br />
x&& + ω x = −P<br />
sgn x<br />
0<br />
zu lösen ist. Die Gleichungen für die langsam veränderliche Amplitude und Phase erhält man<br />
gemäß Kapitel „Die Methode der langsam veränderliche Phase und Amplitude“:<br />
2π<br />
1<br />
a& =<br />
πω ∫<br />
cos<br />
2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
ψ& =<br />
2πω<br />
∫<br />
0<br />
{ − Psgn[<br />
asin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
] } ( θ+<br />
ψ)<br />
dθ<br />
2π<br />
0<br />
{ − Psgn[ asin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
] } sin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
dθ
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 49<br />
wobei auf der rechten Seite ψ und a bei der Integration als Konstanten behandelt werden.<br />
Daraus ergibt sich<br />
a& =<br />
0<br />
4P<br />
ψ&<br />
=<br />
2πaω<br />
mit der Lösung<br />
a = A<br />
2P<br />
ψ = t + ψ<br />
πω A<br />
0<br />
0<br />
0<br />
Wählt man die Anfangsbedingung so, daß ψ = π 2 ist, so erhält man die Näherungslösung<br />
⎛⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
2P<br />
⎞<br />
x = Acos<br />
⎟<br />
⎜ ⎜<br />
⎜ω<br />
+<br />
⎟<br />
0 t<br />
⎟<br />
⎝⎝<br />
πω0<br />
A⎠<br />
⎠<br />
Für die angenäherte Schwingungsdauer T gilt<br />
2π<br />
T =<br />
⎛ 2P<br />
⎞<br />
ω<br />
⎜ +<br />
⎟<br />
0 1 2<br />
⎝ πω0<br />
A⎠<br />
0<br />
Die exakte Lösung kann ohne weiteres bestimmt werden. Mit den Anfangsbedingungen<br />
x 0 = A > , x& ( 0 ) = 0 gilt zunächst<br />
( ) 0<br />
P ⎛ P ⎞<br />
x = − + A Acos<br />
ω<br />
2 ⎜ + 2 ⎟<br />
0<br />
ω0<br />
⎝ ω0<br />
⎠<br />
( t)<br />
1 2<br />
solange x positiv ist. Für t = t1<br />
= arccos(<br />
1 ( 1+<br />
Aω0<br />
/ P ) wird x zu Null, und es schließt sich<br />
ω<br />
0<br />
2<br />
die Lösung von x && + ω x = + P mit den Anfangsbedingungen x ( t ) 0 ,<br />
⎛ P ⎞<br />
x& ( t1)<br />
= ω0<br />
⎜<br />
⎜A<br />
+ sin( ω0t<br />
)<br />
2 ⎟ an.<br />
⎝ ω0<br />
⎠<br />
Die Phasenkurven werden durch<br />
2<br />
⎛ x& ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ω<br />
0 ⎠<br />
+<br />
x<br />
2<br />
P<br />
2 PA<br />
+ 2 x = A + 2<br />
ω ω<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
gegeben. Exakte und angenäherte Phasenkurven werden in der folgenden Abbildung miteinander<br />
verglichen.<br />
1 =
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 50<br />
Die exakte Schwingungsdauer ist<br />
( 1 ( 1+<br />
Aω<br />
P )<br />
4 2<br />
T = arccos<br />
0 /<br />
ω<br />
0<br />
Exakte und angenäherte Phasenkurven<br />
Ein Vergleich mit dem Näherungsausdruck zeigt, daß T für A → ∞ den exakten Wert liefert.<br />
Der relative Fehler des Näherungsausdrucks ist in der nachfolgenden Abbildung angegeben.<br />
Relativer Fehler des Näherungsausdruckes für die Schwingungsdauer
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 51<br />
b) Die Rückstellkraft ist jetzt<br />
g<br />
g<br />
g<br />
2 ( x)<br />
= ω0<br />
( x − x0<br />
)<br />
( x)<br />
= 0<br />
für x > x0<br />
für − x0<br />
< x<br />
2 ( x)<br />
= ω0<br />
( x + x0<br />
) für x < −x0<br />
2<br />
wobei ω = tan(<br />
α)<br />
mit<br />
< x<br />
0 ist, so daß die Differentialgleichung<br />
2<br />
x && + ω x =<br />
f<br />
f<br />
f<br />
0<br />
f<br />
( x)<br />
2 ( x)<br />
= ω0<br />
x0<br />
für x > x0<br />
2 ( x)<br />
= ω0<br />
x für − x0<br />
<<br />
2 ( x)<br />
= −ω0<br />
x0<br />
für x < −x0<br />
x < x<br />
0<br />
zu lösen ist. Es folgt a& = 0 , da f ( x)<br />
eine ungerade Funktion ist. Mit a = A folgt außerdem<br />
mit<br />
2π<br />
1<br />
ψ& = −<br />
πω ∫ f<br />
2 A<br />
f<br />
f<br />
f<br />
f<br />
f<br />
0<br />
0<br />
( Asin(<br />
θ+<br />
ψ ) sin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
dθ<br />
2 ( ϕ)<br />
= ω0<br />
Asin(<br />
ϕ)<br />
für 0 < ϕ < ϕ1<br />
2 ( ϕ)<br />
= ω0<br />
x0<br />
für ϕ1<br />
≤ϕ<br />
≤ϕ<br />
2<br />
2 ( ϕ)<br />
= ω0<br />
Asin(<br />
ϕ)<br />
für ϕ2<br />
≤ϕ<br />
≤ϕ<br />
3<br />
2 ( ϕ)<br />
= −ω<br />
0 x0<br />
für ϕ3<br />
≤ϕ<br />
≤ϕ<br />
4<br />
2 ( ϕ)<br />
= ω Asin(<br />
ϕ)<br />
für ϕ ≤ϕ<br />
≤ 2π<br />
wobei ϕ = θ+<br />
ψ und<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
= π +<br />
0<br />
⎛ x0<br />
⎞<br />
= arctan⎜<br />
⎟<br />
⎝ A ⎠<br />
= π − ϕ<br />
ϕ<br />
1<br />
1<br />
= 2π<br />
− ϕ<br />
1<br />
ist. Die abschnittsweise Integration liefert schließlich<br />
ω0<br />
⎡<br />
x<br />
& = − ⎢2<br />
ϕ1<br />
− sin<br />
2π ⎣<br />
A<br />
0 ( 2ϕ1)<br />
+ 4 cos(<br />
ϕ ) ⎥⎦<br />
ψ 1<br />
so daß die angenäherte Schwingungsdauer T durch<br />
2π<br />
T = =<br />
ω + ψ&<br />
⎡<br />
ω0<br />
⎢2<br />
π − 2ϕ<br />
⎣<br />
gegeben ist.<br />
4<br />
4π<br />
⎤<br />
0<br />
⎤<br />
0 ( 2ϕ1)<br />
− 4 ( ϕ1)<br />
⎥⎦<br />
0<br />
1 + sin cos<br />
2<br />
x<br />
A
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 52<br />
Die exakte Lösung für die Anfangsbedingungen ( 0 ) = A > 0<br />
x , x& ( 0 ) = 0 kann natürlich auch hier<br />
ohne weiters angegeben werden (es treten nur <strong>Schwingungen</strong> für 0 x A > auf). Für 0 x x > gilt<br />
x&& + ω x = ω<br />
2<br />
0<br />
mit der Lösung<br />
2<br />
0<br />
x<br />
( 0 ) cos( 0 ) x0<br />
t x A ω −<br />
x +<br />
=<br />
und der Phasenkurve<br />
0<br />
( ) ( ) 2<br />
2<br />
x − x + ⎜ ⎟ = A − x<br />
0<br />
2<br />
⎛ x&<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ω<br />
0 ⎠<br />
Diese Gleichungen gelten in dem Zeitintervall [ , ]<br />
0<br />
0 t 1 , mit t 1 = π ( 2ω0<br />
) . Für − x 0 < x < x0<br />
ist<br />
x&& = 0 , so daß sich unter Berücksichtigung der Übergangsbedingungen<br />
π<br />
x = x0<br />
+<br />
0 0 0<br />
2<br />
( A − x ) − ω ( A − x )t<br />
ergibt, Dies gilt für [ t ]<br />
π⎛<br />
A ⎞<br />
2 + ⎜ −1<br />
⎟<br />
2<br />
t ∈ 1,t 2 mit<br />
⎝ x0<br />
t<br />
⎠<br />
2 =<br />
.<br />
⎛ A ⎞<br />
ω<br />
⎜ −1<br />
⎟<br />
0<br />
⎝ x0<br />
⎠<br />
Exakte und angenäherte Phasenkurven<br />
Wegen der Symmetrie ist die Schwingungsdauer
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 53<br />
T = 2<br />
( t + t )<br />
1<br />
2<br />
⎛ A ⎞<br />
4 + 2π<br />
⎜ −1<br />
⎟<br />
⎝ x0<br />
=<br />
⎠<br />
⎛ A ⎞<br />
ω<br />
⎜ −1<br />
⎟<br />
0<br />
⎝ x0<br />
⎠<br />
Der relative Fehler des Näherungsausdruckes für T ist in der nachfolgenden Abbildung in<br />
Abhängigkeit von 0 x A dargestellt.<br />
6. Übung:<br />
Relativer Fehler des Näherungsausdruckes für die Schwingungsdauer<br />
Ein nichtlineares System wird durch die Differentialgleichung<br />
x && + ρsgn<br />
x&<br />
+ g sgn x = 0 ρ < g<br />
beschrieben.<br />
a) Man bestimme den exakten Amplitudenverlust je “Vollschwingung“ und die<br />
“Schwingungsdauer“ (die Dauer zwischen zwei Maximalausschlägen).<br />
b) Mit Hilfe des Verfahrens der langsam veränderlichen Amplitude und Phase gebe man eine<br />
Näherungslösung an.<br />
Lösung:<br />
a) Da x&& + ρsgn<br />
x&<br />
+ g sgn x = 0 stückweise linear ist, können wir die Lösung explizit angeben. Sie<br />
ist in jedem Quadranten der Phasenebene durch einen anderen analytischen Ausdruck gegeben.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 54<br />
Mit den Anfangsbedingungen x ( ) = A<br />
x&&<br />
= −g<br />
+ ρ<br />
x&<br />
=<br />
1<br />
x =<br />
2<br />
( − g + ρ)<br />
t<br />
2 ( − g + ρ)<br />
t + A<br />
Für t = Δt1<br />
wird an der Stelle 1<br />
2A<br />
Δt = , x&<br />
1<br />
1 = − 2A<br />
g<br />
g − ρ<br />
Phasendiagramm<br />
0 , ( 0 ) = 0<br />
x& die x& –Achse mit<br />
( − ρ)<br />
erreicht. Mit den Anfangsbedingungen ( 0 ) = 0<br />
x& gilt im vierten Quadranten<br />
x , x& ( 0) = x&<br />
1 schließt sich eine Bewegung im<br />
dritten Quadranten an (bei neuer Zeitzählung). Aus der Bewegungsgleichung<br />
folgt<br />
x&& = g +<br />
x&<br />
=<br />
1<br />
x =<br />
2<br />
ρ<br />
( g + ρ)<br />
t − 2A(<br />
g − ρ)<br />
2 ( g + ρ)<br />
t − 2A(<br />
g − ρ)t<br />
und die x –Achse wird an der Stelle<br />
x 2<br />
= −<br />
zum Zeitpunkt<br />
g − ρ<br />
A<br />
g + ρ
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 55<br />
t = Δt<br />
2<br />
=<br />
2A<br />
( g − ρ)<br />
g +<br />
ρ<br />
erreicht. Auf entsprechende Art und Weise erhält man<br />
und<br />
Δt<br />
Δt<br />
3<br />
4<br />
=<br />
=<br />
2A<br />
,<br />
g + ρ<br />
g − ρ<br />
g + ρ<br />
x<br />
3<br />
=<br />
2A<br />
,<br />
g + ρ<br />
( g − ρ)<br />
x<br />
4<br />
= A<br />
Für die Schwingungsdauer folgt somit<br />
T = Δt<br />
+ Δt<br />
+ Δt<br />
+ Δt<br />
=<br />
1<br />
2A<br />
2g<br />
und der Amplitudenverlust ist<br />
ΔA<br />
= A −<br />
A<br />
2<br />
3<br />
4<br />
2A<br />
g + ρ<br />
( )<br />
( ) 2<br />
2<br />
g − ρ<br />
g + ρ<br />
( g + ρ)<br />
g − ρ + ( g − ρ)<br />
2 ( g + ρ)<br />
( g − ρ)<br />
( )<br />
( ) ( ) 2<br />
2<br />
2<br />
g − ρ 4ρg<br />
= A<br />
g + ρ g + ρ<br />
b) Für die Näherungslösung schreiben wir<br />
2 2<br />
x&& + ω x = ω x − ρsgn<br />
x&<br />
− g sgn x<br />
0<br />
0<br />
und gemäß Kapitel „Die Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude“<br />
1<br />
a&<br />
=<br />
ω 2<br />
ψ&<br />
= −<br />
0<br />
ω<br />
π<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2π<br />
g +<br />
ρ<br />
2 [ ω a sin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
− ρsgn<br />
cos(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
− g sgn sin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
] cos(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
∫<br />
0<br />
π<br />
2π<br />
2 [ ω a sin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
− ρsgn<br />
