Nichtlineare Schwingungen - TTM

Nichtlineare
Schwingungen
November 97
Institut für Thermische Turbomaschinen und Maschinendynamik
Technische Universität Graz

INHALTSVERZEICHNIS
1. Einführung...................................................................................................................................1
2. Lineare und nichtlineare Schwingungen am Beispiel des mathematischen Pendels...................2
2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen des Pendels ....................................................................2
2.1.1 Lösung mit Hilfe der Störungsrechnung ........................................................................4
2.1.2 Lösung mit Hilfe der Methode der harmonischen Balance............................................9
2.1.3 Die exakte Lösung........................................................................................................10
2.2 Freie gedämpfte Schwingungen ..........................................................................................15
2.2.1 Der Einfluß kleiner Dämpfungsglieder ........................................................................15
2.2.2 Die Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude ................................18
2.3 Erzwungene Schwingungen ................................................................................................21
2.3.1 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen ...................................................................22
2.3.2 Der Einfluß der Dämpfung und das Sprungphänomen ................................................26
2.3.3 Subharmonische Schwingungen...................................................................................34
2.3.4 Kombinationsfrequenzen .............................................................................................37
2.4 Übungsaufgaben..................................................................................................................38
3. Rotor-Lager-System unter Berücksichtigung nichtlinearer Lagerung (Diplomarbeit Lang).....64
3.1 Dynamisches Verhalten von Gleitlagern.............................................................................64
3.1.1 Reynolds’ sche Differentialgleichung ..........................................................................64
3.1.2 Vollumschlossenes Kreislager .....................................................................................66
3.2 Rotor-Lager–Ersatzsystem ..................................................................................................68
3.2.1 Bewegungsgleichungen in zwei Richtungen................................................................69
3.2.2 Erregerkräfte durch Streifkontakt.................................................................................70
3.3 Anwendungsbeispiel ND-Läufer einer Dampfturbine ........................................................72
3.3.1 Betriebsverhalten des Rotors........................................................................................72
3.3.2 Eigenschwingung des Rotors aufgrund eines kurzzeitigen Kraftimpulses ..................74
3.3.3 Erregung durch zeitlich veränderlichen Radialspalt.....................................................79
3.3.4 Erregung durch elliptische Gehäuseverformung ..........................................................84
3.3.5 Erregung durch versetztes Gehäuse..............................................................................89
3.4 Abschätzung der Radialspaltveränderung durch das Abschmelzen der Streifkante ...........93
3.5 Numerische Integration mit MATLAB-SIMULINK ..........................................................95

3.5.1 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen........................................95
3.5.2 Erstellen eines SIMULINK-Koppelplans am Beispiel des Lavalrotors .......................97
3.5.3 Beschreibung des verwendeten Simulationsblockdiagramms......................................99
3.6 Literatur.............................................................................................................................102

Nichtlineare Schwingungen Seite 1
1. EINFÜHRUNG
Warum befassen wir uns mit „nichtlinearen Schwingungen“? Im wesentlichen natürlich, weil die
Differentialgleichungen, die reale physikalische Systeme beschreiben, stets nur in erster
Näherung linear sind. Da die Behandlung nichtlinearer Differentialgleichungen wesentlich
komplizierter als die der linearen ist, beschränkt man sich – wo immer möglich – auf lineare
Modelle. Es zeigt sich, daß die Linearisierung oft die wesentlichen Eigenschaften des Systems
richtig wiedergibt und eine den praktischen Anforderungen des Ingenieurs vollständig genügende
Beschreibung liefert. Es gibt aber auch Fälle, in denen die Untersuchung des linearisierten
Systems keine hinreichend genaue Darstellung ergibt; so zum Beispiel bei Schwingungen großer
Amplituden in elastischen Systemen. Auch kann die nichtlineare Betrachtungsweise unter
Umständen zu vollkommen neuen Erscheinungen führen, wie sie in linearen Systemen nicht
möglich sind. Dies gilt zum Beispiel für die subharmonischen oder ultraharmonischen
erzwungenen Schwingungen oder für die Existenz eines Grenzzyklus (einer isolierten
periodischen Schwingung eines selbsterregten Systems).
Im modernen Ingenieurwesen mit der laufenden Verfeinerung der Instrumentation, den
verbesserten Rechenmöglichkeiten und engeren Toleranzen gewinnt die Theorie nichtlinearer
Systeme daher immer mehr an praktischer Bedeutung. Anwendungen der Theorie der
nichtlinearen Schwingungen sind nicht nur in der klassischen Mechanik zu finden, sondern auch
in der Elektrotechnik, Nachrichtentechnik, Quantenmechanik, Biologie und in vielen anderen
Wissenszweigen.
Abgesehen von ganz wenigen Ausnahmen ist es nicht möglich, für die bei nichtlinearen
Schwingungen auftretenden Differentialgleichungen Lösungen in analytisch geschlossener Form
anzugeben. Eine numerische Lösung führt natürlich zum Ziel, wenn wir die zu gegebenen
Anfangsbedingungen gehörende Bewegung bestimmen wollen. Sie nützt uns allerdings wenig,
wenn wir einen Überblick über die möglichen Arten von Lösungen und über deren Abhängigkeit
von einzelnen Parametern zu erhalten suchen.
Die analytischen Näherungsverfahren besitzen heute eine andere Bedeutung als vor dem Zeitalter
elektronischer Rechenanlagen. Bei gegebenen Anfangsbedingungen und für vorgegebene
Parameter können wir heute gewöhnliche Differentialgleichungen um ein vielfaches schneller
und genauer numerisch integrieren als noch vor wenigen Jahrzehnten. Wollen wir aber einen
Überblick über den Lösungscharakter und seine Abhängigkeit von bestimmten Parametern
erhalten, so müssen wir die numerische Rechnung für viele verschiedene
Parameterkombinationen wiederholen. Die Menge der anfallenden Daten kann dabei so sehr
anwachsen, daß relativ einfache allgemeine Zusammenhänge nur noch schwer erkennbar sind.
Die analytischen Näherungsverfahren dagegen gestatten es, einfache Zusammenhänge
näherungsweise mit analytischen Ausdrücken direkt zu erfassen. Sie führen dabei oft zu gut
überschaubaren und durchaus brauchbaren Ergebnissen. Mit wachsender Anzahl der Terme einer
analytischen Approximation mag zwar die Genauigkeit zunehmen, es leidet aber die
Überschaubarkeit. Wir werden uns daher bei allen Approximationen immer nur auf einige
wenige Terme beschränken.

Nichtlineare Schwingungen Seite 2
2. LINEARE UND NICHTLINEARE SCHWINGUNGEN AM
BEISPIEL DES MATHEMATISCHEN PENDELS
2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen des Pendels
Viele der mathematischen Hilfsmittel, die bei nichtlinearen Schwingungen eingesetzt werden,
können wir mit Erfolg an einem der einfachsten mechanischen Systeme erproben: dem
mathematischen Pendel. Bei Vernachlässigung der Reibung ist die Differentialgleichung der
freien Schwingung des mathematischen Pendels durch
oder
mlx&& + mg sin( x)
= 0
(1)
2
x&& + ω sin( x)
= 0
(2)
0
2
gegeben. Dabei ist m die Masse, 1 die Pendellänge, g die Erdbeschleunigung und 0 g / l = ω ; der
Winkel x kennzeichnet die Auslenkung aus der (stabilen) lotrechten Gleichgewichtslage (siehe
Abb.1). Bei der linearen Betrachtungsweise setzen wir näherungsweise sin(x)≈x, d.h. ,wir
berücksichtigen nur das erste Glied der TAYLOR-Reihe sin x = x −
kleine Winkel x voraussichtlich zu guten Ergebnissen führt.
3
x
+
3!
5
x
−
5!
7
x
+ K,
was für
7!
Abb.1: Das Mathematische Pendel
Die nichtlineare Differentialgleichung (2) wird dann durch
2
0 ω x&& + x
(3)
0 =
ersetzt, mit der allgemeinen Lösung
x = A ω t)
+ B cos( ω t)
(4)
sin( 0
0

Nichtlineare Schwingungen Seite 3
wo A und B die durch die Anfangsbedingungen festzulegenden Integrationskonstanten sind. Die
Eigenkreisfrequenz ω 0 hängt nicht von der Schwingungsamplitude ab. Dies ist, wie wir von den
linearen Schwingungen wissen, eine allgemeine Eigenschaft linearer Systeme. Bezeichnen wir
die Anfangswerte von x und x& zum Zeitpunkt t= 0 mit 0 x und x& 0 , so folgt
und
x0
x = sin( ω0t)
+ x0
cos( ω0t)
ω
&
0
x& = x&
ω t)
− x ω sin( ω t)
(6)
0 cos( 0 0 0 0
Das „Phasenporträt” entspricht in der x, x& -Ebene einer Ellipsenschar
x
2
+
x&
ω
2
2
0
= x
2
0
+
x&
ω
2
0
2
0
wie man leicht durch Elimination von t aus (5) und (6) erkennt, oder aber einer Schar von
x&
Kreisen, sofern man auf den Koordinatenachsen in der Phasenebene x, statt x, x& aufträgt
2π
(Abb.2). Alle diese Kreise (oder Ellipsen) werden in derselben Zeit T = durchlaufen. Diese
ω0
Tatsachen sind uns aus der Theorie der linearen Schwingungen wohlvertraut.
Abb.2: Phasendiagramm des linearen Schwingers
Offensichtlich versagt die lineare Darstellung aber vollkommen für große Winkel x. Die
Differentialgleichung (2) hat ja sogar noch eine zweite ”Gleichgewichtslage” x = π, x& = 0,
während die, „linearisierte” Differentialgleichung (3) nur den einen kritischen Punkt x = 0, x& = 0
besitzt! Es ist zu erwarten, daß wir zu einer besseren Darstellung des Verhaltens der Lösungen
von (2) kommen, wenn wir in der TAYLOR-Reihe nicht nur das erste Glied, sondern noch
möglichst viele Glieder höherer Ordnung berücksichtigen. Obwohl wir (2) exakt lösen können,
ω0
(5)
(7)

Nichtlineare Schwingungen Seite 4
wollen wir zuerst verschiedene Näherungsverfahren anwenden, bevor wir die exakte Lösung
angeben.
In diesem Kapitel behandeln wir bis auf wenige Ausnahmen Gleichungen des Typs
x && + h(
x)
x&
+ f ( x)
= p(
t)
, von welchen (2) ein Sonderfall ist (mit h(x) ≡ 0, p(t) ≡ 0). Dabei ist p(t)
eine – meistens periodische – ”Erregung” und h( x)
x&
mit h ( x)
≥ 0 ein ”Dämpfungsglied”.
Differentialgleichungen dieser Art treten nicht nur bei einer Vielzahl von
Schwingungsproblemen in der Mechanik, sondern oft auch in anderen Gebieten auf. So wird
zum Beispiel der elektrische Schwingkreis der Abb.3 durch die Differentialgleichung
di
L + Ri + f ( q)
= E sin( Ωt)
oder Lq&& + Rq&
+ f ( q)
= E sin( Ωt)
beschrieben. Hierbei ist i der
dt
Strom, L>0 die (lineare) Induktivität, R≥0 der (lineare) OHMsche Widerstand, u = f(q) die
Spannung des nichtlinearen Kondensators mit der Ladung q und E sin(Ωt) die an den Klemmen
vorgegebene Wechselspannung mit der Kreisfrequenz Ω.
Abb.3: Nichtlinearer elektrischer Schwingkreis
Das Pendel der Abb.1 entspricht in dieser Analogie dem kurzgeschlossenen Kreis (E=0) mit
R=0. In diesem Kapitel wollen wir im weiteren von der physikalischen Realisierung der
Differentialgleichung absehen, werden aber der Einfachheit halber meistens vom ”Pendel”
sprechen.
2.1.1 Lösung mit Hilfe der Störungsrechnung
Wir schreiben jetzt sin(x)≈x–x 3 /6, was sicherlich eine bessere Näherung als sin(x)≈x ist, und
erhalten so
2
2 ω0
3
x&& + ω0
x − x = 0
(8)
6
Um etwas allgemeiner zu bleiben, wollen wir vorläufig die ”DUFFINGsche
Differentialgleichung”
2 3
x&& + ω x − μx
= 0
(9)
0
untersuchen, wobei μ ein „kleiner Parameter” ist. Man kann nun versuchen, eine Lösung in der
Form

Nichtlineare Schwingungen Seite 5
x( 0
1
2
m
2
m
t)
= x ( t)
+ μx
( t)
+ μ x ( t)
+ K K+
μ x ( t)
(10)
zu finden, wobei die xi(t), i = 0, l, 2,... noch zu bestimmende Funktionen sind. Setzen wir (10) in
(9) ein, so erhalten wir
0
2
0
0
2 3 2
2
2
2
( x&&
+ ω x + x ) + μ ( x + ω x + 3x
x ) + ( μ ) = 0
x&& + ω x − μ
&&
o
(11)
1
0
1
0
geordnet nach Potenzen von μ *) . Daraus folgt dann das Gleichungssystem
usw.,
2
0
2
2
x&& + ω x = 0
(12)
0
1
0
2
0
1
0
x&& + ω x = −x
(13)
3
0
x&& −
(14)
2
2
2 + ω0
x2
= 3x0 x1
das rekursiv gelöst werden kann. Die allgemeine Lösung von (12) ist durch (4) gegeben und kann
auch in der Form
x t)
= C sin( ω t + γ )
(15)
0 ( 0
geschrieben werden, mit C und γ als neuen Integrationskonstanten. Durch Einsetzen von (15) in
(13) erhalten wir
2 3 3
x&& + ω x = C ( ω t + γ )
(16)
1
0
1
sin 0
Um dies auf möglichst einfache Art zu lösen, schreiben wir die rechte Seite als Summe
trigonometrischer Funktionen:
2 3 3
1 3
x&& 1 + ω0
x1
= − C sin( ω0t
+ γ ) + C sin( 3ω
0t
+ 3γ
)
(17)
4
4
und erhalten
3t
3
1 3
x 1(
t)
= C cos( ω0t
+ γ ) − C sin( 3ω
0t
+ 3γ
) + C1
sin( ω0t
+ γ 1)
(18)
2
8ω
32ω
0
0
mit den weiteren Integrationskonstanten C1 und γ1. Die Lösung (18) bestimmen wir als
Überlagerung der freien Schwingung mit den beiden erzwungenen Schwingungen der
Kreisfrequenzen ω0 und 3ω0; dies ist möglich, da ja (15) wieder eine lineare
Differentialgleichung ist.
Bei der sukzessiven Lösung von (18) und der nachfolgenden Differentialgleichungen treten
weitere Integrationskonstanten C2, C3,..., γ2, γ3,... die alle aus den Anfangsbestimmungen zu
o(
s)
*) Das Symbol o(s) hat die in der Analysis übliche Bedeutung: es gilt = 0.
Wir
0
1
lim
s→
0 s
unterscheiden zwischen o(s) und 0(s). Während o(s) Terme darstellt, deren Größenordnung klein
O(
s)
gegen s ist, steht 0(s) für Glieder von der Größenordnung s, d.h., der Grenzwert lim ist
s→
0 s
endlich!

Nichtlineare Schwingungen Seite 6
bestimmen sind. Da wir aber nur über zwei Anfangsbedingungen verfügen, gibt es hierzu
verschiedene Möglichkeiten, von denen zwei besonders naheliegend sind:
1. Man erfüllt die Anfangsbedingungen
2
x(
0)
= x ( 0)
+ μx
( 0)
+ μ x
0
( 0)
2
x&
( 0)
= x&
( 0)
+ μx&
( 0)
+ μ x&
( 0)
+ K
0
1
1
2
2
+
K,
schon in der ”nullten Näherung”, das heißt, man wählt in (15) C und γ für vorgegebene x ( 0)
,
x& ( 0)
so, daß x ( 0)
= x(
0)
, x& ( 0)
= x&
( 0)
ist, und setzt x ( 0)
= 0 , x& ( 0)
= 0 , i=1,2... .
0
0
Hier wollen wir aber die Lösung nicht in Abhängigkeit von beliebigen x ( 0)
, x& ( 0)
bestimmen,
sondern nur Lösungen mit x ( 0)
= A , x& ( 0)
= 0 berechnen (aus denen allerdings die allgemeine
Lösung auf einfachem Wege folgt). Mit
x0
( 0)
= A,
x&
0 ( 0)
x ( 0)
= 0,
x&
( 0)
i
i
= 0
=
0,
i = 1,
2,...
folgt dann aus (15) C=A und γ=π/2 und für i=1 mit (18)
1
32
C
ω
3
2
0
+
C sin( γ ) = 0,
1
1
C cos( γ ) = 0.
1
1
Daraus erhält man dann γ1=π/2, ( ) 2
3
= −C
/ 32ω
1
0
⎪⎫
⎬
⎪⎭
⎫
⎬
⎭
C und schließlich
3
1 C
x ( t)
= C cos( ω0t)
+ μ [ cos( 3ω
0t)
− cos( ω0t)
−12ω0t
sin( ω0t
) ] + o(
μ)
(20a)
2
32 ω
0
Auf entsprechende Art und Weise können die Konstanten, die in den Näherungen höherer
Ordnung auftreten, berechnet werden,
2. Man setzt alle Ci, i=l,2... gleich Null (die γi bleiben unbestimmt) und bestimmt dann C und γ
nicht direkt aus den Anfangsbedingungen für 0 x , x& 0 sondern aus (19), da die
Anfangsbedingungen von i x , x& i (i=l,2,...) ja auch von C und γ abhängen. Fordern wir wieder
x& ( 0)
=0, so gilt jetzt
3
3
⎡3
C 3 C ⎤
x&
( 0)
= 0 = Cω0
cos( γ ) + μ⎢
cos( γ ) − cos( 3γ
) ⎥+
⎣8
ω0
32 ω0
⎦
was durch γ = π/2 erfüllt wird. Die Lösung ist dann
und es folgt
3
1 C
x ( t)
= C cos( ω0t
) + μ [ cos( 3ω
0t)
− cos( ω0t)
−12ω0t
sin( ω0t
) ] + o(
μ)
(20b)
2
32 ω
3
1 C
x(
0)
= A = C + μ + o(
μ)
2
32 ω
Die Amplitude A = x(0) ist hier nicht mehr gleich C!
0
0
i
K
i
(19)
(20)

Nichtlineare Schwingungen Seite 7
Führen wir die Störungsrechnung in dieser Art weiter, so erhalten wir x(0) und damit im Falle
einer periodischen Lösung auch die Amplitude in der Form
2
x 0)
= C + μA
( C)
+ μ A ( C)
+ K
(21)
( 1
2
Brechen wir die Reihen (20a), (20b) mit den Gliedern erster Ordnung in μ ab, so erkennen wir,
daß ein linear mit der Zeit über alle Grenzen anwachsendes Glied auftritt, so daß scheinbar keine
periodische Lösung vorhanden ist! Aus der Anschauung wissen wir aber, daß periodische
Lösungen zu erwarten sind. Trotzdem ist diese Reihenentwicklung für kleine Zeitintervalle
durchaus brauchbar und führt oft erst bei ”großen” Zeiten zu groben Fehlern. Die Begriffe ”groß”
oder, „klein” beziehen sich hier auf einen Vergleich mit T = 2π / ω0
. In der Himmelsmechanik,
wo diese Art der Störungsrechnung zuerst angewandt wurde, kann ein Jahrhundert durchaus noch
ein, „keines” Zeitintervall sein. Es hat sich aus diesem Grund die Bezeichnung ”säkulare
Glieder” für diese mit der Zeit über alle Grenzen anwachsenden Terme eingebürgert. Tatsächlich
sind natürlich die Lösungen von (9) periodisch, nur kann man dies nicht mehr an der nach
endlich vielen Gliedern abgebrochenen Reihe erkennen. Das gleiche gilt ja auch für die
TAYLOR-Entwicklung der periodischen Funktion ) t μ + ω bezüglich μ t :
sin( 0
2 2
3 3
μ t μ t
ω 0 + μ)
t)
= sin( ω0t
) + μt
cos( ω0t)
− sin( ω0t)
− cos( ω t)
+
2!
3!
sin(( 0
diese Reihe konvergiert zwar für alle μ t , nicht aber gleichmäßig in t *) !
Es empfiehlt sich daher, die Störungsrechnung so abzuändern, daß man schon an endlich vielen
Gliedern der Reihe die Periodizität erkennt, und so, daß man möglichst ein Restglied erhält, das
in t gleichmäßig klein ist. Wir folgen dabei dem Vorschlag LINDSTEDTs (1883) und nutzen die
Erfahrungstatsache aus, daß die Kreisfrequenz einer nichtlinearen Schwingung eine Funktion der
Amplitude ist. Wir schreiben
oder auch
2 2
2
ω = ω + μe
C)
+ μ e ( C)
+ K
(22)
0
1(
2
2 2
2
2
ω = ω − μe
( C)
− μ e ( C)
+ o(
μ )
(23)
0
1
2
Dies wird mit (10) in (9) eingesetzt und nach Potenzen von p geordnet:
2 3
2
2
2
2
( x&&
+ ω x + x − e x ) + μ ( x + ω x + 3x
x − e x − e x ) + ( μ ) = 0
x&& &&
(24)
2
0 + ω x0
+ μ 1 1 0 1 0
2 2 0 1 2 0 1 1 o
*) Man sagt, daß die Reihe ∑ ∞
ν=
1
f (x)
in dem Intervall a N(
ε,
x)
.
Man nennt die Reihe gleichmäßig konvergent in a

Nichtlineare Schwingungen Seite 8
Wir können (24) erfüllen, indem wir alle Koeffizienten der Potenzen von μ gleich Null setzen
und damit
2
x&& + ω x = 0
(25)
0
2
3
x 1 + ω x1
= −x0
+
0
&& e x
(26)
2
2
2 + ω x2
= −3x0
x1
+ e2
x0
e1x1
1
0
x && +
(27)
KK
erhalten. Jetzt setzen wir x ( t)
= C sin( ωt
+ γ ) in(26) ein:
1
1
0
2
3 3
x&& + ω x = −C
( ωt
+ γ ) + e C sin( ωt
+ γ )
und erhalten
sin 1
2 3 3
1 3
x&& 1 + ω x1
= − C sin( ωt
+ γ ) + C sin( 3ωt
+ 3γ
) + e1C
sin( ωt
+ γ )
(28)
4
4
Damit in der Lösung von (28) keine säkularen Glieder auftreten, müssen wir Resonanz
vermeiden und wählen die noch unbestimmte Funktion e1(C) als
3
C
4
2
e 1C
= (29)
Dann ist wegen (22)
und
3 2
2 2
ω = ω0
− μ C + o(
μ)
(30)
4
1 3
x 1(
t)
= C1
sin( ωt
+ γ 1)
+ C sin( 3ωt
+ 3γ
)
(31)
2
32ω
Die Integrationskonstante C1 können wir der Einfachheit halber gleich Null setzen, womit dann
μ 3
x ( t)
= C sin( ωt
+ γ ) + C sin( 3ωt
+ 3γ
) + o(
μ)
(32)
2
32ω
ist (allerdings entspricht dann C nicht mehr der Amplitude von x(t)). Berücksichtigen wir noch
die Glieder zweiter Ordnung in μ, so folgt ganz entsprechend
μ
x(
t)
= C sin( ωt
+ γ ) −
32ω
2
μ 5
+ C 4
1024ω
2
C
3
sin( 3ωt
+ 3γ
)
[ sin( 5ωt
+ 5γ
) − 3sin(
3ωt
+ 3γ
) ] + o(
μ)
2
2
2 3μ
2 3μ
4
ω ( C ) = ω0
− C + C + o(
μ)
(34)
2
4 128ω
wobei wir auf der rechten Seite von (34) natürlich auch
2
ω 0 anstelle von
2
ω schreiben können.
Man erkennt, daß das nichtlineare Glied in (9) harmonische Terme ungerader Ordnung in x(t)
hervorruft und die Frequenz der freien Schwingungen von der Amplitude abhängig macht.
(33)

