Importance Sampling für Diffusionsprozesse mit Anwendungen in ...

Masterthesis in der FinanzmathematikImportance Sampling für Diffusionsprozessemit Anwendungen in derDerivatebewertungMichael EspendillerBetreuer:PD Dr. Volkert PaulsenInstitut für Mathematische StatistikFachbereich 10 - Mathematik und InformatikWestfälische Wilhelms-Universität Münster22. Januar 2013

InhaltsverzeichnisEinleitung 51 Einführung 91.1 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Fixierte Randpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.2 hinreichende Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 variable Randpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.4 Endpunkte auf Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Theorie der großen Abweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.1 Varadhan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.2 Transformation von LDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2.3 LDP für Diffusionsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.2.4 Austrittszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Monte Carlo Simulation und Importance Sampling 452.1 Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.1 Importance Sampling für Diffusionsprozesse . . . . . . . . . . . . 523 Deterministische Maßwechsel 553.1 Anwendung: Call im Black-Scholes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2 Digitale Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3 Anwendung im Black-Scholes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4 Anwendung: Barriereoptionen im Black-Scholes Modell mit zeitabhänigenBarrieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5 Anwendung: Zweiseitige Barriereoptionen im BS-Modell . . . . . . . . . . 784 Dynamische Maßwechsel via Preisapproximation 794.1 Call im Black-Scholes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

Inhaltsverzeichnis4.2 Dynamisches Importance Sampling für asiatische Optionen . . . . . . . . 894

EinleitungIm Jahr 2011 lag nach Schätzungen der Bank for International Settlements (2012, [1])die Höhe der global ausstehenden nominalen Volumina von over-the-counter (OTC)Derivaten bei ca.1.354.646.000.000.000 US-Dollaroder anders ausgedrückt, betrug das globale nominale Marktvolumen für OTC Derivateim Jahr 2011 ca. 1.35 Billarden US-Dollar. Dabei verzeichnete der Derivatemarkt in denletzten Jahren starke Zuwachsraten.Auch wenn ein Vergleich dieser Summe mit realwirtschaftlichen Größen nicht ohne Weiteresmöglich ist, so zeigt sich doch, dass Derivate auf dem weltweiten Finanzmarkt einegroße Rolle spielt.800700Billionen US-Dollar600500400300200Jun.2006Dez.2006Jun.2007Dez.2007Jun.2008Dez.2008Jun.2009Dez.2009Jun.2010Dez.2010Jun.2011Dez.2011Abbildung: Global ausstehende Beträge von OTC Derivaten pro Halbjahr5

Aus mathematischer Sicht besteht Bedarf an der Modellierung von Finanzmärkten undder Bewertung von Derivaten im Hinblick auf ihr Risikoprofil und ihren Wert. Je nachWahl des Modells stehen für bestimmte Derivate analytische Formeln zur Verfügung(beispielsweise Callpreise im Black-Scholes Modell). In einigen Fällen kann ein Preisauch durch Lösung einer partiellen Differentialgleichung (PDE-Ansatz) oder durch Berechnungeiner Fourieretransformierten bestimmt werden. Bei komplizierten Derivatenist dies nicht ohne Weiteres möglich. In solchen Fällen kann eine Monte Carlo Simulationzur Ermittlung einer Nährungslösung angewandt werden.Dieses Verfahren ist zwar sehr einfach umzusetzen allerdings im Vergleich zu den obengenannten Methoden nicht besonders effizient. Das zentrale Ziel dieser Arbeit ist dieVerbesserung von Monte Carlo Simulationen. Dabei wird das Importance Sampling alsAnsatz ausgewählt: Unter Anwendung der Formel von Bayes soll eine Verbesserung desMonte Carlo Schätzers durch eine Varianzreduktion nach einem Maßwechsel erreichtwerden. Es gibt nun im Allgemeinen sehr viele Maßwechsel, die in Frage kommen. Nichtjeder dieser wird eine Varianzreduktion zur Folge haben. Es bleibt also noch ein Auswahlproblemzu lösen.Zur Lösung des Maßwechselauswahlproblems werden nun heuristische Gütekriterien fürMaßwechsel mit Hilfe der Theorie der großen Abweichungen und der Variationsrechnungentwickelt. Da es sich bei den vorgestellten Methoden lediglich um Heuristiken handelt,werden die Methoden durch umfangreiche Simulationen getestet und anschließend inHinblick auf die Varianzreduktion des Monte Carlo Schätzers und den Rechenaufwandbewertet.Zu Beginn dieser Arbeit wird in Kapitel 1 das Basiswissen für die Variationsrechnung unddie Theorie der großen Abweichungen durch eine kompakte Zusammenfassung gegeben.Als erstes Ergebnis gelingt dabei die Herleitung eines Berechnungsverfahrens zur Bestimmungder Asymptotik der Austrittswahrscheinlichkeit von Diffusionsprozessen ausGebieten mit differenzierbarem Rand.In Kapitel 2 wird anschließend die Monte Carlo Simulation und das Importance Samplingfür Diffusionsprozesse beschrieben. Dabei werden auch die technischen Herangehensweisenzur Durchführung von Maßwechseln gegeben. Diese sind im Wesentlichen die Formelvon Bayes zur Bestimmung der Auswirkung von Maßwechseln auf Erwartungswerte sowie6

