Kapitel 2 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie - Hera-B

Kapitel 2Wechselwirkung von Teilchen mitMaterieTeilchen können nur aufgrund ihrer Wechselwirkungen mit Materie nachgewiesenwerden. Abhängig von der Eigenschaft des Teilchens, die nachgewiesen werden soll,treten verschiedene Prozesse auf:• Ionisation: Geladene Teilchen ionisieren das Medium, das sie durchqueren,entlang ihrer Flugstrecke.• Bremsstrahlung: Elektronen strahlen in Materie mit hoher Kernladungszahl Zdurch die starken Kernfelder Photonen ab.• Photonstreuung (Comptoneffekt) und Photonabsorbtion• Kernreaktionen: Teilchen, die an der starken Wechselwirkung teilnehmen (Hadronen),können durch deren Wechselwirkung mit Kernmaterie nachgewiesenwerden.• schwache Wechselwirkung: Nachweis von NeutrinosGenerell wird der Durchgang von Teilchenstrahlung durch Materie durch zwei Eigenschaftencharakterisiert: dem Energieverlust des Teilchens und dessen Ablenkungvon der ursprüglichen Flugrichtung. Diese Effekte sind auf zwei wesentliche Prozessezurückzuführen:• inelastische Kollisonen mit Hüllenelektronen des Materiales• elatische Streuung an AtomkernenDiese Reaktionen geschehen viele Male auf der Flugstrecke des Teilchens durch dieMaterie, so dass die beobachteten prinzipiellen Eigenschaften aus der kumulativenÜberlagerung resultieren.2.1 Vorbemerkungen und DefinitionenZunächst wollen wir einige wichtige Begriffe uns kurz in Erinnerung rufen, die wirspäter immer wieder verwenden werden.

2.1 Vorbemerkungen und Definitionen 27Abbildung 2.1: Definition des Wirkungsquerschnittes eines Streuexperimentes2.1.1 WirkungsquerschnittDie Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen wird allgemein über einen Wirkungsquerschnittbeschrieben. Der Wirkungsquerschnitt σ entspricht der vom Projektileffektiv gesehenen Fläche, die für die spezifische Reaktion zur Verfügung steht. Inder Sprache der Quantenmechanik entspricht dies der Wahrscheinlichkeit, dass einebestimmte Reaktion zwischen Teilchen stattfindet. Wir betrachten einen TeilchenstrahlI der auf ein Target auftreffe (Abb. 2.1). Der Einfachheit halber nehmen wiran, dass der Strahlquerschnitt wesentlich größer als das Target sei und dass die Teilchenin gleichmäßig in Ort und Zeit verteilt seien, so dass man von einem Fluss Φpro Flächen- und Zeiteinheit sprechen kann. Die Zahl in das Raumwinkelelement dΩgestreuten Teilchen ist im zeitlichen Mittel etwa konstant und werde mit dN s /dΩbezeichnet, wobei N s die mittlere Zahl der gestreuten Teilchen pro Zeiteinheit sei.Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist dann gegeben alsdσdΩ (E, Ω) = 1 dN sΦ dΩ(2.1)Somit ist dσ/dΩ der mittlere Anteil der Teilchen, die pro Zeiteinheit und pro FlusseinheitΦ in das Raumwinkelelement dΩ gestreut werden. In der Sprache der Quantenmechanikentspricht dies dem Wahrscheinlichkeitsstrom in das RaumwinkelelementdΩ normiert auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen die Fläche des Targetspassiert. Im Allgemeinen hängt der Wert von dσ/dΩ von der Energie der Reaktionund dem Streuwinkel ab. Man erhält den totalen Wirkungsquerschnitt beieiner bestimmten Energie E durch die Integration über alle Winkel:∫σ(E) =dσdΩ (2.2)dΩIn der Realität ist das Target ein ausgedehntes Objekt, welches viele Streuzentrenenthält, so dass das Problem über mittlere Reaktionsraten beschrieben werden muss.Unter der Annahme, dass die Moleküle gleichmäßig im Target verteilt sind und dasTarget dünn ist, kann die Anzahl der Streuzentren, die von dem senkrecht einfallendenStrahl gesehen wird, als N · δx geschieben werden, wobei N die Dichte derStreuzentren und δx die Dicke des Targets sind. Wenn der Strahl größer als das

28 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieTarget ist, und A sei dessen Querschnittsfläche, kann die Zahl der zur Reaktion zurVerfügung stehenden Teilchen als Φ · A geschrieben werden. Die mittlere Anzahl indΩ gestreuter Teilchen ist dannN s (Ω) = Φ · A · N · δx dσdΩund die totale Zahl gestreuter Teilchen in alle Winkel ist dann entsprechend(2.3)N tot = Φ · A · N · δx · σ (2.4)Wenn der Strahlquerschnitt kleiner als die Fläche des Targets ist, muss lediglich Adurch die vom Strahl ausgeleuchtete Fläche ersetzt werden. Wenn man Gl. 2.4 durchΦ · A teilt, erhält man die Wahrscheinlichkeit der Streuung eines einzelnen Teilchensin der Dicke δx:w(Streuunginδx) = Nσδx (2.5)2.1.2 Wechselwirkungswahrscheinlichkeit und mittlere freieWeglängeWir wollen nun den allgemeineren Fall einer beliebigen Dicke x betrachten. Dazubetrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in der im Material zurückgelegtenStrecke x keiner Wechselwirkung unterliegt. SeiP (x): Wahrschenlichkeit keiner Wechselwirkung bis xw dx: Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung zwischen x und x + dxDie Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen zwischen x und x + dx keine Wechselwirkungmacht, ist dann:P (x + dx) = P (x)(1 − w dx) ⇒ P (x) + dPdx = P − P w dxdP = −wP dx ⇒ P = C · e −w·x (2.6)wobei die Konstante C mit der Randbedingung P (0) = 1 zu C = 1 gesetzt wird. Die“Überlebenswahrscheinlichkeit” eines Teilchens im Target fällt also exponentiell mitx ab, womit die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung irgendwo auf der Distanzx alsP int = 1 − e −w·x (2.7)geschrieben werden kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen nach der Streckex zwischen x und x + dx mit einem Targetkern kollidiert, istF (x)dx = e −w·x wdx (2.8)Wir wollen nun den mittleren Abstand λ bestimmen, den das Teilchen vor der erstenWechselwirkung zurücklegt. Dies bezeichnet man als die mittlere freie Weglänge:∫ xP (x) dxλ = ∫ = 1 (2.9)P (x) dx w