Nichtlineare Schwingungen Seite 9
Es ist im allgemeinen nicht leicht zu beweisen, daß eine gegebene nichtlineare
Differentialgleichung Lösungen besitzt, die man in Form der hier benützten Potenzreihen
schreiben kann; ebenso sind Fehlerabschätzungen außerordentlich schwierig (siehe CESARI,
NAYFEH).
2.1.2 Lösung mit Hilfe der Methode der harmonischen Balance
Wir nehmen jetzt an, daß (8) eine Lösung besitzt, die man näherungsweise durch
x( t)
= C sin( ωt)
(35)
beschreiben kann, wobei aber die Kreisfrequenz ω(C) von der Amplitude abhängen darf. Mit
folgt
x
3
3 3
3⎛
3 1 ⎞
= C sin ( ωt)
= C ⎜ sin( ωt)
− sin( 3ωt)
⎟
⎝4
4 ⎠
3
2
3
2⎛
x ⎞ ⎛ 2 2 2 C ⎞
2 C
x&& + ω0
⎜
⎜x
−
0
0 C sin( ωt)
+ ω0
sin( 3ωt)
6 ⎟ = ⎜
⎜ω
− ω − ω
8 ⎟
(36)
⎝ ⎠ ⎝
⎠
24
was natürlich im allgemeinen nicht gleich Null ist. Die rechte Seite von (36) müßte
verschwinden, wenn x(t) eine Lösung von (8) wäre. Wir können aber zumindest den Faktor von
sin(ωt) zum Verschwinden bringen, indem wir
ω
2
= ω
2
0
⎛
⎜
⎜1
−
⎝
2
C ⎞
⎟
8 ⎠
setzen. Nehmen wir dann noch an, da C 3 klein ist, so ist die rechte Seite von (36) ”fast Null” und
(8) näherungsweise erfüllt. Der Ausdruck (37) stimmt übrigens mit (30) überein, sofern wir dort
2
μ = −ω
/ 6 setzen. Für kleine C kann man natürlich auch
0
ω = ω
schreiben.
0
2 ⎛ C ⎞
⎜
⎜1
− ⎟
⎝ 16 ⎠
Zu besseren Näherungen kommen wir im Verfahren der harmonischen Balance, wenn wir statt
(35) einen Ansatz machen, der höhere Harmonische enthält:
x
m
( t)
= C ωt)
+ ∑C
n sin( nωt)
+ ∑
sin( D cos( nωt)
(39)
n=
2
m
n=
2
n
Man geht mit diesem Ansatz in (8) ein und schreibt die linke Seite der Differentialgleichung als
Summe trigonometrischer Funktionen. Die Differentialgleichung wird näherungsweise erfüllt,
wenn man in dieser Summe die Koeffizienten von sin( ω t)
, sin( nω t)
, cos( nω t)
, n = 2,
3Km
gleich Null setzt. Dies ergibt dann 2m–l algebraische Gleichungen für die Unbekannten ω, C2, C3
,..., Cm, D2, D3,..., Dm in Abhängigkeit von C. Man erkennt leicht, daß nur die Koeffizienten C3,
C5, C7,... ungleich Null sind. Obwohl es im allgemeinen nicht möglich ist, eine
zufriedenstellende mathematische Rechtfertigung für dieses Verfahren zu geben, ist es doch bei
vielen praktischen Anwendungen sehr nützlich (siehe HAYASHI).
(37)
(38)

Nichtlineare Schwingungen Seite 10
2.1.3 Die exakte Lösung
Wir wollen hier zunächst etwas allgemeiner vorgehen und besprechen, wie man die
Differentialgleichung
mx&& + f ( x)
= 0
(40)
analytisch lösen kann, wobei m konstant und f(x) eine beliebige integrierbare Funktion ist. Im
besonderen kann – wie im Falle des Pendels – f(x) eine trigonometrische Funktion sein; sie kann
aber auch die nichtlineare Kennlinie einer Feder darstellen, wobei man zwischen ”überlinearen”
und ”unterlinearen” Federn unterscheidet, oder auch ein nichtlineares Element eines Netzwerkes,
etwa eine nichtlineare Kapazität, darstellen (Abb.4 und Abb.5). Wir multiplizieren (40) mit x& ,
integrieren über t und erhalten
1 2
m& x + ∫ f ( x)
dx = const.
= E0
(41)
2
Abb.4: Kennlinie einer überlinearen Feder; die
Federsteifigkeit wächst mit x
Abb.5: Kennlinie einer unterlinearen Feder; die
Federsteifigkeit nimmt mit wachsendem x ab
Hat m die Dimension einer Masse und x die Dimension einer Länge, so ist die kinetische Energie
1 2
T = mx&
, während die potentielle Energie durch U ( x)
=
2
∫ f ( x)
dx gegeben ist ( U (x)
ist bis auf
eine additive Konstante definiert). Es folgt
2
x& = ± ( E0
−U
( x )
(42)
m
und für jedes Energieniveau E0 kann direkt das Phasendiagramm gezeichnet werden (Abb.6). Es
ist leicht zu erkennen, daß die Phasenkurven die x-Achse

Nichtlineare Schwingungen Seite 11
Abb.6: Federkennlinie, Energiediagramm und Phasenporträt eines nichtlinearen Schwingers
nur orthogonal schneiden können, wenn man von den kritischen Punkten
(”Gleichgewichtslagen”) absieht. Man gelangt im allgemeinen zu geschlossenen Phasenkurven,
die periodischen Lösungen entsprechen, zu aperiodischen Lösungen sowie zur Separatrix S. Die
Separatrix trennt in der Phasenebene einen Bereich periodischer Lösungen von einem Bereich, in
dem aperiodische Lösungen oder periodische Lösungen von einem anderen Typ existieren. Man
kann daher aus dem Phasenporträt den Typ der Bewegung sehr gut ablesen.
Um nun noch den Zeitablauf der Schwingung zu bestimmen, müssen wir eine weitere Integration
durchführen:
t = t
0
+
x
∫
dx
= t
x&
( x)
±
x
∫
0
x
x 2
0 0 ( E0
−U
( x )
m
dx
Natürlich ist es nicht immer möglich, eine einfache geschlossene Lösung für (43) anzugeben,
aber zumindest haben wir die Lösung der Differentialgleichung (40) auf Quadraturen, d.h. auf
Integrationen, zurückgeführt. Ist U ein Polynom höchstens vierten Grades, so führt (43) auf
elliptische Integrale. Wir betrachten nun das mathematische Pendel der Gleichung (1) und
erhalten
(43)

Nichtlineare Schwingungen Seite 12
1 2 2
ml x&
+ ∫ mgl sin( x)
dx
= E0
(44)
2
wobei der Faktor l eingeführt wurde, damit E0 die Dimension einer Energie hat. Die
Integrationsgrenzen wurden in (44) so gewählt, daß die potentielle Energie in der
Gleichgewichtslage x = 0 den Wert Null annimmt. Aus (44) folgt
2 [ E − ml ω ( 1 cos( x))
]
2 2
2 0
0
x& = ±
−
(45)
ml
2 2
Bezeichnet man E /( ml ω ) mit E*, so gilt
0
( cos( x)
−1
E * )
0
x& = ± ω 2 −
(46)
0
wobei 0 < E* < 2 den eigentlichen periodischen Lösungen und E* > 2 den Lösungen für das sich
überschlagende Pendel entspricht. Für 0 < E* < 2 ist die Amplitude C der Schwingung durch
cos(C) = l – E* gegeben. Das Phasenporträt kann nun ohne weiteres gezeichnet werden (Abb.
1.7). Wegen der Periodizität unseres Systems ist es hier sinnvoll, den zylindrischen Phasenraum
einzuführen. Dazu schneiden wir aus dem Phasenporträt der Abb.7
Abb.7: Phasenporträt des mathematischen Pendels
einen Streifen in dem Bereich 0 ≤ x ≤ 2π heraus und fügen die beiden zur x& -Achse parallelen
Schnittkanten aneinander. Die periodischen Lösungen umkreisen die stabile Gleichgewichtslage
auf der Zylinderfläche, ohne um den Zylinder herumzulaufen, während den Bewegungen des sich
überschlagenden Pendels Kurven entsprechen, die die Zylinderachse umschlingen (Abb.8).

Nichtlineare Schwingungen Seite 13
Abb.8: Zylindrisches Phasenporträt für das mathematische Pendel
Um das Zeitverhalten der periodischen Bewegungen mit der Amplitude C und für t0 = 0, x(0) = 0
zu bestimmen, berechnen wir das Integral
Mit
t = t
0
1
±
ω
0
x
dx
∫ 2 −
cos( x) = 1−
2sin
folgt
2
dx
0
( cos( x)
cos( C)
)
2 x
( cos( x)
− cos( C)
)
=
dx
2 2
⎛ 2⎛
C ⎞ ⎛ x ⎞⎞
2⎜sin
⎜ ⎟−
sin ⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠
⎛ x ⎞ ⎛C
⎞
und mit der Substitution sin⎜ ⎟ = sin⎜
⎟sin(
z)
erhält man
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
dx
⎛C
⎞
= 2sin⎜
⎟cos
⎝ 2 ⎠
womit sich (47) in
dz
⎛ x ⎞
cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
α
dz
∫ 2 2
0 0 1−
sin ( )
⎛C
⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
( z)
= 2sin
cos(
z)
dz
2⎛
C ⎞ 2
1−
sin ⎜ ⎟sin
( z)
⎝ 2 ⎠
1
t = ±
(48)
ω k z
(47)

Nichtlineare Schwingungen Seite 14
⎛C
⎞
k = sin⎜
⎟,
⎝ 2 ⎠
⎛ x ⎞
sin⎜
⎟
⎝ 2
α = arcsin
⎠
⎛C
⎞
sin⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
umformen läßt. Das Integral in (48) ist aber das elliptische Integral erster Gattung ( k,
α)
F , das
⎛ ⎞
z.B. in Handbüchern in Abhängigkeit von der Variablen a und dem Modul = sin⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
C
k tabelliert
ist. Wir haben also
⎛
⎛ x ⎞ ⎞
⎜
sin⎜
⎟ ⎟
1 ⎜ ⎛C
⎞ ⎝ 2
t = ± F sin
⎠ ⎟
⎜
⎜ ⎟,
arcsin
(49)
ω ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟
0 2
C
⎜
sin⎜
⎟⎟
⎝
⎝ 2 ⎠⎠
Wollen wir x explizit als Funktion von t angeben, so benötigen wir die Umkehrfunktion von
F ( k,
α)
, den sinus amplitudinis ( , 0 ) t k sn ω . Die Schwingungsdauer läßt sich mit
π
2
4 dz 4 ⎛ π⎞
4 ⎛ ⎛C
⎞⎞
T = = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟⎟
ω ∫
F k,
K sin
(50)
2 2
0 1−
sin ( ) ω0
⎝ 2 ⎠ ω0
⎝ ⎝ 2
0 k z
⎠⎠
angeben, wobei K das vollständige elliptische Integral
⎛C
⎞ C
ist. Für kleine Amplituden kann man sin⎜
⎟ ≈
⎝ 2 ⎠ 2
2
2
π ⎡ ⎛1
⎞
⎤
2 ⎛ 1⋅
3 ⎞ 4
K(
k)
= ⎢1
+ ⎜ ⎟ k + ⎜ ⎟ k + K⎥
2 ⎢⎣
⎝2
⎠ ⎝ 2⋅
4⎠
⎥⎦
schreiben und erhält
2π
⎛ 1 2 ⎞
T ≈ ⎜1
+ C ⎟
(51)
ω ⎝ 16 ⎠
0
oder für die entsprechende Kreisfrequenz
ω ≈ ω
0
⎛
⎜
⎜1
−
⎝
2
C ⎞
⎟
16 ⎠
was das von den Näherungsverfahren her bekannte Ergebnis bestätigt.
In diesem Abschnitt haben wir gesehen, wie man Differentialgleichungen vom Typ (40) lösen
kann. Da sie immer ein erstes Integral der Art (41) besitzen (das Energieintegral), bezeichnet
man diese Systeme auch als konservativ.
(52)

Nichtlineare Schwingungen Seite 15
2.2 Freie gedämpfte Schwingungen
2.2.1 Der Einfluß kleiner Dämpfungsglieder
Bisher haben wir angenommen, daß keinerlei Dämpfungskräfte auf das mathematische Pendel
wirken, so daß die mechanische Energie erhalten blieb. Diese Vorsetzung ist natürlich in der
Praxis nicht erfüllbar: wir wissen, daß infolge Dämpfung die Amplitude der Schwingungen stetig
abnimmt. Je nach der Realisierung des Pendels können verschiedene mathematische Ansätze für
die Dämpfungsglieder sinnvoll sein. Wir wollen hier zwei Arten von Dämpfungsgesetzen
untersuchen, und zwar das der linearen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung und das der
trockenen oder COULOMBschen Reibung. Beide ”Dämpfungsgesetze” spielen nicht nur bei den
Anwendungen aus der Mechanik, sondern auch in vielen anderen Gebieten eine wichtige Rolle.
Die Bewegungsgleichung des Pendels sei durch
mlx&& + mlh(
x&
) + mg sin( x)
= 0
(53)
gegeben, wobei für lineare Dämpfung
h( x&
) = 2δ
x&
, 2δ
> 0
(54)
und für COULOMBsche Dämpfung
h( x&
) = ρsgn(
x&
), ρ > 0
(55)
ist (in diesem Kapitel setzen wir voraus, daß Haftungs- und Reibungskoeffizient beide gleich ρ
sind). Andere übliche Annahmen für Dämpfungsgesetze sind z.B. die der quadratischen
2
2
Dämpfung, die einem Glied der Art x& sgn(
x&
) entspricht, oder x x&
für ”mechanische
Hysterese”. Wir wollen hier nicht untersuchen, für welche physikalischen Systeme diese
Annahmen gerechtfertigt sind, sondern lediglich den Einfluß dieser Glieder auf die freien
Schwingungen besprechen.
Für die in x linearisierte Differentialgleichung, bei der wir in (53) sin(x) durch x ersetzen, ist uns
für die Dämpfungsgesetze (54), (55) die Lösung aus der Theorie der linearen Schwingungen
bekannt. Bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung nach (54) haben wir die üblichen
linearen gedämpften Schwingungen, und bei Annahme von (55) erhalten wir ein stückweise
lineares Problem, dessen Lösung wir ebenfalls als bekannt voraussetzen. Wir betrachten hier nur
das nichtlineare Problem und werden uns auf die Anwendung von Näherungsverfahren
beschränken. Dabei nehmen wir an, daß die Dämpfungskräfte klein sind, so daß die während
einer kurzen Zeitspanne betrachtete Bewegung von der gleichen Art wie im ungedämpften Fall
ist. Diese Annahme ist bei den meisten physikalischen Systemen durchaus vertretbar.
3
Wir nehmen weiter an, daß die Amplitude nicht zu groß ist, so daß (53) mit sin( x) ≈ x − x 6 als
3
2⎛
x ⎞
x&& + h(
x&
) + ω0
⎜
⎜x
− = 0
6 ⎟
(56)
⎝ ⎠
2
geschrieben werden kann. Integrieren wir jetzt die mit ml x&
multiplizierte Gleichung (56) nach
der Zeit zwischen t und t+Δt so ergibt sich
mit
( U ) = ( T + U ) + ΔE
T + t+
Δt
t
(57)

Nichtlineare Schwingungen Seite 16
4
t+
Δt
1 2 2
2 2 1 ⎛ 2 x ⎞
2
T = ml x&
, U = ml ω ⎜
⎜x
− ⎟
⎟,
ΔE
= − ∫ ml h(
x&
) x&
0
dt
2
2 ⎝ 12 ⎠
t
Der Term ΔE in (57) entspricht der Änderung der mechanischen Energie (Verlust) während der
Bewegung im Zeitintervall [t, t+Δt]. Den Wert dieses Integrals können wir nicht direkt
berechnen, da wir die Abhängigkeit x(t) nicht kennen, denn die Lösung von (56) ist ja nicht
bekannt. Wenn wir allerdings annehmen, daß während eines Zeitintervalls der Länge T = 2π
/ ω
die Lösung näherungsweise von der Form
x(
t)
= C sin( ωt
+ ϕ)
ist, wobei der Zusammenhang zwischen C und ω dem bei kleinen ungedämpften Schwingungen
entspricht:
2 ⎛ C ⎞
ω = ω ⎜ − ⎟
0 1
⎝ 16 ⎠
und wobei C und ϕ während dieses Zeitintervalls als konstant angenommen werden, dann
können wir
ΔE
= −
T
∫
0
2
ml h(
x&
) x&
dt
(58)
berechnen. Für den Fall der linearen Dämpfung ergibt sich
T
2 2 2 2
2 2
ΔE = −2ml
δ C ω ∫ cos ( ωt
+ ϕ)
dt = −2ml
δπωC
(59)
0
Die Gesamtenergie E=T+U ist aber bei einer Amplitude C unter den obigen Annahmen durch
1
2
2 2 2
E = − ml C ω
(60)
gegeben (dies entspricht der kinetischen Energie beim Nulldurchgang x=0). In erster Näherung
ist daher
2 2
ΔE
= ml ω CΔC
und mit (59) folgt
ΔC
= −Tδ
C
(hier ist T die Schwingungsdauer!). Wir erhalten also eine Näherungslösung für (53), (54), wenn
, 2 / ( ) C ω π durch
wir annehmen, daß die Lösung während des Zeitintervalls [ ]
0 sin
( ω(
C ) + )
0
0
0 0
x ( t)
= C t ϕ
(63)
während des Zeitintervalls [ / ω(
C ), 2π
/ ω(
C ) + 2π
/ ω(
C ) ]
mit
1 sin
( ω(
C ) + )
1
2 0
0
1
π durch
x ( t)
= C t ϕ
(64)
1
(61)
(62)

Nichtlineare Schwingungen Seite 17
usw.
( ) ⎟⎟
⎛ 2πδ
⎞
C ⎜
1 = C0
1−
(65)
⎝ ω C0
⎠
gegeben ist. Da die Schwingungsdauer T bei nicht zu großen Amplituden näherungsweise
konstant ist, können wir auch sagen, daß der Differenzenquotient ΔC/C konstant ist, und die
Amplitude daher exponentiell mit der Zeit abnimmt. In Wirklichkeit ist die Amplitudenänderung
natürlich stetig, und wenn wir
dC
dt
ΔC
≈ = −Cδ
dt
schreiben, ergibt sich
C
−δ
t
= C0
e
(67)
Ganz analog können wir im Fall der COULOMBschen Dämpfung vorgehen; wir erhalten aus
(58)
und damit
oder
T
2
2
ΔE = −ml
ρCω∫
cos( ωt
+ ϕ)
dt = −4ml
ρC
(68)
2ρ
ΔC
= − T
πω
dC
dt
ρ
≈
πω
2
0
Bei COULOMBscher Dämpfung nimmt also die Amplitude etwa linear mit der Zeit ab, solange
die Kreisfrequenz ω im wesentlichen konstant bleibt. Berücksichtigt man dagegen die
Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Amplitude, so folgt mit
aus (70)
2 ⎛ C ⎞
ω = ω ⎜ − ⎟
0 1
⎝ 16 ⎠
2
2
⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞ 0 2ρ
ω C ⎜
⎟ = ω C
⎜ −
⎟
0 1−
0 0 1 − t
⎝ 48 ⎠ ⎝ 48 ⎠ π
wobei C0 die Amplitude für t=0 ist. Damit im Falle der COULOMBschen Dämpfung aber
überhaupt eine Bewegung eintritt, muß noch vorausgesetzt werden, daß die “Rückstellkraft“
größer ist als die, „Haftungskraft“, d.h. es muß
2
2⎛
C ⎞ 0
C ω
⎜
⎜1
−
⎟
0 0 > ρ
(73)
⎝ 6 ⎠
sein, da sich sonst das Pendel in einer Gleichgewichtslage befände.
(66)
(69)
(70)
(71)
(72)

Nichtlineare Schwingungen Seite 18
2.2.2 Die Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude
Zu (66) und (70) können wir auch noch auf einem vielleicht etwas weniger anschaulichen, dafür
aber allgemeineren Weg gelangen. Wir betrachten die Differentialgleichung
wo f ( x x&
)
( x x)
2
x&& x f , & ω + (74)
x
0 =
, jetzt eine beliebige integrable Funktion sein darf, und führen die durch
( ) ( ) ( ( )
⎬
( ) ( ) ( ( ) ⎭ ⎫
t = a t sin ω0t
+ ψ t
t = a t ω cos ω t + ψ t
x&
0
0
definierte Koordinatentransformation von x, x&
nach a , ψ aus. Leitet man die erste Gleichung
(75) nach der Zeit ab und vergleicht das Ergebnis mit der zweiten, so folgt
( t)
( ω t + ψ(
t ) + a(
t)
ψ(
t)
cos(
ω t + ψ(
t ) = 0
a& &
(76)
sin 0
0
Wir wollen nun (74) in den neuen Variablen a ( t)
und ψ ( t)
schreiben. Dazu bilden wir x&& mit
Hilfe der zweiten Gleichung (75), setzen dieses sowie x aus der ersten Gleichung (75) in (74) ein
und erhalten
( ω t + ψ(
t ) − aψ&
sin(
ω t + ψ(
t ) = f ( x(
a,
ψ)
, x(
a ψ )
a& ω & ,
(77)
0 cos 0
0
multiplizieren wir abwechselnd (76) und (77) jeweils mit sin ( t + ψ(
t ) bzw. cos(
t + ψ(
t )
und addieren, so folgt schließ1ich
1
a&
=
ω
0
f
1
ψ&
= f
ω a
0
( a sin(
ω t + ψ(
t ) , aω
cos(
ω t + ψ(
t ) cos(
ω t + ψ(
t )
0
( asin(
ω t + ψ(
t ) , aω
cos(
ω t + ψ(
t ) sin(
ω t + ψ(
t )
0
0
0
0
0
Bisher wurde lediglich eine Koordinatentransformation durchgeführt, und die
Differentialgleichungen (78) sind noch exakt zu (74) äquivalent. Ist f ( x,
x&
) „klein“, so ist auch
a& und ψ& klein, das heißt, Amplitude a und Phase ψ verändern sich nur langsam. “Langsam“
bedeutet hierbei, daß während eines Zeitintervalls von der Dauer T 0 = 2π ω0
der Wert von ψ
im Argument ( ω0 t + ψ)
ebenso wie der Wert von a(t) praktisch konstant bleibt. Da es im
allgemeinen nicht möglich ist, (78) streng zu lösen, wollen wir die Differentialgleichungen
vereinfachen, indem wir die rechten Seiten durch ihren zeitlichen Mittelwert im Intervall
[ t , t + T0
] ersetzen. Bei der Bildung dieses Mittelwertes werden wir auf den rechten Seiten von
(78) a und ψ konstant halten. Statt (78) schreiben wir also
1
a&
=
ω 2
0
π
2π
∫
1
ψ&
=
aω
2π
0
0
f
2π
∫
0
( asin(
Θ + ψ)
, aω
cos(
Θ + ψ)
cos(
Θ + ψ )
f
0
( ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪
a sin Θ + ψ , aω
cos Θ + ψ sin Θ + ψ dΘ
0
Hiermit haben wir jetzt ein autonomes (d.h. zeitunabhängiges) Gleichungssystem erhalten, das in
erster Näherung die zeitliche Veränderung der Amplitude und der Phase beschreibt. Diese
Methode wird daher auch oft als Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude
0
0
dΘ
ω 0
⎫
⎪
⎪
⎬
⎭
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
ω 0
(75)
(78)
(79)