cos(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
− g sgn sin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
] sin(<br />
θ+<br />
ψ)<br />
∫<br />
0<br />
0<br />
0<br />
wobei ω 0 vorläufig noch unbestimmt ist. Integration ergibt<br />
2ρ<br />
a&<br />
= −<br />
πω<br />
0<br />
ω ⎛ 0 4g<br />
ψ&<br />
= −<br />
⎜<br />
⎜1<br />
−<br />
2 ⎝ πaω<br />
2<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2ρ<br />
Die erste Gleichung liefert a = A0<br />
− t . Anhand des Ausdruckes für ψ erkennt man, daß es<br />
πω<br />
0<br />
nicht möglich ist, ω 0 so zu wählen, daß ψ für große Zeitintervalle klein bleibt. Wollen wir aber<br />
die Bewegung nur für kurze Zeit untersuchen, so ist es zweckmäßig, ω 0 so zu wählen, daß<br />
ψ& ( 0 ) = 0 wird. Damit erhält man<br />
dθ<br />
dθ
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 56<br />
ω<br />
ψ<br />
0<br />
=<br />
= ψ<br />
0<br />
4g<br />
πA<br />
und schließlich mit<br />
x<br />
( t)<br />
7. Übung:<br />
−<br />
0<br />
g<br />
πA<br />
0<br />
ψ<br />
⎡<br />
⎢t<br />
+<br />
⎣<br />
0<br />
π<br />
=<br />
2<br />
πω<br />
0<br />
A<br />
2ρ<br />
0<br />
⎛<br />
ln<br />
⎜<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝<br />
2ρ<br />
πω A<br />
0<br />
0<br />
⎞⎤<br />
t<br />
⎟<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
⎛ 2ρ<br />
⎞ ⎪⎧<br />
π ω ⎡<br />
⎤⎪<br />
⎫<br />
0 πω0<br />
A0<br />
⎛ 2ρ<br />
⎞<br />
= ⎜<br />
⎜A<br />
⎟ ⎨ω<br />
+ − ⎢ + ⎜ − ⎟<br />
0 − t sin 0t<br />
t ln 1 t ⎥⎬<br />
⎝ πω0<br />
⎠ ⎪⎩<br />
2 2 ⎣ 2ρ<br />
⎝ πω0<br />
A0<br />
⎠⎦<br />
⎪⎭<br />
Für die Differentialgleichung<br />
2 ( q + βq<br />
) = P ( t)<br />
2<br />
q&& + ω<br />
cos Ω<br />
0<br />
sollen periodische Lösungen mit Hilfe der Störungsrechnung für kleine β bestimmt werden.<br />
2<br />
a) Man bringe die Differentialgleichung auf die Form x x = cos( ητ)<br />
− μx<br />
Nichtresonanzfall 0<br />
+′ und führe für den<br />
ω ≠ Ω eine Störungsrechnung durch.<br />
( ) 2<br />
cos x<br />
2<br />
b) Man bringe die Differentialgleichung auf die Form +′ x = μ p ( τ)<br />
konstruiere eine periodische Lösung für den Resonanzfall 0 ω ≈ Ω .<br />
Lösung:<br />
a) Die Normierung 0 ω Ω = η , τ = ω0t<br />
,<br />
2<br />
x = ω0q<br />
P ,<br />
Differentialgleichung in die gewünschte Form<br />
2 ( ητ)<br />
−<br />
x +′ x = cos μx<br />
und der Ansatz<br />
x<br />
führt auf<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
( ) = x ( τ)<br />
+ μx<br />
( τ)<br />
+ μ x ( τ)<br />
+ K<br />
1<br />
τ 0<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
+′<br />
+′ x<br />
+′<br />
KK<br />
x<br />
x<br />
1<br />
0<br />
2<br />
= cos<br />
= −<br />
x<br />
2<br />
0<br />
( ητ)<br />
= −2x<br />
x<br />
0<br />
1<br />
η x − und<br />
0<br />
μ = βP<br />
ω bringt die<br />
Wir suchen eine Lösung mit der dimensionalen Kreisfrequenz η und erhalten für η ≠ 1<br />
x0<br />
( τ) = cos(<br />
ητ)<br />
1−<br />
1 2<br />
η<br />
Die Gleichung für x 1 nimmt dann die Form<br />
2<br />
0
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 57<br />
x +′ x = −<br />
1<br />
1<br />
= −<br />
1<br />
2 2<br />
( 1−<br />
η )<br />
1<br />
2 2<br />
( 1−<br />
η )<br />
cos<br />
an, mit der periodischen Lösung<br />
x1<br />
( )<br />
für ≠ 1,<br />
1 2<br />
2<br />
( ητ)<br />
( 1+<br />
cos(<br />
2ητ<br />
)<br />
τ = −<br />
1<br />
−<br />
1<br />
cos 2<br />
2<br />
η . Für ( t)<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
( 1−<br />
η ) 2(<br />
1−<br />
η ) ( 1−<br />
4η<br />
)<br />
q ergibt sich damit<br />
( ητ)<br />
q<br />
P 1<br />
2<br />
2<br />
ω0<br />
⎛ Ω ⎞<br />
1−<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ω<br />
0 ⎠<br />
⎡<br />
⎢<br />
2<br />
P 1 ⎢<br />
4<br />
2<br />
ω ⎡ ⎤<br />
⎢<br />
0 ⎛ Ω ⎞<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
2 1−<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎣ ⎝ω<br />
0 ⎠ ⎦ ⎣<br />
1<br />
2<br />
⎛ Ω ⎞<br />
1−<br />
4<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ω<br />
0 ⎠<br />
2<br />
( t)<br />
= cos(<br />
Ωτ)<br />
− β<br />
1+<br />
cos(<br />
Ωτ)<br />
+ o(<br />
β)<br />
Diese Lösung liefert eine brauchbare Näherung, sofern Ω nicht zu nahe an ω 0 liegt, das heißt,<br />
sofern man weit genug von der Resonanz entfernt ist (außerdem muß natürlich auch noch<br />
Ω 1<br />
≠ sein).<br />
ω 2<br />
0<br />
b) Jetzt soll eine Näherungslösung bestimmt werden, die in dem Fall 0 ω = Ω gute Ergebnisse<br />
liefert. Die Normierung 0 ω Ω = η , t Ω = τ , q x<br />
2<br />
2<br />
= ω0<br />
, μ = β ω0<br />
, P0 = P μ führt auf<br />
( ( ) ) 2<br />
P cos τ x<br />
2<br />
η x +′ x = μ −<br />
und der Ansatz (nach Lindstedt)<br />
liefert<br />
x<br />
0<br />
2<br />
( τ)<br />
= x ( τ)<br />
+ μx<br />
( τ)<br />
+ μ x ( τ)<br />
η = 1+<br />
x<br />
x<br />
x<br />
0<br />
1<br />
2<br />
+′<br />
+′ x<br />
+′<br />
KK<br />
x<br />
x<br />
1<br />
0<br />
2<br />
0<br />
μη<br />
1<br />
= 0<br />
+<br />
μ<br />
1<br />
1<br />
2<br />
= −2η<br />
x<br />
1<br />
η<br />
0<br />
= −2η<br />
x<br />
1<br />
2<br />
+′<br />
−′<br />
+<br />
P<br />
0<br />
K<br />
cos<br />
2<br />
( τ)<br />
2 ( η + η )<br />
1<br />
2<br />
−<br />
0<br />
+<br />
x<br />
2<br />
0<br />
K<br />
x −′ 2x<br />
x<br />
0<br />
1<br />
Die Normierung für P 0 bedingt, daß P von derselben Größenordnung wie μ ist. Die allgemeine<br />
Lösung der ersten Differentialgleichung lautet<br />
x<br />
0<br />
( τ)<br />
+ B ( τ)<br />
= A<br />
sin<br />
0 cos 0<br />
was in der Gleichung für x<br />
( τ)<br />
1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 58<br />
x1<br />
+′ x1<br />
= −<br />
1<br />
2<br />
+<br />
1<br />
2<br />
2 2 ( A + B ) + ( P + 2η<br />
A ) cos(<br />
τ)<br />
+ 2η<br />
B sin(<br />
τ)<br />
0<br />
2 2 ( − A + B ) cos(<br />
2τ)<br />
+ A B sin(<br />
2τ)<br />
0<br />
0<br />
0<br />
ergibt. Die Forderung nach der Periodizität der Lösung bedingt<br />
das heißt<br />
P0<br />
+ 2η1 A0<br />
= 0 2η1B0<br />
= 0<br />
P0<br />
η1 = −<br />
B<br />
2A<br />
0<br />
0<br />
= 0<br />
so daß die Differentialgleichung jetzt in<br />
1 2<br />
0<br />
( 1+<br />
cos(<br />
τ )<br />
x1<br />
+′ x1<br />
= − A0<br />
2<br />
2<br />
übergeht, mit der periodischen Lösung<br />
x1<br />
= A1<br />
cos(<br />
τ)<br />
+ B1<br />
sin(<br />
τ)<br />
−<br />
2<br />
A0<br />
⎜1<br />
−<br />
2 ⎝<br />
cos(<br />
2τ)⎟<br />
3 ⎠<br />
Damit ergibt sich die Differentialgleichung für ( τ)<br />
x<br />
2<br />
+′<br />
x<br />
2<br />
1<br />
⎛<br />
⎡<br />
=<br />
⎢<br />
2η1A1<br />
+ A0<br />
⎣<br />
1 2<br />
⎡4<br />
2 ⎤<br />
+<br />
⎢<br />
η1A0<br />
− A0<br />
A1<br />
cos<br />
3 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
⎞<br />
1<br />
x als<br />
2 5 3⎤<br />
( η + 2η<br />
) + A cos(<br />
τ)<br />
+ 2η<br />
B sin(<br />
τ)<br />
6<br />
0<br />
⎥<br />
⎦<br />
3<br />
( 2τ)<br />
− A0<br />
B1<br />
sin(<br />
2τ)<br />
− A0<br />
cos(<br />
3τ)<br />
− A0<br />
A1<br />
Aus der Periodizitätsbedingung folgt wieder, daß die Koeffizienten von sin ( τ)<br />
und cos(<br />
τ)<br />
verschwinden, das heißt, es ist<br />
B<br />
1<br />
woraus sich<br />
η<br />
2<br />
0<br />
1<br />
1<br />
6<br />
2 5 3<br />
( η + 2η<br />
) + = 0<br />
= 0 und 2η1A1<br />
+ A0<br />
1 2 A<br />
6<br />
= −<br />
5<br />
12<br />
2 1 2<br />
A0 − η1<br />
− η<br />
2<br />
1<br />
A<br />
A<br />
1<br />
0<br />
ergibt. Man kann nun ohne weiteres die periodische Lösung für ( τ)<br />
verzichten.<br />
0<br />
1<br />
x angeben, worauf wir aber<br />
Bisher haben wir noch keinerlei Aussagen über die Anfangsbedingungen gemacht. Anstatt<br />
Anfangsbedingungen für x ( τ)<br />
vorzugeben, schreiben wir gemäß Kapitel „Lösung mit Hilfe der<br />
Störungsrechnung“ einfach A 1 = 0 . Die Näherungslösung für die periodische Schwingung x(<br />
τ)<br />
ist damit<br />
2
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 59<br />
was<br />
liefert<br />
x<br />
2 2<br />
( τ)<br />
= A cos(<br />
τ)<br />
+ μ A + A cos(<br />
2τ)<br />
+ o(<br />
μ)<br />
0<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎣2<br />
0<br />
1<br />
6<br />
2<br />
P 2⎛<br />
0 5 2 P ⎞ 0<br />
η = 1−<br />
μ − μ 0 + 2<br />
2 ⎜ A +<br />
0 12 8 ⎟ o<br />
A ⎝ A0<br />
⎠<br />
q<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
( ) 2<br />
μ<br />
0<br />
2 2<br />
( t)<br />
= cos(<br />
ωt)<br />
− − A + A cos(<br />
2ωt)<br />
+ o(<br />
β)<br />
Ω<br />
ω<br />
0<br />
A<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
β ⎡ 1<br />
ω ⎢<br />
⎣ 2<br />
2<br />
0<br />
P ⎛ P ⎞ β<br />
= 1−<br />
1 −<br />
2 ⎜ −<br />
0 4 ⎟<br />
A ⎝ A0<br />
⎠ ω<br />
2<br />
4<br />
0<br />
0<br />
5<br />
12<br />
1<br />
6<br />
A<br />
2<br />
0<br />
+<br />
0<br />
o<br />
( ) 2<br />
β<br />
Man erkennt, daß A 0 für 0 1 ≈ ω Ω endlich bleibt.<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Angenäherte Resonanzkurven<br />
In der oben stehenden Abbildung ist ein Vergleich von 0 A mit dem Maximalausschlag 2<br />
ω0<br />
qmax<br />
für die Entwicklung im Nichtresonanzfall gegeben. Beide entsprechen in erster Näherung der<br />
Schwingungsamplitude. In der Nähe der Resonanz ist die Reihenentwicklung des Falles b) zu<br />
verwenden, ansonsten die des Falles a).<br />
8. Übung:<br />
Für die Differentialgleichung<br />
2 3 4 5<br />
( x − μ x + υ x ) = P ( t)<br />
2<br />
x&& + ω<br />
sin Ω<br />
0<br />
sind periodische Lösungen zu suchen.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 60<br />
a) Mit dem Ansatz x C ( Ωt)<br />
=<br />
DUFFINGschen Verfahren.<br />
sin bestimme man eine Näherungslösung nach dem<br />