Varianzen und der Satz von Cameron-Martin-Girsanov, der Maßwechsel für Diffusionsprozessecharakterisiert.Dieses Wissen führt dann in Kapitel 3 zur Entwicklung der asymptotischen Optimalitätals erstes Gütekriterium für Maßwechsel in Hinblick auf ihre Varianzreduktion beider Monte Carlo Methode. Dabei werden Resultate zur Herleitung von asymptotischoptimalen Maßwechseln für das Black-Scholes Modell und Einfaktormodelle erzielt. DasVerfahren wird dabei für mehrere Fälle empirisch untersucht.Als Alternative wird in Kapitel 4 eine Heuristik zur Bestimmung dynamischer Maßwechselhergeleitet. Dieser kann bei Kenntnis des Preisprozesses und des Hedgeprozessesproblemlos bestimmt werden. Da diese allerdings unbekannt sind, wird die Theorie dergroßen Abweichungen zur approximativen Ermittlung herangezogen. Das Vorgehen wirdin einer Vergleichsanalyse im Black-Scholes Modell für eine Calloption getestet, um dieAuswirkung der Approximation auf die Qualität des Maßwechsels zu bestimmen. Anschließendwird das Konzept auf asiatische Optionen erweitert.Für viele Berechnung war es notwendig, auf das Computeralgebrasystem Maple zurückzugreifen.Zusammen mit den Quellcodes für die realisierten Simulationen finden sichdie Worksheets auf dem beigelegten Datenträger.7

1 EinführungZiel dieses Abschnittes ist die Einführung in die mathematischen Grundlagen, die für dasVerständnis dieser Arbeit notwendig sind. Für die Modellierung von Finanzmärkten sindDiffusionsprozesse wichtige Werkzeuge. Die spätere Anwendung der Theorie der großenAbweichung für solche Prozesse verlangt häufig die Lösung von Optimierungsproblemenüber Funktionenräume. Vor einer Einführung in die Theorie der großen Abweichungwerden zunächst die Techniken zur Lösung solcher Optimierungsprobleme vorgestellt.1.1 VariationsrechnungDie Variationsrechnung beschäftigt sich mit der Minimierung von speziellen Funktionalen.Ein Funktional bezeichnet dabei eine Abbildung F : X → R, wobei X ein Raumreellwertiger Funktionen ist. Anders ausgedrückt ist ein Funktional eine „Funktion vonFunktionen“. Ein Optimierungsproblem dieser Form taucht beispielsweise bei der Fragenach der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten auf. Für die spätere Anwendungtreten sie vor allem bei der Berechnung von Ratenfunktionen und Erwartungswertenauf.Die Variationsrechnung befasst sich mit solchen Fragestellungen. Dieses klassische 1 Themengebietist schon sehr gut erforscht und es gibt weitreichende Lösungsverfahren. Füreine weiterführende Recherche sind Gelfand und Fomin (1963, [10]) und Elsgolc (1962,[18]) zu empfehlen, die auch die Basis dieses Abschnittes bilden.1 Die Variationsrechnung ist auch als 23. Problem ein Bestandteil von Hilberts Liste. Er stellt dort dieFrage, wie die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden können.9