Nichtlineare Schwingungen Seite 19
bezeichnet. Sie entspricht gleichzeitig der ersten Näherung der asymptotischen Methode nach
BOGOLJUBOW und MITROPOLSKI. Wir wollen nun (79) auf den durch (56) und (54)
beschriebenen Fall der linearen Dämpfung anwenden; mit
f
3
2 x
, = ω0
− 2δ
x&
6
2
ω0
3 3
= a sin
6
2
ω0
3
= a
24
( x x&
)
folgt aus (79)
a&
= −δ
a
ψ&
= −ω
0
2
a
16
( ω t + ψ)
− 2δ
aω
cos(
ω t + ψ)
0
[ 3sin(
ω t + ψ)
− sin(
3ω
t + 3ψ)
] − 2δ
aω
cos(
ω t + ψ)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
0
0
0
Die erste Differentialgleichung können wir integrieren, das Ergebnis in die zweite einsetzen und
a 0 = C , ψ ( 0 ) = 0 schließ1ich
erhalten mit den Anfangsbedingungen ( ) 0
a
ψ
( t)
= C0e
−δ
t
2 ω0
−2δ t
( t)
= C ( e −1)
0
32δ
was nach der ersten Gleichung (75) zur Näherungslösung
0
−δ
t ⎡
2 ω0
−2δ
t ⎤
x ( t)
= C0
e sin⎢ω
0t
+ C0
( e −1)
⎥⎦
(82)
⎣ 32δ
2 ⎡ ⎛ C ⎞⎤
0
führt. Mit δ = 0 folgt aus (81) ganz analog x ( t)
= C ⎢ ⎜ ⎟
0 sin ω0t
⎜
1−
⎟⎥
in Übereinstimmung mit
⎢⎣
⎝ 16 ⎠⎥
⎦
der Näherungslösung für den ungedämpften Fall.
Im Falle der COULOMBschen Dämpfung (69) ist
f
3
x
0
6
2
ω0
3
= a
24
2 ( x,
x&
) = ω − ρsgn(
x&
)
und daraus folgt mit (79)
2ρ
a&
= −
πω
ψ&
= −ω
2
a
16
Die Integration liefert
0
0
[ 3sin(
ω t + ψ)
− sin(
3ω
t + 3ψ)
] − ρsgn
cos(
ω t + ψ)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
0
0
0
0
0
(80)
(81)
(83)
(84)

Nichtlineare Schwingungen Seite 20
a
ψ
( t)
= C − t
( t)
0
= −C
2
0
2ρ
πω
0
ω0
t + C
16
0
ρ
t
8π
und damit die Näherungslösung
2
ρ
− 2
12π
ω
0
t
3
2 ⎡
2
⎛ 2ρ
⎞ ⎛ C ⎞
⎤
0 ρ 2 ρ 3
x ( t)
= C ⎜ ⎟ ⎢ω
⎜ ⎟
0 ⎜
1− t
⎟
sin 0⎜
1−
⎟
t + C0
t − t 2 ⎥
(85)
⎝ πω0C
0 ⎠ ⎢⎣
⎝ 16 ⎠ 8π
12π
ω0
⎥⎦
für (56) mit COULOMBscher Dämpfung.
Abb.9: Phasenporträt der freien linear gedämpften Schwingungen des mathematischen Pendels,
C 1,
ω 1,
2 . 0 = δ
0 =
0 =
Wir werden diese sehr bequeme und anschauliche Methode noch auf eine Reihe von anderen
Problemen anwenden. Wie gute Ergebnisse man unter Umständen dabei erzielen kann, ist zum
Beispiel in den Phasendiagrammen der Abb.9 und Abb.10 zu erkennen, wo die – mit dem
Rechner bestimmten – exakten“ Phasenkurven mit den hier angenäherten verglichen werden.

Nichtlineare Schwingungen Seite 21
Abb.10: Phasenporträt der freien Schwingungen des mathematischen Pendels mit
COULOMBscher Dämpfung, C 1,
ω 1,
16 . 0 = ρ
2.3 Erzwungene Schwingungen
Wir betrachten jetzt die Differentialgleichung der gedämpften erzwungenen Schwingungen des
Pendels. Dabei nehmen wir an, daß die Erregung harmonisch ist mit der Kreisfrequenz Ω, so daß
die Differentialgleichung die Gestalt
mlx&& + mlh(
x&
) + mg sin( x)
= F sin( Ωt)
(86)
annimmt, wobei die Konstante F die Amplitude der erregenden Kraft beschreibt. Auf ähnliche
Differentialgleichungen führt zum Beispiel auch die Untersuchung von Schwingungen in
bestimmten elektrischen Stromkreisen sowie einer Reihe von anderen Problemen. Die
Differentialgleichung (86) kann nicht mehr exakt analytisch gelöst werden, und wir sind daher
bei quantitativen Untersuchungen im wesentlichen auf Näherungsverfahren angewiesen.
0 =
0 =

Nichtlineare Schwingungen Seite 22
2.3.1 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
Hier sollen die ungedämpften erzwungenen Schwingungen des Pendels mit harmonischer
3
x
Erregung untersucht werden, wobei wieder sin( x) ≈ x − gesetzt wird, so daß sich aus (86) die
6
Differentialgleichung
2 3
x&& + ω x + μx
= Psin(
Ωt)
(87)
0
2
mit 0 g / l = ω , ) 6 /( l g − = μ und ) /(ml F P = ergibt. Ihre Lösung läßt sich nicht geschlossen
angeben. Wir wollen uns zunächst darauf beschränken, periodische Lösungen mit der
Kreisfrequenz Ω zu besprechen. Die Existenz solcher periodischer Bewegungen kann streng
bewiesen werden.
Um auf einfachem Wege einen Überblick über die wichtigsten Erscheinungen zu geben, wenden
wir das von DUFFING benützte Verfahren an, obwohl dessen Konvergenz weitgehend ungeklärt
ist. Die damit erhaltenen Ergebnisse werden wir später zum Teil noch mit anderen Methoden
überprüfen. Wir schreiben (87) in der Form
2 3
x&& = −ω
x − μx
+ Psin(
Ωt)
(88)
0
und nehmen als erste Näherung x = C sin( Ωt),
C=const an.
1
Dies setzen wir in die rechte Seite von (88) ein, bezeichnen den so erhaltenen Ausdruck mit x&& 2
und können nun durch zweimalige Integration x 2 berechnen. Mit
1
sin ( ) ( 3sin(
) sin( 3 ) )
4
3
Ω t = Ωt
− Ωt
folgt
3
⎛ 2 3 3 ⎞ μC
x&& 2 = ⎜P
− ω0C
− μC
⎟sin(
Ωt)
+ sin( 3Ωt)
(89)
⎝ 4 ⎠ 4
zweimalige Integration ergibt bei Annahme einer periodischen Lösung (dadurch verschwinden
die Integrationskonstanten):
3
1 ⎡ 2 3 2 P⎤
1 μC
x2 = 0 C C sin( t)
sin( 3Ωt)
2 ⎢ω
+ μ − Ω −
2
⎣ 4 C ⎥
(90)
Ω
⎦ 36 Ω
Durch erneutes Einsetzen von x2 in die rechte Seite von (88) und durch weitere Integrationen
könnte man den Iterationsprozeß fortsetzen. Wir wollen dies nicht tun, sondern vielmehr das
Verfahren hier abbrechen, da der erste Iterationsschritt eine durchaus brauchbare Näherung
liefert. In (90) ist die Konstante C noch unbestimmt. DUFFING bestimmt sie, indem er die
Amplituden der Anteile mit der Frequenz Ω in x1(t) und x2(t) gleichsetzt:
1
C =
Ω
2
⎡
⎢
ω
⎣
2
0
+
3
μC
4
2
−
P⎤
C
C ⎥
⎦
woraus sich dann die Frequenz-Amplituden-Beziehung
Ω
ω
2
2
0
P 3 μ
= 1− + C
Cω
4 ω
2
0
2
0
2
(91)
(92)

Nichtlineare Schwingungen Seite 23
ergibt. Diese Beziehung gilt bekanntlich streng für die linearen Schwingungen (d.h. für μ=0). Für
μ≠0 werden wir (92) mit Hilfe anderer Verfahren noch überprüfen. Die zweite Näherung ist also
x
2
( t)
= C sin( Ωt)
−
= C sin( Ωt)
−
2 2
wobei C ( , ω , P)
0
1
36
1
36
ω
ω
2
0
2
0
μ
3
C sin( 3Ωt)
P 3 2
− + μC
C 4
μ 3
C sin( 3Ωt)
+ o(
μ)
P
−
C
Ω durch (92) gegeben ist. An die Stelle des Resonanzdiagramms im linearen
Fall (μ=0, Abb.11), tritt jetzt ein komplizierteres Diagramm. Die Resonanzkurve im
nichtlinearen Fall können wir uns leicht mit dem Hilfsdiagramm der Abb.12 zeichnen. Man
erhält damit die Resonanzkurve in Abb.13. Die Größe C – sie entspricht, wie man an (93)
erkennt, nicht genau der Schwingungsamplitude – ist in den Abb.11 bis Abb.13 auf die “statische
2
Auslenkung“ C = P ω des linearisierten Problems bezogen.
0
0
Abb.11: Resonanzkurven für den nichtlinearen Schwinger (μ=0)
(93)

Nichtlineare Schwingungen Seite 24
Abb.12: Hilfsdiagramm zur Bestimmung der Resonanzkurven
Im Gegensatz zum linearen Problem gibt es jetzt für gewisse Werte von Ω nicht nur eine
mögliche Amplitude für die erzwungene Schwingung, sondern sogar drei Werte für C! Ein
weiterer Unterschied besteht darin, daß hier C für alle Werte von Ω endlich bleibt, während im
linearen Problem bei Resonanz die Amplitude nicht mehr bestimmt ist. Untersucht man ein
ungedämpftes schwingendes System in der Nähe der Resonanz, so muß man daher auf jeden
Abb.13: Resonanzkurven für den nichtlinearen Schwinger
Fall die nichtlinearen Glieder berücksichtigen, um die Amplitude der erzwungenen Schwingung
zu bestimmen. Vergleicht man die Abb.11 und Abb.13, so erkennt man, daß Abb.13 durch ein

Nichtlineare Schwingungen Seite 25
Verbiegen der strichpunktierten Skelettlinie entsteht. Für das Pendel gilt wegen
Abb.13b.
2
ω0
μ = − die
6
Ein anderes Verfahren zur Berechnung der erzwungenen Schwingungen ist die Methode von
RAUSCHER (siehe z.B. STOKER). Hierbei geht man für die erste Näherung nicht von den
linearen erzwungenen, sondern von den freien nichtlinearen Schwingungen aus. Im Unterschied
zu anderen Verfahren werden jedoch P und C vorgegeben, und die zugehörige Erregerfrequenz
Ω wird iterativ bestimmt. Wir betrachten
( x)
= Psin(
t)
x&& + f Ω
(94)
wobei f(x)= –f(–x) eine ungerade Funktion ist. Diese Annahme ist zwar nicht wesentlich,
vereinfacht aber die folgenden Rechnungen. Es ist zweckmäßig, die dimensionslose Zeit τ = Ωt
einzuführen, womit (94) dann die Form
( x)
= sin( τ)
2
Ω f P
x +′
(95)
2
d
annimmt (es sei x =′ x ). Wir beginnen die Iteration mit der freien ungedämpften
2
dτ
Schwingung, und zwar mit der Lösung von
2
1
( ) = 0
Ω x +′ f x
(96)
2
wobei Ω 1 so gewählt wird, daß x(τ) 2π-periodisch ist. Mit den Anfangsbedingungen x(0)= C,
x’(0)= 0 und mit
x
∫
F(
x)
= f ( x)
dx
(97)
0
folgt für 0 ≤ τ ≤ π als erste Näherung
τ =
τ
und daraus
1
Ω
1
1
( x)
C
x
− dx
= Ω1∫
2 −
C
2 + dx
=
π ∫ 2 −
0
[ F(
C)
F(
x)
]
[ F(
C)
F(
x)
]
Die nunmehr bekannte Funktion ( x)
schreiben
2
2
( x)
− P ( τ ( ) = 0
sin 1
1
(98)
(99)
τ setzen wir auf der rechten Seite von (95) ein und
Ω x +′ f
x
(100)
mit der neuen noch zu bestimmenden Größe
2
Ω 2 . Diese Differentialgleichung ist wieder vom Typ
x Ω . Dieser
(96) und kann integriert werden. Daraus folgt die zweite Näherung ( )
Iterationsprozeß kann nach der Vorschrift
( x)
− P ( τ ( ) = 0
Ω +′
− x
2
n x f sin n 1
τ 2 und 2
(101)

Nichtlineare Schwingungen Seite 26
( τ) = x(
τ + 2π)
x , x ( 0 ) = C , x ′0 ( ) = C beliebig fortgesetzt werden. Man wiederholt dies solange,
2 2
bis die Differenz Ω n+
1 − Ωn
kleiner als eine bestimmte Schranke ist. Das Verfahren kann in
leicht abgewandelter Form natürlich auch für Probleme verwendet werden, bei denen f(x) keine
ungerade Funktion ist oder sogar Dämpfung auftritt. Die Konvergenz ist im allgemeinen recht
gut, sofern P nicht zu groß ist.
2.3.2 Der Einfluß der Dämpfung und das Sprungphänomen
Bei den ungedämpften erzwungenen Schwingungen von (87) beträgt der Phasenwinkel zwischen
der Erregung und der periodischen Bewegung x(t) immer 0 oder π. Fügen wir ein lineares
Dämpfungsglied 2 δ x& hinzu ( δ > 0 ), so sind wie beim linearen Schwinger auch
dazwischenliegende Phasenwinkel zu erwarten. Anstatt aber für die Erregung P sin( Ω t)
und für
die periodische Lösung: x1 = C sin(
Ωt
− )γ zu schreiben, wollen wir lieber
mit
2 3
x&& + δ x&
+ ω x + μx
= P sin( Ωt)
+ P cos( Ωt)
(102)
2 0
1
2
=
2
P2
und x1 = C sin(
Ωt)
schreiben. Für diesen Ansatz folgt aus (102) mit dem
sin 3Ωt
2 2
P P1
+
Verfahren der harmonischen Balance und unter Vernachlässigung des Gliedes in ( )
so daß sich
bzw.
und
2 2 3 3
( ω0
− Ω ) C + μC
= P1
, 2δ
CΩ
= P2
4
2
2 2 2 ⎡ 2 2 3 3⎤
2 2 2
P = P1
+ P2
= ( ω0
− Ω ) C + μC
+ 4δ
C Ω
(103)
ω
⎢
⎣
2
Ω 2
2
0
tan
4
⎥
⎦
2
2
δ 3 μ 2 1 P 2⎛
2 2 3 ⎞
= 1− 2 + C ± + 4δ
⎜δ
− ω0
− μC
2 2
2 2
⎟
(104)
ω 4 ω ω C ⎝ 4 ⎠
P
P
1
0
0
2 2 3 3
( ω − Ω ) C + μC
0
2δ
CΩ
0
2
γ = =
(105)
4
ergibt. Für verschiedene Werte von δ und für ein festes P zeigt Abb.14 die Resonanzkurven,
während in Abb.15 entsprechende Kurven für ein festes δ>0, jedoch für verschiedene Werte von
2
P, angegeben sind. Dabei ist C in Abb.14 wieder auf C 0 = P ω0
bezogen. Die strichpunktierten
Skelettlinien in Abb.15 sind durch die vor der Wurzel stehende Summe in (104) gegeben.

Nichtlineare Schwingungen Seite 27
2
Abb.14: Resonanzkurven zu (102) mit 1.
0 ω P
Wie verhält sich nun eine periodische Lösung, wenn man mit festem P die Erregerfrequenz Ω
langsam verändert? Dazu nehmen wir an, daß sich die Frequenz “quasi-statisch“ ändert, so daß
die Lösung eine Folge von stationären Schwingungen mit verschiedenen Werten von Ω ergibt.
Reduziert man die Erregerfrequenz Ω langsam ausgehend von ΩA (Abb.16a), so wandert der
entsprechende Punkt auf der Resonanzkurve von A nach B1. Wird Ω von ΩB an noch weiter
reduziert, so treten plötzlich starke instationäre Schwingungen auf, nach deren Abklingen sich
wieder eine stationäre Schwingung einstellt, die dem Punkt B2 entspricht. Von nun an wandert
bei abnehmendem Ω der Arbeitspunkt in der Resonanzkurve von B2 aus in Richtung D.
Umgekehrt springt bei von Null aus anwachsender Erregerfrequenz Ω der entsprechende Punkt
der Resonanzkurve von C2 nach C1, wenn ΩC überschritten wird. Der Teil der Resonanzkurve
zwischen B1 und C2 entspricht zwar einer stationären Lösung, die aber instabil ist und daher
wegen der immer vorhandenen kleinen Störungen nicht realisiert werden kann. Im Falle μ

Nichtlineare Schwingungen Seite 28
gewissen Systemen von Antrieb und Belastung bestimmte Betriebszustände nicht einstellen
lassen, da sie instabilen Lösungen entsprechen.
2
Abb.15: Resonanzkurven zu (102) mit 0.
1 ω δ
Die Grenzpunkte des instabilen Bereiches treten dort auf, wo die Resonanzkurve eine lotrechte
Tangente besitzt. Diese Punkte können wir leicht bestimmen, indem wir die Beziehung (103)
nach C differenzieren und dann dΩ/dC gleich Null setzen. Wir erhalten die Gleichung
⎛ 2 2 3 2 ⎞⎛
2 2 9 2 ⎞ 2 2
⎜ω
0 − Ω + μC
⎟⎜ω
0 − Ω + μC
⎟+
4δ
Ω = 0
(106)
⎝ 4 ⎠⎝
4 ⎠
deren Lösungen für δ=0 durch
Ω
ω
Ω
ω
2
2
0
2
2
0
3 μ
= 1+ C
4 ω
2
0
9 μ
= 1+ C
4 ω
2
0
2
2
0 =
(107)
(108)

Nichtlineare Schwingungen Seite 29
Abb.16: Das „Sprungphänomen“ bei den erzwungenen Schwingungen der DUFFINGschen
Differentialgleichung mit Dämpfung
Abb.17: Ortskurven für die vertikale Tangenten der Resonanzkurven aus Abb.15
gegeben sind. Für kleine Werte von δ liegen die Lösungen sicherlich in der Nähe der durch (107)
und (108) definierten Kurven. In Abb.17 sind die Lösungen von (106) im ungedämpften Fall mit
durchgezogener Linie eingezeichnet, während die Lösungen für ein festes 0 0 > ω δ gestrichelt
wiedergegeben sind. Diese gestrichelten Kurven sind auch schon in den Resonanzdiagrammen
der Abb.15 angegeben. Die Tatsache, daß die gestrichelten Kurven C(Ω) der Abb.17a) und b) ein
2
relatives Minimum aufweisen, zeigt, daß die Resonanzkurven für genügend kleines P ω0
keine
lotrechte Tangente und daher auch keinen instabilen Bereich besitzen. Zu den gleichen
Ergebnissen, wie wir sie hier mit dem DUFFINGschen Verfahren erhielten, gelangt man
natürlich auch auf anderen Wegen. Wir können
2 3
x&& + 2δ
x&
+ ω x + μx
= P sin( Ωt)
(109)
0

Nichtlineare Schwingungen Seite 30
zum Beispiel mit der Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude untersuchen.
Mit der Koordinatentransformation
folgt
x = asin(
Ωt
+ ψ)
x&
= aΩcos(
Ωt
+ ψ)
P a
a&
= csin(
Ωt)
+
Ω Ω
P s 1
ψ&
= − sin( Ωt)
−
Ω a Ω
wobei die Abkürzung
⎫
⎬
⎭
2 2 ( Ω − ω )
0
sc − 2δ
ac
−
μ
Ω
( ) ⎪ 2 2 2 μ 2 4
Ω − ω s + 2δ
sc + a s
0
2
a
Ω
3
s
3
c
⎫
⎪
⎬
⎭
(110)
(111)
s = sin( Ωt
+ ψ),
c = cos( Ωt
+ ψ)
(112)
benützt wurde. Die Mittelung der rechten Seiten ergibt die autonomen Gleichungen
P
a&
= − sin( ψ)
− δ a
2Ω
P 1
ψ&
= − cos( ψ)
−
2Ωa
2Ω
⎫
⎪
⎬
( ) ⎪ 2 2 3 μ 2
Ω − ω + a
0
8 Ω
⎭
(113)
Stationäre Lösungen erhalten wir für a& = 0 , also a=aS =C; aus der 1. Gleichung (113) folgt
damit ψ = ψ s , also ψ& = 0 . Zur Berechnung von C und ψ s ergibt sich so
P
0 = − sin( ψ s ) − δ C
2Ω
P
1
0 = − cos( ψ s ) −
2Ωa
2Ω
und schließlich
2 2 3 μ 2
( Ω − ω ) + C
0
8 Ω
2
⎡
⎤
2 2 2 2 ⎛ 2 2 3 2 ⎞
P = C ⎢4
δ Ω + ⎜ω
0 − Ω + μC
⎟ ⎥
(114)
⎢⎣
⎝ 4 ⎠ ⎥⎦
was mit (103) identisch ist.
Die Näherungsgleichungen (113) gestatten es aber nicht nur, die stationäre Lösung zu berechnen,
sondern ermöglichen auch die Untersuchung der instationären Bewegungen. Ein anschauliches
Bild der so näherungsweise bestimmten “Übergangsbewegungen“ erhält man, wenn man die
Lösungen von (113) in dem kartesischen Achsenkreuz mit acos(ψ ), asin(ψ ) als Koordinaten
aufträgt. Dies ergibt ein Phasendiagramm von (113) in den neuen Koordinaten (ein
Phasendiagramm für (109) ist nicht sinnvoll, da diese Differentialgleichung die Zeit explizit
enthält). Besonders einfach wird dies im ungedämpften Fall (mit δ=0), da dann (113) das erste
Integral
2 2 ( Ω − ω )
2
P a
0 3 μ 4
a cos( ψ)
+ − a = K
(115)
Ω
2Ω
16 Ω
besitzt. Zu (115) gelangt man, indem man mit (113)