2<br />
C η mit 0 ω Ω = η für die Parameterwerte 6 . 0<br />
2<br />
μ = ;<br />
b) Man zeichne die Resonanzkurven ( )<br />
4<br />
υ = 1.<br />
2 ; S 0.<br />
015 und S 0.<br />
05 ( ) 2<br />
= P ω<br />
1 =<br />
2 =<br />
c) Wie springen die Amplituden bei Änderung von<br />
Lösung:<br />
a) Einsetzen von x = C sin(<br />
Ωt)<br />
1 in die rechte Seite von<br />
2 3 4 5<br />
( x − μ x + υ x ) + P ( t)<br />
2<br />
x&& = −ω<br />
sin Ω<br />
0<br />
Führt nach Umformen der trigonometrischen Terme auf<br />
⎛ 2 3 2 2 3 5 4 2 5 ⎞<br />
x&&<br />
2 = ⎜P<br />
− ω0C<br />
+ μ ω0C<br />
− ν ω0C<br />
⎟sin<br />
⎝ 4 8 ⎠<br />
⎛ 1 2 2 3<br />
+ ⎜−<br />
μ ω0C<br />
+<br />
⎝ 4<br />
5 4 2 5 ⎞<br />
ν ω0C<br />
⎟sin<br />
16 ⎠<br />
1<br />
16<br />
2<br />
S im Bereich 0.<br />
5 < η < 1.<br />
7 .<br />
0<br />
2<br />
2<br />
η in der Umgebung von η = 1<br />
( Ωt)<br />
4 2 5<br />
( 3Ωt)<br />
− ν ω C sin(<br />
5Ωt)<br />
Zweimalige Integration liefert bei Annahme von Periodizität<br />
x<br />
2<br />
1 ⎛<br />
2 3 2<br />
= ⎜−<br />
P + ω C − μ ω<br />
2<br />
0<br />
Ω ⎝<br />
4<br />
+<br />
1 ⎛ 1 2 2<br />
⎜ μ ω C<br />
2<br />
0<br />
Ω ⎝36<br />
3<br />
−<br />
5<br />
144<br />
2<br />
0<br />
C<br />
3<br />
4<br />
ν ω<br />
2<br />
0<br />
5 4<br />
+ ν ω<br />
8<br />
C<br />
5<br />
⎞<br />
⎟sin<br />
⎠<br />
2<br />
0<br />
C<br />
5<br />
⎞<br />
⎟sin<br />
⎠<br />
0<br />
( Ωt)<br />
1<br />
400<br />
ω<br />
4 0 5<br />
( 3Ωt)<br />
+ ν C sin(<br />
5Ωt)<br />
Gemäß Kapitel „Ungedämpfte erzwungene <strong>Schwingungen</strong>“ verlangen wir nun nach DUFFING,<br />
Ωt<br />
t x2 t gleich sind. Damit ergibt sich<br />
daß die Faktoren von sin ( ) in ( )<br />
Ω<br />
ω<br />
2<br />
2<br />
0<br />
=<br />
P<br />
3<br />
2 2 4 4<br />
1− − μ C + ν C<br />
2<br />
ω0C<br />
4 8<br />
x 1 und ( )<br />
b) In nachfolgenden Abbildung ist C als Funktion von<br />
5<br />
Ω<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Ω / ω dargestellt. Darin ist zu<br />
erkennen, daß die Amplitude bei Änderung des Frequenzverhältnisses in der Nähe der<br />
Resonanzstelle sprungartig ändern.<br />
2<br />
0
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 61<br />
9. Übung:<br />
Resonanzkurven<br />
Für die Differentialgleichung in der Übung 7 bestimme man eine subharmonische Lösung mit<br />
der Periode 4 π Ω .<br />
Lösung:<br />
In Übungsaufgabe 7 wurden für die Differentialgleichung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 62<br />
2 ( q + βq<br />
) = P ( t)<br />
2<br />
q&& + ω<br />
cos Ω<br />
0<br />
näherungsweise periodische Lösungen mit der Kreisfrequenz Ω bestimmt. Wir suchen jetzt<br />
periodische Lösungen mit der Kreisfrequenz Ω / 2 . Da die Rückstellkraft hier keine ungerade<br />
Funktion ist, machen wir den Ansatz<br />
⎛Ω ⎞<br />
q = q0<br />
+ Acos⎜<br />
t⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt<br />
−<br />
+<br />
1 2 ⎛Ω ⎞ 2<br />
Ω Acos⎜<br />
t⎟<br />
+ ω0<br />
q<br />
4 ⎝ 2 ⎠<br />
βω<br />
2<br />
0<br />
⎡<br />
⎢q<br />
⎣<br />
2<br />
0<br />
+<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
⎛Ω ⎞ 1<br />
+ 2q0<br />
Acos⎜<br />
t⎟<br />
+<br />
⎝ 2 ⎠ 2<br />
0<br />
⎛Ω ⎞<br />
Acos⎜<br />
t⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
A<br />
2<br />
+<br />
1<br />
2<br />
A<br />
2<br />
cos<br />
diese Gleichung ist für alle t identisch erfüllt, wenn<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
q<br />
0<br />
1<br />
− AΩ<br />
4<br />
1 2<br />
βω0<br />
A<br />
2<br />
2 2<br />
+ ω βq<br />
+<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
+ ω A + 2βω<br />
q A = 0<br />
0<br />
= P<br />
1 2<br />
ω0βA<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
= 0<br />
gilt. Aus der letzten Gleichung folgt<br />
A =<br />
2P<br />
βω<br />
2<br />
0<br />
und damit aus der ersten<br />
q<br />
0<br />
= −<br />
1 1<br />
±<br />
2β<br />
2<br />
1<br />
β<br />
2<br />
−<br />
4P<br />
βω<br />
Die zweite Gleichung liefert schließlich<br />
Ω<br />
2<br />
2<br />
0<br />
( 1+<br />
2β<br />
)<br />
= 4ω q<br />
0<br />
2<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
( Ωt)<br />
= P cos(<br />
Ωt)<br />
daraus folgt, daß in dem Ausdruck für q 0 nur das obere Vorzeichen gilt und daß<br />
Ω ω = P<br />
0<br />
4<br />
2<br />
2 1−<br />
4β<br />
/ ω0<br />
ist. Eine Lösung gemäß unserem Ansatz existiert demnach nur für<br />
4βP < ω .<br />
Wir haben hier für ein bestimmtes Frequenzverhältnis 0 ω Ω eine subharmonische Lösung<br />
gefunden, die exakt eine rein harmonische Schwingung der Art q = q0<br />
+ Acos(<br />
Ωt<br />
/ 2)<br />
beschreibt.<br />
Auch für andere Frequenzverhältnisse können aber subharmonische <strong>Schwingungen</strong> existieren.<br />
Wir können sie etwa mit dem Verfahren der Harmonischen Balance und einem Ansatz der Art<br />
2<br />
0
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 63<br />
q = q<br />
0<br />
+<br />
n<br />
∑<br />
k=<br />
1<br />
⎛ ⎛kΩ ⎞<br />
⎜A<br />
k cos⎜<br />
t⎟<br />
+ B<br />
⎝ ⎝ 2 ⎠<br />
näherungsweise bestimmen.<br />
k<br />
⎛kΩ ⎞⎞<br />
sin⎜<br />
t⎟⎟<br />
⎝ 2 ⎠⎠
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 64<br />
3. ROTOR-LAGER-SYSTEM UNTER BERÜCKSICHTIGUNG<br />
NICHTLINEARER LAGERUNG (DIPLOMARBEIT LANG)<br />
Ein wesentlicher Bestandteil der Berechnungsmodelle von rotierenden Wellen ist das<br />
Verbindungselement zwischen Gehäuse und Läufer. In diesem Kapitel wird ein Modell für ein<br />
ölgeschmiertes hydrodynamisches Gleitlager in der dynamischen Simulationsrechnung<br />
berücksichtigt. Die Abstützung des Lagers in der Gehäusestruktur stellt selbst wieder ein<br />
schwingungsfähiges System dar. In den nachfolgenden Berechnungsmodellen werden zwar die<br />
nichtlinearen Federungs- und Dämpfungseigenschaften des Ölfilms erfaßt, die Nachgiebigkeit<br />
des Lagers selbst im Gehäuse bleibt jedoch unberücksichtigt. Das Hauptproblem bei der<br />
Modellierung von Gleitlagern ist die nichtlineare Abhängigkeit der Lagerreaktionskräfte von den<br />
Bewegungsgrößen. Wirkt auf den Lagerzapfen eines Gleitlagers eine Kraft, so bewirkt diese eine<br />
Verschiebung des Zapfenzentrums, die nicht mit der Kraftrichtung zusammenfällt. Nachfolgend<br />
wird auf die Eigenschaften von Gleitlagern näher eingegangen.<br />
3.1 Dynamisches Verhalten von Gleitlagern<br />
Die Tragfähigkeit von Gleitlagern basiert auf zwei in der Regel überlagerten Effekten. Aufgrund<br />
der Relativbewegung zwischen Lagerzapfen und Gleitschale entsteht ein belastbarer Schmierkeil<br />
- der Effekt wird als Keilspalteffekt bezeichnet. Durch eine radiale Zapfenbewegung wird das Öl<br />
aus dem Schmierspalt verdrängt und eine Lagerreaktionskraft infolge Verdrängungswirkung<br />
verursacht (Quetscheffekt). Durch diese Dreh- und Verdrängungswirkung des Gleitlagers ergibt<br />
sich die Druckverteilung des Schmiermittels im Spalt. Die mathematische Beschreibung dieses<br />
Verhaltens gibt die Reynolds’ sche Differentialgleichung wieder.<br />
3.1.1 Reynolds’ sche Differentialgleichung<br />
Die Bewegung eines Flüssigkeitsteilchens im Schmierfilm eines Gleitlagers wird durch die<br />
Reynolds’ sche Differentialgleichung beschrieben. Sie ist eine vereinfachte Form der Navier -<br />
Stokes’ schen Gleichung unter Berücksichtigung der Kontinuitätsbedingung. In den folgenden<br />
Gleichungen wird der Zusammenhang zwischen Druck und Spaltdicke des Schmierfilms<br />
dargestellt.<br />
Es bedeutet:<br />
x Koordinate in Umfangsrichtung<br />
y Koordinate in Spalthöhenrichtung<br />
z Koordinate in Breitenrichtung<br />
ρ Dichte<br />
r<br />
v<br />
⎛ u⎞<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎜ v⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝w⎠<br />
Geschwindigkeitsvektor<br />
η dynamische Viskosität<br />
h örtliche Schmierspalthöhe
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 65<br />
p örtlicher Druck im Schmierfilm<br />
U Relativgeschwindigkeit der Gleitflächen<br />
r<br />
F Vektor der äußeren Kräfte<br />
Für eine inkompressible, Newton’ sche Flüssigkeit unter laminarer Strömung kann die Navier -<br />
Stokes Gleichung wie folgt angeschrieben werden.<br />
r<br />
dv<br />
r r<br />
ρ = − grad( p) + ηΔv<br />
+ F<br />
(1)<br />
dt<br />
Damit eine Lösung möglich wird, ist es üblich, folgende Annahmen zu treffen:<br />
1. η ist konstant über den gesamten Schmierspalt<br />
2. Die Trägheitskräfte sind vernachlässigbar gegenüber den Zähigkeitskräften<br />
3. Äußere Kräfte wie Gewichtskraft oder magnetische Kräfte spielen keine Rolle<br />
4. Die Geschwindigkeit in Spalthöhenrichtung kann vernachlässigt werden<br />
5. Die 2. Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten in Umfangs- und Breitenrichtung<br />
sind klein gegenüber denen in Spalthöhenrichtung<br />
In Komponentenschreibweise können somit folgende Bedingungen formuliert werden:<br />
∂ ∂ ∂<br />
η<br />
∂ ∂ ∂ η∂<br />
2<br />
2<br />
p u p w<br />
= und =<br />
2<br />
2<br />
x y z ∂ y<br />
Da der Druck konstant über y ist (4. Bedingung), können beide Gleichungen unter Beachtung der<br />
Randbedingung, daß das Schmiermittel an den Oberflächen haftet, zweimal integriert werden.<br />
Damit sind die Geschwindigkeitskomponenten in Abhängigkeit von den Druckgradienten und<br />
von y festgelegt. Mit den Geschwindigkeitsverteilungen u und w kann der Volumenfluß pro<br />
Längeneinheit in Umfangs- und Breitenrichtung berechnet werden.<br />
( ) ( )<br />
q = u y ⋅ dy q = w y ⋅dy<br />
x<br />
h<br />
h<br />
∫ z ∫<br />
0 0<br />
Kontinuitätsbedingung:<br />
∂ q x ∂ q z ∂ h<br />
+ + = 0 (3)<br />