2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mit Materie 29Intuitiv muss λ von der Dichte der Streuzentren im Target und dem entsprechendenWirkungsquerschnitt abhängen. Um die Relation herzuleiten, kehren wir wieder zudem in Kap. 2.1.1 beschriebenen Modell des Targets zurück. Für eine kleine Dickeδx folgt für die Wechselwirkungswahrscheinlichkeit von Gl. 2.7 unter Verwendungder Taylorentwicklung bis zum ersten Term:P int = 1 − ( 1 − δx λ + . . . ) ≃ δx λ(2.10)Vergleicht man dies mit Gl. 2.5 erhält manλ = 1N · σ(2.11)woraus für die Überlebenswahrscheinlichkeit folgtP (x) = e −xλ= e−Nσx(2.12)und für die Wechselwirkungswahrscheinlichkeiten:P int = 1 − e −xλF (x)dx = e −xλ2.1.3 Einheiten der Oberflächendichte= 1 − e−Nσx(2.13)dxλ = e−Nσx Nσ dx (2.14)Eine häufig verwendete Einheit zur Beschreibung der Dicke eines Absorbers ist dieOberflächendichte oder die Massendicke. Sie ist über die Dichte des Materials unddessen Dichte in SI-Einheiten gegebenMassendicke ≡ ρ · d (2.15)wobei ρ die Dichte und d die Dicke des Absorbers sei. In der Diskussion der Wechselwirkungvon Strahlung mit Materie ist die Verwendung der Einheit der Massendickezweckmäßiger als die der normalen Dicke, da sie direkt mit der Dichte der Streuzentrenim Material zusammenhängt. Somit können Materialen unterschiedlicherDichten normiert werden. Dieselbe Massendicke bei verschiedenen Materialien hatnäherungsweise den gleichen Effekt auf die wechselwirkende Strahlung.2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mitMaterieGeladene Teilchen werden für die folgenden Beschreibungen in zwei Klassen eingeteilt,in Elektronen und Positronen einerseits und schwere Teilchen, wie etwa µ, π,K, p, d oder α Teilchen. Die inelastische Kollison der schweren Teilchen mit denHüllenelektronen der Atome des Materiales ist im wesentlichen allein verantwortlichfür deren Energieverlust in der Materie und verursacht dabei eine Ionisation

30 Wechselwirkung von Teilchen mit Materieoder Anregung des Materials. Wenn auch der Energietransfer eines einzelnen Stoßessehr gering im Vergleich zur Energie des Teilchens ist, finden auch in einem normalenMedium ausreichend viele Wechselwirkungen statt, so dass der kumulativeEnergieverlust beobachtet werden kann. Die Stöße zwichen den Teilchen und denHüllenelektronen können so energiereich sein, dass das Elektron aus dem atomarenVerband herausgeschlagen werden kann und selbst ionisierend wirkt. In diesem Fallespricht man von δ-Elektronen. Wegen der großen Kernmassen können elastischeStöße der schwereren Teilchen mit den Kernen des Materiales vernachlässigt werden.Die inelastischen Stöße sind statistischer Natur, die mit einer bestimmten quantenmechanischenWahrscheinlichkeit auftreten. Wegen der großen Zahl an Wechselwirkungensind die Fluktuationen in der Totalenergie klein, weshalb man ohneweitere Einschänkungen mit gemittelten Energieverlusten pro Längeneinheit rechnenkann. Diese Größe, der Ionisatinosverlust (oder engl. stopping power) dE/dxwurde erstmals von Bethe und Bloch um 1930 mit quantenmechanischen Prinzipienhergeleitet.2.2.1 IonisationE E-dETeilchen (Masse M)Abbildung 2.2: Energieverlust eines Teilches beim Durchgang durch Materie.dxGeladene Teilchen verlieren beim Durchgang durch Materie Energie durch Stößemit den Hüllenelektronen der Atome (Abb. 2.2). Der mittlere Energieverlust proWeglänge ist abhängig von den Eigenschaften des Mediums und der Kinematik desTeilchens. Bohr beschrieb das Problem zunächst in einer klassischen Rechnung, Betheund Bloch entwickelten davon ausgehend unter Einbezug quantenmechanischerPhänomene eine den Prozess hinreichend gut beschreibende Formel.Der klassische Fall, Rechung von BohrWir gehen von einem schweren Teilchen der Masse M, der Ladung z · e und derGeschwindigkeit v, das in einem Medium im Abstand b an einem Hüllenelektronvorbeifliege (Abb. 2.3) aus. Das wird Elektron als nicht gebunden und in Ruheangenommen, und es bewege sich während der Wechselwirkung nur wenig. Nach der

2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mit Materie 31Abbildung 2.3: Kollision eines schweren geladenen Teilchens mit einem Hüllenelektronim Medium.Kollision sei das schwere Teilchen wegen der sehr viel größeren Masse (M ≫ m e ) nurwenig von seiner ursprünglichen Bahn abgewichen, was einer der wichtigen Gründeist, bei diesen Wechselwirkungen zwischen Elektronen und schwereren einfallendenTeilchen zu unterscheiden.Es soll nun die vom Elektron gewonnene Energie über den vom schweren Teilchenübertragenen Kraftstoß I = p bestimmt werden.∫∫∫I = F dt = e E ⊥ dt = eE ⊥dtdx dx = e ∫E ⊥dxv(2.16)wobei aus Symmetriegründen nur die zur Teilchentrajektorie senkrechte Komponentedes elektrischen Feldes E ⊥ berücksichtigt werden muss. Zur Berechnung desIntegrals ∫ E ⊥ dx verwenden wir den Gauss’schen Satz, angewandt auf einen unendlichlangen Zylinder entlang der Flugbahn des Teilchens:woraus folgt:∫E ⊥ 2πb dx = 4πzeI = 2ze2bvund die gewonnene Energie des Elektrons wird dann zu∆E(b) =⇒∫E ⊥ dx = 2 z eb(2.17)(2.18)I2= 2z2 e 4(2.19)2m e m e v 2 b 2Sei nun N e die Dichte der Elektronen dann wird der Energiverlust des Teilchen inder Schichtdicke dx zwischen b ud b + db zu:−dE(b) = ∆E(b)N e dV = 4πz2 e 4m e v 2 N edbbdx (2.20)wobei dV = 2πb db dx ist. Um den gesamten Energieverlust zu erhalten, kann manallerdings Gl. 2.20 aus physikalischen Gründen von b = 0 . . . b = ∞ integrieren, fürb = 0 liefert Gl. 2.19 einen unendlichen Beitrag und die Annahme kurzer Wechselwirkungszeitenwird für große b falsch. Die Integration muss demnach innerhalb derGrenzen b min und b max erfolgen, in denen Gl. 2.19 anwendbar ist:− dEdx = 4πz2 e 4m e v N 2 e ln ( b ) maxb min(2.21)

32 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieIm klassischen Fall beträgt der maximale Energieübertrag in einem zentralen Stoß12 m e(2v) 2 , wenn wir das Problem relativistisch betrachen wird der Energieübertragzu 2γ 2 m e v 2 . Mit Gl. 2.19 erhält man2z 2 e 4m e v 2 b 2 min= 2γ 2 mv 2 ⇒ b min = ze2γm e v 2 (2.22)Zur Herleitung von b max lassen wir die Anfangsannahme fallen, dass das Elektonfrei sei, sondern nehmen an, daß es mit einer orbitalen Frequenz ν in der Atomhüllegebunden sei. Damit das Elektron Energie absorbieren kann, muss die durch dasvorbeifliegende Teilchen verursachte Störung kurz im Vergleich zur Periode τ = 1 νsein. Die typische Zeit einer Kollision ist in unserem Beispiel t ≈ b , relativistischvgerechnet wird dies zu t → t = b , woraus folgt:γ γvbγv ≤ τ = 1 ν(2.23)Ausgehend von einer mittleren Frequenz ¯ν, gemittelt über alle gebundenen Zustände,erhält man für die obere Grenze von b:b max = γ¯ν(2.24)Wenn man nun die beiden Bedingungen für b max und b min in Gl. 2.21 einsetzt, erhältman die klassische Bohr’sche Formel− dEdx = 4πz2 e 4m e v N 2 e ln ( γ 2 mv 3 )ze 2¯ν(2.25)Diese Gleichung beschreibt den Energieverlust in Materie für α-Teilchen und schwerereKerne in guter Näherung. Für leichtere Teilchen, wie etwa Protonen, wird dieFormel wegen auftretenden quantenmechanischen Effekten falsch.Die Bethe-Bloch FormelAusgehend von der klassichen Formel des Energieverlustes von Strahlung in Materie(Gl. 2.25) haben Bethe und Bloch zur Herleitung ihrer Formel die quantenmechanischenund relativistischen Effekte in die Rechnungen miteinbezogen. Ferner wurdeder Energieübertrag nicht mehr durch den Stoßparameter b parametrisiert sonderndurch den Impulsübertrag, der einer messbaren physikalischen Größe entspricht. DieFormel ist allgemein als die Bethe-Bloch Formel bekannt und bildet den Ausgangfür alle Berechnungen zum Energieverlust von Teilchen in Materie:− dEdx = 2πN Lr 2 em e c 2 ρ Z A · z2β 2 [ln ( 2m e c 2 v 2 γ 2 ∆T maxI 2 )− 2β2 ] (2.26)Es zeigt sich in der Praxis, dass zwei weitere Korrekturterme hinzugefügt werdenmüssen, die Dichtekorrektur δ sowie eine Schalenkorrektur C:− dEdx = 2πN Lre 2 m ec 2 ρ Z A · z2 [ ( 2m e c 2 v 2 γ 2 ∆T ) maxln − 2β 2 − δ − 2 C ]β 2 I 2Z(2.27)