Nichtlineare Schwingungen Seite 31
2
P Ω − ω
cos( ψ)
+
dψ
= −
2Ωa
2Ω
da
P
sin( ψ)
2Ω
bildet und diesen Ausdruck als
P ⎡ P a
sin( ψ)
dψ
− cos( )
2 ⎢
ψ +
Ω ⎣2Ω
2Ω
2
0
3 μ
− a
8 Ω
2
2 2 3 μ 3⎤
( Ω − ω ) − a da = 0
0
8 Ω
⎥
⎦
(116)
Abb.18: Phasendiagramm der erzwungenen Schwingungen der DUFFINGschen Gleichung in der
2
VAN DEN POLschen Ebene 0 ω μ
0

Nichtlineare Schwingungen Seite 32
schreibt. Es ist leicht zu erkennen, daß (116) ein exaktes Differential der Funktion auf der linken
Seite von (115) ist. Die Anfangswerte von a und ψ legen die Konstante K fest.
In den Abb.18a) und b) sind die entsprechenden Kurven für ein μ α .
0
Abb.19: Resonanzkurve des ungedämpften DUFFINGschen Schwingers
Wir wollen nun überlegen, wie man eine periodische Lösung von (109) mit dem Verfahren der
harmonischen Balance bestimmen kann. Hierzu schreiben wir näherungsweise
x
1
2
m
∑
n=
1
( t)
≈ B + ( A sin(
nΩt)
+ B cos(
nΩt
)
0
n
n
0
(117)
wobei die An, Bn noch zu bestimmende Größen sind, die für die gesuchte periodische Lösung
konstant sein sollen. Wir gehen mit diesem Ansatz in die linke Seite von
2 3
x&& + 2δ
x&
+ ω x + μx
− Psin(
Ωt)
= 0
(118)
ein und erhalten den Fehler
0

Nichtlineare Schwingungen Seite 33
e = −Ω
+
+
2
ω
2
Ωδ
2
0
2
B
m
∑
n=
1
m
∑
n=
1
0
+
n
n
⎡1
+ μ⎢
B0
+
⎣2
− Psin
2
( Ωt)
( A sin(
nΩt)
+ B cos(
nΩt
)
( A cos(
nΩt)
+ B sin(
nΩt
)
ω
m
2
0∑
n=
1
m
n
∑
n
n=
1
( A sin(
nΩt)
+ B cos(
nΩt
)
( A sin(
nΩt)
+ B cos(
nΩt
)
n
n
n
n
n
n
3
⎤
⎥
⎦
(119)
der natürlich nicht identisch verschwindet. Mit Hilfe der elementaren Formeln der Trigonometrie
können wir e aber in der Form
e = E
0
+
p
∑
i=
1
( D ( iΩt)
+ E cos(
iΩt
)
i
sin (120)
i
2
mit p>m schreiben, wobei die Di, i≥1 und Ei, i≥0 nur von den An, Bn und von δ , ω0
, μ und P
abhängen. Wir können nun die An und Bn so wählen, daß zwar e nicht verschwindet, jedoch die
Ei, i= 0, 1,..., m und Di, i= l, 2,..., m gleich Null werden. Dies durchzuführen ist allerdings
schwierig, da die Ei, Di in komplizierter nichtlinearer Weise von den An, Bn abhängen. Bei
Beschränkung auf die erste Näherung
1
x 0 1
1 Ω
2
( t)
= B + A sin(
Ωt)
+ B cos(
t)
ist das Problem aber noch ohne weiteres lösbar. Es folgt
e =
+
2 2
2 2
[ ( ω − Ω ) A − 2 Ωδ B − P]
sin(
Ωt)
+ [ ( ω − Ω ) B − 2 Ωδ A]
cos(
Ωt)
ω
0
2
0
2
B
0
⎡1
+ μ⎢
B0
+
⎣2
Asin
( ) ( ) 3
⎤
Ωt
+ B cos Ωt
woraus man leicht erkennt, daß für E0= 0 auch B0 = 0 ist. Mit
3
4
1
+ A
4
3
2 2
2 2
[ Asin(
Ωt)
+ B cos(
Ωt)
] = A(
A + B ) sin(
Ωt)
+ B(
A + B ) cos(
Ωt)
ergeben sich dann aus E1= 0, D1= 0 die Gleichungen
mit
⎛
⎜ω
⎝
⎛
⎜ω
⎝
2
0
2
0
−
−
Ω
Ω
C +
2
2
+
+
3 2 ⎞
μC
⎟A
− 2 Ωδ B = P
4 ⎠
3 2 ⎞
μC
⎟A
+ 2 Ωδ A = 0
4 ⎠
2 2
= A B . Daraus erhält man
0
⎥
⎦
3
4
2 2 1
2 2
( − A + 3B
) sin(
3Ωt)
+ B(
− 3A
+ B ) cos(
3Ωt)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
4
(121)
(122)
(123)

Nichtlineare Schwingungen Seite 34
⎛ 2 2 3 2 ⎞
P⎜ω
0 − Ω + μC
⎟
4
A =
⎝
⎠
2
2 2 ⎛ 2 2 3 2 ⎞
4δ
Ω + ⎜ω
0 − Ω + μC
⎟
⎝ 4 ⎠
und schließlich
⎡
2
2 2 2 ⎛ 2 2 3 2 ⎞ 2
C ⎢4
δ Ω + ⎜ω
0 − Ω + μC
⎟ ⎥ = P
⎢⎣
⎝
4
⎤
⎠ ⎥⎦
B =
2
4δ
Ω
2
⎛
+ ⎜ω
⎝
2δ
PΩ
2
0
−
Ω
2
+
3
μC
4
was mit dem früheren Ergebnis (114) übereinstimmt. Ebenso kann man die Phasenverschiebung
zwischen Erregung und Antwort natürlich leicht berechnen.
Auch das Verfahren von RAUSCHER und die Störungsrechnung können ohne weiteres zur
Bestimmung der erzwungenen gedämpften Schwingungen verwendet werden. Die Näherungen
höherer Ordnung verändern die Resonanzkurven aus der ersten Näherung nur wenig, sofern μ
nicht zu große Werte annimmt (siehe z.B. KAUDERER).
2.3.3 Subharmonische Schwingungen
Ein wesentlicher Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen erzwungenen Schwingungen
besteht darin, daß bei den letzteren nicht nur periodische Schwingungen mit der Kreisfrequenz Ω
der Erregung existieren, sondern daß auch noch periodische Schwingungen mit anderen
Kreisfrequenzen möglich sind. Außer den Schwingungen mit der Kreisfrequenz Ω werden am
häufigsten solche mit den Kreisfrequenzen Ω/2, Ω/3,..., Ω/n beobachtet; sie werden als
subharmonische Schwingungen bezeichnet. Die wichtigste subharmonische Schwingung der
DUFFINGschen Gleichung ist die mit der Kreisfrequenz Ω/3. Sie kann mit allen schon bisher
verwendeten Methoden näherungsweise berechnet werden. Wir wollen sie hier nur kurz mit
Hilfe des Verfahrens der harmonischen Balance besprechen (siehe STOKER), und zwar nur für
den ungedämpften Fall.
Wir suchen eine periodische Lösung von
2 3
x&& + ω x + μx
= P sin( Ωt)
(124)
0
mit der Kreisfrequenz Ω/3. Eine solche Lösung kann als
∑ ∞ ⎛ ⎛nΩt ⎞ ⎛nΩt ⎞⎞
x = ⎜A
n sin⎜
⎟+
Bn
cos⎜
⎟⎟
(125)
n=
1 ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠
⎛nΩt ⎞
geschrieben werden. Es ist leicht zu zeigen, daß nur Glieder in sin⎜
⎟ mit ungeradem n
⎝ 3 ⎠
verschieden von Null sind. Wir schreiben daher
⎛Ωt
⎞
⎛5Ωt ⎞
x = C1/
3 sin⎜ ⎟+
C1
sin(
Ωt)
+ C5
/ 3 sin⎜
⎟+
K
(126)
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
Gehen wir mit dem Ansatz
2
2
⎞
⎟
⎠

Nichtlineare Schwingungen Seite 35
⎛Ωt
⎞
x = C1
/ 3 sin⎜ ⎟+
C1
sin Ω
⎝ 3 ⎠
( t)
in (124) ein, so ergibt der Koeffizientenvergleich
2 ⎛ 2 Ω ⎞
⎜
⎜ω
0 − ⎟
⎟C1
⎝ 9 ⎠
+
4
μ
3
3 2
2
( C − C C + 2C
C )
⎫
= 0⎪
⎪
⎬
( ) ( ) ⎪ ⎪
2 2 1 3 2
2
ω − Ω C + μ − C + 6C
C + 3C
= P
0
1
/ 3
3
1/
3
1/
3
1/
3
1/
3
1
1
1/
3
Für C ≠ 0 erhält man aus der ersten Gleichung (128)
1/
3
27
4
( ) 2
2
C − C C + 2
1
1
⎭
(127)
(128)
2 2
Ω = 9ω0 + μ 1/
3 1/
3 1 C1
(129)
Durch Elimination von Ω 2 folgt
3
2
2
( − C − 21C
C + 27C
C 51 )
2 1
− 8ω 0C1
= P − μ 1/
3 1/
3 1 1/
3 1 − C1
(130)
4
Diese Gleichungen sollen für kleine Werte von μ iterativ gelöst werden. Für μ= 0 folgt in erster
Näherung für ein beliebig vorgegebenes C1/3
Ω
= 3ω
,
P
C = −
(131)
8ω
( 1)
0 1,
( 1)
2
und damit dann aus (129), (130) in zweiter Näherung
0
( )
( ) ⎪ ⎪
2
⎫
2 2 27 ⎛ 2 P P ⎞
Ω
⎜
⎟
2 = 9ω0
+ μ C1/
3 − C1/
3 + 2
4
⎪
4 ⎝ 8ω
0 32ω0
⎠
⎪
⎬
2
3
P 1 μ ⎛ 3
2 P P P ⎞
C = − +
⎜
⎜−
+ + +
⎟
1 2
C
2
2 1/
3 21C1
/ 3 27C
2 1/
3 51
2 4 3 6
8ω0
32 ω0
⎝
8ω
0 8 ω0
8 ω0
⎠ ⎭
(132)
Die erste dieser Gleichungen stellt je nach Vorzeichen von μ eine Ellipse oder eine Hyperbel in
der C1/3-Ω-Ebene dar.
Zu jedem angenommenen Wert von C1/3 erhalten wir daraus den entsprechenden Wert von Ω,
während uns die zweite Gleichung den zugehörigen Wert von C1 liefert. Aus den oberen
Diagrammen in Abb.20 und aus der ersten

Nichtlineare Schwingungen Seite 36
Abb.20: Resonanzkurve für C1, C1/3 und C
Gleichung (132) erkennt man, daß subharmonische Resonanz, d.h. C ≠ 0 , nicht für alle
Frequenzen Ω möglich ist, sondern nur für Werte von Ω, die oberhalb (unterhalb) eines
bestimmten kritischen Wertes liegen, wenn μ>0 (μ

Nichtlineare Schwingungen Seite 37
2
2
P ⎛ 51 P ⎞
“harmonischen“ Schwingung an der Stelle C ⎜ ⎟
1 = C =
⎜
μ −1
4
2 6
8 ω
⎟
(Punkt B). Abb.20
2
0 ⎝32
8 ω 0 ⎠
zeigt die Resonanzkurven für C1 und C1/3 für subharmonische Resonanz sowie auch die
Resonanzkurven der „gewöhnlichen“ erzwungenen Schwingungen C(Ω/ω0)
2.3.4 Kombinationsfrequenzen
Bisher haben wir ausschließlich erzwungene Schwingungen untersucht, die durch eine einzige
harmonische Kraft erregt werden. Bei linearen Systemen konnte man den Fall gleichzeitiger
Erregung durch zwei oder mehr harmonische Erregerglieder verschiedener Frequenzen durch
Superposition lösen. Im nichtlinearen Fall ist dies nicht mehr möglich, und es können sich
vollkommen neue Arten von Schwingungen ergeben. Betrachten wir die DUFFINGsche
Gleichung im ungedämpften Fall bei gleichzeitiger Erregung durch zwei Terme verschiedener
Frequenzen:
2 3
x&& + ω x + μx
= P Ω t)
+ P cos( Ω t)
(133)
0
1 cos( 1 2 2
Diese Gleichung kann wieder mit verschiedenen, schon benützten Näherungsverfahren behandelt
werden. Wir wollen hier nur kurz einige Ergebnisse besprechen. DUFFING erhielt mit seinem
Verfahren (siehe „Ungedämpfte erzwungene Schwingungen“) und dem Ansatz
x = A Ω t)
+ B cos( Ω t)
(134)
1
cos( 1
2
in der nächsten Näherung
x
2
3
3
μA
μA
= Acos(
Ω1t)
+ B cos( Ω2t
) − cos( 3Ω1t)
− cos( 3Ω
2t)
36
36
3 ⎡ 2 1
1
− μA
B⎢
cos(
( Ω2
+ 2Ω1)
t)
+
cos
2
2
4 ⎣(
Ω2
+ 2Ω1)
( Ω2
− 2Ω1)
−
3
μAB
4
2
⎡
⎢
⎣
2 ( Ω + 2Ω
)
2
1
1
cos
wo A und B die algebraischen Gleichungen
2 2 3 2 2
( ω − Ω ) A + μA(
A + 2B
)
0
( ) ( ) ⎪ 2 2 3 2 2
ω − Ω B + μB
B + 2A
= P
0
1
2
4
4
( ( Ω2
+ 2Ω1)
t)
+
2 ( Ω − 2Ω
)
= P
1
2
⎫
⎪
⎬
⎭
2
1
1
cos
⎤
⎥
⎦
( ( Ω − 2Ω
) t)
2
⎤
( ( Ω2
− 2Ω1)
t)⎥
⎦
1
(135)
(136)
erfüllen. Wesentlich hierbei ist, daß jetzt in den erzwungenen Schwingungen Terme mit den
Kreisfrequenzen Ω 2 ± 2Ω1
und Ω 1 ± 2Ω2
auftreten, die als Kombinationsfrequenzen bezeichnet
werden. In ganz entsprechender Art hat HELMHOLTZ mit der nichtlinearen Charakteristik des
menschlichen Ohres die Tatsache erklärt, daß man gelegentlich bei zwei Tönen mit den
Kreisfrequenzen ω1 und ω2 auch Töne der Frequenzen ω1 ± ω2 hört, besonders wenn es sich um
sehr laute Töne handelt. Wir wollen hier von einer tiefergehenden Diskussion dieser Ergebnisse
absehen, obwohl sie zum Beispiel im Zusammenhang mit der Himmelsmechanik sehr wichtig
sind, und verweisen statt dessen auf STOKER und andere Autoren.

Nichtlineare Schwingungen Seite 38
2.4 Übungsaufgaben
1. Übung:
Das unten dargestellte System besteht aus zwei nichtlinearen Federn und aus zwei
Massenpunkten mit den Massen m1, m2. Bezeichnet man die von der entspannten Lage aus
gezählten Verlängerungen der Federn 1 und 2 mit q1, q2, so werden die Rückstellkräfte durch
( ) ( ) 2
q1
= c1q1
+
2
1 1
( ) ( ) 2
q = c q +
2
f1 1 α q
f α
2 2 2 2 1 2q
2
gegeben, wobei c1, c2, α 1 , α 2 konstant sind (es sei α 1 / α 2 =8, c1/c2=2, m1/m2=1/4,
α g = 2c / m , g= Fallbeschleunigung).
1
1
1
Man stelle die Bewegungsgleichungen auf und bestimme durch Linearisierung um die
Gleichgewichtslage eine Näherungslösung für Schwingungen mit kleinen Ausschlägen.
Lösung:
Die Bewegungsgleichungen sind
m q&&
1
2
1
m q&&
=
3
= −
wobei q 3 q1
+ q2
f
1
( q1)
+ f 2(
q2
) + m1g
− f ( q ) + m g
2
2
2
= die Auslenkung von m 2 darstellt. Man erhält so das nichtlineare
Differentialgleichungssystem
m q&&
m
1
2
1
= −c
q
2 2
2 2
( 1+
α q ) + c q ( 1+
α q )
2 2
( q&&
+ q&&
) =
− c q ( 1+
α q ) + m g
1
das durch Transformation
x α
2
1 = 1q1
, x2 α 2q
2
1
1
1
c1
= , τ
= t
m
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
+ m g
1
2

Nichtlineare Schwingungen Seite 39
in
x
x
1
1
+′ x
1
+′ 8x
2
2
( 1+
x1
) − 4x2
( 1+
x2
)
2
+′ x ( 1+
x ) = 2
2
2
2
= 2
übergeht, wobei die Striche Ableitungen nach τ bedeutet. Für die Gleichgewichtslage x st folgt
x
x
1st
2st
2
2
( 1+
x1st
) − 4x
2st
( 1+
x2st
)
2 ( 1+
x ) = 2
2st
1 = st
= 2
und damit x 2,
1 = x als einzige reelle Lösung.
Wir schreiben
x st +
2 st
1 x1
x1
= , x2 x2
st x2
+ =
und vernachlässigen in den Bewegungsgleichungen alle in x 1,
x 2 nichtlinearen Glieder, woraus
x
x
1
1
+′ 13x
+′ 8x
2
1
−16x
+′ 4x
2
2
= 0
= 0
folgt. Der Lösungsansatz = A cos ( ωτ + α ) , i = 1,
2,
2 ( 13−
ω )
−
ω
2
A
A
1
1
+
x i
i
i führt auf
−16A
= 0
2 ( 4 − 8ω
) A = 0
2
2
Damit dieses homogene lineare algebraische Gleichungssystem in A 1 , A 2 eine nichttriviale
Lösung besitzt, muß die Koeffizientendeterminante verschwinden. Diese Bedingung liefert die
charakteristische Gleichung
2ω
4
− 31ω
2
+ 13 = 0
2
mit den Wurzeln ω 0.
43 und 07 . 15
2
ω
1 =
2 =
Für die Amplitudenverhältnisse ρ 1 und ρ 2 erhält man
ρ
ρ
1
2
⎛ A1
⎞
= ⎜
⎟ =
⎝ A2
⎠
1
2
16
13−
ω
2
1
⎛ A1
⎞ 16
= ⎜
⎟ =
⎝ A2
⎠ 13 − ω
2
2
= 1.
27
= −
7.
73
und damit die Lösung für kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage:
x
x
1
2
= ρ B
=
1
1
B
1
cos
cos
( ω1τ
+ β1
) + ρ2
B2
cos(
ω 2τ
+ β2
)
( ω τ + β ) + B cos(
ω τ + β )
1
1
2
2
wobei die vier Integrationskonstanten B 1 , B2
, β1,
β2
aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen
sind.
2

Nichtlineare Schwingungen Seite 40
2. Übung:
An den Lagern A und B, die den Abstand 21 voneinander aufweisen, sind zwei gleiche masselose
lineare Federn mit der Federsteifigkeit c angebracht. Sie haben im entspannten Zustand die
Länge s 0 = l(
1+
α)
und sind miteinander durch ein Gelenk verbunden, das die Masse m trägt und
reibungsfrei an die Gerade EF gefesselt ist. Das Gewicht wird vernachlässigt (Bewegung auf
horizontaler, glatter Ebene).
a) Man stelle die Differentialgleichung der Bewegung auf und normiere sie in geeigneter Weise
( x = q / l ).
b) Für die Parameterwerte α = 0 . 5;
0;
+ 0.
5 ist die Rückstellkraft (in Richtung EF) als Funktion
von x zu zeichnen. Für welchen Parameterwert α ist eine Linearisierung um die
Gleichgewichtslage q= 0 nicht sinnvoll?
c) Für α = −0
. 5;
0;
+ 0.
5 zeichne man das Phasenporträt.
Lösung:
a) Die Bewegungsgleichung lautet
⎡
1+
α
⎤
mq&& + 2c⎢1
− ⎥q
= 0
2 ⎢ 1 ( ) ⎥
⎣ + q l ⎦
2c
sie geht mit x = q l , τ = t in
m
x
⎛ 1+
α ⎞
+′ ⎜1
⎟
⎜
− = 0
2 ⎟
x
⎝ 1+
x ⎠
über (Striche bedeuten Ableitungen nach τ )
⎛
b) Die normierte „Rückstellkraft“ f ( x)
= ⎜
1 −
⎝
der folgenden Abbildung dargestellt.
1+
α
2
1+
x
⎞
⎟
x ist für verschiedene Werte von α in
⎠

Nichtlineare Schwingungen Seite 41
Rückstellkraft
Eine Entwicklung der Rückstellkraft in eine Potenzreihe liefert die Bewegungsgleichung in der
Form
x
1 1⋅
3
1⋅
3⋅
5
−′ αx
+
K
2 2⋅
4 2⋅
4⋅
6
3
5
7
( 1+
α)
x − ( 1+
α)
x + ( 1+
α)
x − = 0
Man erkennt sofort, daß eine Linearisierung für α = 0 sicherlich nicht sinnvoll ist, da dann die
linearisierte Gleichung die Form x =′ 0 annimmt und man nicht einmal mehr etwas über die
Stabilität oder Instabilität der Gleichgewichtslage x = 0 aussagen kann.
c) Die Gleichgewichtslagen bestimmt man mit x =′ 0 aus der vollständigen nichtlinearen
Bewegungsgleichung. Es ergibt sich x 1 = 0 und x 2,
3 = ± α(
2 + α)
. Nichttriviale reelle
Gleichgewichtslagen kann es daher nur für α < −2
und für α > 0 geben. Anderseits wird aber
die natürliche Länge der Federn s 0 = l(
1+
α)
negativ für α < −1,
so daß sinnvolle nichttriviale
reelle Lösungen tatsächlich nur für α > 0 existieren.
Aus der nichtlinearen Bewegungsgleichung folgt durch zeitfreie Integration
mit
x =′ ± 2 −
( E F(
x )
x
F −
2
2
( x)
= − ( 1+
α)
1 x
Damit kann man leicht die Phasendiagramme zeichnen. Wegen der Symmetrie wurden die
Diagramme nur im ersten Quadranten wiedergegeben.

Nichtlineare Schwingungen Seite 42
3. Übung:
Phasenkurven
Der Schwinger in der unterstehenden Abbildung besteht aus einer Masse m, einer linearen
masselosen Feder (Federkonstante c) und einem Faden (der keine Druckkräfte aufnehmen kann).
Man zeichne das Phasenporträt und bestimme die Schwingungsdauer für beliebige
Auslenkungen.
Lösung:
Die Bewegungsgleichung lautet
( z)
mg
m z&&
= − f +
wobei z von der statischen Ruhelage aus gezählt wird. Für die Rückstellkraft f ( z)
gilt
f
f
( z)
= 0 für z ≤ −e
( z)
= mg + cz für z ≥ −e
mit der statischen Federverlängerung e = gm c = g
2
ω und ω = c m
2
seien vorgegeben z& ( 0 ) = 0 und ( 0) 0 0
. Als Anfangsbedingung
> z = z .