1 EinführungDas ProblemFür t 1 < t 2 sei F = F (t, x, y) : [t 1 , t 2 ] × R n × R n → R eine C 2 -Funktion und seiX ⊆ C 1 [t 1 , t 2 ] eine Menge differenzierbarer Funktionen. Betrachte nun das FunktionalJ(u) =J : X → R∫ t2t 1F (t, u(t), ˙u(t)) dt.Das Variationsproblem bezeichnet das Auffinden eines Minimums u ∗ von J, d. h. es istfolgendes Optimierungsproblem zu lösenJ(u ∗ ) = infu∈X J(u).Eine einfache Interpretation besteht aus der Vorstellung von J als Kostenfunktion, diejeder differenzierbaren Funktion u die Kosten J(u) zuordnet. Je nach dem, welche weiterenBedingungen u erfüllen muss, unterscheiden sich die Lösungsverfahren für dasOptimierungsproblem. Diese werden im Folgenden vorgestellt.Zunächst setzen wir abkürzend folgende Notationen:F x (t, x, y) := d F (t, x, y)dx FF xx (t, x, y) := d2F (t, x, y)dx F 2˙u(t) := d dt u(t)y(t, x, y) := d F (t, x, y)dyyy(t, x, y) := d2F (t, x, y)dy2 d2ü(t) :=dt u(t). 21.1.1 Fixierte RandpunkteEs seien t 1 < t 2 , u a , u b ∈ R und A := (t 1 , u a ), B := (t 2 , u b ) zwei feste Punkte aufder Ebene. Gesucht ist nun eine Funktion u, die die Punkte A und B verbinden unddabei das Funktional J minimieren. Dies entspricht dem Variationsproblem mit fixenRandpunktenX := {u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ] | u(t 1 ) = u a , u(t 2 ) = u b }inf J(u).u∈X10

1.1 Variationsrechnungu(t)BAu ∗ (t)tÄhnlich wie in der Analysis können nun hinreichende und notwendige Bedingungen anein Minimum formuliert werden. Das wichtiste Resultat ist die Euler-Lagrange Gleichung.Damit ist es möglich das Optimierungsproblem auf das Lösen von Systemen vonDifferentialgleichungen zu reduzieren.Satz 1.1. Eine Lösung u ∗ des OptimierungsproblemsX := {u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ] | u(t 1 ) = u a , u(t 2 ) = u b }erfüllt die Euler-Lagrange Gleichunginf J(u) (1.1)u∈XF x (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) − d dt F y(t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) = 0 für alle t 1 ≤ t ≤ t 2 . (1.2)Das Theorem übersetzt nun das Variationsproblem in eine Differentialgleichung zweiterOrdnung und liefert damit einen ersten möglichen Ansatz zur Bestimmung des Minimums.Zunächst wird die Euler-Lagrange Gleichung gelöst. Nach der Theorie der Differentialgleichungenwerden die Lösungen im Allgemeinen von zwei Konstanten abhängen.Diese können dann zur Anpassung der Randbedinungen u ∗ (t 1 ) = u a und u ∗ (t 2 ) = u b genutztwerden. Existiert solch eine Funktion u ∗ , dann ist sie ein erster möglicher Kandidatfür eine Minimalstelle. Beachte, dass die Euler-Lagrange Gleichung nur eine notwendige,aber keine hinreichende Bedingung an die Minima liefert.Eine ausführliche Darstellung mitsamt Beweisen ist in Elsgolc (1963, [18], S. 14 ff) zufinden.11