∂ x ∂ z ∂ t<br />
Damit kann die Reynolds’ sche Gleichung in folgender Form angegeben werden:<br />
∂<br />
∂ x h<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂ p ∂<br />
∂ x ∂ z h<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
3 3<br />
∂ p ∂ ∂<br />
η U<br />
∂ z ∂ ∂<br />
h ⎞ ⎛<br />
h⎞<br />
⎟ = ⋅ ⎜6<br />
+ 12 ⎟<br />
⎠ ⎝ x t ⎠<br />
Dies ist eine lineare Gleichung in p. Der Faktor 6U h ∂<br />
∂ x<br />
Verdrängungseffekt steht der instationäre Term 12 ∂ h<br />
∂ t .<br />
(2)<br />
(4)<br />
beschreibt den Keilspalteffekt; für den
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 66<br />
3.1.2 Vollumschlossenes Kreislager<br />
Im folgenden Abschnitt werden Lösungen der Reynolds Gleichung für das vollumschlossene<br />
Kreislager angegeben /1/. Die gesamte Tragkraft eines Lagers kann aus der Überlagerung der<br />
Tragkraftanteile durch Drehung und Verdrängung bestimmt werden. In der Abb.1 ist ein<br />
Radialgleitlager für eine bestimmte Lastsituation dargestellt.<br />
Folgende Definitionen werden vereinbart:<br />
Abb.1: Tragkraftanteile eines Radialgleitlagers<br />
FV,D<br />
Tragkraftanteile durch Verdrängung, Drehung<br />
SV,D<br />
Sommerfeldzahlen für Verdrängung, Drehung<br />
β Verlagerungswinkel der Drehungskraft<br />
rL<br />
radiale Zapfenauslenkung<br />
δL<br />
Richtungswinkel der Lagerzapfenauslenkung<br />
RL<br />
Lagerbohrungsradius<br />
RZ<br />
Lagerzapfenradius<br />
B, D Lagerbreite, Lagerdurchmesser (D=2RL)<br />
ψ relatives Lagerspiel<br />
ε relative Auslenkung des Lagerzentrums<br />
ϖ hydrodynamisch wirksame Winkelgeschwindigkeit<br />
RL − RZ<br />
ψ = ,<br />
R<br />
rL<br />
ε =<br />
R − R<br />
, ϖ = − δ &<br />
L ,<br />
FV<br />
⋅ψ<br />
SV<br />
=<br />
B⋅ D⋅<br />
η⋅ ε&<br />
FD<br />
⋅ψ<br />
SD<br />
=<br />
B⋅ D⋅<br />
η⋅ ϖ<br />
,<br />
Ω 2<br />
2 2<br />
L<br />
L Z<br />
Die in dieser Form definierten Sommerfeldzahlen sind Funktionen vom Breitenverhältnis B/D<br />
und von der relativen Lagerauslenkung ε. Butenschön /1/ hat die Reynolds Gleichung für beide<br />
Tragkraftanteile getrennt gelöst. Weiters hat er Näherungsfunktionen erarbeitet, die eine<br />
analytische Berechnung der Sommerfeldzahlen sowie des Verlagerungswinkels β ermöglichen.<br />
Approximationsfunktionen für das vollumschlossene Gleitlager:<br />
( − ) ( − ) +<br />
2 ( − ) ( a + )<br />
2<br />
2 1 ε 2 ε<br />
B a<br />
SD<br />
=<br />
D<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
2<br />
1ε<br />
ε 1 π 1 ε 16ε<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
2 2 2
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 67<br />
a<br />
a<br />
⎛π<br />
1−<br />
ε<br />
β = arctan ⎜<br />
⎝ 2ε<br />
S<br />
a<br />
a<br />
V<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 3 4<br />
B ⎛ B<br />
B<br />
B<br />
= 11642 − 1 9456 + 7 1161⎜ 101073 5 0141<br />
D ⎝ D<br />
D<br />
D<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ − ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞<br />
. . . . . ⎟<br />
⎠<br />
2 3 4<br />
B ⎛ B<br />
B<br />
B<br />
= −1 000026− 0 023634 − 0 4215⎜ 0 038817 0 090551<br />
D ⎝ D<br />
D<br />
D<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ − ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞<br />
. . . . . ⎟<br />
⎠<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 3 4<br />
( a1 + a2ε + a3ε + a4ε + a5ε<br />
)<br />
B<br />
a1<br />
= 1152624 . − 0105465 .<br />
D<br />
a<br />
a<br />
a<br />
B<br />
2 = − 2. 5905+ 0. 798745<br />
D<br />
B<br />
3 = 8. 73393− 2. 3291<br />
D<br />
4 = − 13. 3415+ 3. 424337<br />
B<br />
a5<br />
= 6. 6294 − 1591732 .<br />
D<br />
2<br />
⎛ B<br />
= ⎜<br />
⎝ D<br />
⎞ ⎛ π<br />
4 ⎟ 1−<br />
−<br />
⎠ ⎝⎝<br />
2<br />
1<br />
2<br />
B<br />
D<br />
2<br />
−5/<br />
2 ⎛<br />
⎞<br />
( ε ) ⎜⎜<br />
arccos(<br />
) ( 1 2 )<br />
( 1−<br />
ε)<br />
2 3<br />
2 ⎞ a1<br />
ε ⎟ + ε + ε 1−<br />
ε ⎟<br />
⎠ 2 ⎠ −a − ε<br />
2 3 4<br />
B ⎛ B<br />
B<br />
B<br />
= 0 70038+ 3 2415 − 12 2486⎜ 18 895 9 3561<br />
D ⎝ D<br />
D<br />
D<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ − ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞<br />
. . . . . ⎟<br />
⎠<br />
2 3 4<br />
B ⎛ B<br />
B<br />
B<br />
= − 0 999936 + 0 0157434 − 0 74224⎜ 0 42278 0 368928<br />
D ⎝ D<br />
D<br />
D<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ − ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞<br />
. . . . . ⎟ (5)<br />
⎠<br />
In der Gleichung der Sommerfeldzahl für Verdrängung muß die Verdrängungsrichtung<br />
berücksichtigt werden. Das bedeutet, daß anstatt ε die Größe ε⋅sign( ε&<br />
) in die Gleichung<br />
eingesetzt werden muß.<br />
Sind die Bewegungsgrößen des Lagerzapfens (ε, ε&, δ δ &<br />
L und L ) bekannt, so können mit den<br />
angegebenen Gleichungen die Tragkraftanteile FV, FD und der Verlagerungswinkel β berechnet<br />
werden. Die gesamte Lagerkraft ergibt sich aus der vektoriellen Addition beider Teile. Damit die<br />
Bewegungsgleichungen in einem kartesischen Koordinatensytem angeschrieben werden können,<br />
müssen die Komponenten der Lagerkraft in beiden Richtungen gefunden werden. In der Abb.2<br />
ist diese Kräftesituation schematisch dargestellt.<br />
2
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 68<br />
Abb.2: Komponenten der Lagerkraft<br />
Die Größen δL und Ω sind gegen den Uhrzeigersinn positiv definiert. Die Richtung der<br />
Verdrängungskraft stimmt mit der Lage des engsten Spaltes überein. Da die Sommerfeldzahlen<br />
nur positive Werte sind, muß das Vorzeichen von &ε berücksichtigt werden. Die Drehrichtung<br />
von ϖ gibt an, ob die Drehungskraft vor oder hinter dem engsten Spalt liegt, da β immer positiv<br />
gezählt wird. In der Abb.2 sind die Tragkraftanteile für positive Verdrängung und positive<br />
Drehung dargestellt.<br />
Komponenten der Lagerkraft:<br />
( )<br />
( )<br />
( &) cos( ) cos ( )<br />
FL = sign ε ⋅F ⋅ δ + F ⋅ δ − sign ϖ ⋅β<br />
(6)<br />
x V L D L<br />
( &) sin( ) sin ( )<br />
FL = sign ε ⋅F ⋅ δ + F ⋅ δ − sign ϖ ⋅β<br />
(7)<br />
y V L D L<br />
In den folgenden Gleichungen sind die geometrischen Beziehungen zwischen rL, δL, xL und yL<br />
zusammengefaßt.<br />
2 2<br />
xL<br />
yL<br />
rL = xL + yL , &r L =<br />
x&<br />
L +<br />
y&<br />
L<br />
(8)<br />
2 2 2 2<br />
x + y x + y<br />
L L<br />
⎛ yL<br />
y x y x<br />
δ L = ⎜ δ L<br />
⎝ x<br />
x y<br />
⎞ −<br />
arctan ⎟ , =<br />
⎠ +<br />
& & &<br />
L<br />
3.2 Rotor-Lager–Ersatzsystem<br />
L L<br />
L L<br />
2<br />
L L<br />
2 (9)<br />
L L<br />
Den numerischen Berechnungen mit nichtlinearen Lagereigenschaften liegt - in Analogie zum<br />
Lavalrotor in linearen isotropen Lagern - ein symmetrisches Ersatzsystem zugrunde. In der Abb.3<br />
ist dieses Modell dargestellt.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 69<br />
Abb.3: Rotor-Ersatzmodell<br />
3.2.1 Bewegungsgleichungen in zwei Richtungen<br />
Die Bewegungsgleichungen können durch Aufstellen der dynamischen Kräftegleichgewichte für<br />
Rotor- und Lagermasse gefunden werden (Abb.4)<br />
Bewegungsgleichungen:<br />
( )<br />
Abb.4: Rotor-Lager-System<br />
m ⋅ x& + c ⋅ x − x = −FL<br />
(10)<br />
L L W L W x<br />
( )<br />
m ⋅ y& + c ⋅ y − y = −FL<br />
(11)<br />
L L W L W y<br />
( ) ( )<br />
m ⋅ x& + c ⋅ x − x = F t, x , x<br />
(12)<br />
R W W W L x W L<br />
( ) ( )<br />
m ⋅ y& + c ⋅ y − y = F t, y , y<br />
(13)<br />
R W W W L y W L<br />
( )<br />
x = x + e⋅cos Ω t<br />
(14)<br />
S W<br />
( )<br />
y = y + e⋅sin Ω t<br />
(15)<br />
S W<br />
Es bedeutet:<br />
x, y Auslenkungen von W, S, L<br />
mR<br />
Rotormasse<br />
mL<br />
Lagermasse<br />
Ω Rotorwinkelgeschwindigkeit
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 70<br />
e Rotorexzentrizität<br />
Fx,y<br />
Erregerkraft<br />
Lagerkraft<br />
FLx,y<br />
3.2.2 Erregerkräfte durch Streifkontakt<br />
In den Berechnungen mit linearen Lagern konnten nur Zeitfunktionen als Erregerkräfte in<br />
Betracht gezogen werden. Da bei nichtlinearer Lagerung ein Zeitschrittintegrationsverfahren<br />
angewendet wird, können die Erregerkräfte als Funktion der Bewegungsgrößen berücksichtigt<br />
werden. In der Abb.5 sind die Erregerkräfte schematisch dargestellt.<br />
Fs Radialkomponente der Streifkraft<br />
μ Reibungskoeffizient<br />
rW<br />
radiale Auslenkung des Wellenmittelpunktes<br />
Richtungswinkel der Auslenkung von W<br />
δW<br />
Die Richtung der Radialkomponente der Streifkraft ist so gewählt, daß sie sowohl durch den<br />
Wellenmittelpunkt als auch durch den Mittelpunkt des Gehäuses geht. Es sei angenommen, daß<br />
das Gehäusezentrum auf der Drehachse des unbelasteten - dies bedeutet, daß keine Erregerkräfte<br />
wirksam sind - Rotors liegt. Die Orientierung der Tangentialkomponente ist durch die<br />
Drehrichtung des Rotors bestimmt.<br />
Abb.5: Erregerkräfte durch Streifkontakt<br />
Komponenten der Erregerkräfte in x, y - Richtung:<br />
( ) = − ⋅ cos( ) + ⋅ ⋅sin(<br />
)<br />
F t Fs δ μ Fs δ (16)<br />
x W W<br />
( ) = − ⋅sin( ) − ⋅ ⋅cos(<br />
)<br />
F t Fs δ μ Fs δ (17)<br />
y W W
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 71<br />
Geometrische Beziehung:<br />
y<br />
sin W<br />
cos<br />
x + y<br />
W ( δ ) =<br />
und ( δ )<br />
2<br />
W<br />
2<br />
W<br />
W<br />
W<br />
2 2<br />
xW + yW<br />
=<br />
3.2.2.1 Konstante Streifkraft<br />
Die Auswirkungen eines konstant wirkenden Kraftimpulses auf das Eigenschwingverhalten des<br />
Rotor - Lager - Systems kann untersucht werden, indem der Größe Fs in den Gleichungen 16 und<br />
17 ein konstanter Wert zugewiesen wird. Bezüglich der Größe dieses Wertes und der Dauer des<br />