Nichtlineare Schwingungen Seite 43
Rückstellkraft f ( z)
Zwei Bewegungsabschnitte müssen unterschieden werden:
a) Für z0 ≤ e erhält man
2
z&& + ω z =
mit den durch
2
0
⎛ z& ⎞ ⎛ z ⎞ ⎛ z0
⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ω
e⎠
⎝e
⎠ ⎝ e ⎠
gegebenen Phasenkurven, die in der
2
2
z& −
ωe
z
e
–Ebene Kreisen entsprechen.
b) Bei z ≥ e f z für einen Teil der Bewegung zu Null, und der Körper bewegt sich dann
unter dem Einfluß der Schwerkraft.
0 wird ( )
b1) Für z ≥ −e
gilt
und
2
z&& + ω z =
2
0
⎛ z& ⎞ ⎛ z ⎞ ⎛ z0
⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ω
e⎠
⎝e
⎠ ⎝ e ⎠
2
das heißt, die Lösungskurven sind wieder Kreise.
b2) Für z ≤ −e
gilt
m z&&
=
mg
mit den Parabeln
2
2
z&
z&
1
− gz = − gz
2 2
als Phasenkurven.
1
2
Die Integrationskonstanten bestimmt man aus der Anschlußbedingung zwischen Kreis und
Parabel. Bei z = z1
= −e
gilt

Nichtlineare Schwingungen Seite 44
2
⎡ ⎤
2 2 2 2 ⎛ z0
⎞
z& = z&
1 = ω e ⎢⎜
⎟ −1⎥
⎢⎣
⎝ e ⎠ ⎥⎦
und daraus folgt für die Parabelbogen
2
⎛ z& ⎞ z ⎛ z0
⎞
⎜ ⎟ − 2 = ⎜ ⎟ −
⎝ωe
⎠ e ⎝ e ⎠
2
Das entsprechende Phasendiagramm ist unten dargestellt.
1
Phasenkurven
Die Schwingungsdauer T kann leicht bestimmt werden. Für Kleine Amplituden ( z < e)
einfach T = 2 π m c . Für große Amplituden gilt für die Bewegung auf den Kreisbogen
und damit
bzw.
z& = ω z −
ω
t
1
∫
0
ωt
dt =
1
2
0
z
0
∫
e
z
z
2
2
0
dz
⎛
= arccos ⎜
⎜−
⎝
−
z
e
z
Für die Bewegung auf dem Parabelbogen ist
und
0
2
⎞
⎟
⎠
2 2
z& = ± ω z + e + 2ez
0
0 gilt

Nichtlineare Schwingungen Seite 45
2
−e 2
∫
z
m
z
2
0
Mit ( z ) = 0
+
dz
= ω∫
dt
2
e + 2ez
t
z& m folgt ( ) 2 2
2ezm − z0
+ e
Schwingungsdauer ergibt sich in diesem Fall:
t
1
⎡
2
m
⎤
⎢
⎛ z0
⎞
T = t + = 2 arccos(
− ) + ⎜ ⎟ −1⎥
1 t2
e z0
c ⎢
⎥
⎣
⎝ e ⎠
⎦
= und damit ω( − t ) = ( z e)
−1
2
1
0
2
t . Für die
T
mit der Näherungslösung
2π
c 1
≈ +
m 2
z0
z0 für große Werte von . Die Schwingungsdauer ist
πe
e
in dem Diagramm als Funktion des Maximalausschlages gegeben.
Man beachte, daß hier wegen der fehlenden Symmetrie der Maximalausschlag nicht mit der
Amplitude identisch ist; diese wird durch A = ( z − z ) / 2 definiert.
4. Übung:
Die nichtlineare Differentialgleichung
x&& + x + x
2 =
0
max
Schwingungsdauer als Funktion des Maximalausschlages
kann mit Hilfe elliptischer Funktionen streng gelöst werden.
a. Für kleine Schwingungsamplituden forme man sie so um, daß die Störungsrechnung nach
LINDSTEDT angewandt werden kann.
b. Man berechne die drei ersten Näherungen.
c. Wie ändert sich die Kreisfrequenz ω in Abhängigkeit von der Amplitude?
min

Nichtlineare Schwingungen Seite 46
Lösung:
a) Die Differentialgleichung wird mit τ = ωt
, x = μy
in
2
2
ω y y + μy
+′
= 0
umgeformt, wobei ω 2 π die zu bestimmende Frequenz der freien Schwingungen und μ ein
kleiner Parameter ist, der gleich dem Maximalausschlag C gewählt wird.
b) Der Ansatz
ω = 1+
y = y
0
μω
1
+
+ μy
1
+
μ
2
μ
ω
2
2
y
2
+
+
K
K
Liefert nach Einsetzen in die Differentialgleichung und Vergleich der Glieder gleicher Ordnung
in μ das System
y
y
y
0
1
2
+′
+′
KK
y
y
1
0
2
= 0
+′ y = −2ω
y −′
1
1
0
= −2ω
y
1
−′
y
2
0
2 ( ω + 2ω
)
1
2
y −′ 2y
y
das rekursiv gelöst wird. Mit den Anfangsbedingungen ( 0 ) = 1
y ( τ) = cos(
τ)
.
0
Die Differentialgleichung für ( τ)
y
1
1
0
y nimmt damit die Form
1 1
+′ y1
= 2ω1 cos
1
2
2 2
2 ( τ)
− cos ( τ)
= 2ω
cos(
τ)
− − cos(
τ)
an. Um Resonanz zu vermeiden, setzen wir ω 1 = 0 und erhalten
y
1
1
2
1
6
( τ) = C ( τ + γ ) − + cos(
2τ)
1 cos 1
was mit den Anfangsbedingungen ( 0)
= 0
y1
1
2
1
3
1
6
( τ) = − + cos(
τ)
+ cos(
2τ)
ergibt. Für y 2 folgt damit die Gleichung
y
2
+′
y
2
= 2ω
= −
2
cos
1 ⎛
+ ⎜2ω
2
3 ⎝
y , y′
( 0)
= 0
1
2
( τ)
+ cos(
τ)
− cos ( τ)
− cos(
2τ)
cos(
τ)
+
5⎞
⎟cos
6⎠
2
3
1
3
1
1
1
3
1
6
( τ)
− cos(
2τ)
− cos(
3τ)
y , y ′ ( 0 ) = 0 erhält man zunächst
wo wir zur Vermeidung von Resonanz 2ω 2 + 5 6 = 0 und somit ω 2 = − 5 12 setzen. Mit
Anfangsbedingungen y ( 0)
= 0 und y ′ ( 0)
= 0 ergibt sich
y2
1
3
29
144
2
( τ) = − + cos(
τ)
+ cos(
2τ)
+ cos(
3τ)
1
9
2
1
48

Nichtlineare Schwingungen Seite 47
Mit μ = C gilt daher
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4
3
2⎛
1 C ⎞ ⎛ C 29 2 ⎞
2⎛
1 C ⎞ C
τ = −C
⎜ + ⎟+
C⎜1
+ + C ⎟cos
τ + C ⎜ + ⎟cos
2τ
+ cos 3τ
0 C
x +
⎝2
3 ⎠ ⎝ 3 144 ⎠ ⎝6
9 ⎠ 48
Wie zu erwarten war, sind die Schwingungen nicht symmmetrisch zu x = 0.
Die Kreisfrequenz
2
ist ω = 1−
5C
/ 12 , das heißt, sie nimmt bei wachsendem Maximalausschlag ab.
c) Es ist zu beachten, daß C hier wegen der fehlenden Symmetrie nicht mit der Amplitude
identisch ist, die ja durch A = ( xmax
man
− xmin
) / 2 definiert wird. Aus dem Ausdruck für x ( τ)
erhält
⎛
A = C ⎜
⎜1
+
⎝
⎛
= C⎜1
+
⎝
C
+
3
C
+
3
29
144
2
C
9
C
2
2
⎞
⎟
⎠
+
2
C ⎞
⎟
48 ⎠
Daraus kann man mit dem Ansatz
C = A + a
2
A
2
+
a
3
A
durch Koeffizientenvergleich
1
3
2
C = A − A +
0
3
+
( ) 3
A
bestimmen und erhält damit
5 ⎛ 2 2
ω = 1− ⎜A
− A
12 ⎝ 3
⎞
⎟
⎠
3
K
Exakte und angenäherte Phasenkurven
Die exakten Phasenkurven ergeben sich durch zeitfreie Integration aus der ursprünglichen
Differentialgleichung. Sie sind durch

Nichtlineare Schwingungen Seite 48
x& = ±
E
0
2 ⎛ x
− 2 ⎜ +
⎝ 2
3
x ⎞
⎟
3 ⎠
gegeben. In der oben stehenden Abbildung werden sie mit den Näherungslösungen verglichen.
5. Übung:
Man ermittle für x&& + g(
x)
= 0 mit den unter a) und b) skizzierten Rückstellkräften eine
Näherungslösung mit Hilfe der Methode der langsam veränderlichen Amplitude und Phase und
vergleiche die so ermittelte Schwingungsdauer mit der exakten Lösung. Man zeichne die
Phasendiagramme.
Lösung:
2
a) Die Rückstellkraft ist mit ω = tan(
α)
2 ( x)
= ω x P x
g sgn
0 +
0 durch
gegeben, so daß die Differentialgleichung
2
x&& + ω x = −P
sgn x
0
zu lösen ist. Die Gleichungen für die langsam veränderliche Amplitude und Phase erhält man
gemäß Kapitel „Die Methode der langsam veränderliche Phase und Amplitude“:
2π
1
a& =
πω ∫
cos
2
0
0
1
ψ& =
2πω
∫
0
{ − Psgn[
asin(
θ+
ψ)
] } ( θ+
ψ)
dθ
2π
0
{ − Psgn[ asin(
θ+
ψ)
] } sin(
θ+
ψ)
dθ

Nichtlineare Schwingungen Seite 49
wobei auf der rechten Seite ψ und a bei der Integration als Konstanten behandelt werden.
Daraus ergibt sich
a& =
0
4P
ψ&
=
2πaω
mit der Lösung
a = A
2P
ψ = t + ψ
πω A
0
0
0
Wählt man die Anfangsbedingung so, daß ψ = π 2 ist, so erhält man die Näherungslösung
⎛⎛
⎞
⎜
2P
⎞
x = Acos
⎟
⎜ ⎜
⎜ω
+
⎟
0 t
⎟
⎝⎝
πω0
A⎠
⎠
Für die angenäherte Schwingungsdauer T gilt
2π
T =
⎛ 2P
⎞
ω
⎜ +
⎟
0 1 2
⎝ πω0
A⎠
0
Die exakte Lösung kann ohne weiteres bestimmt werden. Mit den Anfangsbedingungen
x 0 = A > , x& ( 0 ) = 0 gilt zunächst
( ) 0
P ⎛ P ⎞
x = − + A Acos
ω
2 ⎜ + 2 ⎟
0
ω0
⎝ ω0
⎠
( t)
1 2
solange x positiv ist. Für t = t1
= arccos(
1 ( 1+
Aω0
/ P ) wird x zu Null, und es schließt sich
ω
0
2
die Lösung von x && + ω x = + P mit den Anfangsbedingungen x ( t ) 0 ,
⎛ P ⎞
x& ( t1)
= ω0
⎜
⎜A
+ sin( ω0t
)
2 ⎟ an.
⎝ ω0
⎠
Die Phasenkurven werden durch
2
⎛ x& ⎞
⎜
⎟
⎝ω
0 ⎠
+
x
2
P
2 PA
+ 2 x = A + 2
ω ω
2
0
0
2
0
gegeben. Exakte und angenäherte Phasenkurven werden in der folgenden Abbildung miteinander
verglichen.
1 =

Nichtlineare Schwingungen Seite 50
Die exakte Schwingungsdauer ist
( 1 ( 1+
Aω
P )
4 2
T = arccos
0 /
ω
0
Exakte und angenäherte Phasenkurven
Ein Vergleich mit dem Näherungsausdruck zeigt, daß T für A → ∞ den exakten Wert liefert.
Der relative Fehler des Näherungsausdrucks ist in der nachfolgenden Abbildung angegeben.
Relativer Fehler des Näherungsausdruckes für die Schwingungsdauer

Nichtlineare Schwingungen Seite 51
b) Die Rückstellkraft ist jetzt
g
g
g
2 ( x)
= ω0
( x − x0
)
( x)
= 0
für x > x0
für − x0
< x
2 ( x)
= ω0
( x + x0
) für x < −x0
2
wobei ω = tan(
α)
mit
< x
0 ist, so daß die Differentialgleichung
2
x && + ω x =
f
f
f
0
f
( x)
2 ( x)
= ω0
x0
für x > x0
2 ( x)
= ω0
x für − x0
<
2 ( x)
= −ω0
x0
für x < −x0
x < x
0
zu lösen ist. Es folgt a& = 0 , da f ( x)
eine ungerade Funktion ist. Mit a = A folgt außerdem
mit
2π
1
ψ& = −
πω ∫ f
2 A
f
f
f
f
f
0
0
( Asin(
θ+
ψ ) sin(
θ+
ψ)
dθ
2 ( ϕ)
= ω0
Asin(
ϕ)
für 0 < ϕ < ϕ1
2 ( ϕ)
= ω0
x0
für ϕ1
≤ϕ
≤ϕ
2
2 ( ϕ)
= ω0
Asin(
ϕ)
für ϕ2
≤ϕ
≤ϕ
3
2 ( ϕ)
= −ω
0 x0
für ϕ3
≤ϕ
≤ϕ
4
2 ( ϕ)
= ω Asin(
ϕ)
für ϕ ≤ϕ
≤ 2π
wobei ϕ = θ+
ψ und
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1
2
3
4
= π +
0
⎛ x0
⎞
= arctan⎜
⎟
⎝ A ⎠
= π − ϕ
ϕ
1
1
= 2π
− ϕ
1
ist. Die abschnittsweise Integration liefert schließlich
ω0
⎡
x
& = − ⎢2
ϕ1
− sin
2π ⎣
A
0 ( 2ϕ1)
+ 4 cos(
ϕ ) ⎥⎦
ψ 1
so daß die angenäherte Schwingungsdauer T durch
2π
T = =
ω + ψ&
⎡
ω0
⎢2
π − 2ϕ
⎣
gegeben ist.
4
4π
⎤
0
⎤
0 ( 2ϕ1)
− 4 ( ϕ1)
⎥⎦
0
1 + sin cos
2
x
A

Nichtlineare Schwingungen Seite 52
Die exakte Lösung für die Anfangsbedingungen ( 0 ) = A > 0
x , x& ( 0 ) = 0 kann natürlich auch hier
ohne weiters angegeben werden (es treten nur Schwingungen für 0 x A > auf). Für 0 x x > gilt
x&& + ω x = ω
2
0
mit der Lösung
2
0
x
( 0 ) cos( 0 ) x0
t x A ω −
x +
=
und der Phasenkurve
0
( ) ( ) 2
2
x − x + ⎜ ⎟ = A − x
0
2
⎛ x&
⎞
⎜ ⎟
⎝ω
0 ⎠
Diese Gleichungen gelten in dem Zeitintervall [ , ]
0
0 t 1 , mit t 1 = π ( 2ω0
) . Für − x 0 < x < x0
ist
x&& = 0 , so daß sich unter Berücksichtigung der Übergangsbedingungen
π
x = x0
+
0 0 0
2
( A − x ) − ω ( A − x )t
ergibt, Dies gilt für [ t ]
π⎛
A ⎞
2 + ⎜ −1
⎟
2
t ∈ 1,t 2 mit
⎝ x0
t
⎠
2 =
.
⎛ A ⎞
ω
⎜ −1
⎟
0
⎝ x0
⎠
Exakte und angenäherte Phasenkurven
Wegen der Symmetrie ist die Schwingungsdauer

Nichtlineare Schwingungen Seite 53
T = 2
( t + t )
1
2
⎛ A ⎞
4 + 2π
⎜ −1
⎟
⎝ x0
=
⎠
⎛ A ⎞
ω
⎜ −1
⎟
0
⎝ x0
⎠
Der relative Fehler des Näherungsausdruckes für T ist in der nachfolgenden Abbildung in
Abhängigkeit von 0 x A dargestellt.
6. Übung:
Relativer Fehler des Näherungsausdruckes für die Schwingungsdauer
Ein nichtlineares System wird durch die Differentialgleichung
x && + ρsgn
x&
+ g sgn x = 0 ρ < g
beschrieben.
a) Man bestimme den exakten Amplitudenverlust je “Vollschwingung“ und die
“Schwingungsdauer“ (die Dauer zwischen zwei Maximalausschlägen).
b) Mit Hilfe des Verfahrens der langsam veränderlichen Amplitude und Phase gebe man eine
Näherungslösung an.
Lösung:
a) Da x&& + ρsgn
x&
+ g sgn x = 0 stückweise linear ist, können wir die Lösung explizit angeben. Sie
ist in jedem Quadranten der Phasenebene durch einen anderen analytischen Ausdruck gegeben.

Nichtlineare Schwingungen Seite 54
Mit den Anfangsbedingungen x ( ) = A
x&&
= −g
+ ρ
x&
=
1
x =
2
( − g + ρ)
t
2 ( − g + ρ)
t + A
Für t = Δt1
wird an der Stelle 1
2A
Δt = , x&
1
1 = − 2A
g
g − ρ
Phasendiagramm
0 , ( 0 ) = 0
x& die x& –Achse mit
( − ρ)
erreicht. Mit den Anfangsbedingungen ( 0 ) = 0
x& gilt im vierten Quadranten
x , x& ( 0) = x&
1 schließt sich eine Bewegung im
dritten Quadranten an (bei neuer Zeitzählung). Aus der Bewegungsgleichung
folgt
x&& = g +
x&
=
1
x =
2
ρ
( g + ρ)
t − 2A(
g − ρ)
2 ( g + ρ)
t − 2A(
g − ρ)t
und die x –Achse wird an der Stelle
x 2
= −
zum Zeitpunkt
g − ρ
A
g + ρ

Nichtlineare Schwingungen Seite 55
t = Δt
2
=
2A
( g − ρ)
g +
ρ
erreicht. Auf entsprechende Art und Weise erhält man
und
Δt
Δt
3
4
=
=
2A
,
g + ρ
g − ρ
g + ρ
x
3
=
2A
,
g + ρ
( g − ρ)
x
4
= A
Für die Schwingungsdauer folgt somit
T = Δt
+ Δt
+ Δt
+ Δt
=
1
2A
2g
und der Amplitudenverlust ist
ΔA
= A −
A
2
3
4
2A
g + ρ
( )
( ) 2
2
g − ρ
g + ρ
( g + ρ)
g − ρ + ( g − ρ)
2 ( g + ρ)
( g − ρ)
( )
( ) ( ) 2
2
2
g − ρ 4ρg
= A
g + ρ g + ρ
b) Für die Näherungslösung schreiben wir
2 2
x&& + ω x = ω x − ρsgn
x&
− g sgn x
0
0
und gemäß Kapitel „Die Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude“
1
a&
=
ω 2
ψ&
= −
0
ω
π
1
2
0
2π
g +
ρ
2 [ ω a sin(
θ+
ψ)
− ρsgn
cos(
θ+
ψ)
− g sgn sin(
θ+
ψ)
] cos(
θ+
ψ)
∫
0
π
2π
2 [ ω a sin(
θ+
ψ)
− ρsgn
cos(
θ+
ψ)
− g sgn sin(
θ+
ψ)
] sin(
θ+
ψ)
∫
0
0
0
wobei ω 0 vorläufig noch unbestimmt ist. Integration ergibt
2ρ
a&
= −
πω
0
ω ⎛ 0 4g
ψ&
= −
⎜
⎜1
−
2 ⎝ πaω
2
0
⎞
⎟
⎠
2ρ
Die erste Gleichung liefert a = A0
− t . Anhand des Ausdruckes für ψ erkennt man, daß es
πω
0
nicht möglich ist, ω 0 so zu wählen, daß ψ für große Zeitintervalle klein bleibt. Wollen wir aber
die Bewegung nur für kurze Zeit untersuchen, so ist es zweckmäßig, ω 0 so zu wählen, daß
ψ& ( 0 ) = 0 wird. Damit erhält man
dθ
dθ

Nichtlineare Schwingungen Seite 56
ω
ψ
0
=
= ψ
0
4g
πA
und schließlich mit
x
( t)
7. Übung:
−
0
g
πA
0
ψ
⎡
⎢t
+
⎣
0
π
=
2
πω
0
A
2ρ
0
⎛
ln
⎜
⎜1
−
⎝
2ρ
πω A
0
0
⎞⎤
t
⎟
⎟⎥
⎠⎦
⎛ 2ρ
⎞ ⎪⎧
π ω ⎡
⎤⎪
⎫
0 πω0
A0
⎛ 2ρ
⎞
= ⎜
⎜A
⎟ ⎨ω
+ − ⎢ + ⎜ − ⎟
0 − t sin 0t
t ln 1 t ⎥⎬
⎝ πω0
⎠ ⎪⎩
2 2 ⎣ 2ρ
⎝ πω0
A0
⎠⎦
⎪⎭
Für die Differentialgleichung
2 ( q + βq
) = P ( t)
2
q&& + ω
cos Ω
0
sollen periodische Lösungen mit Hilfe der Störungsrechnung für kleine β bestimmt werden.
2
a) Man bringe die Differentialgleichung auf die Form x x = cos( ητ)
− μx
Nichtresonanzfall 0
+′ und führe für den
ω ≠ Ω eine Störungsrechnung durch.
( ) 2
cos x
2
b) Man bringe die Differentialgleichung auf die Form +′ x = μ p ( τ)
konstruiere eine periodische Lösung für den Resonanzfall 0 ω ≈ Ω .
Lösung:
a) Die Normierung 0 ω Ω = η , τ = ω0t
,
2
x = ω0q
P ,
Differentialgleichung in die gewünschte Form
2 ( ητ)
−
x +′ x = cos μx
und der Ansatz
x
führt auf
x
x
x
2
( ) = x ( τ)
+ μx
( τ)
+ μ x ( τ)
+ K
1
τ 0
1
2
0
2
+′
+′ x
+′
KK
x
x
1
0
2
= cos
= −
x
2
0
( ητ)
= −2x
x
0
1
η x − und
0
μ = βP
ω bringt die
Wir suchen eine Lösung mit der dimensionalen Kreisfrequenz η und erhalten für η ≠ 1
x0
( τ) = cos(
ητ)
1−
1 2
η
Die Gleichung für x 1 nimmt dann die Form
2
0