1 Einführung1.1.2 hinreichende BedingungenÄhnlich wie in der Analysis können nun hinreichende Bedingungen für Minima hergeleitetwerden. Dabei werden lokale und globale Extrema unterschieden, welche mit jeweilsunterschiedlichen Techniken zu untersuchen sind.Für die späteren Anwendungen dieser Arbeit müssen globale Minima bestimmt werden.Allerdings ist es nicht immer möglich, diese Eigenschaft direkt nachzuweisen. Einehinreichende Bedingung an F ist die Konvexität:Lemma 1.2. Erfüllt u ∗ die Euler-Lagrange Gleichung (1.2) und ist die Abbildung (x, y) ↦→F (t, x, y) für alle t ∈ [t 1 , t 2 ] konvex, dann ist u ∗ ein Minimierer für (1.1).Beweis. vgl. [3], S. 47 ff, Theorem 2.1 (2) und (3)Die Konvexitätsbedingung an F ist häufig verletzt. Deshalb sind noch weitere hinreichendeBedingungen notwendig, die sich allerdings als etwas schwieriger herausstellen.Definition 1.3. Die Weierstrassfunktion für das FunktionalJ(u) =ist definiert als∫ t2t 1F (t, u(t), ˙u(t)) dtE(t, x, p, y) := F (t, x, y) − F (t, x, p) − (y − p)F y (t, x, y),für alle t 1 ≤ t ≤ t 2 , x, y, p ∈ R.Definition 1.4. Es sei u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ] gegeben. Die Jacobigleichung von F bezüglich u istdefiniert als(F xx (t, u(t), ˙u(t)) − d )dt F xy(t, u(t), ˙u(t)) h(t) − d (Fyy (t, u(t),dt˙u(t))ḣ(t)) = 0für alle t 1 ≤ t ≤ t 2 . Wir sagen, u erfüllt die Jacobi-Bedingung, falls eine Lösung h ∗ derJacobigleichung existiert, die h ∗ (t 1 ) = 0 und h ∗ | (t1 ,t 2 ] ≠ 0 erfüllt.Mit Hilfe der Jacobi-Bedingung und der Weierstrassfunktion können nun weitere hinreichendeBedingungen formuliert werden.Satz 1.5. Erfüllt u ∗ die Euler-Lagrange Gleichung, die Jacobi-Bedingung und giltF yy (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) > 0 für alle t 1 ≤ t ≤ t 2 ,12

1.1 Variationsrechnungso ist u ∗ ein lokales Minimum für (1.1).Satz 1.6. Erfüllt u ∗ die Euler-Lagrange Gleichung, die Jacobi-Bedingung und giltF yy (t, u(t), ˙u(t)) ≥ 0 (1.3)für alle t 1 ≤ t ≤ t 2 und alle u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ], so ist u ∗ ein globales Minimum für (1.1).Gleichung (1.3) wird auch Legrendebedingung genannt.Satz 1.7. Erfüllt u ∗ die Euler-Lagrange Gleichung, die Jacobi-Bedingung und giltE(t, u(t), p, y) ≥ 0 (1.4)für alle t 1 ≤ t ≤ t2, p, y ∈ R und u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ], so ist u ∗ ein globales Minimum für(1.1).Entsprechende Aussagen für Maximalstellen erhält man durch Übergang zu −F , was zueiner Umkehrung aller Ungleichheiten führt. Die Sätze 1.5, 1.6 und 1.7 sind lediglich Zusammenfassungender für uns relevanten Aussagen. Es ist möglich, weitere hinreichendeBedingungen unter schwächeren Voraussetzungen zu folgern. So ist beispielsweise ausreichend,die Ungleichung (1.4) bzw. (1.3) für Funktionen u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ] zu fordern, die„nahe“ an u ∗ liegen. Eine weiterführende Übersicht und ein Lokalitätsbegriff für Funktionenräumeist beispielsweise in Elsgolc (1962, [18], S. 124 f) zu finden.BeispielEs seien s 0 , y 1 , r, σ ∈ R mit y 1 > s 0 und 2 ln ( y 1s 0)> r. Betrachte das FunktionalGesucht ist das Minimum des FunktionalsF : [0, T ] × R × R → R( y − rxF (t, x, y) =σxJ : C 1 [0, T ] → R J(u) :=) 2∫ T0F (t, u(t), ˙u(t)) dt,wobei u in A = (0, s 0 ) starten und in B = (T, y 1 ) enden soll, d. h. es ist folgendesOptimierungsproblem zu lösenX := {u ∈ C 1 [0, T ] | u(0) = s 0 , u(T ) = y 1 }13

