Einführung in Mathematica (1)

Einführung in Mathematica (1)Numerisches und Symbolisches RechnenL. Tiator, M. Distler, Computer in der Wissenschaft, WS 2013/14Praktische Hinweise zur grafischen Oberflächeü Menü-Struktur(nur ausgewählte Menüpunkte)üFile-Menüdas üblicheüEdit-MenüUndo (Ctrl+Z) : Achtung! Nur die letzte Aktion kann rückgängig gemacht werden.keine Chancen bei Formattierungsänderungenregelmäßiges Zwischenspeichern ist unbedingt notwendig!Complete Selection (Ctrl+K) : sehr hilfreich bei langen Befehlsnahmen und OptionenPreferences ...: einige globale EinstellungenüInsert-MenüInput from Above (Ctrl+L): kopiert die letzte Zelle, sehr praktisch für kleine Änderungen bzw. TestsüFormat-Menüspezielle Darstellungen und FormattierungenüCell-MenüConvert ToPropertiesDivide CellsMerge Cells: Konvertierung zwischen InputForm (Shift+Ctrl+I), StandardForm (Shift+Ctrl+N),TraditionalForm (Shift+Ctrl+T): Eigenschaften einer Inputzelle, z.B. Active oder Initialization: an der Cursorposition mit Shift+Ctrl+D in 2 Zellen teilen: Zellklammern markieren und mit Shift-Ctrl+M zu einer einzigen Zelle vereinigenDelete All Output: alle Output-Zellen werden gelöscht, z.B. zum Versenden per EmailüGraphicsnur SpezialitätenüEvaluationQuit Kernel: beendet den Kernel, damit wird die gesamte Vorgeschichte gelöschtund alle Rechnungen können wieder "sauber" beginnen (Reset)

2 Mathematica_2013-1.nbPalettesBasicMathInputAlgebraicManipulation: wichtigste Palette für Eingabesyntax, kann immer offen sein: praktisch für Umformungen komplexer AusdrückeüWindowShow Ruler : Maßstab mit Seiten-MarkierungenShow Toolbar : praktische Icon-LeisteFullscreen (F12): ganzer Bildschirmü Option Inspector(Shift-Ctrl-O oder Toolbar oder Format-Menü)sehr viele Details individuell einstellbar (aber nicht sehr übersichtlich)eine recht nützliche Einstellung sind die Cell Labels (bis Vers. 5 default)Show option values: Selected Notebook oder Global Preferences einstellenim Baumdiagramm: Cell Options - Cell Labels auswählenoption ShowCellLabel: True anklickenInitialisierungMathematica ist das vielseitigste und mächtigste Computer-Algebra-System. Es kann sowohl für symbolisches als auchnumerisches Rechnen eingesetzt werden und enthält sehr umfassende Grafikmöglichkeiten mit 2D- und 3D-Darstellungen,Animationen und vieles mehr.Darüber hinaus lässt sich Mathematica durch Zusatzpakete noch beliebig erweitern.Für solche "packages" als auch für die standard Mathematica packages ist ein Suchpfad definiert. Diesen Suchpfad kann manmit

Mathematica_2013-1.nb 3$PathC:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\SystemFiles\Links,C:\Users\tiator\AppData\Roaming\Mathematica\Kernel,C:\Users\tiator\AppData\Roaming\Mathematica\Autoload,C:\Users\tiator\AppData\Roaming\Mathematica\Applications,C:\ProgramData\Mathematica\Kernel, C:\ProgramData\Mathematica\Autoload,C:\ProgramData\Mathematica\Applications, ., C:\Users\tiator,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\Packages,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\LegacyPackages,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\SystemFiles\Autoload,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\Autoload,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\Applications,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\ExtraPackages,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\SystemFiles\Kernel\Packages,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\Documentation\English\Systemanzeigen und ggf. mit$Path $Path ".", "U:\\Mathematica"., C:\ProgramData\Mathematica\Applications,C:\ProgramData\Mathematica\Autoload, C:\ProgramData\Mathematica\Kernel,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\Applications,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\Autoload,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\ExtraPackages,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\LegacyPackages,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\AddOns\Packages,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\Documentation\English\System,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\SystemFiles\Autoload,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\SystemFiles\Kernel\Packages,C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\7.0\SystemFiles\Links,C:\Users\tiator, C:\Users\tiator\AppData\Roaming\Mathematica\Applications,C:\Users\tiator\AppData\Roaming\Mathematica\Autoload,C:\Users\tiator\AppData\Roaming\Mathematica\Kernel, U:\Mathematicaerweitern.Falls Daten oder Programmteile von einem speziellen Arbeitsdirectory eingelesen werden sollen oder geschrieben werdensollen, kann man global ein Directory (Unix Syntax) definieren, z.B.SetDirectory"D:CTKursAktueller Kurs 2012Vorlesung"SetDirectory::cdir : Cannot set current directory to D:CTKursAktueller Kurs 2012Vorlesung. à$FailedSetDirectory"U:DokumenteMathematicaÜbung"Mit der nachfolgenden Eingabe wird das Directory aus dem das Notebook geöffnet wurde zum aktuellen Directory.Dies ist in den meisten Fällen die beste Variante.SetDirectoryNotebookDirectoryC:\Daten\CTKurs\Aktueller Kurs 2013\VorlesungDie Files im Arbeitsdirectory können mitFileNames2011, 2012, Datenfiles, extras, Manipulate and Graphics 2013.nb,Mathematica_1.nb, Mathematica_1.pdf, Mathematica_20131.nb, Mathematica_20131.pdf,Mathematica_20132.nb, Mathematica_20133.nb, Mathematica_20134.nb,Mathematica_2.nb, Mathematica_2.pdf, Mathematica_3.nb, Mathematica_3.pdf,packages, Thumbs.db, Tour, Tutorials, Vorlesung Mathematica, Vorlesung PaperShowoder auch gezielt mitFileNames".dat"