Nichtlineare Schwingungen Seite 57
x +′ x = −
1
1
= −
1
2 2
( 1−
η )
1
2 2
( 1−
η )
cos
an, mit der periodischen Lösung
x1
( )
für ≠ 1,
1 2
2
( ητ)
( 1+
cos(
2ητ
)
τ = −
1
−
1
cos 2
2
η . Für ( t)
2 2
2 2 2
( 1−
η ) 2(
1−
η ) ( 1−
4η
)
q ergibt sich damit
( ητ)
q
P 1
2
2
ω0
⎛ Ω ⎞
1−
⎜
⎟
⎝ω
0 ⎠
⎡
⎢
2
P 1 ⎢
4
2
ω ⎡ ⎤
⎢
0 ⎛ Ω ⎞
⎢ ⎥
⎢
2 1−
⎜
⎟
⎢ ⎥
⎢
⎣ ⎝ω
0 ⎠ ⎦ ⎣
1
2
⎛ Ω ⎞
1−
4
⎜
⎟
⎝ω
0 ⎠
2
( t)
= cos(
Ωτ)
− β
1+
cos(
Ωτ)
+ o(
β)
Diese Lösung liefert eine brauchbare Näherung, sofern Ω nicht zu nahe an ω 0 liegt, das heißt,
sofern man weit genug von der Resonanz entfernt ist (außerdem muß natürlich auch noch
Ω 1
≠ sein).
ω 2
0
b) Jetzt soll eine Näherungslösung bestimmt werden, die in dem Fall 0 ω = Ω gute Ergebnisse
liefert. Die Normierung 0 ω Ω = η , t Ω = τ , q x
2
2
= ω0
, μ = β ω0
, P0 = P μ führt auf
( ( ) ) 2
P cos τ x
2
η x +′ x = μ −
und der Ansatz (nach Lindstedt)
liefert
x
0
2
( τ)
= x ( τ)
+ μx
( τ)
+ μ x ( τ)
η = 1+
x
x
x
0
1
2
+′
+′ x
+′
KK
x
x
1
0
2
0
μη
1
= 0
+
μ
1
1
2
= −2η
x
1
η
0
= −2η
x
1
2
+′
−′
+
P
0
K
cos
2
( τ)
2 ( η + η )
1
2
−
0
+
x
2
0
K
x −′ 2x
x
0
1
Die Normierung für P 0 bedingt, daß P von derselben Größenordnung wie μ ist. Die allgemeine
Lösung der ersten Differentialgleichung lautet
x
0
( τ)
+ B ( τ)
= A
sin
0 cos 0
was in der Gleichung für x
( τ)
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

Nichtlineare Schwingungen Seite 58
x1
+′ x1
= −
1
2
+
1
2
2 2 ( A + B ) + ( P + 2η
A ) cos(
τ)
+ 2η
B sin(
τ)
0
2 2 ( − A + B ) cos(
2τ)
+ A B sin(
2τ)
0
0
0
ergibt. Die Forderung nach der Periodizität der Lösung bedingt
das heißt
P0
+ 2η1 A0
= 0 2η1B0
= 0
P0
η1 = −
B
2A
0
0
= 0
so daß die Differentialgleichung jetzt in
1 2
0
( 1+
cos(
τ )
x1
+′ x1
= − A0
2
2
übergeht, mit der periodischen Lösung
x1
= A1
cos(
τ)
+ B1
sin(
τ)
−
2
A0
⎜1
−
2 ⎝
cos(
2τ)⎟
3 ⎠
Damit ergibt sich die Differentialgleichung für ( τ)
x
2
+′
x
2
1
⎛
⎡
=
⎢
2η1A1
+ A0
⎣
1 2
⎡4
2 ⎤
+
⎢
η1A0
− A0
A1
cos
3 ⎥
⎣ ⎦
1
0
0
1
0
2
⎞
1
x als
2 5 3⎤
( η + 2η
) + A cos(
τ)
+ 2η
B sin(
τ)
6
0
⎥
⎦
3
( 2τ)
− A0
B1
sin(
2τ)
− A0
cos(
3τ)
− A0
A1
Aus der Periodizitätsbedingung folgt wieder, daß die Koeffizienten von sin ( τ)
und cos(
τ)
verschwinden, das heißt, es ist
B
1
woraus sich
η
2
0
1
1
6
2 5 3
( η + 2η
) + = 0
= 0 und 2η1A1
+ A0
1 2 A
6
= −
5
12
2 1 2
A0 − η1
− η
2
1
A
A
1
0
ergibt. Man kann nun ohne weiteres die periodische Lösung für ( τ)
verzichten.
0
1
x angeben, worauf wir aber
Bisher haben wir noch keinerlei Aussagen über die Anfangsbedingungen gemacht. Anstatt
Anfangsbedingungen für x ( τ)
vorzugeben, schreiben wir gemäß Kapitel „Lösung mit Hilfe der
Störungsrechnung“ einfach A 1 = 0 . Die Näherungslösung für die periodische Schwingung x(
τ)
ist damit
2

Nichtlineare Schwingungen Seite 59
was
liefert
x
2 2
( τ)
= A cos(
τ)
+ μ A + A cos(
2τ)
+ o(
μ)
0
⎡1
⎢
⎣2
0
1
6
2
P 2⎛
0 5 2 P ⎞ 0
η = 1−
μ − μ 0 + 2
2 ⎜ A +
0 12 8 ⎟ o
A ⎝ A0
⎠
q
0
⎤
⎥
⎦
( ) 2
μ
0
2 2
( t)
= cos(
ωt)
− − A + A cos(
2ωt)
+ o(
β)
Ω
ω
0
A
ω
2
0
β ⎡ 1
ω ⎢
⎣ 2
2
0
P ⎛ P ⎞ β
= 1−
1 −
2 ⎜ −
0 4 ⎟
A ⎝ A0
⎠ ω
2
4
0
0
5
12
1
6
A
2
0
+
0
o
( ) 2
β
Man erkennt, daß A 0 für 0 1 ≈ ω Ω endlich bleibt.
⎤
⎥
⎦
Angenäherte Resonanzkurven
In der oben stehenden Abbildung ist ein Vergleich von 0 A mit dem Maximalausschlag 2
ω0
qmax
für die Entwicklung im Nichtresonanzfall gegeben. Beide entsprechen in erster Näherung der
Schwingungsamplitude. In der Nähe der Resonanz ist die Reihenentwicklung des Falles b) zu
verwenden, ansonsten die des Falles a).
8. Übung:
Für die Differentialgleichung
2 3 4 5
( x − μ x + υ x ) = P ( t)
2
x&& + ω
sin Ω
0
sind periodische Lösungen zu suchen.

Nichtlineare Schwingungen Seite 60
a) Mit dem Ansatz x C ( Ωt)
=
DUFFINGschen Verfahren.
sin bestimme man eine Näherungslösung nach dem
2
C η mit 0 ω Ω = η für die Parameterwerte 6 . 0
2
μ = ;
b) Man zeichne die Resonanzkurven ( )
4
υ = 1.
2 ; S 0.
015 und S 0.
05 ( ) 2
= P ω
1 =
2 =
c) Wie springen die Amplituden bei Änderung von
Lösung:
a) Einsetzen von x = C sin(
Ωt)
1 in die rechte Seite von
2 3 4 5
( x − μ x + υ x ) + P ( t)
2
x&& = −ω
sin Ω
0
Führt nach Umformen der trigonometrischen Terme auf
⎛ 2 3 2 2 3 5 4 2 5 ⎞
x&&
2 = ⎜P
− ω0C
+ μ ω0C
− ν ω0C
⎟sin
⎝ 4 8 ⎠
⎛ 1 2 2 3
+ ⎜−
μ ω0C
+
⎝ 4
5 4 2 5 ⎞
ν ω0C
⎟sin
16 ⎠
1
16
2
S im Bereich 0.
5 < η < 1.
7 .
0
2
2
η in der Umgebung von η = 1
( Ωt)
4 2 5
( 3Ωt)
− ν ω C sin(
5Ωt)
Zweimalige Integration liefert bei Annahme von Periodizität
x
2
1 ⎛
2 3 2
= ⎜−
P + ω C − μ ω
2
0
Ω ⎝
4
+
1 ⎛ 1 2 2
⎜ μ ω C
2
0
Ω ⎝36
3
−
5
144
2
0
C
3
4
ν ω
2
0
5 4
+ ν ω
8
C
5
⎞
⎟sin
⎠
2
0
C
5
⎞
⎟sin
⎠
0
( Ωt)
1
400
ω
4 0 5
( 3Ωt)
+ ν C sin(
5Ωt)
Gemäß Kapitel „Ungedämpfte erzwungene Schwingungen“ verlangen wir nun nach DUFFING,
Ωt
t x2 t gleich sind. Damit ergibt sich
daß die Faktoren von sin ( ) in ( )
Ω
ω
2
2
0
=
P
3
2 2 4 4
1− − μ C + ν C
2
ω0C
4 8
x 1 und ( )
b) In nachfolgenden Abbildung ist C als Funktion von
5
Ω
2
2
2
Ω / ω dargestellt. Darin ist zu
erkennen, daß die Amplitude bei Änderung des Frequenzverhältnisses in der Nähe der
Resonanzstelle sprungartig ändern.
2
0

Nichtlineare Schwingungen Seite 61
9. Übung:
Resonanzkurven
Für die Differentialgleichung in der Übung 7 bestimme man eine subharmonische Lösung mit
der Periode 4 π Ω .
Lösung:
In Übungsaufgabe 7 wurden für die Differentialgleichung

Nichtlineare Schwingungen Seite 62
2 ( q + βq
) = P ( t)
2
q&& + ω
cos Ω
0
näherungsweise periodische Lösungen mit der Kreisfrequenz Ω bestimmt. Wir suchen jetzt
periodische Lösungen mit der Kreisfrequenz Ω / 2 . Da die Rückstellkraft hier keine ungerade
Funktion ist, machen wir den Ansatz
⎛Ω ⎞
q = q0
+ Acos⎜
t⎟
⎝ 2 ⎠
Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt
−
+
1 2 ⎛Ω ⎞ 2
Ω Acos⎜
t⎟
+ ω0
q
4 ⎝ 2 ⎠
βω
2
0
⎡
⎢q
⎣
2
0
+
ω
2
0
⎛Ω ⎞ 1
+ 2q0
Acos⎜
t⎟
+
⎝ 2 ⎠ 2
0
⎛Ω ⎞
Acos⎜
t⎟
⎝ 2 ⎠
A
2
+
1
2
A
2
cos
diese Gleichung ist für alle t identisch erfüllt, wenn
ω
2
0
q
0
1
− AΩ
4
1 2
βω0
A
2
2 2
+ ω βq
+
2
2
0
0
2
2
+ ω A + 2βω
q A = 0
0
= P
1 2
ω0βA
2
0
2
0
= 0
gilt. Aus der letzten Gleichung folgt
A =
2P
βω
2
0
und damit aus der ersten
q
0
= −
1 1
±
2β
2
1
β
2
−
4P
βω
Die zweite Gleichung liefert schließlich
Ω
2
2
0
( 1+
2β
)
= 4ω q
0
2
0
⎤
⎥
⎦
( Ωt)
= P cos(
Ωt)
daraus folgt, daß in dem Ausdruck für q 0 nur das obere Vorzeichen gilt und daß
Ω ω = P
0
4
2
2 1−
4β
/ ω0
ist. Eine Lösung gemäß unserem Ansatz existiert demnach nur für
4βP < ω .
Wir haben hier für ein bestimmtes Frequenzverhältnis 0 ω Ω eine subharmonische Lösung
gefunden, die exakt eine rein harmonische Schwingung der Art q = q0
+ Acos(
Ωt
/ 2)
beschreibt.
Auch für andere Frequenzverhältnisse können aber subharmonische Schwingungen existieren.
Wir können sie etwa mit dem Verfahren der Harmonischen Balance und einem Ansatz der Art
2
0

Nichtlineare Schwingungen Seite 63
q = q
0
+
n
∑
k=
1
⎛ ⎛kΩ ⎞
⎜A
k cos⎜
t⎟
+ B
⎝ ⎝ 2 ⎠
näherungsweise bestimmen.
k
⎛kΩ ⎞⎞
sin⎜
t⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎠

Nichtlineare Schwingungen Seite 64
3. ROTOR-LAGER-SYSTEM UNTER BERÜCKSICHTIGUNG
NICHTLINEARER LAGERUNG (DIPLOMARBEIT LANG)
Ein wesentlicher Bestandteil der Berechnungsmodelle von rotierenden Wellen ist das
Verbindungselement zwischen Gehäuse und Läufer. In diesem Kapitel wird ein Modell für ein
ölgeschmiertes hydrodynamisches Gleitlager in der dynamischen Simulationsrechnung
berücksichtigt. Die Abstützung des Lagers in der Gehäusestruktur stellt selbst wieder ein
schwingungsfähiges System dar. In den nachfolgenden Berechnungsmodellen werden zwar die
nichtlinearen Federungs- und Dämpfungseigenschaften des Ölfilms erfaßt, die Nachgiebigkeit
des Lagers selbst im Gehäuse bleibt jedoch unberücksichtigt. Das Hauptproblem bei der
Modellierung von Gleitlagern ist die nichtlineare Abhängigkeit der Lagerreaktionskräfte von den
Bewegungsgrößen. Wirkt auf den Lagerzapfen eines Gleitlagers eine Kraft, so bewirkt diese eine
Verschiebung des Zapfenzentrums, die nicht mit der Kraftrichtung zusammenfällt. Nachfolgend
wird auf die Eigenschaften von Gleitlagern näher eingegangen.
3.1 Dynamisches Verhalten von Gleitlagern
Die Tragfähigkeit von Gleitlagern basiert auf zwei in der Regel überlagerten Effekten. Aufgrund
der Relativbewegung zwischen Lagerzapfen und Gleitschale entsteht ein belastbarer Schmierkeil
- der Effekt wird als Keilspalteffekt bezeichnet. Durch eine radiale Zapfenbewegung wird das Öl
aus dem Schmierspalt verdrängt und eine Lagerreaktionskraft infolge Verdrängungswirkung
verursacht (Quetscheffekt). Durch diese Dreh- und Verdrängungswirkung des Gleitlagers ergibt
sich die Druckverteilung des Schmiermittels im Spalt. Die mathematische Beschreibung dieses
Verhaltens gibt die Reynolds’ sche Differentialgleichung wieder.
3.1.1 Reynolds’ sche Differentialgleichung
Die Bewegung eines Flüssigkeitsteilchens im Schmierfilm eines Gleitlagers wird durch die
Reynolds’ sche Differentialgleichung beschrieben. Sie ist eine vereinfachte Form der Navier -
Stokes’ schen Gleichung unter Berücksichtigung der Kontinuitätsbedingung. In den folgenden
Gleichungen wird der Zusammenhang zwischen Druck und Spaltdicke des Schmierfilms
dargestellt.
Es bedeutet:
x Koordinate in Umfangsrichtung
y Koordinate in Spalthöhenrichtung
z Koordinate in Breitenrichtung
ρ Dichte
r
v
⎛ u⎞
⎜ ⎟
= ⎜ v⎟
⎜ ⎟
⎝w⎠
Geschwindigkeitsvektor
η dynamische Viskosität
h örtliche Schmierspalthöhe

Nichtlineare Schwingungen Seite 65
p örtlicher Druck im Schmierfilm
U Relativgeschwindigkeit der Gleitflächen
r
F Vektor der äußeren Kräfte
Für eine inkompressible, Newton’ sche Flüssigkeit unter laminarer Strömung kann die Navier -
Stokes Gleichung wie folgt angeschrieben werden.
r
dv
r r
ρ = − grad( p) + ηΔv
+ F
(1)
dt
Damit eine Lösung möglich wird, ist es üblich, folgende Annahmen zu treffen:
1. η ist konstant über den gesamten Schmierspalt
2. Die Trägheitskräfte sind vernachlässigbar gegenüber den Zähigkeitskräften
3. Äußere Kräfte wie Gewichtskraft oder magnetische Kräfte spielen keine Rolle
4. Die Geschwindigkeit in Spalthöhenrichtung kann vernachlässigt werden
5. Die 2. Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten in Umfangs- und Breitenrichtung
sind klein gegenüber denen in Spalthöhenrichtung
In Komponentenschreibweise können somit folgende Bedingungen formuliert werden:
∂ ∂ ∂
η
∂ ∂ ∂ η∂
2
2
p u p w
= und =
2
2
x y z ∂ y
Da der Druck konstant über y ist (4. Bedingung), können beide Gleichungen unter Beachtung der
Randbedingung, daß das Schmiermittel an den Oberflächen haftet, zweimal integriert werden.
Damit sind die Geschwindigkeitskomponenten in Abhängigkeit von den Druckgradienten und
von y festgelegt. Mit den Geschwindigkeitsverteilungen u und w kann der Volumenfluß pro
Längeneinheit in Umfangs- und Breitenrichtung berechnet werden.
( ) ( )
q = u y ⋅ dy q = w y ⋅dy
x
h
h
∫ z ∫
0 0
Kontinuitätsbedingung:
∂ q x ∂ q z ∂ h
+ + = 0 (3)
∂ x ∂ z ∂ t
Damit kann die Reynolds’ sche Gleichung in folgender Form angegeben werden:
∂
∂ x h
⎛
⎜
⎝
∂ p ∂
∂ x ∂ z h
⎞ ⎛
⎟ + ⎜
⎠ ⎝
3 3
∂ p ∂ ∂
η U
∂ z ∂ ∂
h ⎞ ⎛
h⎞
⎟ = ⋅ ⎜6
+ 12 ⎟
⎠ ⎝ x t ⎠
Dies ist eine lineare Gleichung in p. Der Faktor 6U h ∂
∂ x
Verdrängungseffekt steht der instationäre Term 12 ∂ h
∂ t .
(2)
(4)
beschreibt den Keilspalteffekt; für den

Nichtlineare Schwingungen Seite 66
3.1.2 Vollumschlossenes Kreislager
Im folgenden Abschnitt werden Lösungen der Reynolds Gleichung für das vollumschlossene
Kreislager angegeben /1/. Die gesamte Tragkraft eines Lagers kann aus der Überlagerung der
Tragkraftanteile durch Drehung und Verdrängung bestimmt werden. In der Abb.1 ist ein
Radialgleitlager für eine bestimmte Lastsituation dargestellt.
Folgende Definitionen werden vereinbart:
Abb.1: Tragkraftanteile eines Radialgleitlagers
FV,D
Tragkraftanteile durch Verdrängung, Drehung
SV,D
Sommerfeldzahlen für Verdrängung, Drehung
β Verlagerungswinkel der Drehungskraft
rL
radiale Zapfenauslenkung
δL
Richtungswinkel der Lagerzapfenauslenkung
RL
Lagerbohrungsradius
RZ
Lagerzapfenradius
B, D Lagerbreite, Lagerdurchmesser (D=2RL)
ψ relatives Lagerspiel
ε relative Auslenkung des Lagerzentrums
ϖ hydrodynamisch wirksame Winkelgeschwindigkeit
RL − RZ
ψ = ,
R
rL
ε =
R − R
, ϖ = − δ &
L ,
FV
⋅ψ
SV
=
B⋅ D⋅
η⋅ ε&
FD
⋅ψ
SD
=
B⋅ D⋅
η⋅ ϖ
,
Ω 2
2 2
L
L Z
Die in dieser Form definierten Sommerfeldzahlen sind Funktionen vom Breitenverhältnis B/D
und von der relativen Lagerauslenkung ε. Butenschön /1/ hat die Reynolds Gleichung für beide
Tragkraftanteile getrennt gelöst. Weiters hat er Näherungsfunktionen erarbeitet, die eine
analytische Berechnung der Sommerfeldzahlen sowie des Verlagerungswinkels β ermöglichen.
Approximationsfunktionen für das vollumschlossene Gleitlager:
( − ) ( − ) +
2 ( − ) ( a + )
2
2 1 ε 2 ε
B a
SD
=
D
⎛
⎜
⎝
⎞
2
1ε
ε 1 π 1 ε 16ε
⎟ ⋅
⎠
2 2 2

Nichtlineare Schwingungen Seite 67
a
a
⎛π
1−
ε
β = arctan ⎜
⎝ 2ε
S
a
a
V
1
2
1
2
2 3 4
B ⎛ B
B
B
= 11642 − 1 9456 + 7 1161⎜ 101073 5 0141
D ⎝ D
D
D
⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ + ⎜
⎠ ⎝
⎞
. . . . . ⎟
⎠
2 3 4
B ⎛ B
B
B
= −1 000026− 0 023634 − 0 4215⎜ 0 038817 0 090551
D ⎝ D
D
D
⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ + ⎜
⎠ ⎝
⎞
. . . . . ⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
2 3 4
( a1 + a2ε + a3ε + a4ε + a5ε
)
B
a1
= 1152624 . − 0105465 .
D
a
a
a
B
2 = − 2. 5905+ 0. 798745
D
B
3 = 8. 73393− 2. 3291
D
4 = − 13. 3415+ 3. 424337
B
a5
= 6. 6294 − 1591732 .
D
2
⎛ B
= ⎜
⎝ D
⎞ ⎛ π
4 ⎟ 1−
−
⎠ ⎝⎝
2
1
2
B
D
2
−5/
2 ⎛
⎞
( ε ) ⎜⎜
arccos(
) ( 1 2 )
( 1−
ε)
2 3
2 ⎞ a1
ε ⎟ + ε + ε 1−
ε ⎟
⎠ 2 ⎠ −a − ε
2 3 4
B ⎛ B
B
B
= 0 70038+ 3 2415 − 12 2486⎜ 18 895 9 3561
D ⎝ D
D
D
⎞ ⎛
⎟ + ⎜
⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎠ ⎝
⎞
. . . . . ⎟
⎠
2 3 4
B ⎛ B
B
B
= − 0 999936 + 0 0157434 − 0 74224⎜ 0 42278 0 368928
D ⎝ D
D
D
⎞ ⎛
⎟ + ⎜
⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎠ ⎝
⎞
. . . . . ⎟ (5)
⎠
In der Gleichung der Sommerfeldzahl für Verdrängung muß die Verdrängungsrichtung
berücksichtigt werden. Das bedeutet, daß anstatt ε die Größe ε⋅sign( ε&
) in die Gleichung
eingesetzt werden muß.
Sind die Bewegungsgrößen des Lagerzapfens (ε, ε&, δ δ &
L und L ) bekannt, so können mit den
angegebenen Gleichungen die Tragkraftanteile FV, FD und der Verlagerungswinkel β berechnet
werden. Die gesamte Lagerkraft ergibt sich aus der vektoriellen Addition beider Teile. Damit die
Bewegungsgleichungen in einem kartesischen Koordinatensytem angeschrieben werden können,
müssen die Komponenten der Lagerkraft in beiden Richtungen gefunden werden. In der Abb.2
ist diese Kräftesituation schematisch dargestellt.
2

Nichtlineare Schwingungen Seite 68
Abb.2: Komponenten der Lagerkraft
Die Größen δL und Ω sind gegen den Uhrzeigersinn positiv definiert. Die Richtung der
Verdrängungskraft stimmt mit der Lage des engsten Spaltes überein. Da die Sommerfeldzahlen
nur positive Werte sind, muß das Vorzeichen von &ε berücksichtigt werden. Die Drehrichtung
von ϖ gibt an, ob die Drehungskraft vor oder hinter dem engsten Spalt liegt, da β immer positiv
gezählt wird. In der Abb.2 sind die Tragkraftanteile für positive Verdrängung und positive
Drehung dargestellt.
Komponenten der Lagerkraft:
( )
( )
( &) cos( ) cos ( )
FL = sign ε ⋅F ⋅ δ + F ⋅ δ − sign ϖ ⋅β
(6)
x V L D L
( &) sin( ) sin ( )
FL = sign ε ⋅F ⋅ δ + F ⋅ δ − sign ϖ ⋅β
(7)
y V L D L
In den folgenden Gleichungen sind die geometrischen Beziehungen zwischen rL, δL, xL und yL
zusammengefaßt.
2 2
xL
yL
rL = xL + yL , &r L =
x&
L +
y&
L
(8)
2 2 2 2
x + y x + y
L L
⎛ yL
y x y x
δ L = ⎜ δ L
⎝ x
x y
⎞ −
arctan ⎟ , =
⎠ +
& & &
L
3.2 Rotor-Lager–Ersatzsystem
L L
L L
2
L L
2 (9)
L L
Den numerischen Berechnungen mit nichtlinearen Lagereigenschaften liegt - in Analogie zum
Lavalrotor in linearen isotropen Lagern - ein symmetrisches Ersatzsystem zugrunde. In der Abb.3
ist dieses Modell dargestellt.