2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mit Materie 33Dabei sind:- r e : klassischer Elektronenradius, m e : Masse des Elektrons,N L : Avorgad’sche Zahl- z und β sind Ladungszahl und Geschwindigkeit des passierenden Teilchens- Z, A und ρ sind Kernladungszahl, Massenzahl und Dichte des Mediums- I ≈ 16 · Z 0.9 eV: effektives Ionisationspotential der Atome im Medium- ∆T max ist der maximale Energieübertrag auf ein Hüllenelektron bei einemzentralen Stoß (M Masse des Teilchens):2m e c 2 β 2 γ 2∆T max =1 + 2γm e /M + (m e /M) 2≈ 2m e c 2 β 2 γ 2 für γm e ≪ M= m e c 2 (γ − 1) für m e = M(2.28)- C: Schalenkorrekturen bei kleinen Energien,δ: Dichtekorrekturen bei großen Energien- 2πN L r 2 em e c 2 = 0.1535 MeVcm 2 /g[ ]dEIm Allgemeinen wird der Energieverlust auf die Dichte tabelliert: MeVcm 2ρdx g .In Abb. 2.4 ist die charakteristische Abhängigkeit des Energieverlustes von derEnergie dargestellt. Bei kleineren Energien dominiert der 1/β 2 -Term, bei hohenEnergien der ln γ 2 -Term. Ferner ist der Einfluss der Korrekturterme C und δ beigroßen Energien ersichtlich. Die Abhängigkeit des Energieverlustes von verschiedenenMaterialien wird in Abb. 2.5 gezeigt. Die Dichtekorrektur ist für Gase (He)wesentlich kleiner als für Festkörper. Der Anstieg bei hohen Energien ist ein relativistischerEffekt: die transversale Komponente des elektrischen Feldes wächst mit γ,die Reichweite des Feldes wird allerdings durch die Abschirmwirkung der umgebendenAtome begrenzt 1 . Zwischen dem 1/β 2 -Abfall und dem relativistischen Anstiegliegt ein breites Minimum bei γ ≈ 3.6 oder β ≈ 0.96. Man spricht hierbei von einemminimalionisierenden Teilchen. Die β- bzw. γ-Abhängigkeit wird zur Identifikationvon Teilchen benutzt: bei gleichem Impuls haben verschiedene Teilchen auf Grundihrer unterschiedlichen Massen verschiedene Werte von β oder γ, was sich in einerVerschiebung der dE/dx-Kurve zeigt. Wenn der Impuls des Teilchens beispielsweiseaus der Messung der Ablenkung in einem magnetischen Feld bekannt ist, kannman die Teilchen in der dE/dx-Verteilung zuordnen. Eine solche Messung in einerDriftkammer ist in Abb. 2.6 dargestellt.1 Dichteeffekt: Sättigung von dE/dx bei hohen Energien

2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mit Materie 35Abbildung 2.5: Energieverlust geladener Teilchen in verschiedenen Materialien.ReichweiteIn ausreichend dickem Material werden die Teilchen vollständig absorbiert, wenn sieihre gesamte kinetische Energie T verloren haben. Die Strecke, die sie zurücklegen,bevor sie vollständig absorbiert werden, nennt man die Reichweite R, die einenwohldefinierten Wert hat, und für die selben Teilchen im selben Material immer denannähernd gleichen Wert hat.dE = dEdE(T ) · dx bzw. dx =dx dE/dx⇒ R(T 0 =∫ T00dEdE/dx (2.29)Die Reichweite eines Teilchens aufgrund seines Energieverlustes durch Ionisation hatbei einer bestimmten Energie einen festen Wert mit einer sehr geringen Streuung,beim Durchgang eines Teilchenstrahles durch Materie bleibt deshalb die Teilchenzahlnahezu konstant bis zu einer relativ scharfen Abbruchkante (siehe Abb. 2.7 undAbb. 2.8). Der Grund, dass nicht alle Teilchen mit einem Schlag bei der Absorbtionskanteverschwinden, liegt in der statistischen Natur des Streuprozesses. ZweiTeilchen mit derselben Anfangsenergie unterliegen nie exakt der selben Zahl anKollisionen, eine Messung eines Ensembles identischer Teilchen zeigt deshalb einestatistische Verteilung um einen Mittelwert, der in erster Näherung gaussisch ist.

36 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieIn Gl. 2.29 wird die Reichweite bestimmt, berücksichtigt aber keine Mehrfachstreuung.Es zeigt sich, dass der Effekt der Vielfachstreuung im Allgemeinen klein ist fürschwere geladene Teilchen. In der Praxis benutzt man meist eine semi-empirischeFormel:∫ ( )T0−1dER(T 0 = R 0 (T min ) +dE (2.30)T min dxwobei T min die minimale Energie ist, bei der die Bethe-Bloch-Formel (Gl. 2.27) gültigist.NdN ~ N dxdEdxxAbbildung 2.7: Teilchenzahl und Energieverlust pro Weglänge als Funktion der imMedium zurückgelegten Strecke.xAbsorptionsprozesse mit dN = −µdx führen dagegen zu einem exponentiellenAbfall der Teilchenzahl (z.B. bei Photonen). Bei Teilchen, die an der starken Kernkraftteilhaben 2 kommt es häufig bei der Absorptionskante zu einer sehr hohenDichte der deponierten Energie. Dies wird (z.B.) vor allem in der Strahlentherapieausgenutzt. Der Grund dafür ist, dass die Teilchen zuerst abgebremst werdenmüssen, bevor sie vom Kern absorbiert werden können. Beim Absorptionsprozesshingegen wird dann die gesamte noch verbleibende Energie auf einmal deponiert.In der Kernphysik werden Reichweitemessungen zur Enerergiebestimmung vonProtonen, α-Teilchen oder anderen Kernen benutzt (siehe Abb. 2.9). Schwere Teilchenkommen aufgrund ihrer Masse weniger weit, haben aber eine höhere Ionisationsdichte.Für den Strahlenschutz ist es von Bedeutung, wie weit eine bestimmteStrahlung in ein Medium eindringen kann. Dies ist in Tab. 2.1 für einige Besipieledargestellt.2 Hadronen: Protonen, Neutronen, Pionen oder ganze Atomkerne