Streifkontaktes müssen Annahmen getroffen werden.<br />
3.2.2.2 Berücksichtigung der Längsfederung einer Laufschaufel<br />
Ein Streifen der Beschaufelung des Rotors am Gehäuse tritt dann auf, wenn die radiale<br />
Auslenkung des Wellenmittelpunktes größer wird als der Radialspalt zwischen unbelastetem<br />
Rotor und Gehäuse. In den folgenden Überlegungen wird angenommen, daß sich dieser<br />
Radialspalt zeitlich verändert. Übersteigt die radiale Wellenmittelpunktsamplitude die<br />
Spaltbreite, so wird eine Federkraft in Längsrichtung der Schaufel wirksam, die als<br />
Erregungskraft für das dynamische Modell berücksichtigt wird.<br />
Es bedeutet:<br />
x<br />
rSP(t) Radialspalt<br />
Gehäuse<br />
zwischen unbelastetem Rotor und<br />
Federsteifigkeit der Laufschaufel in Längsrichtung<br />
cS<br />
In den Gleichungen 16 und 17 ist somit folgende Bedingung für die Radialkomponente der<br />
Streifkraft in Rechnung zu setzten:<br />
( ( ) ( )<br />
Fs = c ⋅ r t − r t<br />
(18)<br />
S W SP<br />
Durch diese Betrachtungsweise eines Streifvorganges kann der Kontaktkraftverlauf während des<br />
Streifens - dies entspricht der Federkraft der Laufschaufel - sowie die Streifdauer ermittelt<br />
werden. Durch Multiplikation der Tangentialkomponente der Streifkraft mit der<br />
Umfangsgeschwindigkeit des Rotors ist der zeitliche Leistungsverlauf, der durch die Reibung<br />
verursacht wird, gegeben. Wird diese Größe von Streifbeginn bis Streifende über die Zeit<br />
integriert, so entspricht dies der Streifenergie.<br />
PS(t)=μ⋅Fs⋅RR⋅Ω (19)<br />
Δt<br />
S ∫ S<br />
0<br />
( ) ( )<br />
W t = P t ⋅dt<br />
Δt Streifdauer<br />
RR<br />
Radius des Rotors<br />
PS(t) Streifleistung<br />
WS(t) Streifenergie<br />
(20)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 72<br />
3.3 Anwendungsbeispiel ND-Läufer einer Dampfturbine<br />
Das dynamische Verhalten einer ausgeführten Rotorkonstruktion wird anhand eines<br />
Scheibenrotors einer Dampfturbine untersucht. Die für die Rechnung erforderlichen Daten des<br />
Rotors sowie der Lagerung sind der Dissertation Priebsch /2/ entnommen. Dieser Rotor ist ein<br />
Teil eines mehrfach gelagerten Turborotors. Da der Läufer mit überkritischer Drehzahl rotiert,<br />
tritt eine Selbstzentrierung der Welle auf. Die Rotorkonstruktion ist im Vergleich zur Steifigkeit<br />
der Lagerung als relativ „biegeweich“ anzusehen. Die Gleichgewichtslage des Rotors im<br />
„Normalbetrieb“ liegt im Bereich kleiner Sommerfeldzahlen, was sich nachteilig auf die<br />
Dämpfungsfähigkeit der Lagerung auswirkt.<br />
Daten der Rotorkonstruktion:<br />
Leistung 65 MW<br />
Rotormasse mR<br />
7900 kg<br />
Lagermasse mL<br />
1550 kg<br />
Betriebsdrehzahl 3000 U/min (Ω=314.6 rad/s)<br />
Erste biegekritische Drehzahl 2200 U/min (ω=230.4 rad/s)<br />
Endschaufellänge 550 mm<br />
Längssteifigkeit einer Endschaufel cS 228.5 * 10 6 N/m<br />
Betriebsunwucht e 10 μm<br />
Lagerkenngrößen:<br />
Lagerbohrungsradius RL<br />
165 mm<br />
relatives Lagerspiel ψ 0.002<br />
Breitenverhältnis B/D 0.75<br />
dynamische Ölzähigkeit η 0.018 Ns/m 2<br />
Bei der Angabe bezüglich der Rotormasse ist die Symmetrie des Ersatzsystems berücksichtigt.<br />
Die Gesamtmasse des Rotors entspricht dem Wert 2*mR. Aus der ersten biegekritischen<br />
Drehzahl und der Rotormasse kann der Wert für die Biegesteifigkeit der Welle errechnet werden.<br />
Die Lagerdaten beziehen sich auf ein vollumschlossenes Kreislager.<br />
3.3.1 Betriebsverhalten des Rotors<br />
Wie bereits erwähnt, rotiert die betrachtete Welle im Betriebszustand mit überkritischer Drehzahl<br />
(Ω/ω = 1.364). Dies bedeutet, daß beim Anfahren des Rotors die biegekritische Drehzahl<br />
durchfahren werden muß. Die Lager dieses DT - Läufers sind so zu bemessen, daß einerseits das<br />
Eigengewicht des Rotors getragen werden kann, andererseits soll ausreichende Stabilität der<br />
Welle bei der Betriebsdrehzahl gewährleistet sein.<br />
Durch die in dieser Berechnung berücksichtigte Lagerung (zylindrische Kreislager) ist zwar die<br />
Tragfähigkeit bei geringen Drehzahlen gegeben, in bezug auf Läuferstabilität bei höheren<br />
Drehzahlen besitzt eine derartige Konstruktion aber ungünstige Eigenschaften. Eine<br />
Verbesserung dieser Situation kann entweder dadurch erreicht werden, daß der Läufer versteift<br />
wird oder daß Nuten in die tragenden Gleitflächen eingearbeitet werden (Vielkeillager).<br />
Die Ursache für Läuferinstabilität sind selbsterregte <strong>Schwingungen</strong>. Solche Vorgänge können<br />
durch Spaltströmung zwischen Beschaufelung und Gehäuse bedingt sein. In vielen Fällen ist aber<br />
die Instabilität des Ölfilms Ursache für eine Vergrößerung der Lagerzapfenamplituden /10/.<br />
Derartige Erscheinungen können zur Resonanz führen und treten etwa bei der doppelten ersten
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 73<br />
biegekritischen Drehzahl auf. H. Jericha /3/ hat das dynamische Verhalten von Zweikeillagern<br />
untersucht und Lagergeometrien gefunden, die einen stabilen Lauf von biegeelastischen Läufern<br />
bis zur dreifachen ersten kritischen Drehzahl ermöglichen.<br />
In den folgenden Abb.6 und Abb.7 ist der Stationärzustand dieses DT - Läufers dargestellt. Als<br />
Erregungskräfte sind das Rotoreigengewicht und die Betriebsunwuchtkraft berücksichtigt. Die<br />
Gewichtskraft des Rotors stellt die Hauptlast für die Lagerung dar. In der numerischen<br />
Berechnung in nichtlinearen Lagern muß sie jedenfalls berücksichtigt werden, da der stationäre<br />
Gleichgewichtspunkt einen wesentlichen Einfluß auf das Dämpfungs- und Elastizitätsverhalten<br />
der Lagerung hat. Das Ergebnis der durchgeführten Rechnung für den Stationärzustand zeigt, daß<br />
Wellenmittelpunkt und Lagerzapfenmittelpunkt schleifenartige Bewegungen mit genau der<br />
halben Drehfrequenz des Läufers ausführen.<br />
Abb.6: Wellenmittelpunktsbewegung im Betriebszustand
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 74<br />
Abb.7: Lagerzapfenbewegung im Betriebszustand<br />
3.3.2 Eigenschwingung des Rotors aufgrund eines kurzzeitigen Kraftimpulses<br />
In diesem Abschnitt wird die Wirkung einer kurzzeitigen konstanten Erregerkraft, die durch den<br />
Streifkontakt verursacht wird, untersucht. In den Berechnungen mit linearen Eigenschaften der<br />
Lagerung wurde angenommen, daß zwischen der Radialkomponente der Streifkraft und der<br />
Betriebsunwuchtkraft ein konstanter Phasenwinkel α auftritt. Wie bereits erwähnt, ist in diesem<br />
Abschnitt die Richtung der Radialkraft so gewählt, daß sie sowohl durch den Wellenmittelpunkt<br />
als auch durch das Gehäusezentrum geht.<br />
Die Werte für die Kontaktkraft Fs und die Streifdauer SD mußten angenommen werden. In den<br />
Diagrammen sind die Zeitverläufe der radialen Auslenkungen von Wellenmittelpunkt und<br />
Lagerzapfenmittelpunkt angegeben. In allen durchgeführten Berechnungen sind die<br />
Lagerzapfenauslenkungen geringer als die Ausschläge des Wellenmittelpunktes. Die Erregerkraft<br />
Fs ist in dimensionsloser Form angegeben und auf die Betriebsunwucht (mReΩ 2 ) bezogen. Die<br />
Dauer des Streifkontaktes ist in Winkeleinheiten der Rotorumdrehung angegeben. Für den<br />
Coulomb’ schen Reibungsfaktor wird der Wert 0.15 in Rechnung gesetzt. In den folgenden<br />
Abb.8 bis Abb.14 sind die Ergebnisse der numerischen Simulationsrechnung dokumentiert.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 75<br />
Abb.8: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung<br />
Abb.9: Wellenmittelpunktsbewegung (Fs=50, SD=30°)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 76<br />
Abb.10: Lagerzapfenbewegung (Fs=50, SD=30°)<br />
Abb.11: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 77<br />
Abb.12: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung<br />
Abb.13: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 78<br />
Abb.14: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung<br />
In Abb.8 ist die Biegeschwingung dieses Läufers für die Streifbedingung Fs=50mReΩ 2 und<br />
SD=30° dargestellt. Der Beginn der Systemerregung wird so gewählt, daß sich der<br />
Wellenmittelpunkt genau in dem Punkt maximaler radialer Auslenkung befindet. Ab diesem<br />
Zeitpunkt ist die Streiferregungskraft wirksam. Das Streifende ist durch die Angabe der<br />
Streifdauer (SD in Winkeleinheiten Rotorumdrehungen) festgelegt. In der Tab.1 sind die Werte<br />
der Größtauslenkungen sowie die Zeitpunkte ihres Auftretens angegeben.<br />
ts [sec] Dts [sec] fs [Hz] rW [mm]<br />
I 0.5357 0.0257 38.91 665<br />
II 0.5709 0.0352 28.41 554<br />
III 0.6108 0.0399 25.06 464<br />
IV 0.6501 0.0393 25.44 468<br />
Tab.1: Maximalwerte der Wellenmittelpunktsauslenkungen (Fs=50, SD=30°)<br />
ts<br />
Δts<br />
fs<br />
Zeitpunkt des Maximalwertes<br />
Zeitdifferenz aufeinanderfolgender Maximalwerte<br />
Frequenz aufeinanderfolgender Maximalwerte<br />
Das erste Maximum der Wellenmittelpunktsauslenkung tritt nach 463,2° Rotorumdrehungen auf.<br />
Die kritische Biegefrequenz der Welle bei starrer Lagerung liegt bei 36.67 Hz. Aus Tab.1 ist<br />
ersichtlich, daß ab dem Zeitpunkt des dritten Amplitudenmaximums die Zeitdifferenz
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 79<br />
aufeinanderfolgender Größtwerte konstant ist; die Frequenz dieser Schwingbewegung entspricht<br />
der halben Drehfrequenz des Rotors.<br />
In den Abb.11 bis Abb.14 sind die radialen Auslenkungen von Wellenmittelpunkt und<br />
Lagerzapfenmittelpunkt für verschiedene Erregerkräfte (Fs, SD) dargestellt. Eine Veränderung<br />