Mathematica_2013-1.nb 51 12In der Graphischen Oberfläche gibt es eine große Zahl von verschiedenen Zellentypen (> 10)Nur der Typ: Input erlaubt eine Mathematica BerechnungViele Typen: Title, Subtitle, Subsubtitle, Section, Subsection, Subsubsection, Text,dienen nur zur Strukturierung eines Mathematica-Notebooksü Mathematica PackagesMit den sogenannten "packages" ist Mathematica beliebig erweiterbar. Packages sind rein textorientiert als name.m abgespeichert(z.B. Calendar.m). Eine Großzahl von Standard Packages gehören zum Lieferumfang von Mathematica dazu und werden mitGet["PackageName`"], bzw.

Mathematica_2013-1.nb 7das Laden dieses Pakets dauert überdurchschnittlich lange? PhysicalConstants`*PhysicalConstants`AccelerationDueToGravity FineStructureConstant ProtonComptonWavelengthAgeOfUniverse GalacticUnit ProtonMagneticMomentAvogadroConstant GravitationalConstant ProtonMassBohrRadius HubbleConstant QuantizedHallConductanceBoltzmannConstant IcePoint RydbergConstantClassicalElectronRadius MagneticFluxQuantum SackurTetrodeConstantCosmicBackgroundTemperÖature MolarGasConstant SolarConstantDeuteronMagneticMoment MolarVolume SolarLuminosityDeuteronMass MuonGFactor SolarRadiusEarthMass MuonMagneticMoment SolarSchwarzschildRadiusEarthRadius MuonMass SpeedOfLightElectronCharge NeutronComptonWavelength SpeedOfSoundElectronComptonWavelength NeutronMagneticMoment StefanConstantElectronGFactor NeutronMass ThomsonCrossSectionElectronMagneticMoment PlanckConstant VacuumPermeabilityElectronMass PlanckConstantReduced VacuumPermittivityFaradayConstant PlanckMass WeakMixingAngleProtonMass1.67262 10 27 KilogramAgeOfUniverse4.7 10 17 SecondConvert, Year1.49036 10 10 YearüPackage : ErrorBarPlots (z.B. in Mathematica_2)Needs"ErrorBarPlots`"? ErrorBarPlots`*ErrorBarPlots`ErrorBar ErrorBarFunction ErrorBarPlot ErrorListPlotüPackage : Splines (z.B. in Mathematica_4)Splines`Needs"Splines`"? Splines`*Bezier Cubic Spline SplineDots SplineFunctionCompositeBeziÖer RenderSpline SplineDivision SplineFit SplinePoints

8 Mathematica_2013-1.nbü Help System (F1)Das Help System von Mathematica heißt: Documentation Center und öffnet sich mit F1es ist sehr umfangreich und äußerst hilfreichEs ist grob in folgende Kategorien aufgeteilt:Core LanguageMathematics and AlgorithmsData Handling & Data SourcesSystems Interfaces & DeploymentDynamic InteractivityVisualization and GraphicsNotebooks and Documentsund bietet eine sehr große Verzweigung mit Hinzunahme von Internet Links.üFunktions-Browser (F1 mit Cursor in Funktionsname)Für die meisten speziellen Probleme bei der Eingabesyntax und bei der Suche von ähnlichenBefehlen eignet sich am besten der Funktions-Browser (F1)(am einfachsten: Funktionsname markieren und F1 drücken)ü Mathematische NotationNeben der ursprünglichen rein textorientierten Eingabeform gibt es bei Mathematica zusätzlich eine mathematische "StandardForm" und eine mathematische "Traditional Form", z.B.:Input Form (Shift+Ctrl+I)Integrate[ArcTan[x^2]/x^2, {x,0,Infinity}]Standard Form (Shift+Ctrl+N) 0 ArcTanx 2 x 2x tanTraditional Form (Shift+Ctrl+T) -1 x 2 0„ xAuch mit dem Menü: Cell / Convert To können die Formen ineinander umgewandelt werden.Die Eingabe der mathematischen Notation kann auf verschiedene Weise erfolgen:x 2üVerwendung von PalettenAm umfangreichsten sind die Assistenten: Basic Math Assistent, Classroom Assistent und Writing AssistentDie wichtigste Eingabepalette ist: Basic Math Input unter Menü: Palettes/Other.Eine weitere nützliche Palette ist: Algebraic Manipulation.üEingabe mit Ctrl (Strg) ShortcutsBeispiele: Ctrl{#} bedeutet gleichzeitiges Drücken der Ctrl (Strg) Taste und der Taste #x Ctrl ^ 3 Æ x 3x Ctrl 3 Æ x 3x Ctrl _ 3 Æ x 3Ctrl 2 x Æ xCtrl Space Æ beendet die Eingabe oder einfach : Pfeil nach rechtsx Ctrl ^ 2 Ctrl Space + 1 Ctrl Ctrl 2 x Ctrl Space + a Ctrl SpaceÆ x 2 +1x + a