1 Einführung∫ Tinfu∈X 0( ) 2˙u(t) − ru(t)dt.σu(t)Zunächst wird die Euler-Lagrange Gleichung von F ermittelt. Dazu werden einige Differentialeberechnet:(y − rx) rF x (t, x, y) = −2σ 2 x 2F y (t, x, y) = 2 y − rxddt F y(t, u(t), ˙u(t)) = 2σ 2 x 2ü(t) − r ˙u(t)σ 2 (u (t)) 2− 2− 4(y − rx)2σ 2 x 3Dies ergibt zusammengefasst die Euler-Lagrange Gleichung( ˙u(t) − ru (t)) ˙u(t)σ 2 (u (t)) 3 .0 = F x (t, u(t), ˙u(t)) − d dt F y(t, u(t), ˙u(t)) = 2 ( ˙u(t))2 − u(t)ü(t)σ 2 (u (t)) 3 .Damit ist folgende nicht lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung zu lösen˙u(t) 2 = u(t)ü(t).Es gilt⇔ d dt˙u(t) 2 = u(t)ü(t)⇔ ˙u(t)u(t) = ü(t)˙u(t)˙u(t)ln (u(t)) =u(t) = ü(t)˙u(t) = d ln ( ˙u(t))dt⇔ u(t) = ˙u(t)⇔ u(t) = c 1 exp(c 2 t),für c 1 , c 2 ∈ Rwomit eine Lösung gefunden ist. Zusammen mit den Randbedingungen u(0) = s 0 undu(T ) = y 1 ergibt sich ein Kandidat für die Minimalstelle( )1u ∗ (t) = s 0 expT log(y 1) t .s 0Für den Nachweis der Jacobi-Bedingung muss etwas gerechnet werden:F xx (t, x, y) = 2r2 (y − rx) r (y − rx)2+ 8 + 6σ 2 x2 σ 2 x 3 σ 2 x 414

F xy (t, x, y) = 2σ 2 x + 4 y − rx2 σ 2 x 31F yy (t, x, y) = 2σ 2 x 21.1 VariationsrechnungF xx (t, u(t), ˙u(t)) − d dt F xy(t, u(t), ˙u(t)) = 2 −4 r ˙u(t)u(t) + 9 ˙u(t)2 − 2 u (t) ü(t)σ 2 u (t) 4Durch Einsetzen vonerhält manZusammen mit(F yy (t, u(t), ˙u(t)) =2σ 2 u(t) 2( )1u ∗ (t) = s 0 expT log(y 1) ts 0F xx (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) − d dt F xy(t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t))= 2 1 ( y1σ 2 s 2 0) −2 t ( ) (( ))y1y1ln −4 r + 7 lns 0 s 0 s} {{ 0}=:k= 2 1 ( ) y1 −2 tk.σ 2 s 2 0 s 0d (Fyy (t, u(t), ˙u(t)) ·dtḣ(t)) = 1 ( ) y1 −2t ( ( ) )σ 2 s 2 0 s 4ḣ(t) ln y1−0 s 2ḧ(t) 0)ergibt sich die Jacobigleichung(F xx (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) − d )dt F xy(t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t) h(t) − d (Fyy (t, u(t),dt˙u(t))ḣ(t)) = 0⇔ 2 1 ( ) y1 −2 t (( ) )k · h (t) +σ 2 s 2 0 s 2ḣ(t) ln y1−0 s ḧ(t) = 00( )⇔ −k · h(t) − 2ḣ(t) ln y1+ ḧ(t) = 0.s 0Diese homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizientenwird gelöst durchh(t) = c 1 exp(λ 1 t) + c 2 exp(λ 2 t),15