der Streifbedingung hat keine Auswirkung auf den Zeitpunkt des Auftretens des ersten<br />
Amplitudenmaximums. Bei kleinen Werten für die Streifkraft sowie der Streifdauer treten nach<br />
dem ersten Maximum die Größtwerte der Auslenkungen mit der halben Drehfrequenz des Rotors<br />
auf. Eine Vergrößerung der Streifkraft bewirkt ein beschleunigtes Auftreten der Maximalwerte<br />
nach der ersten Größtauslenkung. Bemerkenswert ist, daß bei Vergrößerung der Werte für die<br />
Streifkraft (Abb.11) sowie der Streifdauer (Abb.13) auch eine höherfrequente Schwingung am<br />
Beginn des Abklingvorganges auftritt (66 Hz).<br />
3.3.3 Erregung durch zeitlich veränderlichen Radialspalt<br />
Wie bereits im Kapitel 3.2.2.2 erwähnt, kann unter Berücksichtigung der Längsfederung einer<br />
Laufschaufel eine Systemerregung definiert werden. Ist die Radialauslenkung des<br />
Wellenmittelpunktes größer als der Radialspalt zwischen Rotor und Gehäuse, so wird als<br />
Erregungskraft die Federkraft der Laufschaufel wirksam. Damit der Rotor aus seiner<br />
Stationärbewegung ausgelenkt wird, muß eine kurzzeitige Verringerung des Radialspaltes<br />
angenommen werden. In der folgenden Abb.15 ist der zeitliche Verlauf des Radialspaltes<br />
schematisch dargestellt.<br />
Abb.15: Zeitliche Veränderung des Radialspaltes<br />
In der vorliegenden Berechnung wird die Annahme getroffen, daß der Radialspalt zwischen<br />
unbelastetem Rotor und Gehäuse rSP=430 μm beträgt. Als Systemerregung wird angenommen,<br />
daß ab dem Zeitpunkt t=0.51 sec der Radialspalt rSP gleich null ist. Die Dauer dieser<br />
Spaltveränderung ist vorgegeben und beträgt 90° Rotorumdrehung ( Δt0=π/(2Ω) ). Für den<br />
Reibungsfaktor wird der Wert μ=0.45 berücksichtigt.<br />
In Abb.16 sind die radialen Auslenkungen von W und L dargestellt. Durch die getroffene<br />
Annahme werden drei Streifkontakte verursacht. Der Stationärzustand ist nach ungefähr 15<br />
Rotorumdrehungen erreicht. In der Tab.2 sind die Zeitpunkte von Streifbeginn (tB) und<br />
Streifende (tE) sowie die Streifdauer angegeben.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 80<br />
tB [sec] tE [sec] Dt [sec] SD [°]<br />
I 0.5095 0.5145 0.0050 90<br />
II 0.5305 0.5410 0.0105 189<br />
III 0.5680 0.5720 0.0040 72<br />
Tab.2: Streifkontakte unter Berücksichtigung der Schaufellängssteifigkeit<br />
Die Bewegung von Wellenmittelpunkt und Lagerzapfenmittelpunkt in der Ebene normal zur<br />
Drehachse ist in den Abb.17 und Abb.18 dargestellt. Durch die Kreislinie in Abb.17 ist der<br />
Radialspalt angedeutet.<br />
Die Federkraft der Laufschaufel, die während des Streifkontaktes berücksichtigt wird, entspricht<br />
der Kontaktkraft zwischen Rotor und Gehäuse. In der Abb.19 ist der zeitliche Verlauf dieser<br />
Kraft dargestellt. Der Größtwert der Streifkontaktkraft tritt am Beginn des ersten Streifvorganges<br />
auf und beträgt ungefähr 80 kN. Die Maximalwerte der Kontaktkraft während des zweiten und<br />
dritten Streifvorganges sind wesentlich niedriger. Bei der Berechnung des Leistungsverlaufes<br />
(Abb.20) ist nur die Umfangsgeschwindigkeit an der Schaufelspitze (RRΩ) in bezug auf den<br />
Wellenmittelpunkt berücksichtigt. Um die Kinematik des Bewegungsvorganges richtig zu<br />
erfassen, wäre es erforderlich, die Geschwindigkeit des Wellenmittelpunktes auszurechnen und<br />
die Absolutgeschwindigkeit der Schaufelspitze in die Gleichung 20 einzusetzen. Die Berechnung<br />
zeigt aber, daß die Absolutgeschwindigkeit des Wellenmittelpunktes um vier Zehnerpotenzen<br />
kleiner ist als die der Schaufelspitze. Für die Berechnung der Streifgeschwindigkeit wird daher<br />
näherungsweise angenommen, daß sich der Wellenmittelpunkt in Ruhe befindet.<br />
In der Abb.21 ist der zeitliche Verlauf der Streifenergie dargestellt. Wenn ein Ansatz gefunden<br />
werden könnte, wieviel dieser thermischen Energie in die Laufschaufel fließt, so wäre es<br />
möglich, die auftretende Zusatzstreifunwucht zu berechnen.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 81<br />
Abb.16: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung<br />
Abb.17: Wellenmittelpunktsbewegung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 82<br />
Abb.18: Lagerzapfenbewegung<br />
Abb.19: Streifkontaktkraft
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 83<br />
Abb.20: Streifleistung<br />
Abb.21: Streifenergie
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 84<br />
3.3.4 Erregung durch elliptische Gehäuseverformung<br />
Eine der möglichen Ursachen für einen Streifkontakt stellt eine Verformung des Gehäuses dar.<br />
Durch einen derartigen Vorgang kann es ebenfalls zu einer Verminderung des Radialspaltes<br />
zwischen Beschaufelung und Gehäuse kommen. Über die Geometrie von Gehäuseverformungen<br />
liegen keine Daten vor, weshalb diesbezüglich nur Annahmen getroffen werden können. In der<br />
vorliegenden Berechnung wird angenommen, daß sich das Gehäuse elliptisch verformt. In der<br />
Abb.22 sind die geometrischen Zusammenhänge dargestellt.<br />
Abb.22: Geometrie-Ellipse<br />
Im Abschnitt 5.3.3 wird nach dem ersten Streifkontakt ein konstanter Wert für den Radialspalt<br />
vorausgesetzt. In der Betrachtungsebene ( x-y Ebene) bedeutet dies, daß der Spalt zwischen<br />
Gehäuse und Beschaufelung durch einen Kreis mit dem Radius rSP dargestellt werden kann.<br />
Durch eine elliptische Gehäuseverformung wird auch der Radialspalt elliptisch deformiert. In der<br />
Gleichung 21 ist die Gleichung der Ellipse in Polarform angegeben.<br />
r<br />
( )<br />
SP ϕ<br />
=<br />
b<br />
( f cos( ϕ Δϕ )<br />
1−<br />
⋅ +<br />
2<br />
mit f =<br />
a −<br />
a<br />
b<br />
2 2<br />
a große Halbachse<br />
b kleine Halbachse<br />
Damit das Achsensystem der Ellipse in der Ebene gedreht werden kann, wird der Winkel Δϕ<br />
berücksichtigt. (Die Drehrichtung des Winkel Δϕ ist gegen den Uhrzeigersinn positiv gewählt).<br />
Dadurch ist es möglich, für jede beliebige Auslenkungsrichtung δW des Wellenmittelpunktes den<br />
Radialspalt zu berechnen. Ist die radiale Auslenkung des Wellenmittelpunktes größer als der zur<br />
Verfügung stehende Radialspalt, so sei als Erregungskraft die Längsfederung der Laufschaufel<br />
wirksam.<br />
Im vorangegangenen Abschnitt wurde für den Radialspalt der konstante Wert 430 μm in<br />
Rechnung gesetzt. Im folgenden wird angenommen, daß sich ausgehend von diesem Wert das<br />
Gehäuse in x-Richtung um +80 μm und in y-Richtung um -80μm verformt. Das Achsensystem<br />
der Ellipse ist so gedreht, daß die Nebenachse genau in der Richtung des statischen<br />
(21)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 85<br />
Gleichgewichtspunktes des Rotors liegt. Für die drei maßgebenden Parameter der<br />
Gehäuseverformung können somit folgende Angaben gemacht werden:<br />
a = 510 μm<br />
b = 350 μm<br />
Δϕ = 153,4 °<br />
Die Werte für die Ellipsenachsen wurden so gewählt, daß im Betriebszustand des Rotors der<br />
Wert des Radialspaltes unterschritten wird. Es ist daher nicht erforderlich, eine Initialanregung,<br />
die die Biegeschwingung des Rotors auslöst, anzunehmen. In der vorliegenden<br />
Simulationsrechnung tritt die Gehäuseverformung zum Zeitpunkt t = 0.49 sec auf. Für den<br />
Reibungskoeffizienten wurde der Wert 0.45 angenommen.<br />
In den Abb.23 bis Abb.29 ist das Ergebnis der Rechnung graphisch dargestellt. In der Abb.23<br />
sind die zeitlichen Verläufe der radialen Auslenkungen von W und L angegeben. Es ist<br />
ersichtlich, daß durch eine derartige Anregung die Amplituden der Bewegung kleiner werden<br />
können. Nach etwa fünf bis zehn Rotorumdrehungen wird wieder ein stationärer Zustand<br />
erreicht. Die Bewegung von Wellenmittelpunkt und Lagerzapfenmittelpunkt in der x-y Ebene ist<br />
in den Abb.24, Abb.25 und Abb.26 dargestellt. Aus dem zeitlichen Verlauf der<br />
Streifkontaktkräfte (Abb.27) ist erkennbar, daß periodisch - mit der halben Drehfrequenz des<br />
Rotors - zwei Streifkontakte auftreten. Im folgenden ist der Streifvorgang mit der geringeren<br />
Kontaktkraft als Streifkontakt I bezeichnet. Der Faktor zwischen den Maximalwerten der<br />
Streifkontaktkräfte beträgt ungefähr 2.8. In der Tab.3 ist der Zeitbereich von zwei<br />
Rotorumdrehungen (t=0.6465 bis t= 0.6865) analysiert und die Zeitdifferenzen (Δt, SD<br />
[Winkeleinheiten der Rotorumdrehung]) angegeben.<br />
Δt [sec] SD [ °] Bemerkung<br />
0.0060 108 Streifkontakt I<br />
0.0045 81 Zeitbereich zwischen I und II<br />
0.0110 198 Streifkontakt II<br />
0.0185 333 Zeitbereich zwischen II und I<br />
Tab.3: Streifkontakte durch elliptische Gehäuseverformung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 86<br />
Abb.23: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung<br />
Abb.24: Wellenmittelpunktsbewegung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 87<br />
Abb.25: Wellenmittelpunktsbewegung<br />
Abb.26: Lagerzapfenbewegung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 88<br />
Abb.27: Streifkontaktkraft<br />
Abb.28: Streifleistung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 89<br />
Abb.29: Streifenergie<br />
3.3.5 Erregung durch versetztes Gehäuse<br />
In den vorangegangenen Berechnungen ist - gemäß dem Rotorersatzmodell - die Annahme<br />
getroffen, daß der Mittelpunkt des Gehäuses auf der gedachten Verbindungslinie der beiden<br />
Lagerzentren liegt. Die Ausrichtung des Radialspaltes einer Konstruktion erfolgt jedoch in bezug<br />
auf die statische Biegelinie des Läufers. Da der betrachtete Rotor als relativ biegeelastisch<br />