Mathematica_2013-1.nb 9üEingabe mit EscapeEsc a EscEsc pi EscEsc sum EscEsc int EscEsc dd EscüEingabe mit LAT E X-NotationEsc \ infty EscEsc \ int Esc üEingabe mit Complete Selection (Ctrl-K) und Template (Ctrl-Shift-K)SphericalHarmonicY l , m , q , f SphericalHarmonicY l , m , q , f NDSolve eqns , y , x , x min , x max NDSolve::deqn : Equation or list of equations expected instead of eqnsin the first argument eqns . àNDSolve eqns , y , x , x min , x max Plot f , x , x min , x max Plot::plln : Limiting value x min in x , x min , x max is not a machine-size real number. àPlot f , x , x min , x max Rechnen mit Zahlenü Rechnen mit Ganzen Zahleneine einfache Addition45 77122etwas schwieriger3^100515 377 520 732 011 331 036 461 129 765 621 272 702 107 522 001Mathematica rechnet im Gegensatz zu einem Taschenrechner mit einer beliebigen Anzahl von Stellen, zum Beispiel auch200 788 657 867 364 790 503 552 363 213 932 185 062 295 135 977 687 173 263 294 742 533 244 359 449 963 403 342 920 304 284 011 984 623 904 177 212 138 919 638 830 257 642 790 242 637 105 061 926 624 952 829 931 113 462 857 270 763 317 237 396 988 943 922 445 621 451 664 240 254 033 291 864 131 227 428 294 853 277 524 242 407 573 903 240 321 257 405 579 568 660 226 031 904 170 324 062 351 700 858 796 178 922 222 789 623 703 897 374 720 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000Mit einem Semikolon am Ende kann man die Ausgabe unterdrücken2000 ;

10 Mathematica_2013-1.nbMit //Short kann man die Ausgabe entsprechend der Fenstergröße verkürzen2000 Short331 627 509 245 063 324 117 539 338 057 632 403 828 111 7205646 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000Mit einem optionalen 2. Parameter kann man auch mehrere Zeilen darstellen:Short2000 , 5331 627 509 245 063 324 117 539 338 057 632 403 828 111 720 810 578 039 457 193 543 706 038 077 905 600 822 400 273 230 859 732 592 255 402 352 941 225 834 109 258 084 817 415 293 796 131 386 633 526 343 688 905 634 058 556 163 940 605 5382000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000Gelegentlich kann es passieren, dass eine Rechnung in eine Endlosschleife gerät oder einfach zu lange dauert. In diesem Fallkann man die Berechnung abbrechen, in dem man im Menü Kernel - Abort Evaluation wählt oder als Tastaturkürzel: Alt+. ,z.B. :10 000 000 ; Timing5.647, Nullü Rechnen mit Reellen ZahlenNatürlich kann das vorherige Ergebnis auch in kompakter Weise als Dezimalzahl dargestellt werdenN3.316275092450633 10 5735Das Zeichen % bedeutet immer das letzte Ergebnis, %% das vorletzte u.s.w. N3.316275092450633 10 5735Hier bedeutet //N dasselbe wir N[...]. Dies ist für alle Funktionen möglich, die nur 1 Argument benötigen.Für mehrere Argumente gibt es jedoch auch einen Umweg über die "pure functions", siehe weiter unten.NPi3.14159So erhält man Pi auf 200 Stellen:NPi, 2003.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034 8253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211 055596446229489549303820Mit NumberForm kann man weitere spezielle Formatierungen erreichen, z.B.NumberForm, 26, DigitBlock 5, NumberSeparator " "3.14159 26535 89793 23846 26434PaddedForm erzeugt eine Formattierung mit genauer Angabe von StellenPaddedFormN, 6, 23.14PaddedForm1, 200, 30, 4 1, 200, 30