Nichtlineare Schwingungen Seite 69
Abb.3: Rotor-Ersatzmodell
3.2.1 Bewegungsgleichungen in zwei Richtungen
Die Bewegungsgleichungen können durch Aufstellen der dynamischen Kräftegleichgewichte für
Rotor- und Lagermasse gefunden werden (Abb.4)
Bewegungsgleichungen:
( )
Abb.4: Rotor-Lager-System
m ⋅ x& + c ⋅ x − x = −FL
(10)
L L W L W x
( )
m ⋅ y& + c ⋅ y − y = −FL
(11)
L L W L W y
( ) ( )
m ⋅ x& + c ⋅ x − x = F t, x , x
(12)
R W W W L x W L
( ) ( )
m ⋅ y& + c ⋅ y − y = F t, y , y
(13)
R W W W L y W L
( )
x = x + e⋅cos Ω t
(14)
S W
( )
y = y + e⋅sin Ω t
(15)
S W
Es bedeutet:
x, y Auslenkungen von W, S, L
mR
Rotormasse
mL
Lagermasse
Ω Rotorwinkelgeschwindigkeit

Nichtlineare Schwingungen Seite 70
e Rotorexzentrizität
Fx,y
Erregerkraft
Lagerkraft
FLx,y
3.2.2 Erregerkräfte durch Streifkontakt
In den Berechnungen mit linearen Lagern konnten nur Zeitfunktionen als Erregerkräfte in
Betracht gezogen werden. Da bei nichtlinearer Lagerung ein Zeitschrittintegrationsverfahren
angewendet wird, können die Erregerkräfte als Funktion der Bewegungsgrößen berücksichtigt
werden. In der Abb.5 sind die Erregerkräfte schematisch dargestellt.
Fs Radialkomponente der Streifkraft
μ Reibungskoeffizient
rW
radiale Auslenkung des Wellenmittelpunktes
Richtungswinkel der Auslenkung von W
δW
Die Richtung der Radialkomponente der Streifkraft ist so gewählt, daß sie sowohl durch den
Wellenmittelpunkt als auch durch den Mittelpunkt des Gehäuses geht. Es sei angenommen, daß
das Gehäusezentrum auf der Drehachse des unbelasteten - dies bedeutet, daß keine Erregerkräfte
wirksam sind - Rotors liegt. Die Orientierung der Tangentialkomponente ist durch die
Drehrichtung des Rotors bestimmt.
Abb.5: Erregerkräfte durch Streifkontakt
Komponenten der Erregerkräfte in x, y - Richtung:
( ) = − ⋅ cos( ) + ⋅ ⋅sin(
)
F t Fs δ μ Fs δ (16)
x W W
( ) = − ⋅sin( ) − ⋅ ⋅cos(
)
F t Fs δ μ Fs δ (17)
y W W

Nichtlineare Schwingungen Seite 71
Geometrische Beziehung:
y
sin W
cos
x + y
W ( δ ) =
und ( δ )
2
W
2
W
W
W
2 2
xW + yW
=
3.2.2.1 Konstante Streifkraft
Die Auswirkungen eines konstant wirkenden Kraftimpulses auf das Eigenschwingverhalten des
Rotor - Lager - Systems kann untersucht werden, indem der Größe Fs in den Gleichungen 16 und
17 ein konstanter Wert zugewiesen wird. Bezüglich der Größe dieses Wertes und der Dauer des
Streifkontaktes müssen Annahmen getroffen werden.
3.2.2.2 Berücksichtigung der Längsfederung einer Laufschaufel
Ein Streifen der Beschaufelung des Rotors am Gehäuse tritt dann auf, wenn die radiale
Auslenkung des Wellenmittelpunktes größer wird als der Radialspalt zwischen unbelastetem
Rotor und Gehäuse. In den folgenden Überlegungen wird angenommen, daß sich dieser
Radialspalt zeitlich verändert. Übersteigt die radiale Wellenmittelpunktsamplitude die
Spaltbreite, so wird eine Federkraft in Längsrichtung der Schaufel wirksam, die als
Erregungskraft für das dynamische Modell berücksichtigt wird.
Es bedeutet:
x
rSP(t) Radialspalt
Gehäuse
zwischen unbelastetem Rotor und
Federsteifigkeit der Laufschaufel in Längsrichtung
cS
In den Gleichungen 16 und 17 ist somit folgende Bedingung für die Radialkomponente der
Streifkraft in Rechnung zu setzten:
( ( ) ( )
Fs = c ⋅ r t − r t
(18)
S W SP
Durch diese Betrachtungsweise eines Streifvorganges kann der Kontaktkraftverlauf während des
Streifens - dies entspricht der Federkraft der Laufschaufel - sowie die Streifdauer ermittelt
werden. Durch Multiplikation der Tangentialkomponente der Streifkraft mit der
Umfangsgeschwindigkeit des Rotors ist der zeitliche Leistungsverlauf, der durch die Reibung
verursacht wird, gegeben. Wird diese Größe von Streifbeginn bis Streifende über die Zeit
integriert, so entspricht dies der Streifenergie.
PS(t)=μ⋅Fs⋅RR⋅Ω (19)
Δt
S ∫ S
0
( ) ( )
W t = P t ⋅dt
Δt Streifdauer
RR
Radius des Rotors
PS(t) Streifleistung
WS(t) Streifenergie
(20)

Nichtlineare Schwingungen Seite 72
3.3 Anwendungsbeispiel ND-Läufer einer Dampfturbine
Das dynamische Verhalten einer ausgeführten Rotorkonstruktion wird anhand eines
Scheibenrotors einer Dampfturbine untersucht. Die für die Rechnung erforderlichen Daten des
Rotors sowie der Lagerung sind der Dissertation Priebsch /2/ entnommen. Dieser Rotor ist ein
Teil eines mehrfach gelagerten Turborotors. Da der Läufer mit überkritischer Drehzahl rotiert,
tritt eine Selbstzentrierung der Welle auf. Die Rotorkonstruktion ist im Vergleich zur Steifigkeit
der Lagerung als relativ „biegeweich“ anzusehen. Die Gleichgewichtslage des Rotors im
„Normalbetrieb“ liegt im Bereich kleiner Sommerfeldzahlen, was sich nachteilig auf die
Dämpfungsfähigkeit der Lagerung auswirkt.
Daten der Rotorkonstruktion:
Leistung 65 MW
Rotormasse mR
7900 kg
Lagermasse mL
1550 kg
Betriebsdrehzahl 3000 U/min (Ω=314.6 rad/s)
Erste biegekritische Drehzahl 2200 U/min (ω=230.4 rad/s)
Endschaufellänge 550 mm
Längssteifigkeit einer Endschaufel cS 228.5 * 10 6 N/m
Betriebsunwucht e 10 μm
Lagerkenngrößen:
Lagerbohrungsradius RL
165 mm
relatives Lagerspiel ψ 0.002
Breitenverhältnis B/D 0.75
dynamische Ölzähigkeit η 0.018 Ns/m 2
Bei der Angabe bezüglich der Rotormasse ist die Symmetrie des Ersatzsystems berücksichtigt.
Die Gesamtmasse des Rotors entspricht dem Wert 2*mR. Aus der ersten biegekritischen
Drehzahl und der Rotormasse kann der Wert für die Biegesteifigkeit der Welle errechnet werden.
Die Lagerdaten beziehen sich auf ein vollumschlossenes Kreislager.
3.3.1 Betriebsverhalten des Rotors
Wie bereits erwähnt, rotiert die betrachtete Welle im Betriebszustand mit überkritischer Drehzahl
(Ω/ω = 1.364). Dies bedeutet, daß beim Anfahren des Rotors die biegekritische Drehzahl
durchfahren werden muß. Die Lager dieses DT - Läufers sind so zu bemessen, daß einerseits das
Eigengewicht des Rotors getragen werden kann, andererseits soll ausreichende Stabilität der
Welle bei der Betriebsdrehzahl gewährleistet sein.
Durch die in dieser Berechnung berücksichtigte Lagerung (zylindrische Kreislager) ist zwar die
Tragfähigkeit bei geringen Drehzahlen gegeben, in bezug auf Läuferstabilität bei höheren
Drehzahlen besitzt eine derartige Konstruktion aber ungünstige Eigenschaften. Eine
Verbesserung dieser Situation kann entweder dadurch erreicht werden, daß der Läufer versteift
wird oder daß Nuten in die tragenden Gleitflächen eingearbeitet werden (Vielkeillager).
Die Ursache für Läuferinstabilität sind selbsterregte Schwingungen. Solche Vorgänge können
durch Spaltströmung zwischen Beschaufelung und Gehäuse bedingt sein. In vielen Fällen ist aber
die Instabilität des Ölfilms Ursache für eine Vergrößerung der Lagerzapfenamplituden /10/.
Derartige Erscheinungen können zur Resonanz führen und treten etwa bei der doppelten ersten

Nichtlineare Schwingungen Seite 73
biegekritischen Drehzahl auf. H. Jericha /3/ hat das dynamische Verhalten von Zweikeillagern
untersucht und Lagergeometrien gefunden, die einen stabilen Lauf von biegeelastischen Läufern
bis zur dreifachen ersten kritischen Drehzahl ermöglichen.
In den folgenden Abb.6 und Abb.7 ist der Stationärzustand dieses DT - Läufers dargestellt. Als
Erregungskräfte sind das Rotoreigengewicht und die Betriebsunwuchtkraft berücksichtigt. Die
Gewichtskraft des Rotors stellt die Hauptlast für die Lagerung dar. In der numerischen
Berechnung in nichtlinearen Lagern muß sie jedenfalls berücksichtigt werden, da der stationäre
Gleichgewichtspunkt einen wesentlichen Einfluß auf das Dämpfungs- und Elastizitätsverhalten
der Lagerung hat. Das Ergebnis der durchgeführten Rechnung für den Stationärzustand zeigt, daß
Wellenmittelpunkt und Lagerzapfenmittelpunkt schleifenartige Bewegungen mit genau der
halben Drehfrequenz des Läufers ausführen.
Abb.6: Wellenmittelpunktsbewegung im Betriebszustand

Nichtlineare Schwingungen Seite 74
Abb.7: Lagerzapfenbewegung im Betriebszustand
3.3.2 Eigenschwingung des Rotors aufgrund eines kurzzeitigen Kraftimpulses
In diesem Abschnitt wird die Wirkung einer kurzzeitigen konstanten Erregerkraft, die durch den
Streifkontakt verursacht wird, untersucht. In den Berechnungen mit linearen Eigenschaften der
Lagerung wurde angenommen, daß zwischen der Radialkomponente der Streifkraft und der
Betriebsunwuchtkraft ein konstanter Phasenwinkel α auftritt. Wie bereits erwähnt, ist in diesem
Abschnitt die Richtung der Radialkraft so gewählt, daß sie sowohl durch den Wellenmittelpunkt
als auch durch das Gehäusezentrum geht.
Die Werte für die Kontaktkraft Fs und die Streifdauer SD mußten angenommen werden. In den
Diagrammen sind die Zeitverläufe der radialen Auslenkungen von Wellenmittelpunkt und
Lagerzapfenmittelpunkt angegeben. In allen durchgeführten Berechnungen sind die
Lagerzapfenauslenkungen geringer als die Ausschläge des Wellenmittelpunktes. Die Erregerkraft
Fs ist in dimensionsloser Form angegeben und auf die Betriebsunwucht (mReΩ 2 ) bezogen. Die
Dauer des Streifkontaktes ist in Winkeleinheiten der Rotorumdrehung angegeben. Für den
Coulomb’ schen Reibungsfaktor wird der Wert 0.15 in Rechnung gesetzt. In den folgenden
Abb.8 bis Abb.14 sind die Ergebnisse der numerischen Simulationsrechnung dokumentiert.

Nichtlineare Schwingungen Seite 75
Abb.8: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung
Abb.9: Wellenmittelpunktsbewegung (Fs=50, SD=30°)

Nichtlineare Schwingungen Seite 76
Abb.10: Lagerzapfenbewegung (Fs=50, SD=30°)
Abb.11: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung

Nichtlineare Schwingungen Seite 77
Abb.12: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung
Abb.13: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung

Nichtlineare Schwingungen Seite 78
Abb.14: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung
In Abb.8 ist die Biegeschwingung dieses Läufers für die Streifbedingung Fs=50mReΩ 2 und
SD=30° dargestellt. Der Beginn der Systemerregung wird so gewählt, daß sich der
Wellenmittelpunkt genau in dem Punkt maximaler radialer Auslenkung befindet. Ab diesem
Zeitpunkt ist die Streiferregungskraft wirksam. Das Streifende ist durch die Angabe der
Streifdauer (SD in Winkeleinheiten Rotorumdrehungen) festgelegt. In der Tab.1 sind die Werte
der Größtauslenkungen sowie die Zeitpunkte ihres Auftretens angegeben.
ts [sec] Dts [sec] fs [Hz] rW [mm]
I 0.5357 0.0257 38.91 665
II 0.5709 0.0352 28.41 554
III 0.6108 0.0399 25.06 464
IV 0.6501 0.0393 25.44 468
Tab.1: Maximalwerte der Wellenmittelpunktsauslenkungen (Fs=50, SD=30°)
ts
Δts
fs
Zeitpunkt des Maximalwertes
Zeitdifferenz aufeinanderfolgender Maximalwerte
Frequenz aufeinanderfolgender Maximalwerte
Das erste Maximum der Wellenmittelpunktsauslenkung tritt nach 463,2° Rotorumdrehungen auf.
Die kritische Biegefrequenz der Welle bei starrer Lagerung liegt bei 36.67 Hz. Aus Tab.1 ist
ersichtlich, daß ab dem Zeitpunkt des dritten Amplitudenmaximums die Zeitdifferenz

Nichtlineare Schwingungen Seite 79
aufeinanderfolgender Größtwerte konstant ist; die Frequenz dieser Schwingbewegung entspricht
der halben Drehfrequenz des Rotors.
In den Abb.11 bis Abb.14 sind die radialen Auslenkungen von Wellenmittelpunkt und
Lagerzapfenmittelpunkt für verschiedene Erregerkräfte (Fs, SD) dargestellt. Eine Veränderung
der Streifbedingung hat keine Auswirkung auf den Zeitpunkt des Auftretens des ersten
Amplitudenmaximums. Bei kleinen Werten für die Streifkraft sowie der Streifdauer treten nach
dem ersten Maximum die Größtwerte der Auslenkungen mit der halben Drehfrequenz des Rotors
auf. Eine Vergrößerung der Streifkraft bewirkt ein beschleunigtes Auftreten der Maximalwerte
nach der ersten Größtauslenkung. Bemerkenswert ist, daß bei Vergrößerung der Werte für die
Streifkraft (Abb.11) sowie der Streifdauer (Abb.13) auch eine höherfrequente Schwingung am
Beginn des Abklingvorganges auftritt (66 Hz).
3.3.3 Erregung durch zeitlich veränderlichen Radialspalt
Wie bereits im Kapitel 3.2.2.2 erwähnt, kann unter Berücksichtigung der Längsfederung einer
Laufschaufel eine Systemerregung definiert werden. Ist die Radialauslenkung des
Wellenmittelpunktes größer als der Radialspalt zwischen Rotor und Gehäuse, so wird als
Erregungskraft die Federkraft der Laufschaufel wirksam. Damit der Rotor aus seiner
Stationärbewegung ausgelenkt wird, muß eine kurzzeitige Verringerung des Radialspaltes
angenommen werden. In der folgenden Abb.15 ist der zeitliche Verlauf des Radialspaltes
schematisch dargestellt.
Abb.15: Zeitliche Veränderung des Radialspaltes
In der vorliegenden Berechnung wird die Annahme getroffen, daß der Radialspalt zwischen
unbelastetem Rotor und Gehäuse rSP=430 μm beträgt. Als Systemerregung wird angenommen,
daß ab dem Zeitpunkt t=0.51 sec der Radialspalt rSP gleich null ist. Die Dauer dieser
Spaltveränderung ist vorgegeben und beträgt 90° Rotorumdrehung ( Δt0=π/(2Ω) ). Für den
Reibungsfaktor wird der Wert μ=0.45 berücksichtigt.
In Abb.16 sind die radialen Auslenkungen von W und L dargestellt. Durch die getroffene
Annahme werden drei Streifkontakte verursacht. Der Stationärzustand ist nach ungefähr 15
Rotorumdrehungen erreicht. In der Tab.2 sind die Zeitpunkte von Streifbeginn (tB) und
Streifende (tE) sowie die Streifdauer angegeben.

Nichtlineare Schwingungen Seite 80
tB [sec] tE [sec] Dt [sec] SD [°]
I 0.5095 0.5145 0.0050 90
II 0.5305 0.5410 0.0105 189
III 0.5680 0.5720 0.0040 72
Tab.2: Streifkontakte unter Berücksichtigung der Schaufellängssteifigkeit
Die Bewegung von Wellenmittelpunkt und Lagerzapfenmittelpunkt in der Ebene normal zur
Drehachse ist in den Abb.17 und Abb.18 dargestellt. Durch die Kreislinie in Abb.17 ist der
Radialspalt angedeutet.
Die Federkraft der Laufschaufel, die während des Streifkontaktes berücksichtigt wird, entspricht
der Kontaktkraft zwischen Rotor und Gehäuse. In der Abb.19 ist der zeitliche Verlauf dieser
Kraft dargestellt. Der Größtwert der Streifkontaktkraft tritt am Beginn des ersten Streifvorganges
auf und beträgt ungefähr 80 kN. Die Maximalwerte der Kontaktkraft während des zweiten und
dritten Streifvorganges sind wesentlich niedriger. Bei der Berechnung des Leistungsverlaufes
(Abb.20) ist nur die Umfangsgeschwindigkeit an der Schaufelspitze (RRΩ) in bezug auf den
Wellenmittelpunkt berücksichtigt. Um die Kinematik des Bewegungsvorganges richtig zu
erfassen, wäre es erforderlich, die Geschwindigkeit des Wellenmittelpunktes auszurechnen und
die Absolutgeschwindigkeit der Schaufelspitze in die Gleichung 20 einzusetzen. Die Berechnung
zeigt aber, daß die Absolutgeschwindigkeit des Wellenmittelpunktes um vier Zehnerpotenzen
kleiner ist als die der Schaufelspitze. Für die Berechnung der Streifgeschwindigkeit wird daher
näherungsweise angenommen, daß sich der Wellenmittelpunkt in Ruhe befindet.
In der Abb.21 ist der zeitliche Verlauf der Streifenergie dargestellt. Wenn ein Ansatz gefunden
werden könnte, wieviel dieser thermischen Energie in die Laufschaufel fließt, so wäre es
möglich, die auftretende Zusatzstreifunwucht zu berechnen.

Nichtlineare Schwingungen Seite 81
Abb.16: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung
Abb.17: Wellenmittelpunktsbewegung

Nichtlineare Schwingungen Seite 82
Abb.18: Lagerzapfenbewegung
Abb.19: Streifkontaktkraft

Nichtlineare Schwingungen Seite 83
Abb.20: Streifleistung
Abb.21: Streifenergie

Nichtlineare Schwingungen Seite 84
3.3.4 Erregung durch elliptische Gehäuseverformung
Eine der möglichen Ursachen für einen Streifkontakt stellt eine Verformung des Gehäuses dar.
Durch einen derartigen Vorgang kann es ebenfalls zu einer Verminderung des Radialspaltes
zwischen Beschaufelung und Gehäuse kommen. Über die Geometrie von Gehäuseverformungen
liegen keine Daten vor, weshalb diesbezüglich nur Annahmen getroffen werden können. In der
vorliegenden Berechnung wird angenommen, daß sich das Gehäuse elliptisch verformt. In der
Abb.22 sind die geometrischen Zusammenhänge dargestellt.
Abb.22: Geometrie-Ellipse
Im Abschnitt 5.3.3 wird nach dem ersten Streifkontakt ein konstanter Wert für den Radialspalt
vorausgesetzt. In der Betrachtungsebene ( x-y Ebene) bedeutet dies, daß der Spalt zwischen
Gehäuse und Beschaufelung durch einen Kreis mit dem Radius rSP dargestellt werden kann.
Durch eine elliptische Gehäuseverformung wird auch der Radialspalt elliptisch deformiert. In der
Gleichung 21 ist die Gleichung der Ellipse in Polarform angegeben.
r
( )
SP ϕ
=
b
( f cos( ϕ Δϕ )
1−
⋅ +
2
mit f =
a −
a
b
2 2
a große Halbachse
b kleine Halbachse
Damit das Achsensystem der Ellipse in der Ebene gedreht werden kann, wird der Winkel Δϕ
berücksichtigt. (Die Drehrichtung des Winkel Δϕ ist gegen den Uhrzeigersinn positiv gewählt).
Dadurch ist es möglich, für jede beliebige Auslenkungsrichtung δW des Wellenmittelpunktes den
Radialspalt zu berechnen. Ist die radiale Auslenkung des Wellenmittelpunktes größer als der zur
Verfügung stehende Radialspalt, so sei als Erregungskraft die Längsfederung der Laufschaufel
wirksam.
Im vorangegangenen Abschnitt wurde für den Radialspalt der konstante Wert 430 μm in
Rechnung gesetzt. Im folgenden wird angenommen, daß sich ausgehend von diesem Wert das
Gehäuse in x-Richtung um +80 μm und in y-Richtung um -80μm verformt. Das Achsensystem
der Ellipse ist so gedreht, daß die Nebenachse genau in der Richtung des statischen
(21)

Nichtlineare Schwingungen Seite 85
Gleichgewichtspunktes des Rotors liegt. Für die drei maßgebenden Parameter der
Gehäuseverformung können somit folgende Angaben gemacht werden:
a = 510 μm
b = 350 μm
Δϕ = 153,4 °
Die Werte für die Ellipsenachsen wurden so gewählt, daß im Betriebszustand des Rotors der
Wert des Radialspaltes unterschritten wird. Es ist daher nicht erforderlich, eine Initialanregung,
die die Biegeschwingung des Rotors auslöst, anzunehmen. In der vorliegenden
Simulationsrechnung tritt die Gehäuseverformung zum Zeitpunkt t = 0.49 sec auf. Für den
Reibungskoeffizienten wurde der Wert 0.45 angenommen.
In den Abb.23 bis Abb.29 ist das Ergebnis der Rechnung graphisch dargestellt. In der Abb.23
sind die zeitlichen Verläufe der radialen Auslenkungen von W und L angegeben. Es ist
ersichtlich, daß durch eine derartige Anregung die Amplituden der Bewegung kleiner werden
können. Nach etwa fünf bis zehn Rotorumdrehungen wird wieder ein stationärer Zustand
erreicht. Die Bewegung von Wellenmittelpunkt und Lagerzapfenmittelpunkt in der x-y Ebene ist
in den Abb.24, Abb.25 und Abb.26 dargestellt. Aus dem zeitlichen Verlauf der
Streifkontaktkräfte (Abb.27) ist erkennbar, daß periodisch - mit der halben Drehfrequenz des
Rotors - zwei Streifkontakte auftreten. Im folgenden ist der Streifvorgang mit der geringeren
Kontaktkraft als Streifkontakt I bezeichnet. Der Faktor zwischen den Maximalwerten der
Streifkontaktkräfte beträgt ungefähr 2.8. In der Tab.3 ist der Zeitbereich von zwei
Rotorumdrehungen (t=0.6465 bis t= 0.6865) analysiert und die Zeitdifferenzen (Δt, SD
[Winkeleinheiten der Rotorumdrehung]) angegeben.
Δt [sec] SD [ °] Bemerkung
0.0060 108 Streifkontakt I
0.0045 81 Zeitbereich zwischen I und II
0.0110 198 Streifkontakt II
0.0185 333 Zeitbereich zwischen II und I
Tab.3: Streifkontakte durch elliptische Gehäuseverformung