anzusehen ist, scheint es gerechtfertigt, eine Versetzung des Gehäusezentrums anzunehmen. In<br />
dieser Simulationsrechnung wird angenommen, daß das Zentrum des Radialspaltes mit dem<br />
Punkt der statischen Gleichgewichtslage des Rotormittelpunktes (bei der Betriebsdrehzahl) ident<br />
ist. Sowohl die berechneten Auslenkungen des Wellenmittelpunktes als auch die Richtung der<br />
Streiferregungskräfte sind auf diesen Punkt bezogen. In der folgenden Abb.30 ist die<br />
geometrische Situation für eine derartige Gehäuseversetzung dargestellt.<br />
Als Streifanregungskraft wurden folgende Annahmen gemacht:<br />
Fs=50<br />
SD=30°<br />
μ=0.45
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 90<br />
Abb.30: Erregung durch versetztes Gehäusezentrum<br />
Für den betrachteten ND - Läufer einer Dampfturbine ergeben sich somit, unter Berücksichtigung<br />
des Rotoreigengewichtes bei der Betriebsdrehzahl, folgende Werte für die statische Auslenkung:<br />
xSTAT =150.2 μm<br />
ySTAT = - 300.8 μm<br />
Das Ergebnis der Simulationsrechnung ist in den Abb.31 bis Abb.34 dokumentiert. An dieser<br />
Stelle sei darauf hingewiesen, daß die radiale Lagerauslenkung auf den geometrischen<br />
Mittelpunkt der Lagerung bezogen ist. Die Maximalauslenkungen sowie die Zeitpunkte ihres<br />
Auftretens sind in der Tab.4 angegeben.<br />
ts [sec] Dts [sec] fs [Hz] rW [mm]<br />
I 0.5247 0.0272 36.76 411<br />
II 0.5621 0.0374 26.73 335<br />
III 0.6042 0.0421 23.75 297<br />
IV 0.6439 0.0397 25.18 268<br />
Tab.4: Maximalwerte der Wellenmittelpunktsauslenkungen (Fs=50, SD=30°)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 91<br />
Abb.31: Radiale Wellenmittelpunktsauslenkung<br />
Abb.32: Radiale Lagerzapfenauslenkung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 92<br />
Abb.33: Wellenmittelpunktsbewegung<br />
Abb.34: Lagerzapfenbewegung
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 93<br />
3.4 Abschätzung der Radialspaltveränderung durch das<br />
Abschmelzen der Streifkante<br />
In Kapitel 3.3 sind zeitliche Energieverläufe, wie sie durch Streifvorgänge verursacht werden,<br />
angegeben. Durch den Kontakt der Streifkante mit dem Gehäuse wird deren Abschmelzen<br />
verursacht, was zur Folge hat, daß sich der Radialspalt während des Streifvorganges<br />
kontinuierlich vergrößert. Dies wiederum bewirkt, daß sich die Streifkontaktkraft und damit die<br />
Streifenergie verringert, sodaß die Schaufel wieder außer Kontakt kommt. Um den dynamischen<br />
Vorgang des Abschmelzens der Streifkante erfassen zu können, ist es erforderlich, einen<br />
Zusammenhang zwischen Streifenergie (Streifkontaktkraft) und der Schmelzenergie, die das<br />
Abbrennen verursacht, zu finden. In der vorliegenden Berechnung wird angenommen, daß 50 %<br />
der entstehenden Streifenergie in die Streifkante der Schaufel fließt. Da die entstehenden<br />
Wärmeströme vergleichsweise hoch sind (die Schmelztemperatur wird bereits bei Streifbeginn<br />
erreicht), wird die Annahme getroffen, daß die Wärmeleitung in der Schaufel keine Rolle spielt,<br />
sodaß die freiwerdende thermische Energie (in der oben genannten Prozentzahl) das<br />
Abschmelzen der Streifkante verursacht.<br />
Folgende Annahmen werden getroffen:<br />
ρ=7900 kg/m 3 (Dichte)<br />
c=540 kJ/kgK (spez. Wärmekapazität)<br />
ASK=100 mm 2 (Streifkantenfläche)<br />
ΔT=1000K<br />
Unter diesen Voraussetzungen läßt sich die Vergrößerung des Radialspaltes wie folgt berechnen:<br />
r<br />
AS<br />
0. 5⋅<br />
WS<br />
=<br />
ρ⋅ A ⋅c ⋅Δ<br />
T<br />
In den Abb.35 und Abb.36 ist dieser Einfluß für den Streifkontakt II in Kapitel 3.3.3 dargestellt.<br />
Die Streifdauer wird durch diesen Vorgang ungefähr um die Hälfte reduziert. Aus dem zeitlichen<br />
Verlauf der Radialspaltvergrößerung ist ersichtlich, daß am Ende des Streifvorganges ungefähr<br />
90 μm der Streifkante geschmolzen sind. Unter Berücksichtigung dieses Wertes kann auch die<br />
entstehende zusätzliche Streifunwuchtkraft berechnet werden. Diese Kraft kann in Bezug gesetzt<br />
werden zur Betriebsunwucht; für den hier betrachteten Streifvorgang errechnet sich für das<br />
Verhältnis von Streifunwucht zu Betriebsunwucht folgender Wert:<br />
Fu<br />
Fu<br />
S<br />
B<br />
= 0. 21%<br />
(22)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 94<br />
Abb.35: Zeitliche Veränderung des Radialspaltes durch Abschmelzen der Streifkante<br />
Abb.36: Kontaktkraft- und Energieverlauf während des Abschmelzens der Streifkante
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 95<br />
3.5 Numerische Integration mit MATLAB-SIMULINK<br />
Eine große Anzahl physikalischer Modelle, die im Maschinenbau auftreten, können durch<br />
gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden. MATHWORKS bietet ein<br />
Simulationspaket namens SIMULINK an, mit dem ein System gewöhnlicher<br />
Differentialgleichungen gelöst werden kann, indem auf dem Bildschirm ein Blockdiagramm<br />
(SIMULINK-Koppelplan) erstellt wird. SIMULINK ist also eine Software zur Simulation<br />
dynamischer Vorgänge /4/. Dieses Programm ist eine MATLAB-Toolbox, die<br />
Lösungsalgorithmen zur numerischen Integration von Differentialgleichungen zur Verfügung<br />
stellt.<br />
3.5.1 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen<br />
In vielen Fällen sind nichtlineare Differentialgleichungen nicht analytisch lösbar. Eine der<br />
Lösungsmethoden besteht darin, nichtlineare Glieder mittels Taylorreihen-Entwicklung zu<br />
linearisieren. In den vorliegenden Berechnungen wurde die direkte Zeitintegration (Schritt für<br />
Schritt) als Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichungen gewählt. In den meisten Fällen ist<br />
es möglich, ein dynamisches System in der sogenannten Cauchy-Form als System von<br />
Differentialgleichungen 1. Ordnung anzuschreiben.<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
x& t = f x , t , x& t = f x , t ,...,& x t = f x , t<br />
(23)<br />
1 1 1 2 2 2<br />
n n n<br />
Im Bereich der Simulation ist diese Darstellungsform die gebräuchlichste. Viele<br />
Lösungsalgorithmen benötigen diese Form sogar. Im folgenden wird das Grundprinzip von zwei<br />
üblichen Verfahren zur Lösung solcher Probleme beschrieben /5,6/.<br />
3.5.1.1 Runge-Kutta-Verfahren<br />
Dies ist der Standartalgorithmus zur Lösung einer Differentialgleichung 1. Ordnung.<br />
( ) ( ) ( )<br />
x& t = f x, t x 0 = x0<br />
(24)<br />
Ausgehend vom Anfangswert x0 zum Zeitpunkt t=0 können die nächsten Funktionswerte für<br />
einen betrachteten Zeitschritt Δt wie folgt berechnet werden:<br />
t = t + Δ t , x = x + k<br />
n+ 1 n n+ 1 n<br />
1<br />
k = ⋅ k + k + k + k<br />
6<br />
( 2 2 )<br />
1 2 3 4<br />
( )<br />
k = Δ t ⋅f<br />
x , t<br />
1<br />
n n<br />
⎛ k1 Δt⎞<br />
k 2 = Δt⋅<br />
f⎜ xn<br />
+ , tn<br />
+ ⎟<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
⎛ k 2 Δt⎞<br />
k 3 = Δt⋅<br />
f⎜ xn<br />
+ , tn<br />
+ ⎟<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
( )<br />
k = Δt⋅ f x + k , t + Δt<br />
(25)<br />
4 n 3 n<br />
Diese Methode wird als Runge-Kutta-Algorithmus 4. Ordnung bezeichnet, da vier Aufrufe der<br />
Funktion f(x,t) für jeden Zeitschritt benötigt werden. Der größte Nachteil dieses Verfahrens
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 96<br />
besteht darin, daß die Genauigkeit des Ergebnisses nicht unmittelbar abgeschätzt werden kann.<br />
Die beste Methode, die Genauigkeit zu überprüfen, ist deshalb die Berechnung einer neuen<br />
Lösung mit halber Schrittweite. Die ursprüngliche Lösung wird erst dann akzeptiert, wenn die<br />
Ergebnisse innerhalb einer vorgegebenen Toleranzgrenze liegen.<br />
Von Fehlberg verbesserte den Runge-Kutta-Algorithmus, um eine Fehlerabschätzung<br />
durchführen zu können. Der Abbruchfehler, der bei einem Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung<br />
auftritt, ist proportional (Δt) 5 (Fehler = η.(Δt) 5 ). Durch einen 5. Aufruf der Funktion f(x,t) (20 %<br />
Mehraufwand) ist es möglich, die Proportionalitätskonstante η zu schätzen. Ist ein tolerierbarer<br />
Fehler vorgegeben, so kann die erforderliche Integrationsschrittweite daraus errechnet werden<br />
und eine Neuberechnung des Funktionswertes durchgeführt werden.<br />
3.5.1.2 Prediktor-Korrektor-Verfahren<br />
Prediktor-Korrektor Verfahren wurden um 1950 entwickelt; sie sind effizienter als ein<br />
vergleichbares Runge-Kutta Verfahren. Eines der am häufigst verwendeten Prediktor-Korrektor<br />
Verfahren ist das von Adams. Für diese Methode ist ebenfalls eine Differentialgleichung 1.<br />
Ordnung Voraussetzung. Integriert man diese Gleichung über einen Zeitschritt Δt, so ergibt sich<br />
folgende Darstellungsweise:<br />
t<br />
n+<br />
1 n+<br />
1<br />
∫ f( x( t) , t) dt = ∫ x& ( t) dt = x( tn+ 1 ) − x( tn)<br />
t n<br />
t<br />
t n<br />
Bei dieser Methode wird nun die Funktion f(x,t) durch ein Polynom 3. Ordnung p3(t) ersetzt, das<br />
durch 4 Punkte fn=f(xn,tn), fn-1=f(xn-1,tn-1), fn-2=f(xn-2,tn-2), fn-3=f(xn-3,tn-3) mittels der Newton<br />
backward difference (4.5) ermittelt wird.<br />
1<br />
2 1<br />
3<br />
p3( t) = f + rΔf + r( r + 1)<br />
Δ f + r( r + 1)( r + 2)<br />
Δ f<br />
2<br />
6<br />
t t<br />
r =<br />
t<br />
−<br />
Δ<br />
n n n n<br />
n k<br />
k−<br />
1 k−<br />
1<br />
Δ f = Δ f − Δ f k =<br />
j<br />
j<br />
j−<br />
1<br />
(26)<br />
1, 2, 3,...<br />
(27)<br />
Die Integration dieser Gleichung über den Zeitschritt Δt von tn bis tn+1 liefert unter<br />
Berücksichtigung der Gleichung 23 folgende Bedingung:<br />
Δt<br />
x = x + ⋅ − + −<br />
24<br />
( 55f 59f 37f 9f<br />
)<br />