Mathematica_2013-1.nb 11mit Grid[{{...},{...}}] kann man vielfältige Gitterstrukturen erzeugen, auch einzelne ZeilenGrid1 200 30PaddedForm[ ...] muss immer außen stehenPaddedFormGrid1, 200, 30, 101 200 30Auch Funktionen mit mehr als einem Argument können mit Hilfe der "pure function" (reine Funktion) nachgestellt werdenPi N, 50 &3.1415926535897932384626433832795028841971693993751Ähnlich wie beim Nachstellen einer Funktion gibt es auch die Möglichkeit des Voranstellen mit @, z.B.N2.71828Die InlineForm ist eine verkürzte Schreibweise für 2-dim Funktionen, sie wird jedoch selten verwendet.N502.7182818284590452353602874713526624977572470937000auch wenn intern mit der vollen Stellenzahl gerechnet wird, werden explizit eingegebene reelle Zahlen nur mit 6-7 Ziffernangezeigtmproton 938.272029 MeV938.272 MeV N, 50 &938.272 MeVes werden keine weiteren Stellen angezeigt, obwohl sie vorhanden sind:mproton 938.272 MeV0.000029 MeVin den meisten Fällen ist dies kein Problem, aber wenn es gewünscht wird, kann man durch eine spezielle Syntax die Anzahlder angezeigten Stellen definieren:mproton1 938.272029`9 MeV938.272029 MeVmproton1 mproton0. MeVdie nachfolgende Syntax (Eingabe : ==) prüft auf Identitätmproton1 mprotonTrueü Rechnen mit Komplexen ZahlenDie imaginäre Einheit ist als I vorbesetzt (I ist wie E oder Pi ein geschütztes Symbol), sie kann aber auch aus der Palette odermit Esc ii Esc erzeugt werden: Âz1 3 4I3 4

12 Mathematica_2013-1.nbDie üblichen komplexen Funktionen, wie Realteil, Imaginärteil, Absolutbetrag, Argument, Komplexe Konjugation sindfolgendermaßen definiert:Rez1, Imz1, Absz1, Argz1, Conjugatez13, 4, 5, ArcTan 4 ,3 4 3ein weiteres Beispiel:z2 60.0 °0.5 0.866025 Rez2, Imz2, Absz2, Argz2, Conjugatez20.5, 0.866025, 1., 1.0472, 0.5 0.866025 mit /° wird ein Winkel im Gradmaß dargestelltRez2, Imz2, Absz2, Argz2 °, Conjugatez20.5, 0.866025, 1., 60., 0.5 0.866025 ü Rechnen mit mathematischen FunktionenMathematica kennt sehr viele mathematische Funktionen, praktisch alle, die in der Physik vorkommen, z.B.Sin3.14, Cos0, TanPi 2, Cot20 Degree, ArcSin0.5, ArcCos1,ArcCos1.0 °, ArcTan200, ArcCot100.0, Exp2, Log10, Log10, 2, Sinh1.00.00159265, 1, ComplexInfinity, Cot20 °, 0.523599,, 180., ArcTan200, 0.00999967, 2 , Log10, Log2Log10 , 1.1752BesselJ5, 34.60.0511826Log4.5 2I1.59421 0.418224 Zeta1 2 14.3 I0.0119878 0.132231 Mathematica Symbole und Funktionen beginnen immer mit einem Großbuchstaben.Es ist ein vernünftiger Programmierstil, die eigenen Definitionen zur besseren Unterscheidung mit kleinen Buchstaben zustarten. Namen können beliebig viele Buchstaben und Ziffern enthalten und beginnen immer mit einem Buchstaben, Sonderzeichensind als Teil des Namens nicht erlaubt, auch sollte Underscore und Subscript nicht verwendet werden, da diese eineeigene Bedeutung in Mathematica haben.Die Speziellen Funktionen in Mathematica tragen meistens ihren vollen Namen, z.B.SphericalHarmonicY2, 1, , 1 152 2 Cos Sin TraditionalForm12152 p ‰-Â f sinq cosq

Mathematica_2013-1.nb 13Y 2 -1 q, f1 152 2 Cos SinFür den genauen Namen und die richtige Syntax sollte man von der sehr guten Online-Hilfe Gebrauch machen. Entweder überdas Help Menü oder einfach den Namen mit der Maus anklicken und auf F1 drücken.Mit Hilfe von Ctrl-K (Complete Selection) kann man sich zum einen Schreibarbeit ersparen, aber auch Funktionsnamenerraten, z.B. durch Eingeben von "Spher" und anschließend Ctrl-K findet man schnell die richtige Funktion.Mit dem Funktions Browser finder man unter "Mathematical Functions" eine komplette Liste von eingebauten Funktionen. Mitweiteren Paketen ist diese Liste beliebig erweiterbar.Rechnen mit Symbolenü Eingabe-SyntaxüNamenai ist ein einfacher Name:ai FullFormaia_i ist ein Muster (Pattern) und kann nicht als Variable verwendet werden:a_i FullFormPatterna, Blankia i ist eine indizierte Variable, z.B. für Vektoren oder Matrizen:a i FullFormSubscripta, ia2 ist wieder ein einfacher Name:a2 FullForma22a ist ein Produkt und ist identisch mit 2*a oder 2 a2a FullFormTimes2, aDies ist ein Kommentar in einer InputZelleüEingabeformena bababidentisch zu abababneue Variable abab