2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mit Materie 37Abbildung 2.8: Energieverlust pro Weglänge im Körpergewebe. Die Überhöhung amEnde kann gezielt zur maximalen lokalen Energiedeposition genutzt werden.Statistische FluktuationenDie Bethe-Bloch-Formel (Gl. 2.27) gibt das mittlere dE/dx an. Statistische Fluktuationenwerden durch die Landau-Verteilung beschrieben, die einen Gauss-artigenAnteil 3 und einen exponentiell abfallenden Ausläufer zu großen Energiverlustwertenbis zu ∆T max hat (siehe Abb. 2.10). Dabei entsprechen die großen Werte den seltenenharten Stößen, bei denen viel Energie auf ein einzelnes Elektron übertragenwird (δ-Elektronen).3 entsprechend den vielen Ionisationsprozessen bei kleinen Energieverlusten

38 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieTeilchen Energie Reichweite [m][MeV] Luft WasserElektronen 0.1 0.13 1.4 · 10 −41.0 3.80 4.3 · 10 −310.0 40.0 4.8 · 10 −2Protonen 0.1 1.3 · 10 −3 1.6 · 10 −61.0 2.3 · 10 −2 2.8 · 10 −510.0 1.2 1.5 · 10 −3α-Teilchen 0.1 1.2 · 10 −3 1.4 · 10 −61.0 5.0 · 10 −3 6.1 · 10 −610.0 9.5 · 10 −2 1.2 · 10 −4Tabelle 2.1: Reichweiten von Elektronen, Protonen und α-Teilchen in Luft und Wasser.900008000070000600005000040000most probable dE/dxLandau distribution ofminimum ionising pionsp = 400 - 800 MeV/c(dE/dx) mp= 6.8 keV/cm300002000010000→ 30% of highest chargetruncated00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50dE/dx (keV/cm)Abbildung 2.10: Landau-Verteilung verschiedener in Abb. 2.6 gemessener dE/dx-Werte.dE/dx für gemischter GaseIn gasgefüllten Detektoren wird meisst eine Mischung verschiedener Gase verwedet,da das einerseits die entstandenen Ladungen verstärken muss, aber anderseits dersich ausbreitende Schauer begrenzt werden muss. Da beide Funktionalitäten nichtin einem Gas vorhanden sein können, werden Gemische verwendet, typischerweise

40 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie2.2.2 BremsstrahlungBei der Wechselwirkung geladener Teilchenstrahlung mit Materie nehmen dieElektronen und Positronen auf Grund ihrer kleinen Massen eine Sonderrolle ein.Während der Energieverlust schwerer Teilchen in Materie im Wesentlichen auf Ionisationberuht (Gl. 2.27) kommt bei Elektronen und Positronen die Emission elektromagnetischerStrahlung aus Streuprozessen in den starken elektrischen Kernfeldernhinzu, was als Bremsstrahlung bezeichnet wird. Klassisch kann dies als Beschleunigungder Elektronen oder Positronen im Coulombfeld eines Kerns verstanden werden,und beschleunigte Ladungen strahlen Photonen ab. Bei Energien unterhalbeiniger MeV ist der Beitrag der Bremsstrahlung zum gesammten Energieverlust desTeilchens in Materie klein gegenüber der Ionisation, wird aber ab einigen 10 MeVvon vergleichbarer oder überwiegender Größenordnung wie die Ionisation und dominiertab einer bestimmten kritischen Energie total. Der totale Energieverlust vonElektronen und Positronen in Materie hat demzufolge zwei Anteile:Ionisationsverlust( ) dE=dxtot( ) dE+dxrad( ) dEdxion(2.33)Die grundlegenden Mechanismen des Ionsisationsprozesses können von der Herleigungder Bethe-Bloch-Formel (Gln. 2.26 und 2.27 in Kap 2.2.1) übernommen werden.Es ergeben sich zwei wesentliche Änderungen. Auf Grund der sehr kleinenElektronenmasse ist die Annahme, dass das eindringende Teilchen vor dem Ionisationsprozessnicht abgelenkt werde, nicht mehr richtig. Andererseits ist der Ionisationsprozessin diesem Falle ein Wechselwirkung zwischen identischen Teilchen, sodass deren Ununterscheidbarkeit in die Rechnung mit einbezogen werden muss.BremsstrahlungBei Energien unterhalb einiger hundert GeV sind Elektronen und Positronen die einzigenTeilchen, bei denen elektromagnetische Strahlung substantiell zum Energieverlustin Materie beiträgt. Die Emissionswahrscheinlichkeit ist umgekehrt proportionalzum Massenquadrat (σ ∝ r 2 e = (e 2 /mc 2 ) 2 ), somit wird der Strahlungsverlust fürMyonen, dem nächst leichtesten Teilchen nach dem Elektron (m µ ≈ 105 MeV) rund40.000 mal kleiner als im Falle der Elektronen. Der zugehörige Feynmann-Graphsieht wie folgt aus:e -γZe

2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mit Materie 41Da die Bremsstrahlung von der Stärke des auf das Elektron einwirkenden elektrischenFeldes abhängt, spielt die Abschirmung des Kernfeldes durch die atomarenElektronen eine wesentliche Rolle. Somit wird der Wirkungsquerschnitt der Bremsstrahlungzusätzlich zur Energie des einfallenden Elektrons von dessen Stoßparameterund der Kernladungszahl Z des Materials abhängig. Der Effekt der Abschirmungkann durch den Parameter ξ beschrieben werden:ξ = 100m ec 2 hνE 0 EZ 1 3(2.34)wobei E 0 die totale Anfangsenergie und E die Endenergie des Elektrons seien, hν =(E 0 − E) ist die Energie des emittierten Photons. Dieser Parameter ist klein fürkomplette Abschirmung (ξ ≃ 0) und groß für keine Abschirmung (ξ ≫ 1). Für diebeiden Fälle erhält man dann für den Wirkungsquerschnitt:ξ ≫ 1 : dσ = 4Z 2 r 2 eα dννξ ≃ 0 : dσ = 4Z 2 r 2 e αdν ν(1 + ɛ 2 − 2ɛ )( 2E 0 E ln(3 m e c 2 hν ) − 1 2 − f(Z)) (2.35)( (1+ ɛ 2 − 2ɛ )( 183 ln( ) − f(Z) ) + ɛ )(2.36)39wobei ɛ = E/E 0 ist. Die Funktion f(Z) ist eine kleine Korrektur zur Bornapproximationwelche die Coulomb-Wechselwirkung des Elektrons mit Kernfeld berücksichtigt.Den Energieverlust erhält man nun durch Integration des Wirkungsquerschnittesüber den erlaubten Bereich multipliziert mit der Photonenergie:( ) ∫ dEν0− = N · hν dσdx0 dν (E 0, ν) dν (2.37)radwobei N die Anzahl der Atome pro cm 3 sei (N = ρ · N L /A) und ν 0 = E 0 /h seien.Gl. 2.37 kann umgeschrieben werden als( ) dE− = N · E 0 · Φ rad mitdxradΦ rad = 1 ∫hν dσE 0 dν (E 0, ν) dν (2.38)Daraus wird ersichtlich, daß Φ rad , wegen der Proprotionalität von dσ/dν zu ν −1 ,praktisch unabhängig von ν ist und somit eine reine Materialgröße ist. Für diebeiden Grenzfälle gilt nun:• E 0 ≫ 137 · m e c 2 Z − 1 3 , ξ ≃ 0: komplette AbschirmungΦ rad = 4Z 2 re 2 α( ln( 183 ) + 1Z 1 3 18 − f(Z)) (2.39)• m e c 2 ≪ E 0 ≪ 137 · m e c 2 Z − 1 3 , ξ ≫ 1: keine AbschirmungΦ rad = 4Z 2 r 2 e α( ln( 2E 0m e c 2 ) + 1 3 − f(Z)) (2.40)Z 1 3