1 Einführungwobei( )√( ) y1 y1 2λ 1,2 = ln ± ln + ks 0 s 0( )√( ) y1 y1 2 ( ) (( ))y1y1= ln ± ln + ln −4 r + 7 lns 0 s 0 s 0 s 0( )( ) (( ))y1= ln ±s 4 lny1y1−r + 2 ln0 √ s 0 s} {{ 0}>0Insbesondere gilt λ 1 ≠ λ 2 . Um die Jacobi-Bedingung zu erfüllen, benötigen wir eineLösung, die aus der Null startet und h(t) ≠ 0 für alle t ∈ (0, T ] erfüllt. Es folgt aush(0) = 0 direkt c 1 + c 2 = 0. Wähle willkürlich c 1 = 1 und c 2 = −1. Damit ist eineLösung der Jacobigleichung durchh ∗ (t) = exp(λ 1 t) − exp(λ 2 t)gefunden, da λ 1 ≠ λ 2 gilt, folgt direkth ∗ (t) ≠ 0für alle t > 0. Die Jacobi-Bedingung an die potentielle Minimalstelle u ∗ ist damit erfüllt.Zusammen mit der LegrendebedingungF yy (t, x, y) = 21σ 2 x 2 > 0folgt wegen Satz 1.6, dass u ∗ bereits ein globales Minimum ist.Durch Einsetzen kann der Wert des Minimums bestimmt werden. Es gilt zunächstund damit( ˙u ∗ (t) − ru ∗ ) 2 ( 1(t) T= log( y 1σu ∗ (t)( )˙u ∗ y1(t) = log u ∗ (t)s 0s 0)u ∗ (t) − ru ∗ (t)σu ∗ (t)) 2 ( log(1 y 1T=σs 0) − r) 2Der Wert des Minimums ist damit16

1.1 Variationsrechnung1.1.3 variable Randpunkte∫ ( T ˙uJ(u ∗ (t) − ru ∗ ) 2(t)) =0 σu ∗ (t)dt∫ ( T 1=)1 2T s 0) − r0 σdt= 1 (log( y ) 21T σ 2 x ) − rT .Das Optimierungsproblem ändert sich, wenn die Endpunkte A und B von u lediglichauf den gegebenen Geraden t = t 1 und t = t 2 liegen müssen, d. h. nun ist die kosteneffizientesteFunktion zwischen zwei senkrechten Geraden gesucht. Dies entspricht demVariationsprobleminf J(u).u∈C 1 [t 1 ,t 2 ]u(t)u ∗ (t)t 1t 2tEs gelingt wieder, das Ausgangsproblem auf die Lösung von Differentialgleichungen zureduzieren.Satz 1.8. Eine Lösung u ∗ des Optimierungsproblemsinf J(u) (1.5)u∈C 1 [t 1 ,t 2 ]17

1 Einführungerfüllt die Euler-Lagrange Gleichung (1.2) und die BedingungenF y (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t))| t=t1 = 0 F y (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t))| t=t2 = 0. (1.6)Ein möglicher Ansatz zur Bestimmung der Lösung im Falle von zwei flexibler Randpunktebesteht zunächst wieder in der Lösung der Euler-Lagrange Gleichung. Anschließendkönnen die zwei weiteren Gleichungen (1.6) zusammen mit den auftretenden freien Konstantenzur Anpassung der Randbedingungen genutzt werden. Ist eine solche Funktionu ∗ gefunden, ist sie ein möglicher Kandidat für ein Minimum. Für den Fall eines flexiblenrechten (linken) und eines variablen linken (rechten) Endpunktes, erfüllt u ∗ lediglich dierechte (linke) Gleichung von (1.6) und zusätzlich die fixe Endpunktbedingung u ∗ (t 2 ) = u b(bzw. u ∗ (t 1 ) = u a ). Zusätzliche Details sind in Elsgolc (1963, [18], S. 64 ff) zu finden.BeispielEs sei T > 0 und x 0 , r, σ, K ∈ R und setze a := r − 1 2 σ2 . Betrachte das FunktionalGesucht ist das Maximum des FunktionalsF (t, x, y) := 2x 0(σy + a) exp (σx + at)x 0 exp (σx + at) − K − y2 .J : C 1 [0, T ] → R, J(u) :=∫ T0F (t, u(t), ˙u(t)) dtmit linkem fixen Endpunkt A = (0, 0) und rechtem variablen Endpunkt auf der Geradent = T , d. h. es ist folgendes Optimierungsproblem zu lösenX := {u ∈ C 1 [0, T ] | u(t 1 ) = 0}∫ Tsup F (t, u(t), ˙u(t)) dt.u∈X 0Zunächst muss die Euler-Lagrange Gleichung von F ermittelt werden. Dazu werden dieDifferentiale berechnet. Eine kleine Rechnung ergibtF x (t, x, y) = 2 x 0 (σ y + a) σ e σ x+atx 0 e σ x+at − K− 2 x 0 2 (σ y + a) (e σ x+at ) 2 σ(x 0 e σ x+at − K) 218