14 Mathematica_2013-1.nb2ab2aba baba^2a 2die Ausgabereihenfolge ist immer alphabetisch:c b aa b cim folgenden Fall beachte man die Rangfolge, zur Sicherheit sollte man evtl. runde Klammern verwenden:ab^2 cd efacdfb 2 eFakultät und Doppelfakultät:5120515für das Skalarprodukt (Matrixprodukt) kann man den Punkt (.) als Operator verwenden (Funktion: Dota, b)vectr rx, ry, rzrx, ry, rzvectp px, py, pzpx, py, pzvectr.vectppx rx py ry pz rzfür das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) verwendet man eine spezielle Funktion: Crossa, bCrossvectr, vectppz ry py rz, pz rx px rz, py rx px ryes gibt auch dafür einen "Kreuzoperator" (ä) shortcut: Esc cross Escvectr vectppz ry py rz, pz rx px rz, py rx px ryLogische Operatoren: == != > >= <

Mathematica_2013-1.nb 15fxfxFunktionsdefinition: Auf Muster ( _ ) und Verzögerung ( : ) achten!fx_ : x 2 9Funktionsaufruf und Ableitungenfy9 y 2f y2f Sinphi2 SinphiüZuweisungen (Definitionen) erstellen und löschenx N3.14159x 1 a b1 a bSobald wir mit x rechnen wird automatisch ein zuvor definierter Wert eingesetzt.x 21 a b 2aber auch bei einer direkten Funktionszuweisung im folgenden Beispiel, wo es im Allgemeinen unerwünscht istfx_ x1 a bDamit f(x) tatsächlich als Funktion von x verwendet werden kann, muss vorher der Wert von x gelöscht werden.?fGlobal`ffx_ 1 a bx .ClearxClear"Global`"einmal verwendete Größen, z.B. f, bleiben im Kontext "Global" erhalten, auch wenn deren Wert gelöscht ist.?fGlobal`fDamit f nicht nur gelöscht, sondern ganz aus dem Kontext entfernt wird, verwendet manRemovefRemove"Global`"

16 Mathematica_2013-1.nbMitunter kann es erforderlich sein, den Kernel ganz neu zu starten, um alle vorherigen Definitionen und Zuweisungen wiederzu neutralisieren. Dazu kann man entweder den Kernel im Menü Options/Kernel abschalten oder mit dem Kommando Quit denKernel beenden.QuitEine korrekte Funktionsdefinition wird mit verzögerter Ausführung geschriebenfx_ :x?fGlobal`ffx_ :xgx_ : x x x 2 3 5?gGlobal`ggx_ : x x x 2 3 5ü Polynome und BrücheüExpandexpr, Factorexpr, Simplifyexpr , Collectexpr, x, Coefficientexpr, x, n, Exponentexpr, xx .ax 3 bx 3c3c bx ax 3myPoly ^23 c bx ax 3 2zum AusmultiplizierenExpandmyPoly9c 2 6bcx b 2 x 2 6acx 3 2abx 4 a 2 x 6falls doch wieder faktorisiert werden sollFactor3 c bx ax 3 2Man kann das Polynom auch nach Potenzen in a sortierenCollectmyPoly, a9c 2 6bcx b 2 x 2 a 2 x 6 a 6 cx 3 2bx 4 mit einer zusätzlichen Option, wie Factor, Simplify etc. können die einzelnen Terme weiter umgeformt werdenCollectmyPoly, a, Factora 2 x 6 2ax 3 3c bx 3 c bx 2CollectmyPoly, x9c 2 6bcx b 2 x 2 6acx 3 2abx 4 a 2 x 6

Mathematica_2013-1.nb 17CollectmyPoly, c9c 2 b 2 x 2 2abx 4 a 2 x 6 c 6 bx 6ax 3 mit Coefficient kann man einzelne Koeffizienten aus einem Polynom entnehmen,hier der Koeffizient : x^3CoefficientmyPoly, x, 36acder höchste Exponent in x eines PolynomsExponentmyPoly, x6üFaktorisierung über komplexe oder algebraische ZahlenFactor faktorisiert nicht automatisch mit komplexen ZahlenFactor1 x 2 x 4 1 x 2 x 4es gibt jedoch eine Option (siehe Help) die dies ermöglicht.Factor1 x 2 x 4 , GaussianIntegers True1 x x 2 1 x x 2 auch folgende Möglichkeit findet man, wenn man in der Help, wenn man bei "Examples" weitersuchtFactor1 x 2 x 4 , Extension I1 x x 2 1 x x 2 Faktorisierung über algebraische ZahlenFactor2 x 2 2 x 2Factor2 x 2 , Extension 2 2 x 2 xüUmwandeln und Vereinfachen von trigonometrische Ausdrücken mit TrigReduceexpr, TrigExpandexprPolynome mit trigonometrischen Funktionen sind oft unübersichtlichtrigPoly Expand1 Sinx 2 Sinx Cosx 2 2 1 2 Cosx 2 Cosx 4 2 Sinx 2 Cosx 2 Sinx 3 Sinx 2 2 Cosx 2 Sinx 2 2 Sinx 3 Sinx 4Sie lassen sich mit Simplify vereinfachenSimplifytrigPoly2 Sinx 2mit TrigReduce werden Produkte von Winkelfunktionen in Funktionen von mehrfachen Winkeln umgerechnet.TrigReducetrigPoly19 Cos2 x 8 Sinx2mit TrigExpand geht es wieder zurück