42 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieBei Werten von ξ, die zwischen den beiden Grenzwerten liegen, muss Gl. 2.37 numerischintegriert werden. Abschließend ist es interessant, die Beiträge der Ionisation(Gl. 2.27)und der Bremsstrahlung (Gl. 2.37) miteinander zu vergleichen (Abb. 2.11).Während der Energieverlust durch Ionisation logarithmisch von der Energie und linearvon Z abhängt, sind die Abhängigkeiten beim Strahlungsverlust linear zurEnergie und quadratisch mit Z. Das erklärt die starke Zunahme der Bremsstrahlungsverlustemit der Energie.Abbildung 2.11: Energieverlust durch Ionisation und Bremsstrahlung für Elektronenund Protonen als Funktion der Energie. Zum Vergleich ist zusätzlich dE/dx fürProtonen dargestellt.In der Weizäcker-Williams-Approximation kann man den Bremsstrahlungsprozessauf die Thomson-Streuung zurückführen. Man beschreibt dabei den Prozessim Ruhesystem des Elektrons und transformiert ihn anschliessend ins Laborsystemzurück und findet dabeidEdx = N −4Z2 L · ρAwobei x 0 die Strahlungslänge ist.Kritische Energiere2137 E e ln ( 183) E e = − (2.41)Z 1 3 x 0Die unterschiedlichen Abhängigkeiten von der Kernladungszahl Z des Energieverlustesvon der Energie (Ionisation ∼ Z · ln E, Bremsstrahlung ∼ Z 2 · E) bedingt,dass bei niedriger Energie die Ionisation und bei höherer Energie die Abstrahlungdominiert und stark von Absorbermaterial abhängt. Bei der kritischen Energie E ksind beide Energien gleich groß (siehe Abb. 2.11):( dEdx (E k) ) = ( dErad dx (E k) ) (2.42)ion

2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mit Materie 43und variieren mit dem Medium etwa wie E k ≈ 600 MeV/Z. Einige Zahlenwertesind in Tab. 2.2 angegeben. Eine approximative Formel für E k findet man in derLiteratur:800 MeVE k ≃ (2.43)Z + 1.2StrahlungslängeDie Größe x 0 ist die Strahlungslänge, x 0 ist die im Medium zurückgelegte Strecke,nach der die Teilchenzahl auf den 1/e-ten Teil abgesunken ist oder das Teilchen den1/e-ten Teil seiner Energie verloren hat. Wenn man Gl. 2.37 etwas umstellt, erhältman:− dE E = NΦ rad dx (2.44)Betrachtet man nur den Bereich großer Energien, in dem Ionisationsprozesse vernachlässigtwerden können, so ist Φ rad unanbhängig von E (Gl. 2.39) und es giltE = E 0 · e − x x 0 (2.45)1wobei x die im Medium zurückgelegte Strecke ist und x 0 =NΦ raddie Strahlungslänge.Entsprechend der Bethe-Bloch-Gleichung (2.27) ist die Strahlungslängex 0 durch die Eigenschaften des Mediums gegeben. Mit Gl. 2.39 erhält man dann fürdie Strahlunglänge1= 4 α re 2 x Z(Z + 1) · NL · ρ0 A · (ln( 183 ) − f(Z) ) (2.46)Z 1 3Einige Werte der Strahlungslängen für verschiedene Materiealien sind in Tab. 2.2zusammengestellt.Material Z x 0 [mm] E k [MeV]H 2 O 1/8 361.0 92.0Al 13 89.0 51.0Cu 14.3 24.8Fe 26 17.6 27.4Pb 82 5.6 9.5Luft 300500.0 102.0NaI 25.9 17.4Polystyren 429.0 109.0Tabelle 2.2: Strahlungslängen und kritische Energien.istEin hilfreiche Approximation, die die Werte von x 0 im Prozentbericht wiedergibt,716.4 g/cm 2 Ax 0 =Z(Z + 1) ln(287/ √ (2.47)Z)

44 Wechselwirkung von Teilchen mit Materiewobei Z und A die atomaren Zahlen sind. In der praktischen Anwendung werdenMaterialdichten häufig in Strahlungslängen angegeben (x = a · x 0 ), so dass Gl. 2.37wie folgt geschrieben werden kann:− ( dE )≃ E0 (2.48)daHieraus folgt, dass der Energieverlust in Einheiten der Strahlungslänge nur proportionalzur Anfangsenergie ist, aber nicht von den Eigenschaften des Absorbersabhängt.Auch für die Strahlungslänge gilt, analog zu Gl. 2.31, im falle eines Gemisches,daß sich die Strahlungslängen entsprechend des relativen Anteiles reziprok addieren:1L rad= ∑ ∀iw i ( 1L rad)i(2.49)2.2.3 Cherenkov-StrahlungCherenkov-Strahlung bildet sich dann aus, wenn sich ein geladenes Teilchen in einemMedium mit höherer Geschwindigkeit als die entsprechende Lichtgeschwindigeit desMediums bewegt. Dies Geschwindigkeit ist gegeben durchβ · c = v = c n(2.50)wobei n der Brechungsindex und c die Vakuumslichtgeschwindigkeit seien(Abb. 2.12)Abbildung 2.12: Polarisation des Mediums durch ein Teilchen mit β < β C (β ≪ 1)und β > β C (β ≈ 1).Damit sich Cherekovlicht ausbilden kann, muss das Teilchen die Geschwindigkeitv T eilchen > c n(2.51)

2.2 Wechselwirkungen geladener Teilchen mit Materie 45haben, so dass sich eine elektromagnetische Schockwelle ausbilden kann 4 Das Prinzipist in Abb. 2.13 dargestellt. Die kohärente Wellenfront wird unter einem bestimmtenWinkel θ C konusartig entlang der Flugrichtung des Teilchens emittiert:cos θ C =1n(ω) · β(2.52)Dabei ist allerdings zu beachten, dass der Cherenkov-Winkel von der Geschwindigkeitdes Teilchens β und der Frequenz ω der emittierten Strahlung abhängt.Abbildung 2.13: Ausbildung der Cherenkovstrahlung.Die oben angestellte Rechung ist allerdings nur für unendlich ausgedehnte Mediengültig. Für ein Teilchen mit der Ladung z·e, das sich gleichmäßig durch ein Materlialder Dicke l bewege, gilt für die in das Raumwinkelelement dΩ abgestrahlte Energieim Frequenzbereich dω:d 2 (E αωl= z2dωdΩ c nβ2 sin 2 θ C2πβcwobei n der Brechungsindex und für ξ(θ) gelte:) 2sin ξ(θ) · (2.53)ξ(θ)ξ(θ) = ωl (1 − βn cos θ) (2.54)2βcDer Term (sin ξ/ξ) 2 erinnert an die Beschreibung einer Beugung, Cherenkov-Strahlung wird also änhlich wie ein Beugungsmuster emittiert, mit einem grossenMaximum bei cos θ C = (βn) −1 gefolgt von weiteren kleineren Maxima.Wenn nun l sehr viel größer als die Wellenlänge λ = ω/c ist, wird der (sin ξ/ξ)Term näherungsweise zu der Delta-Funktion δ(1−βn cos θ), welche verlangt, dass dieCherenkov-Strahlung unter dem in Gl. 2.52 definierten Winkel emittiert wird. Mitcos θ C < 1 folgt, dass die Schwelle, ab der Cherenkovlicht entstehen kann, 1 < β ist,nwas die einfachen Überlegungen von oben bestätigt. Im Allgemeinen ist n abhängigvon ω, so dass der Emissionswinkel für verschiedene Frequenzen unterschiedlich ist.4 Das Prinzip ist aus dem akustischen Bereich besser bekannt: Ein Überschallflugzeug verursachteinen Überschallknall.