F y (t, x, y) = 2x 0σ e σ x+atx 0 e σ x+at − K − 2 yddt F y(t, u(t), ˙u(t)) = 2 x 0(σddt u (t) + a) σ e σ u(t)+atx 0 e σ u(t)+at − K1.1 Variationsrechnung− 2 x 0 2 ( σ d dt u (t) + a) ( e σ u(t)+at) 2σ(x 0 e σ u(t)+at − K) 2 − 2 d2dt 2 u (t) .Ein einfacher Vergleich zeigt nun, dass sich in der Euler-Lagrange Gleichung fast alleTerme gegenseitig eleminieren. Man erhält0 = F x (t, u(t), ˙u(t)) − d d2F (t, u(t), ˙u(t)) = 2dt dt u (t) . 2Diese Differentialgleichung kann mittels Integration gelöst werden. Die Lösung ist gegebendurchu ∗ (t) = c 1 t + c 2für zwei Konstanten c 1 , c 2 ∈ R. Weiter gilt wegen dem linken fixen Endpunkt u(0) = 0und damitc 2 = 0.Um c 1 zu bestimmen kann Satz 1.8 herangezogen werden. Demnach muss die Bedingung(1.6) für den rechten flexiblen Endpunkt erfüllt sein, d. h.F y (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) =[2 x 0σ e σ ]u∗ (t)+atx 0 e σ u∗ (t)+at− K − 2 ˙u∗ (t)t=T= 2 x 0σ e σ c 1T +aTx 0 e σ c 1T +aT− K − 2 c 1 = 0. (1.7)Die Lösung für diese Gleichung ist eindeutig, falls sie existiert. Die Eindeutigkeit istleicht mit mitteln der Analysis nachzuweisen. Die Lösung ist im Allgemeinen numerischnach c 1 zu lösen. Ist dies gemacht, so bleibt zu klären, ob eine Lösung u ∗ tatsächlicheine Maximalstelle ist. Dazu muss die Jacobi-Bedingung untersucht werden. Es kannnachgerechnet werden, dassF xx (t, u(t), ˙u(t)) − d dt F xy(t, u(t), ˙u(t)) = 0 und F yy (t, u(t), ˙u(t)) = 0für alle u ∈ C 1 [0, T ] und insbesondere für u ∗ gilt. Damit ist die Jacobi-Bedingung 1.4trivialerweise erfüllt. Weiter berechnet sich die Weierstrassfunktion für beliebige u ∈19

1 EinführungC 1 [t 1 , t 2 ] und y ∈ R zuE(t, u(t), p, y) = −(y − p) 2 ≤ 0,womit alle Bedingungen für Satz 1.7 erfüllt sind und das Funktional J damit in u ∗ einglobales Maximum annimmt.1.1.4 Endpunkte auf KurvenEs ist auch nötig, ein Verfahren zur Bestimmung des günstigsten Weges von einemStartpunkt zu einer Kurve zu ermitteln. Dazu seien eine C 1 -Kurve φ : [t 1 , t 2 ] → R undein Punkt A = (t 1 , u a ) gegeben. Für eine Funktion u : [t 1 , t 2 ] → R definieren wir denersten Schnittpunkt mit φ alsτ(u) := inf{t ∈ [t 1 , t 2 ] | u(t) = φ(t)}ohne dabei explizit φ in die Notation mit aufzunehmen und setzen τ(u) = ∞, falls keinSchnittpunkt existiert. Das Variationsproblem ist nun gegeben durchX := {u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ] | u(t 1 ) = u a , τ(u) ≤ t 2 }∫ τ(u)inf F (t, u(t), ˙u(t)) dt.u∈X t 1u(t)φ(t)u ∗ (t)Aτ(u ∗ )tAuch in diesem Fall kann ein System von Differentialgleichungen hergeleitet werden.Satz 1.9. Eine Lösung u ∗ des OptimierungsproblemsX := {u ∈ C 1 [t 1 , t 2 ] | u(t 1 ) = u a , τ(u) ≤ t 2 }20