18 Mathematica_2013-1.nb TrigExpand92 Cosx2 4 Sinx Sinx222im nächsten Beispiel arbeitet Factor besser als Expandpoly1 1 x 71 x 7Expandpoly11 7x 21 x 2 35 x 3 35 x 4 21 x 5 7x 6 x 7 Factor1 x 7und im Folgenden ist das Ergebnis mit Expand kompakter als mit Factorpoly2 1 x 71 x 7Factorpoly21 x 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Expand1 x 7üSimplifyexpr und FullSimplifyexprDie Funktion Simplify arbeitet zwar langsamer, tut dafür auch wesentlich mehr und findet in beiden Fällen das beste Ergebnis.Es ist jedoch eine gute Übung, die Umwandlung und Vereinfachung der Ausdrücke mit expliziten Funktionen zu probieren.poly1 Expand1 7x 21 x 2 35 x 3 35 x 4 21 x 5 7x 6 x 7 Simplify1 x 7poly2 Factor1 x 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Simplify1 x 7noch mächtiger aber auch noch langsamer ist FullSimplifyx x 1 Simplify1 x xx x 1 FullSimplifyGamma2 xFullSimplify erlaubt auch zusätzliche Annahmen, wie z.B. a > 0FullSimplify a b b c c a 3, a 0&&b 0&&c 0True

Mathematica_2013-1.nb 19ü Gebrochen Rationale Funktionen -Cancelexpr, Apartexpr, Togetherexpr, ExpandNumerator, ExpandDenominator, ExpandAllquot1 poly21 x1 x 71 xCancel kürzt BrücheCancelquot11 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6auch Simplify beinhaltet diese FunktionSimplify1 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6quot2 a b2 1a b 3 a b 21 a b22a b a b 3Nenner und Zähler können getrennt verändert werden oder auch gemeinsamExpandDenominatorquot21 a b 2a 2 2ab b 2 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3ExpandNumeratorquot21 a2 2ab b 2a b 2 a b 3ExpandAllquot21a 2 2ab b a 22 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 2ab3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b b 23 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3Brüche können auf einen Hauptnenner gebracht werdenTogetherquot2a a 2 b 2ab b 2a b 3oder wieder auseinandergenommen werdenApartquot24a 21 4a 1a b 3 a b 2 a bim nächsten Beispiel wird a als Variable betrachtet und erscheint nur im Nenner (Partialbruchzerlegung)Apartquot2, a1a b 4b 2a b 3 1 4ba b 2Die kompakteste Darstellung liefert wieder Simplify

20 Mathematica_2013-1.nbSimplifyquot2a b a b 2a b 3Darüber hinaus gibt es noch eine Reihe weiterer Funktionen zur Manipulation von Polynomen und zur Vereinfachung vonAusdrücken.z.B. FactorTerms, Factor[N[...]], Coefficient, Exponent, Part, ComplexExpand, PowerExpand, FactorSquareFree, Decompose,etc(Siehe dazu die Online Help.)ü Werte einsetzen, Ersetzungsregelnquot21 a b22a b a b 3quot2 . a 31 3 b223 b 3 b 3Apartquot2 . a x, x4b 2b x 3 1 4b 1b x 2 b xquot2 . a 3, b 5 31 4numRule a 3, b 5a 3, b 5quot2 . numRule 31 4bei all diesen Operationen bleibt der ursprüngliche Ausdruck unverändertquot21 a b22a b a b 3ü Rechnen mit komplexen Zahlen und SymbolenVorsicht! Der Name "I" ist geschützt und bedeutet die imaginäre Einheit Â, die man auch aus der Palette nehmen kannoder mit Esc ii EscI 0Set::wrsym : Symbol  is Protected. à05 3I5 3

Mathematica_2013-1.nb 21 Re Im Abs Arg Conjugate5334ArcTan 3 5 5 3 im nächsten Beispiel sind für Mathematica die Symbole u, v erstmal beliebig komplexClearu, vz u Ivu vRe, Im, Abs, ConjugateImv Reu, Imu Rev, Absu v, Conjugateu Conjugatevü Rechnen mit ComplexExpandBesonders in physikalischen Anwendungen ist es oft klar, dass Parameter, z.B. Frequenzen, innerhalb eines komplexenAusdrucks reell sind. Dies kann man in Mathematica mit dem Kommando ComplexExpand erzwingen. ComplexExpandu, v,u 2 v 2 ,uvEine andere häufige Anwendung in der Physik ist die Umwandlung von komplexen Exponentialausdrücken in trigonometrischeAusdrücke und umgekehrt.ExpI t t ExpToTrigCost Sint Cos t TrigToExp12 t 1 2 t ExpI t Re Imt CosRet mit ComplexExpand kann man wieder festlegen, dass w und t reell-wertige Variable sindExpI t Re ComplexExpandCost im nächsten Beispiel wird nur t als reell angenommen, w bleibt dagegen komplexComplexExpandExp t Re, tIm Cost Re