*<br />
n+ 1 n n n− 1 n− 2 n−<br />
3<br />
Diese Gleichung wird als Prediktor Bedingung bezeichnet. Im folgenden Korrektorschritt wird<br />
die Gleichung 23 nochmals gelöst. Als Approxmationspunkte für das Polynom 3. Ordnung<br />
werden jetzt folgende Punkte berücksichtigt: f * n+1=f(x * n+1,tn+1), fn=f(xn,tn), fn-1=f(xn-1,tn-1),<br />
fn-2=f(xn-2,tn-2). Integriert man die Gleichung 23 über denselben Zeitschritt Δt von tn bis tn+1 , so<br />
ergibt sich folgende Bedingung:<br />
Δ t *<br />
x = x + ⋅ + − +<br />
24<br />
( 9f 19f 5f<br />
f )<br />
n+ 1 n n+ 1 n n− 1 n−<br />
2<br />
Mit der zweiten Bedingung wird also ein korrigierter Funktionswert xn+1 an einer Stelle tn+1<br />
berechnet. Der größte Vorteil dieses Verfahrens ist, daß der Abbruchfehler unmittelbar durch<br />
Vergleich von Prediktor und Korrektor Ergebnis bestimmt werden kann. Ein großer Nachteil<br />
dieser Methode besteht darin, daß zu Integrationsbeginn bereits vier Wertepaare für x und t<br />
(28)<br />
(29)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 97<br />
vorliegen müssen, damit der nächste Zeitschritt berechnet werden kann. Diese Werte müssen mit<br />
einem anderen Verfahren (z. B. Runge-Kutta) berechnet werden.<br />
An dieser Stelle sei auf ein besonderes Problem der dynamischen Simulation hingewiesen. Zeigt<br />
ein System einerseits schnelles dynamisches Verhalten, und andererseits extrem langsames (z. B.<br />
e -10000t und e -t ), so scheitern im allgemeinen die Runge-Kutta-Algorithmen. Solche Probleme<br />
werden als steif bezeichnet. In diesem Fall sollte ein Prediktor-Korrektor Verfahren -<br />
vorzugsweise jenes von Gear - verwendet werden.<br />
3.5.2 Erstellen eines SIMULINK-Koppelplans am Beispiel des Lavalrotors<br />
Im folgenden Kapitel wird erklärt, wie ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen in<br />
MATLAB-SIMULINK programmiert wird. Anhand des mechanischen Ersatzmodells für den<br />
Lavalrotor (Abb.37) wird ein sogenannter SIMULINK Koppelplan für dieses dynamische System<br />
entworfen.<br />
Abb.37: Prinzipschema des Lavalrotors mit Ersatzmodell<br />
Aufgrund der dynamischen Gleichgewichtsbedingung läßt sich folgende Bewegungsgleichung<br />
für den Wellenmittelpunkt anschreiben:<br />
( ) ( )<br />
m⋅ z& + c ⋅ z − z = F t<br />
(30)<br />
W W W L<br />
Ebenso läßt sich das Kräftegleichgewicht für den Lagerzapfenmittelpunkt angeben:<br />
( )<br />
c ⋅ z + d ⋅z & − c ⋅ z − z = 0 (31)<br />
L L L W W L<br />
Diese beiden Gleichungen stellen ein lineares, gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit<br />
konstanten Koeffizienten dar. Das Gleichungssystem ist zwar gekoppelt, durch Elimination einer<br />
der beiden Bewegungsgrößen gelingt es jedoch leicht, eine Differentialgleichung mit nur einer<br />
Variablen anzuschreiben.<br />
Da das Rotoreigengewicht in den Gleichungen vernachlässigt wird, beziehen sich zW und zL auf<br />
die statische Gleichgewichtslage des Systems. Weiters werden folgende Abkürzungen eingeführt:<br />
2 c<br />
c<br />
ω = η = κ = =<br />
m ω c ⋅ω<br />
D<br />
W Ω W d<br />
, , ,<br />
m<br />
L<br />
(32)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 98<br />
η, κ und D sind dimensionslose Größen; ω stellt die Kennkreisfrequenz des Systems bei starr<br />
gedachter Lagerung dar.<br />
Mit diesen Größen lassen sich die Bewegungsleichungen 30 und 31 entsprechend umformen und<br />
folgendermaßen anschreiben:<br />
( )<br />
F t<br />
&z W<br />
+ ω ⋅( zW − zL)<br />
=<br />
m<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ D<br />
⎜ + 1⎟ ⋅ zL<br />
+ ⋅z & L − zW<br />
= 0<br />
(34)<br />
⎝κ<br />
⎠ ω<br />
Die Gleichungen 33 und 34 können in dieser Form nicht unmittelbar verwendet werden, da für<br />
dieses Lösungsverfahren Integralgleichungen angeschrieben werden müssen. Es hat sich als<br />
vorteilhaft erwiesen, für die Geschwindigkeiten neue Variablen einzuführen.<br />
v = z& v = z&<br />
W W L L<br />
Diese beiden Definitionen liefern bereits zwei Integralgleichungen:<br />
zW = ∫ vW dt<br />
zL = ∫ vL dt<br />
Unter Berücksichtigung von vW und vL können folgende Bedingungen für die<br />
Bewegungsgleichungen 33 und 34 gefunden werden.<br />
v<br />
v<br />
( )<br />
⎛ F t 2 2 ⎞<br />
= ∫ ⎜ − ω z + ω z ⎟ dt<br />
⎝ m<br />
⎠<br />
W W L<br />
D z<br />
ω ω ⎛<br />
= − ⋅ ⎜1<br />
+<br />
D ⎝<br />
1⎞<br />
⎟ ⋅z<br />
κ⎠<br />
L W L<br />
Das angegebene Gleichungssystem (35-38) kann in einen geeigneten Simulationsplan umgesetzt<br />
werden. Für die Lösung dieses Problems sind nur drei Grundelemente erforderlich. Das<br />
Hauptelement ist der Integrierer, der das Eingangssignal ausgehend von einem Anfangswert<br />
integriert. Durch ein sogenanntes Gain kann der Eingangswert mit einem konstanten Faktor<br />
multipliziert werden. Die Summation der verschiedenen Größen wird durch eine Summierstelle<br />
vorgenommen. In der Abb.38 ist der Koppelplan dieses Gleichungssystems dargestellt.<br />
(33)<br />
(35)<br />
(36)<br />
(37)<br />
(38)
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 99<br />
Abb.38: SIMULINK-Koppelplan<br />
Als Erregerkraft F(t) kann eine beliebige Zeitfunktion eingegeben werden. Die verwendeten<br />
Gains sind wie folgt definiert:<br />
2 1<br />
2 ω ω ⎛<br />
A = ω , B = , C = ω , D = , E = ⋅ ⎜1<br />
+<br />
m D D ⎝<br />
3.5.3 Beschreibung des verwendeten Simulationsblockdiagramms<br />
Zur Berechnung der <strong>Schwingungen</strong> in nichtlinearer Lagerung wurde ein Blockdiagramm in<br />
MATLAB-Simulink erstellt, das gestattet, die Auslenkungen von Wellen- und<br />
Lagerzapfenmittelpunkt zu berechnen. In der Abb.39 ist ein Blockdiagramm zur Simulation des<br />
in 3.3.4 beschriebenen dynamischen Bewegungsvorganges dargestellt. Alle im Kapitel 3.3<br />
durchgeführten Berechnungen lassen sich mit ähnlichen Simulationsprogrammen - die<br />
Unterschiede bestehen nur in der Modellierung der Systemerregungskräfte - realisieren.<br />
Diejenigen Größen, die sich während einer Simulation nicht ändern, wie die<br />
Polynomkoeffizienten der Butenschön-Lösung für Radialgleitlager, werden in einen M-File<br />
geschrieben. Durch Aufruf desselben im MATLAB-Command-Window können die<br />
entsprechenden Parameter in den Workbereich geholt werden. Das Gerüst des Blockdiagramms<br />
bilden die vier Schwingungsgleichungen - je zwei in x und in y - Richtung - der Rotor- und<br />
Lagermasse. Aus den Komponenten der Bewegungsgrößen von W und L im kartesischen<br />
Koordinaten-System können die für die Berechnung der Lagerreaktionskräfte und<br />
Systemerregungskräfte erforderlichen radialen und tangentialen Richtungsanteile der<br />
Bewegungsgrößen angegeben werden. Dadurch können einerseits die entsprechenden<br />
Tragkraftanteile des Lagers und andererseits die Komponenten der Streiferregungskräfte<br />
berechnet werden. Außer den bereits angesprochenen Kräften sind das Rotoreigengewicht und<br />
die Betriebsunwucht als Erregerkräfte im mechanischen Modell zu berücksichtigen. Sie sind<br />
relativ einfach darzustellen, da sie nicht in direktem Zusammenhang mit den Simulationsgrößen<br />
1⎞<br />
⎟<br />
κ⎠
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 100<br />
stehen (Konstantwert bzw. Zeitfunktion). Die Berechnung der Streifenergie kann mittels eines<br />
Reset-Integrators, der die entsprechende Streifleistung über die Zeit integriert, vorgenommen<br />
werden. Nach Ende jedes Streifvorganges kann der Anfangswert durch die entsprechende<br />
Bedingung, daß die Streifkontaktkraft negativ ist, auf den Wert null gesetzt werden.<br />
Damit die errechneten Simulationsergebnisse auch im MATLAB-Workbereich verwendet<br />
werden können, ist es sinnvoll, die Blockelemente „To Workspace“ an den entsprechenden<br />
Stellen im Simulationsplan einzufügen. Dadurch besteht die Möglichkeit der Auswertung der<br />
numerisch berechneten Zeitverläufe mit allen in MATLAB gebräuchlichen Funktionen (z. B.<br />
Fourier-Transformation, 3D-Animation).<br />
An dieser Stelle sei auf Probleme, die bei der Erstellung der vorliegenden Simulationspläne<br />
aufgetreten sind, hingewiesen. Bei der numerischen Lösung impliziter Differentialgleichungen<br />
könnnen algebraische Schleifen (algebraic loops) auftreten, die durch Einbau eines<br />
Verzögerungsgliedes 1. Ordnung mit sehr kleiner Zeitkonstante umgangen werden können /12/.<br />
In vielen Fällen kann es hilfreich sein, die Integration nicht bei null zu starten, sondern kleine<br />
Auslenkungen vorzugeben. Dadurch wird vermieden, daß zu Integrationsbeginn der Wert null im<br />
Nenner einer Funktion steht, was zur Folge hat, daß bereits beim ersten Integrationsschritt die<br />
Simulation scheitert.
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 101<br />
Abb.39: SIMULINK-Koppelplan
<strong>Nichtlineare</strong> <strong>Schwingungen</strong> Seite 102<br />
3.6 Literatur<br />
/1/ H. H. Priebsch, „Rotordynamik bei grosser Unwucht mit Berücksichtigung nichtlinearer<br />
Feder- und Dämpfungseigenschaften der Lagerung“, Dissertation 1980, TU Graz<br />
/2/ H. J. Butenschön, „Das hydrodynamische, zylindrische Gleitlager unter instationärer<br />
Belastung“, Dissertation 1976, TU Karlsruhe<br />
/3/ H. Jericha, „Stabilisierung elastischer Läufer durch Zweikeillager“, Sonderdruck ELIN-<br />
Zeitschrift 1969<br />
/4/ MATHWORKS INC., „SIMULINK, Dynamic System Simulation Software for Technical<br />
Education“, Prentice Hall New Jersey, 1996<br />
/5/ A. Brian, M. Breiner, „MATLAB für Ingenieure“, Addison-Wesley Verlag, Deutschland<br />
1995<br />
/6/ E. Kreyszyg, „Advanced Engineering Mathematics“, seventh edition, 1993