46 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieUm nun die emittierte Energie pro Weglänge zu finden, integriert Gl. 2.53 manüber den Raumwinkel:− dEdω= z2αc ωl sin2 θ C (2.55)Durch Division mit l und Integration über die Frequenzen, für die die Bedingungβ > 1/n(ω) erfüllt sind, ergibt sich:− dEdx= z2αc∫sin 2 θ C ω dω = z 2 αc∫ ( 1 −)1ω dω (2.56)β 2 n 2 (ω)Der Energieverlust nimmt demnach mit β zu, ist aber in Vergleich zum Energieverlustdurch Ionisation auch im relativistischen Bereich klein und ist im Korrekturtermder Behte-Bloch-Gleichung (Gl. 2.27) enthalten.Eine für den Detektorbau wichtige Größe ist die Anzahl emittierter Photonen,wenn ein Teilchen durch ein spezifisches Medium fliegt. Diese erhält man, wennGl. 2.55 durch l und ω dividiert wird:d 2 ()N γdωdx = z2 αcsin2 θ c = z2 α 11 −c β 2 n 2 (ω)(2.57)oder als Funktion der Wellenlänge λ:d 2 ()N γdλdx = 2πz2 α 11 −λ 2 β 2 n 2 (λ)(2.58)Ein Phothomultiplier (Beschreibung folgt in Kap. 4.4) arbeitet typischerweisse ineinem Wellenlängenbereich von λ ∈ [350, 550] nm. Integriert man nun Gl. 2.58 überdiesen Wellenlängenbereich, so erhält man die sehr nützliche NäherungsformeldN γdx = 2πz2 α sin 2 θ c∫ λ2λ 1d λλ ≃ 2 475z2 sin 2 #γθ ccm(2.59)2.3 Wechselwirkung von Photonen mit MaterieDas Verhalten der neutralen Photonen ist grundsätzlich verschieden von dem geladenerTeilchen. Da es ein neutrales Teilchen ist, können die oben diskutierten Prozessenicht übertragen werden. Abhängig vom Energiebereich unterscheidet man zwischendrei Bereichen:• Photoeffekt: Das Photon überträgt seine gesamte Energie auf ein Hülllenelektron.• Compton-Effekt: Das Photon streut elastisch an einem Hüllenelektron.• Paarbildung: Das Photon konvertiert im Coulomb-Feld des Kernes zu eineme + e − -Paar.

2.3 Wechselwirkung von Photonen mit Materie 47Aus diesen Effekten werden zwei typische Charakteristika von Photonenstrahlendeutlich: Zum einen sind Röntgen- und γ-Strahlen viel durchdringender als geladeneTeilchen und zum anderen wird ein Strahl von Photonen in einer bestimmtenSchichtdicke von Material nicht abgebaut sondern nur in der Intensität abgemildert.Der erste Effekt hat damit zu tun, dass die Wirkungsquerschnitte der obengenannten Prozesse sehr viel kleiner als der der inelastischen Elektronstöße sind.Der zweite Prozess begründet sich darin, dass das Photon nach allen genannten Reaktionenvollständig aus dem Strahl entfernt wird, so dass die Photonen bis zumSchluss ihre volle Anfangsenergie besitzen. Daraus folgt sofort, dass die IntensitätI(x) des Photonenstrahles einem Exponentialgesetz gehorchtI(x) = I 0 · e −µ·x (2.60)wobei µ der Absorptionskoeffizient sei. Der Absoptionskoeffizient ist eine charakteristischeGröße für jedes Material und hängt direkt mit dem totalen Wechselwirkungsquerschnittzusammen. Die Energieabhängigkeit aller Prozesse sowie derenÜberlagerung ist in Abb. 2.14 dargestellt.Abbildung 2.14: Photoabsorbtionswirkungsquerschnitt als Funktion von E γ .PhotoeffektBeim Photoelektrischen Effekt wird das Photon von einem Hüllenelektron absorbiert,welches dadurch aus der Hülle herausgelöst wird. Die kinetische Energie des

48 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieElektrons ist dann die Energie des Photons abzüglich der Bindugsenergie, und derWirkungsquerschnitt hat die folgenden Abhängigkeiten von Z und E γ = h · ν:E e = E γ − E B , σ P hoto ∼ Z n /E 3 γ n ≈ 4 . . . 5 (2.61)γ-eDa ein freies Elektron nicht ein Photon absorbieren und gleichzeitig den Impulserhalten kann, unterliegen dem Photoeffekt nur gebundene Elektronen, so dass derRückstoßimpuls durch den Kern aufgefangen werden kann.Es ist nicht einfach, den Photoeffekt theoretisch herzuleiten, da die Dirac-Wellenfunktionen für Hüllenelektronen sehr komplex sind. Unter der Annahme nichtrelativistischerEnergien (hν ≪ m e c 2 ), kann der Wirkungsquerschnitt mit eine Born-Approximation berechnet werden:σ photo = 4α 4√ 2Z 5 8π 3 r3 e( m e c 2hν) 72proAtom (2.62)Abschließend sei noch die Abhängigkeit von der Kernladungszahl Z bemerkt, diesich, je nach Photonenergie, in den Bereichen der 4. bis 5. Potenz bewegt (Gl. 2.61).ComptoneffektDer Comptoneffekt ist einer der am besten verstandenen Prozesse der Photonwechselwirkung.Er beschreibt die Streuung von Photonen an freien Elektronen. In Materiesind die Elektronen allerdings gebunden, wenn die Photonenergie allerdingsgroß gegenüber der Bindungsenergie ist, so kann diese vernachlässigt werden unddas Elektron als quasi frei betrachtet werden. Das Photon streut elastisch an einemHüllenelektron, überträgt dabei einen Teil seiner Energie auf das Elektron und verliertdabei selbst Energie. Der Wirkungsquerschnitt ist proportional zur Zahl derHüllenelektronen und somit zur Kernladungszahl Z:E ′ γ =E γ1 + Eγm ec 2 (1 − cos θ) , σ Compton ∼ N(e − ) ∼ Z (2.63)γe -Zθγ ’

2.3 Wechselwirkung von Photonen mit Materie 49Ferner gilt für die kinetische Energie T des gestreuten Elektrons:T = hν − hν ′ γ(1 − cos θ)= hν1 + γ(1 − cos θ)(2.64)wobei γ = hν/m e c 2 ist. Die Berechnung des Wirkungsquerschnittes der Comptonstreuungwar eine der ersten Rechnungen der Quantenelektrodynamik. Er istin seiner Größenordnung durch den Thompson’schen Wirkungsquerschnitt festgelegt(σ T h = 8π 3 r2 e ). Mit der Formel von Klein-Nishina erhält man mit der Relationσ c = σ T h (1 − 2Eγ ) für Emc 2 γ ≪ mc 2dσdΩ = r2 e2(11 + cos 2 θ + γ2 (1 − cos 2 θ) 2 )(1 + γ(1 − cos θ)) 2 1 + γ(1 − cos θ)(2.65)wobei r e der klassische Elektronenradius ist. Die Winkelverteilung ist dabei stark inVorwärtsrichtung gebündelt (Abb. 2.15).Abbildung 2.15: Energieverteilung der durch Compton-Streuung angestoßenen Elektronen.Integration von Gl. 2.65 über dΩ liefert dann die totale Wahrscheinlichkeit proElektron einer Compton-Streuung:σ c = 2πr 2 e( 1 + γ ( 2(1 + γ)γ 2 1 + 2γ − 1 γ ln(1 + 2γ)) + 1 ln(1 + 2γ) −1 + 3γ )2γ (1 + 2γ) 2(2.66)