22 Mathematica_2013-1.nbRechnen mit PowerExpandPowerExpand wandelt Ausdrücke der Form (x y) p in x p y p um.Dies liefert aber im Allgemeinen nur dann korrekte Ergebniss, wenn x und y positiv und reell sind und p ein Integer ist.Viele physikalische Anwendungen sind aber von solcher Art, Potenzen sind fast immer ganzzahlig und viele Konstanten, wieMasse, Geschwindigkeit, Naturkonstanten sind positive reelle Zahlen.a 2a 2 PowerExpandaa a 3aa 3 PowerExpand1aim nächsten Beispiel führt PowerExpand erst nach der Faktorisierung zum gewünschten Erfolga 2 b 2a ba 2 b 2a b PowerExpanda 2 b 2a b Factor PowerExpanda bü Rechnen mit FunctionExpandFunctionExpand arbeitet ähnlich wie PowerExpand bei Ausdrücken mit PotenzenFunctionExpand2 x x 2 a 2 x a x aGut geeignet ist FunctionExpand auch bei der Vereinfachung trigonometrischer Funktionen mit doppeltem oder halbemArgumentSin2 ArcTanx FunctionExpand2x1 x 2FunctionExpandSin ArcCosx21 x2

Mathematica_2013-1.nb 23Einige Funktionen können durch Gammafunktionen ausgedrückt werdenFunctionExpandBinomialn, mGamma1 nGamma1 m Gamma1 m nFunctionExpandn n 1Gamma2 nü Rechnen mit zusätzlichen Annahmen: RefineRefine erlaubt Annahmen über die Parameter oder Variablen eines Ausdrucks anzugeben, z.B. dass die Masse eines Teilchensreell und positiv istRefinem 2 , m 0moder einfach nur reellRefinea 2 , a RealsAbsawelche Werte hat der Logarithmus auf der negativen reellen Achse?RefineLogx, x 0LogxEinschränkung auf ganzzahlige Werte 2 n 2 n Refine, n Integers1Kontexte und PaketeQuitAlle Mathematica Symbole, sowohl selbstdefinierte als auch vom System vorgegebene sind in verschiedenen Kontexteneingeordnet:Global` : wichtigster Kontext, enthält alle selbsteingegebenen SymboleSystem` : alle eingebauten Mathematica SymboleDurch Dazuladen von Paketen werden weitere Kontexte geöffnet.Wenn ein Name eingetippt wird, sucht Mathematica zuerst im aktuellen Kontext$Contextund anschliessend der Reihe nach bei den in der Liste $ContextPath aufgeführten:$ContextPathü Überschattung von NamenBeim Einlesen eröffnet jedes Paket einen oder mehrere neue Kontexte. Diese werden der globalen Variablen $ContextPathvorne angefügt.Dies kann zu Problemen führen, wenn man versehentlich eine Funktion aus einem noch nicht geöffneten Paket aufruft, z.B.

24 Mathematica_2013-1.nbc SpeedOfLightNun merkt man, dass die Funktion aus dem Paket PhysicalConstants` zugeladen werden muss. PhysicalConstants`Mathematica informiert darüber, dass der Name SpeedOfLight in zwei verschiedenen Kontexten vorkommt,es wird jedoch immer zuerst der Kontext Global` ausgewertetIn diesem Fall sollte man das Symbol SpeedOfLight aus dem Kontext Global` entfernen.RemoveGlobal`SpeedOfLightDanach verwendet Mathematica das Symbol aus dem gewünschten Kontext.SpeedOfLightFehlermeldungen und Warnungenhier ist die Schreibweise, bzw. der Name des Pakets falschNeeds"Calender`"eine Funktion wird mit mehr oder auch weniger Argumenten aufgerufen, als zwingend erforderlich sind:Sina, xE 1Ein bereits verwendetes Symbol kann nicht erneut als Funktionsbezeichner verwendet werden:f Sin2 ArcTanxfx_ Sin2 ArcTanxAm besten entfernt man das Symbol aus dem Kontext mit RemoveRemovefIm folgenden Beispiel wird eine numerische Funktion mit einem symbolischen Argument aufgerufen:NIntegrateCosc x, x, 0, 6Die beiden folgenden Beispiele sind äquivalent. Dabei wird c nur lokal der Wert 1 zugewiesen, global bleibt c ein allgemeinesSymbolWithc 1, NIntegrateCosc x, x, 0, 6NIntegrateCosc x.c 1, x, 0, 6Mit c=2 gibt man c einen globalen Wert, dieser kann mit c=. wieder entfernt werdenc 2c .Beim Versuch eine Gleichung zu schreiben, verwechselt man manchmal das logische Gleichheitszeichen (==) mit dem normalenGleichheitszeichen (=)ax 2b 0ax 2b 0z 0hier wird z als Variable benutzt, obwohl es bereits einen Wert besitztSolvez a, z?z