Nichtlineare Schwingungen Seite 86
Abb.23: Radiale Wellenmittelpunkts- und Lagerzapfenbewegung
Abb.24: Wellenmittelpunktsbewegung

Nichtlineare Schwingungen Seite 87
Abb.25: Wellenmittelpunktsbewegung
Abb.26: Lagerzapfenbewegung

Nichtlineare Schwingungen Seite 88
Abb.27: Streifkontaktkraft
Abb.28: Streifleistung

Nichtlineare Schwingungen Seite 89
Abb.29: Streifenergie
3.3.5 Erregung durch versetztes Gehäuse
In den vorangegangenen Berechnungen ist - gemäß dem Rotorersatzmodell - die Annahme
getroffen, daß der Mittelpunkt des Gehäuses auf der gedachten Verbindungslinie der beiden
Lagerzentren liegt. Die Ausrichtung des Radialspaltes einer Konstruktion erfolgt jedoch in bezug
auf die statische Biegelinie des Läufers. Da der betrachtete Rotor als relativ biegeelastisch
anzusehen ist, scheint es gerechtfertigt, eine Versetzung des Gehäusezentrums anzunehmen. In
dieser Simulationsrechnung wird angenommen, daß das Zentrum des Radialspaltes mit dem
Punkt der statischen Gleichgewichtslage des Rotormittelpunktes (bei der Betriebsdrehzahl) ident
ist. Sowohl die berechneten Auslenkungen des Wellenmittelpunktes als auch die Richtung der
Streiferregungskräfte sind auf diesen Punkt bezogen. In der folgenden Abb.30 ist die
geometrische Situation für eine derartige Gehäuseversetzung dargestellt.
Als Streifanregungskraft wurden folgende Annahmen gemacht:
Fs=50
SD=30°
μ=0.45

Nichtlineare Schwingungen Seite 90
Abb.30: Erregung durch versetztes Gehäusezentrum
Für den betrachteten ND - Läufer einer Dampfturbine ergeben sich somit, unter Berücksichtigung
des Rotoreigengewichtes bei der Betriebsdrehzahl, folgende Werte für die statische Auslenkung:
xSTAT =150.2 μm
ySTAT = - 300.8 μm
Das Ergebnis der Simulationsrechnung ist in den Abb.31 bis Abb.34 dokumentiert. An dieser
Stelle sei darauf hingewiesen, daß die radiale Lagerauslenkung auf den geometrischen
Mittelpunkt der Lagerung bezogen ist. Die Maximalauslenkungen sowie die Zeitpunkte ihres
Auftretens sind in der Tab.4 angegeben.
ts [sec] Dts [sec] fs [Hz] rW [mm]
I 0.5247 0.0272 36.76 411
II 0.5621 0.0374 26.73 335
III 0.6042 0.0421 23.75 297
IV 0.6439 0.0397 25.18 268
Tab.4: Maximalwerte der Wellenmittelpunktsauslenkungen (Fs=50, SD=30°)

Nichtlineare Schwingungen Seite 91
Abb.31: Radiale Wellenmittelpunktsauslenkung
Abb.32: Radiale Lagerzapfenauslenkung

Nichtlineare Schwingungen Seite 92
Abb.33: Wellenmittelpunktsbewegung
Abb.34: Lagerzapfenbewegung

Nichtlineare Schwingungen Seite 93
3.4 Abschätzung der Radialspaltveränderung durch das
Abschmelzen der Streifkante
In Kapitel 3.3 sind zeitliche Energieverläufe, wie sie durch Streifvorgänge verursacht werden,
angegeben. Durch den Kontakt der Streifkante mit dem Gehäuse wird deren Abschmelzen
verursacht, was zur Folge hat, daß sich der Radialspalt während des Streifvorganges
kontinuierlich vergrößert. Dies wiederum bewirkt, daß sich die Streifkontaktkraft und damit die
Streifenergie verringert, sodaß die Schaufel wieder außer Kontakt kommt. Um den dynamischen
Vorgang des Abschmelzens der Streifkante erfassen zu können, ist es erforderlich, einen
Zusammenhang zwischen Streifenergie (Streifkontaktkraft) und der Schmelzenergie, die das
Abbrennen verursacht, zu finden. In der vorliegenden Berechnung wird angenommen, daß 50 %
der entstehenden Streifenergie in die Streifkante der Schaufel fließt. Da die entstehenden
Wärmeströme vergleichsweise hoch sind (die Schmelztemperatur wird bereits bei Streifbeginn
erreicht), wird die Annahme getroffen, daß die Wärmeleitung in der Schaufel keine Rolle spielt,
sodaß die freiwerdende thermische Energie (in der oben genannten Prozentzahl) das
Abschmelzen der Streifkante verursacht.
Folgende Annahmen werden getroffen:
ρ=7900 kg/m 3 (Dichte)
c=540 kJ/kgK (spez. Wärmekapazität)
ASK=100 mm 2 (Streifkantenfläche)
ΔT=1000K
Unter diesen Voraussetzungen läßt sich die Vergrößerung des Radialspaltes wie folgt berechnen:
r
AS
0. 5⋅
WS
=
ρ⋅ A ⋅c ⋅Δ
T
In den Abb.35 und Abb.36 ist dieser Einfluß für den Streifkontakt II in Kapitel 3.3.3 dargestellt.
Die Streifdauer wird durch diesen Vorgang ungefähr um die Hälfte reduziert. Aus dem zeitlichen
Verlauf der Radialspaltvergrößerung ist ersichtlich, daß am Ende des Streifvorganges ungefähr
90 μm der Streifkante geschmolzen sind. Unter Berücksichtigung dieses Wertes kann auch die
entstehende zusätzliche Streifunwuchtkraft berechnet werden. Diese Kraft kann in Bezug gesetzt
werden zur Betriebsunwucht; für den hier betrachteten Streifvorgang errechnet sich für das
Verhältnis von Streifunwucht zu Betriebsunwucht folgender Wert:
Fu
Fu
S
B
= 0. 21%
(22)

Nichtlineare Schwingungen Seite 94
Abb.35: Zeitliche Veränderung des Radialspaltes durch Abschmelzen der Streifkante
Abb.36: Kontaktkraft- und Energieverlauf während des Abschmelzens der Streifkante

Nichtlineare Schwingungen Seite 95
3.5 Numerische Integration mit MATLAB-SIMULINK
Eine große Anzahl physikalischer Modelle, die im Maschinenbau auftreten, können durch
gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden. MATHWORKS bietet ein
Simulationspaket namens SIMULINK an, mit dem ein System gewöhnlicher
Differentialgleichungen gelöst werden kann, indem auf dem Bildschirm ein Blockdiagramm
(SIMULINK-Koppelplan) erstellt wird. SIMULINK ist also eine Software zur Simulation
dynamischer Vorgänge /4/. Dieses Programm ist eine MATLAB-Toolbox, die
Lösungsalgorithmen zur numerischen Integration von Differentialgleichungen zur Verfügung
stellt.
3.5.1 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
In vielen Fällen sind nichtlineare Differentialgleichungen nicht analytisch lösbar. Eine der
Lösungsmethoden besteht darin, nichtlineare Glieder mittels Taylorreihen-Entwicklung zu
linearisieren. In den vorliegenden Berechnungen wurde die direkte Zeitintegration (Schritt für
Schritt) als Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichungen gewählt. In den meisten Fällen ist
es möglich, ein dynamisches System in der sogenannten Cauchy-Form als System von
Differentialgleichungen 1. Ordnung anzuschreiben.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x& t = f x , t , x& t = f x , t ,...,& x t = f x , t
(23)
1 1 1 2 2 2
n n n
Im Bereich der Simulation ist diese Darstellungsform die gebräuchlichste. Viele
Lösungsalgorithmen benötigen diese Form sogar. Im folgenden wird das Grundprinzip von zwei
üblichen Verfahren zur Lösung solcher Probleme beschrieben /5,6/.
3.5.1.1 Runge-Kutta-Verfahren
Dies ist der Standartalgorithmus zur Lösung einer Differentialgleichung 1. Ordnung.
( ) ( ) ( )
x& t = f x, t x 0 = x0
(24)
Ausgehend vom Anfangswert x0 zum Zeitpunkt t=0 können die nächsten Funktionswerte für
einen betrachteten Zeitschritt Δt wie folgt berechnet werden:
t = t + Δ t , x = x + k
n+ 1 n n+ 1 n
1
k = ⋅ k + k + k + k
6
( 2 2 )
1 2 3 4
( )
k = Δ t ⋅f
x , t
1
n n
⎛ k1 Δt⎞
k 2 = Δt⋅
f⎜ xn
+ , tn
+ ⎟
⎝ 2 2 ⎠
⎛ k 2 Δt⎞
k 3 = Δt⋅
f⎜ xn
+ , tn
+ ⎟
⎝ 2 2 ⎠
( )
k = Δt⋅ f x + k , t + Δt
(25)
4 n 3 n
Diese Methode wird als Runge-Kutta-Algorithmus 4. Ordnung bezeichnet, da vier Aufrufe der
Funktion f(x,t) für jeden Zeitschritt benötigt werden. Der größte Nachteil dieses Verfahrens

Nichtlineare Schwingungen Seite 96
besteht darin, daß die Genauigkeit des Ergebnisses nicht unmittelbar abgeschätzt werden kann.
Die beste Methode, die Genauigkeit zu überprüfen, ist deshalb die Berechnung einer neuen
Lösung mit halber Schrittweite. Die ursprüngliche Lösung wird erst dann akzeptiert, wenn die
Ergebnisse innerhalb einer vorgegebenen Toleranzgrenze liegen.
Von Fehlberg verbesserte den Runge-Kutta-Algorithmus, um eine Fehlerabschätzung
durchführen zu können. Der Abbruchfehler, der bei einem Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung
auftritt, ist proportional (Δt) 5 (Fehler = η.(Δt) 5 ). Durch einen 5. Aufruf der Funktion f(x,t) (20 %
Mehraufwand) ist es möglich, die Proportionalitätskonstante η zu schätzen. Ist ein tolerierbarer
Fehler vorgegeben, so kann die erforderliche Integrationsschrittweite daraus errechnet werden
und eine Neuberechnung des Funktionswertes durchgeführt werden.
3.5.1.2 Prediktor-Korrektor-Verfahren
Prediktor-Korrektor Verfahren wurden um 1950 entwickelt; sie sind effizienter als ein
vergleichbares Runge-Kutta Verfahren. Eines der am häufigst verwendeten Prediktor-Korrektor
Verfahren ist das von Adams. Für diese Methode ist ebenfalls eine Differentialgleichung 1.
Ordnung Voraussetzung. Integriert man diese Gleichung über einen Zeitschritt Δt, so ergibt sich
folgende Darstellungsweise:
t
n+
1 n+
1
∫ f( x( t) , t) dt = ∫ x& ( t) dt = x( tn+ 1 ) − x( tn)
t n
t
t n
Bei dieser Methode wird nun die Funktion f(x,t) durch ein Polynom 3. Ordnung p3(t) ersetzt, das
durch 4 Punkte fn=f(xn,tn), fn-1=f(xn-1,tn-1), fn-2=f(xn-2,tn-2), fn-3=f(xn-3,tn-3) mittels der Newton
backward difference (4.5) ermittelt wird.
1
2 1
3
p3( t) = f + rΔf + r( r + 1)
Δ f + r( r + 1)( r + 2)
Δ f
2
6
t t
r =
t
−
Δ
n n n n
n k
k−
1 k−
1
Δ f = Δ f − Δ f k =
j
j
j−
1
(26)
1, 2, 3,...
(27)
Die Integration dieser Gleichung über den Zeitschritt Δt von tn bis tn+1 liefert unter
Berücksichtigung der Gleichung 23 folgende Bedingung:
Δt
x = x + ⋅ − + −
24
( 55f 59f 37f 9f
)
*
n+ 1 n n n− 1 n− 2 n−
3
Diese Gleichung wird als Prediktor Bedingung bezeichnet. Im folgenden Korrektorschritt wird
die Gleichung 23 nochmals gelöst. Als Approxmationspunkte für das Polynom 3. Ordnung
werden jetzt folgende Punkte berücksichtigt: f * n+1=f(x * n+1,tn+1), fn=f(xn,tn), fn-1=f(xn-1,tn-1),
fn-2=f(xn-2,tn-2). Integriert man die Gleichung 23 über denselben Zeitschritt Δt von tn bis tn+1 , so
ergibt sich folgende Bedingung:
Δ t *
x = x + ⋅ + − +
24
( 9f 19f 5f
f )
n+ 1 n n+ 1 n n− 1 n−
2
Mit der zweiten Bedingung wird also ein korrigierter Funktionswert xn+1 an einer Stelle tn+1
berechnet. Der größte Vorteil dieses Verfahrens ist, daß der Abbruchfehler unmittelbar durch
Vergleich von Prediktor und Korrektor Ergebnis bestimmt werden kann. Ein großer Nachteil
dieser Methode besteht darin, daß zu Integrationsbeginn bereits vier Wertepaare für x und t
(28)
(29)

Nichtlineare Schwingungen Seite 97
vorliegen müssen, damit der nächste Zeitschritt berechnet werden kann. Diese Werte müssen mit
einem anderen Verfahren (z. B. Runge-Kutta) berechnet werden.
An dieser Stelle sei auf ein besonderes Problem der dynamischen Simulation hingewiesen. Zeigt
ein System einerseits schnelles dynamisches Verhalten, und andererseits extrem langsames (z. B.
e -10000t und e -t ), so scheitern im allgemeinen die Runge-Kutta-Algorithmen. Solche Probleme
werden als steif bezeichnet. In diesem Fall sollte ein Prediktor-Korrektor Verfahren -
vorzugsweise jenes von Gear - verwendet werden.
3.5.2 Erstellen eines SIMULINK-Koppelplans am Beispiel des Lavalrotors
Im folgenden Kapitel wird erklärt, wie ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen in
MATLAB-SIMULINK programmiert wird. Anhand des mechanischen Ersatzmodells für den
Lavalrotor (Abb.37) wird ein sogenannter SIMULINK Koppelplan für dieses dynamische System
entworfen.
Abb.37: Prinzipschema des Lavalrotors mit Ersatzmodell
Aufgrund der dynamischen Gleichgewichtsbedingung läßt sich folgende Bewegungsgleichung
für den Wellenmittelpunkt anschreiben:
( ) ( )
m⋅ z& + c ⋅ z − z = F t
(30)
W W W L
Ebenso läßt sich das Kräftegleichgewicht für den Lagerzapfenmittelpunkt angeben:
( )
c ⋅ z + d ⋅z & − c ⋅ z − z = 0 (31)
L L L W W L
Diese beiden Gleichungen stellen ein lineares, gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit
konstanten Koeffizienten dar. Das Gleichungssystem ist zwar gekoppelt, durch Elimination einer
der beiden Bewegungsgrößen gelingt es jedoch leicht, eine Differentialgleichung mit nur einer
Variablen anzuschreiben.
Da das Rotoreigengewicht in den Gleichungen vernachlässigt wird, beziehen sich zW und zL auf
die statische Gleichgewichtslage des Systems. Weiters werden folgende Abkürzungen eingeführt:
2 c
c
ω = η = κ = =
m ω c ⋅ω
D
W Ω W d
, , ,
m
L
(32)

Nichtlineare Schwingungen Seite 98
η, κ und D sind dimensionslose Größen; ω stellt die Kennkreisfrequenz des Systems bei starr
gedachter Lagerung dar.
Mit diesen Größen lassen sich die Bewegungsleichungen 30 und 31 entsprechend umformen und
folgendermaßen anschreiben:
( )
F t
&z W
+ ω ⋅( zW − zL)
=
m
2
⎛ 1 ⎞ D
⎜ + 1⎟ ⋅ zL
+ ⋅z & L − zW
= 0
(34)
⎝κ
⎠ ω
Die Gleichungen 33 und 34 können in dieser Form nicht unmittelbar verwendet werden, da für
dieses Lösungsverfahren Integralgleichungen angeschrieben werden müssen. Es hat sich als
vorteilhaft erwiesen, für die Geschwindigkeiten neue Variablen einzuführen.
v = z& v = z&
W W L L
Diese beiden Definitionen liefern bereits zwei Integralgleichungen:
zW = ∫ vW dt
zL = ∫ vL dt
Unter Berücksichtigung von vW und vL können folgende Bedingungen für die
Bewegungsgleichungen 33 und 34 gefunden werden.
v
v
( )
⎛ F t 2 2 ⎞
= ∫ ⎜ − ω z + ω z ⎟ dt
⎝ m
⎠
W W L
D z
ω ω ⎛
= − ⋅ ⎜1
+
D ⎝
1⎞
⎟ ⋅z
κ⎠
L W L
Das angegebene Gleichungssystem (35-38) kann in einen geeigneten Simulationsplan umgesetzt
werden. Für die Lösung dieses Problems sind nur drei Grundelemente erforderlich. Das
Hauptelement ist der Integrierer, der das Eingangssignal ausgehend von einem Anfangswert
integriert. Durch ein sogenanntes Gain kann der Eingangswert mit einem konstanten Faktor
multipliziert werden. Die Summation der verschiedenen Größen wird durch eine Summierstelle
vorgenommen. In der Abb.38 ist der Koppelplan dieses Gleichungssystems dargestellt.
(33)
(35)
(36)
(37)
(38)

Nichtlineare Schwingungen Seite 99
Abb.38: SIMULINK-Koppelplan
Als Erregerkraft F(t) kann eine beliebige Zeitfunktion eingegeben werden. Die verwendeten
Gains sind wie folgt definiert:
2 1
2 ω ω ⎛
A = ω , B = , C = ω , D = , E = ⋅ ⎜1
+
m D D ⎝
3.5.3 Beschreibung des verwendeten Simulationsblockdiagramms
Zur Berechnung der Schwingungen in nichtlinearer Lagerung wurde ein Blockdiagramm in
MATLAB-Simulink erstellt, das gestattet, die Auslenkungen von Wellen- und
Lagerzapfenmittelpunkt zu berechnen. In der Abb.39 ist ein Blockdiagramm zur Simulation des
in 3.3.4 beschriebenen dynamischen Bewegungsvorganges dargestellt. Alle im Kapitel 3.3
durchgeführten Berechnungen lassen sich mit ähnlichen Simulationsprogrammen - die
Unterschiede bestehen nur in der Modellierung der Systemerregungskräfte - realisieren.
Diejenigen Größen, die sich während einer Simulation nicht ändern, wie die
Polynomkoeffizienten der Butenschön-Lösung für Radialgleitlager, werden in einen M-File
geschrieben. Durch Aufruf desselben im MATLAB-Command-Window können die
entsprechenden Parameter in den Workbereich geholt werden. Das Gerüst des Blockdiagramms
bilden die vier Schwingungsgleichungen - je zwei in x und in y - Richtung - der Rotor- und
Lagermasse. Aus den Komponenten der Bewegungsgrößen von W und L im kartesischen
Koordinaten-System können die für die Berechnung der Lagerreaktionskräfte und
Systemerregungskräfte erforderlichen radialen und tangentialen Richtungsanteile der
Bewegungsgrößen angegeben werden. Dadurch können einerseits die entsprechenden
Tragkraftanteile des Lagers und andererseits die Komponenten der Streiferregungskräfte
berechnet werden. Außer den bereits angesprochenen Kräften sind das Rotoreigengewicht und
die Betriebsunwucht als Erregerkräfte im mechanischen Modell zu berücksichtigen. Sie sind
relativ einfach darzustellen, da sie nicht in direktem Zusammenhang mit den Simulationsgrößen
1⎞
⎟
κ⎠

Nichtlineare Schwingungen Seite 100
stehen (Konstantwert bzw. Zeitfunktion). Die Berechnung der Streifenergie kann mittels eines
Reset-Integrators, der die entsprechende Streifleistung über die Zeit integriert, vorgenommen
werden. Nach Ende jedes Streifvorganges kann der Anfangswert durch die entsprechende
Bedingung, daß die Streifkontaktkraft negativ ist, auf den Wert null gesetzt werden.
Damit die errechneten Simulationsergebnisse auch im MATLAB-Workbereich verwendet
werden können, ist es sinnvoll, die Blockelemente „To Workspace“ an den entsprechenden
Stellen im Simulationsplan einzufügen. Dadurch besteht die Möglichkeit der Auswertung der
numerisch berechneten Zeitverläufe mit allen in MATLAB gebräuchlichen Funktionen (z. B.
Fourier-Transformation, 3D-Animation).
An dieser Stelle sei auf Probleme, die bei der Erstellung der vorliegenden Simulationspläne
aufgetreten sind, hingewiesen. Bei der numerischen Lösung impliziter Differentialgleichungen
könnnen algebraische Schleifen (algebraic loops) auftreten, die durch Einbau eines
Verzögerungsgliedes 1. Ordnung mit sehr kleiner Zeitkonstante umgangen werden können /12/.
In vielen Fällen kann es hilfreich sein, die Integration nicht bei null zu starten, sondern kleine
Auslenkungen vorzugeben. Dadurch wird vermieden, daß zu Integrationsbeginn der Wert null im
Nenner einer Funktion steht, was zur Folge hat, daß bereits beim ersten Integrationsschritt die
Simulation scheitert.

Nichtlineare Schwingungen Seite 101
Abb.39: SIMULINK-Koppelplan

Nichtlineare Schwingungen Seite 102
3.6 Literatur
/1/ H. H. Priebsch, „Rotordynamik bei grosser Unwucht mit Berücksichtigung nichtlinearer
Feder- und Dämpfungseigenschaften der Lagerung“, Dissertation 1980, TU Graz
/2/ H. J. Butenschön, „Das hydrodynamische, zylindrische Gleitlager unter instationärer
Belastung“, Dissertation 1976, TU Karlsruhe
/3/ H. Jericha, „Stabilisierung elastischer Läufer durch Zweikeillager“, Sonderdruck ELIN-
Zeitschrift 1969
/4/ MATHWORKS INC., „SIMULINK, Dynamic System Simulation Software for Technical
Education“, Prentice Hall New Jersey, 1996
/5/ A. Brian, M. Breiner, „MATLAB für Ingenieure“, Addison-Wesley Verlag, Deutschland
1995
/6/ E. Kreyszyg, „Advanced Engineering Mathematics“, seventh edition, 1993