50 Wechselwirkung von Teilchen mit MateriePaarbildungBeim Prozess der Paarbildung konvertiert das Photon in ein Elektron-Positronpaar.Dies kann aus Gründen der Impulserhaltung nur in Anwesenheit eines weiterenschweren Objektes wie dem Atomkern geschehen und das Photon muss eine Minimalenergievon E γ ≥ 2·m e = 1.022 MeV haben. Der Wirkungsquerschnitt hat danndie Abhängigkeit von der Kernladungszahl Z und eine Schwelle bei der doppeltenElektronmasse m e :σ P aar ∼ Z 2 E γ > 2m e (2.67)γe+e-ZeTheoretisch betrachtet ist der Paarbildungsprozess eng über eine einfache Substitutionmit dem der Bremsstrahlung verwandt. Auch wie im Falle der Bremsstrahlungspielt die Abschirmung der Kernfelder eine wesentliche Rolle, und analog zu Gl. 2.34wird der Abschirmungsparameter ξ definiert:ξ = 100m ec 2 hνE + E − Z 1 3(2.68)wobei E ∓ die Energien des auslaufenden Elektrons/Positrons ist. Analog zum Vorgehenbei der Bremsstrahlung beschränken wir uns wieder auf die Bereiche ohneAbschirmung (ξ ≫ 1) und kompletter Abschirmung (ξ → 0). Im relativistischenBereich erhält man aus einer Born’schen Näherung die folgende Formel für den Fallkeiner Abschrimung (ξ ≫ 1):dτ = 4Z 2 αredE 2 E+ 2 + E2 − + 2E 3 +E −( 2E + E ) −+ ln(hν) 3 hνm e c 2und im Falle der totalen Abschirmung (ξ → 0)(dτ = 4Z 2 dE + (E2αr e(hν) 3 + + E− 2 + 2E +E −3)(ln(183Z 1 3) − f(Z) ) − E )+E −9(2.69)(2.70)Aufgrund der Born-Approximation sind die Formeln von Gln. 2.69 und 2.70 nichtsehr genau im Bereich hoher Z und kleiner Energien.Um den totalen Paarproduktionswirkunsquerschnitt zu erhalten, müssen die beidenobigen Ausdrücke (Gln. 2.69 und 2.70) numerisch integriert werden, wiederumgetrennt für die beiden oben erwähnten Fälle. Im Falle keiner Abschirmung mitm e c 2 ≪ hν ≪ 137m e c 2 Z − 1 3 erhält man aus einer analytischen Integrationτ pair = 4Z 2 αr 2 e( 79( 2hν lnm e c − 2 f(Z)) − 10954)(2.71)

2.3 Wechselwirkung von Photonen mit Materie 51Analog erhält man für den Fall kompletter Abschrimung (hν ≫ 137m e c 2 Z − 1 3 ):( 7 (τ pair = 4Z 2 αre2 183 ln( ) − f(Z) ) − 1 )954Z 1 3(2.72)Aus dem totalen Wirkungsquerschnitt lässt sich wiederum eine mittlere freieWeglänge λ pair der Paarproduktion herleiten. Mit Gl. 2.72 erhält man1= Nτ pair ≃ 7 λ pair 9 4Z(Z + 1)Nr2 e α( ln( 183 ) − f(Z) ) (2.73)wobei N die Dichte der Atome ist. Dies erinnert sehr an die Strahlungslänge x 0 , undder Vergleich mit Gl. 2.46 liefertZ 1 3λ pair ≃ 7 9 x 0 (2.74)Elektron-Photon-SchauerDie Kombination der Paarproduktion hochenergetischer Photonen mit der Bremsstrahlungder dabei entstehenden Elektronen und Positronen führt zur Formationeines elektromagnetischen Schauers. Dabei spielt es für die Ausbildung des Schauerskeine Rolle, ob das anfängliche Teilchen ein Photon oder Elektron (bzw. Positron)war.Ein hochenergetisches Photon konvertiert in Materie in ein Elektron- Positronpaar,welche ihrerseits wiederum durch Bremsstrahlung Photonen emittieren, welchewiederum e + e − -Paare bilden. Dieser Prozess setzt sich solange fort, bis die Energieder Elektronen und Positronen unterhalb der kritischen Energie liegt und sie ihreEnergie durch atomare Stöß verlieren.Die Ausbildung einer Kaskade ist ein statistischer Prozess. Die mittlere Zahl derproduzierten Teilchen und deren mittlere Energie werden typischerweise als Funktionder Eindringtiefe bestimmt. Ausgehend von einem Photon mit der Energie E 0 erhältman nach der mittleren freien Weglänge λ pair (bzw. einer Strahlungslänge, Gl. 2.74)

52 Wechselwirkung von Teilchen mit Materieein e + e − -Paar mit der jeweiligen Energie E 0 /2. Nach einer Strahlungslänge x 0 stehenfür den Prozess dann 4 Photonen zur Verfügung, jedes mit der Energie E 0 /4. Darausist sofort ersichtlich, dass man für die totale Zahl N der produzierten Teilchen nacht Strahlungslängen erhältN ≃ 2 t (2.75)jedes mit einer mittleren Energie vonE(t) ≃ E 02 t (2.76)Unter der Annahme, dass der Schauer abrupt bei Erreichen der kritischen EnergieE c abbricht, erhält manwas aufgelöst nach t max liefertE(t max ) = E 02 tmax = E c (2.77)t max = ln E 0E cln 2(2.78)Die maximale Anzahl der produzierten Teilchen ist dannN max ≃ E 0E c(2.79)Der Schauer weitet sich während seiner Ausbildung entlang der Strahlachse auf.Dies wird verursacht durch den endlichen Öffnungswinkel zwichen dem Elektronund Positron aus der Paarproduktion, welcher die Teilchen aus der Longitudinalachsestreut, ferner durch Vielfachstreuung der Elektronen und schließlich durch dieEmission von Bremsstrahlungsphotonen, die sich von der Strahlachse weg bewegen.Die transversale Komponente dieses Prozesses bezeichnet man als Molier RadiusR M (Ab. 2.16) und bestimmt sich ausR M = x 0 · EsE c(2.80)wobei E s = m e c 2√ 4π/α = 21.2 MeV und E c die kritische Energie ist. Genau wiedie Strahlungslänge skaliert der Mollier-Radius sehr genau mit verschiedenen Materialien,so dass die Resultate in Abhängigkeit von R M in guter Näherung nahezuunabhängig vom Material sind.