Mathematica_2013-1.nb 25Vorsicht beim "Copy and Paste" aus Texten, ggf. auch aus dem Help System:Der folgende Ausdruck ergibt einen Fehler bei der Eingabe: pol2 = z 2 + 1) 5 x 2 - 3x + y )pol2 z 2 1 5 x 2 3x y in einem solchen Fall hilft es nur alle Klammern neu zu setzen :pol2 z 2 1 5 x 2 3x yBeim nächsten Beispiel sieht alles in Ordnung aus, es ist jedoch ein Fehler in der internen Strukturdiese Fehler (wahrscheinlich Systemfehler) sind sehr schwer zu finden, z.B. durch systematischeEingrenzung und NeuschreibungDaten a, b, c;f2 Y0 Daten1 2Daten a, b, c;f2 Y0 Daten1^2mit Ctrl + Shift + E kann man auch die volle Struktur anzeigen,dann wird es für "Experten" auch offensichtlich :f2 Y0 Daten1 2die SuperscriptBox ist an der falschen Stelle und unvollständigZusammenfassung Syntax und Notationü Syntax (Zusammenfassung)In der Eingabesyntax sind bisher eine Reihe ungewohnter Symbole aufgetreten:( ) mathematische Klammern[ ] Funktionsklammern{ } Listenklammern, z.B. auch Vektoren, Matrizen(* Kommentar in einer Inputzeile *)% letzte Output-Zeile%% vorletzte Output-Zeile%n n-te Output-Zeile; Output wird unterdrückt// erlaubt das Nachstellen einer Funktion (postfix)@ erlaubt das Voranstellen einer Funktion (prefix)~ Infixform für f[x,y] als x~f~y (infix)/. Ersetzungen mit nachfolgender Regel//. mehrfache Ersetzungen nacheinander/; bedingte Anweisung (If ..)

26 Mathematica_2013-1.nb/: spezielle Definitionen für einen Ausdruck oder Symbol-> Regelzuweisung:= Funktionszuweisung (verzögerte Ausführung):-> Regelzuweisung (verzögerte Ausführung)/@ Map[f,expr], z.B. f /@ {1,2,3} = {f[1],f[2],f[3]}@@ Apply[f,expr], z.B. f @@ {1,2,3} = f[1,2,3]Boolsche Operatoren (Ergebnis ist True oder False)== mathematisch "gleich"!= mathematisch "ungleich"> mathematisch "größer"< mathematisch "kleiner">= mathematisch "größer gleich"|| mathematisch "oder"&& mathematisch "und"ü Häufig verwendete Tastatur-ShortcutsShift+EnterAlt+.Ctrl+LCtrl+Shift+LCtrl+KCtrl+Shift+KCtrl+^Ctrl+_Ctrl+/Ctrl+2Esc,a,EscEsc,p,EscEsc,int,EscEsc,sum,EscEsc,inf,EscEsc,ii,EscCtrl+YShift+Ctrl+DShift+Ctrl+MShift+Ctrl+GShift+Ctrl+UShift+Ctrl+IShift+Ctrl+NShift+Ctrl+TCtrl+ZF1Berechnung ausführenbricht eine Berechnung abkopiert Inputzeile von obenkopiert Outputzeile von obenergänzt unvollständige Namen bei der EingabeErgänzung und Templateerzeugt Hochzahlenerzeugt Indexerzeugt einen Brucherzeugt eine Quadratwurzelerzeugt griechischen Buchstaben , etc.erzeugt griechischen Buchstaben erzeugt ein Integralzeichenerzeugt ein Summenzeichenerzeugt ein Unendlichzeichenerzeugt imaginäre Einheit animiert Grafiksequenzen oder spielt Tonsequenzenzerlegt eine Eingabezelle in zwei Zellen (divide)vereinigt 2 Zellen (merge)gruppiert eine Reihe ausgewählter Zellenmacht eine Gruppierung rückgängigändert eine Zelle nach Eingabe Formändert eine Zelle nach Standard Formändert eine Zelle nach Traditional Formmacht die letzte Änderung rückgängig (Undo)öffnet den Help Browser

Mathematica_2013-1.nb 27ü Mathematische Notation (Zusammenfassung)Ç ÉÇÉÇÉÇ Ç‚É∂ É ÇPalette : BasicMathInput oberer Teil :ÉÉÇ‚É ∂ É,É ÇÉ ÇÉ=ÉÉ ÇÉ=ÉÉÉÉÉÇ Ép „ ‰ • °¥ ∏ â Æ ä π £ ≥ Œÿ a b g d ePalette : BasicMathInput unterer Teil :z h q k lm n x p rs t f j cy w G D QL X F Y WÇ É Ç ÉÉÇ É É Ç ÉÇÇ ÉÇÉÉÇÉÇÇFür eine vollständige Übersicht über alle Paletten, siehe Documentation Center: Palette