2.3 Wechselwirkung von Photonen mit Materie 53Abbildung 2.16: Mollierradius R M eines elektromagnetischen Schauers in Einheitender Strahlungslänge x 0 .Die genaue Kenntnis der longitudinalen und transversalen Komponenten derSchauerbildung ist von großer Wichtigkeit für die Planung und den Bau von elektromagnetischenKalorimetern. Solche Detektoren werden gebaut, um die Gesamtenergiehochenergetischer Teilchen durch Absorption der Kaskade zu messen. DasMaterial des Detektors sowie dessen Größe werden durch die Charakteristik des jeweiligenEnergieverlustes bestimmt. Um zum Bespiel einen Schauer von 30 GeV inEisen zu absorbieren, wird beispielsweise ein Block einer Größe von mindestens 20Strahlungslängen benötigt.Totaler PhotonabsorptionskoeffizientDie totale Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon in Materie irrgend eine Wechselwirkungmacht, ist die Summe aller oben diskutierten Prozesse. Für den Wirkungsquerschnittpro Atom erhalten wir dannσ γ = Φ photo + Z · σ c + τ pair (2.81)wobei der Compton-Wirkungsquerschnitt mit der Kernladungszahl Z multipliziertwurde, um die Z Elektronen pro Atom zu berücksichtigen. Die Überlagerung unddie relative Stärke aller Prozesse ist in Abb. 2.17 dargestellt.

54 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieAbbildung 2.17: Absorptionskoeffizient pro Schichtdicke von Photonen in Blei.Aufgrund dieser Effekte werden Photonen proportional zur zurückgelegten Wegstreckeabsorbiert. Die Absorptionswahrscheinlichkeit pro Weglänge wird im Absorptionskoeffizientenµ angegeben:− 1 NdNdx = µ = dN T · σdx · F= ρN LA σ (2.82)also folgt die Anzahl der Photonen in einem Strahl einem Exponentialgesetz:N(x) = N 0 e −µx (2.83)Für den Absorbtionskoeffizienten µ gilt dann bei der Überlagerung aller drei Effekte:µ = µ photo + µ c + µ pair , µ i = N · σ i = N L · ρA · σ i (2.84)Für zusammengesetzte Medien bestimmt man dann den effektiven Massenabsorptionskoeffizientenmittels( ) µ= ∑ ( )µiw i w i = Gewichtsprozent (2.85)ρ ρ ieffDies gleicht dem Verhalten geladener Teilchen, die durch Ionisation kontinuierlichEnergie verlieren und eine bestimmte (diskrete) Reichweite haben (siehe Abb. 2.7).In Abb. 2.17 sind die Beiträge zur Absorption von Photonen als Funktion der Photonenergiein Blei dargestellt. Abgesehen von einem schmalen Bereich um ca. 1 MeVwird die Absorption von Paarbildung und Photoeffekt dominiert, für leichtere Materialienwird entsprechend der Z-Abhängigkeit der Bereich des Comptoneffektes

2.4 Hadronische Wechselwirkungen 55¢§¦breiter. Zum Abschluss vergleichen wir nochmals die verschiedenen Photoabsorptionsprozesse:σσ(E γ groß)Photoeffekt ∝ Z 4 . . . Z 5 ∝ 1/E γComptoneffekt ∝ Z ∝ 1/E γPaarbildung ∝ Z 2 const.2.4 Hadronische WechselwirkungenNeben den oben diskutierten elektromagnetischen Wechselwirkungen, finden fürstark wechselwirkende Teilchen auch hadronische Prozesse statt. Hadronische Wirkungsquerschnittesind in der Regel von der Größenordung der geometrischen Querschnittsflächender Kerne des Mediums. Da die Kernkräfte eine extrem kurz Reichweitehaben, ist die Kerndichte nahezu konstant und das Kernvolumen proportionalzur Kernmassenzahl A und der Kernradius zu A 1 3 woraus sich eine Proportionalitätdes Wirkungsquerschnittes zu A 2 3 ergibt.Genau wie elektromagnetisch wechselwirkende Teilchen können auch HadronenSchauer erzeugen. Die Bildung eines hadronischen Schauers läuft prinzipiell gleich abwie bei einem elektromagnetischen Schauer, mit dem Unterschied, dass der hadronischeSchauer irregulär ist und größere Fluktuationen zeigt und eben die hadronischeWechselwirkung dominiert:p + Kern → π + + π − + π 0 + . . . + Kern ∗Kern ∗ → Kern1 + n + p + α + . . . + ev.KernspaltungDie hochenergetischen π’s erleiden wiederum mit den Kernen des Materials vieleinelastische Stöße und erzeugen weitere Teilchen. Da für die π 0 der dominante Zerfallin π 0 → 2γ ist, bildet sich parallel zum hadronischen immer ein elektromagnetischerSchauer aus. Dies ist in Ab. 2.18 dargestellt.¡ ¡ ¡£ £§©¨§©¨§¤¦¥Abbildung 2.18: Ausbildung eines hadronischen Schauers und des parallelen elektromagnetischenSchauers.Die entsprechende charakteristische Länge bezeichnet man als die nukleare Wechselwirkungslängeλ had :λ had =1σ had · N =Aσ pN · A 2 3 · N L · ρ ∝ A 1 3 (2.86)

56 Wechselwirkung von Teilchen mit MaterieEs zeigt sich, dass sowohl die transversale als auch die lonigitudinale hadronischeSchauerverteilung duch die nukleare Wechselwirkungslänge charakterisiert wird. DieLänge eines Absorbers die benötigt wird, um einen Teilchenstrahl zu absorbieren,wächst logarithmisch mit dessen Energie an, typische Längen sind 6 · . . . 9 · λ had .In den vorhergehenden Abschnitten hatten wir gesehen, dass für elektromagnetischeSchauer die longitudinale Ausdehnung propotional zur Strahlungslänge x 0 ∝ A Z 2und die transversale Ausdehnung proportional zum Molier-Radius R M ∝ X 0E cist.Somit unterscheiden sich elektromagnetische und hadronische Schauer durch ihreAusdehnung:λ hadx 0= A 1 3 ·Z2A ∝ A 4 3 (2.87)womit Werte für Gl. 2.87 von bis zu 30 durchaus möglich sind (Abb. 2.19)λ int/ X0Z KernladungAbbildung 2.19: Das Verhältnis λ hadals Funktion verschiedener Materialien.x 0Es ist im Falle des hadronischen Schauers wesentlich schwieriger, ein einfachesSchauermodell zu entwickeln. Zum einen fluktuiert die Energieaufteilung auf dieverschiedenen Komponenten (hochenergetische Hadronen, elektromagnetische Teilchen,Kernbindungsenergie), und ein Teil der Energie ist überhaupt nicht nachweisbar,wie etwa Neutrinos oder die Kernbindungsenergien. Der letztere Effekt wirdteilweise kompensiert durch n-Einfang und der nachfolgenden Freisetzung der Bindungsenergie.Ferner ist die Ortsverteilung der Energiedeposition von π ± und π 0

2.4 Hadronische Wechselwirkungen 57unterschiedlich, und der Bruchteil, der durch die π 0 -Mesonen deponiert wird, steigtmit der Energief em ≈ f π 0 ∝ E prim(2.88)1 GeVda schnelle Hadronen immer nur zur elektromagnetischen Komponente beitragenkönnen (π − p → π 0 n, . . .), das Umgekehrte ist nicht möglich, da Photonen nur sehrselten π ± erzeugen. Schlißlich nimmt bei kleinen Energien (E prim < 1 GeV) derWirkungsquerschnitt für inelastische Stöße sehr stark ab, so dass keine Teilchenerzeugungmehr möglich ist. Die Teilchen verlieren dann ihre Energie durch Ionisationund Anregung. Aufgrund dieser Probleme sind analystische Rechnungen für hadronischeSchauer praktisch nicht möglich, man muss sich dann auf Modellrechnungenverlassen, die auf Monte-Carlo Modellen beruhen.