∫ τ(u)inf F (t, u(t), ˙u(t)) dtu∈X t 1erfüllt die Euler-Lagrange Gleichung (1.2) und die transversal condition1.1 Variationsrechnung[F (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) − ( ˙φ(t) − ˙u ∗ (t) ) F y (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) ] = 0. (1.8)t=τ(u ∗ )Das Lösungsverfahren für dieses Variationsproblem besteht zunächst in der Lösung derEuler-Lagrange Gleichung. Anschließend kann der fixe linke Endpunkt und die transversalcondition genutzt werden, um die zwei auftretenden Konstanten zu ermitteln.Existiert solch eine Funktion u ∗ , dann ist sie ein erster Kandidat für ein Minimum.BeispielEs seien T > 0, α, µ, σ, θ, x 0 , K 0 ∈ R mit x 0 < K 0 gegeben. Betrachte das Funktionalund die C 1 -KurveF : [0, T ] × R × R F (t, x, y) =φ : [0, T ] → R( y − θ(µ − x)σφ(t) = K 0 exp(αt).Gesucht ist die günstigste Verbindung zwischen dem Punkt A = (0, x 0 ) und der C 1 -Kurve φ im Intervall [0, T ], d. h. es ist folgendes Optimierungsproblem zu lösenX := {u ∈ C 1 [0, T ] | u(0) = x 0 , τ(u) ≤ T }∫ τ(u)inf F (t, u(t), u(t)) dt.u∈X 0Bevor mit der Berechnung möglicher Extremstellen begonnen wird, wird die Konvexitätder Funktion F untersucht:Dafür ist es hinreichend, die positive Definitheit der Hessematrix von F zu beweisen.Man rechnet nach:F x (t, x, y) = 2(y − θ (µ − x)) θy − θ (µ − x)Fσ 2 y (t, x, y) = 2σ 2F xx (t, x, y) = 2 θ2σ 2 F xy (t, x, y) = 2 θ σ 2) 2F yx (t, x, y) = 2 θ σ 2 F yy (t, x, y) = 2 1 σ 2 . 21

1 EinführungDie Hessematrix von F ist damit gegeben durch⎛ ⎞⎝ 2 θ2 2 θσ 2 σ 2 ⎠ .2 θ 2 1σ 2 σ 2Diese symmetrische Matrix besitzt die Eigenwerteλ 1 := 2 + 2 θ2σ 2 und λ 2 := 1.Da beide Eigenwerte positiv sind, ist die Matrix positiv definit und die Funktion (x, y) ↦→F (t, x, y) für alle t ∈ [0, T ] konvex. Ist dann eine Funktion u ∗ gefunden, die die Euler-Lagrange Gleichung erfüllt, so ist sie nach Lemma 1.2 bereits ein Minimum.Berechnen wir nun mögliche Kandidaten für die Extremstellen. Dazu wird die Euler-Lagrange Gleichung hergeleitet:(y − θ (µ − x)) θF x (t, x, y) = 2σ 2y − θ (µ − x)F y (t, x, y) = 2ddt F y(t, u(t), ˙u(t)) = 2womit nun folgende Differentialgleichung zu lösen ist:σ 2ü(t) + θ ˙u(t) (t)σ 2 ,2( ˙u (t) − θ (µ − u (t))) θσ 2− 2ü (t) + θ ˙u (t)σ 2 = 0.Umgeformt ergibt dies eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnungmit konstanten Koeffizienten:ü(t) − θ 2 u(t) = −θ 2 µ.Der homogene Teil wird gelöst durchu hom (t) = c 1 exp(λ 1 t) + c 2 exp(λ 2 t),wobei λ 1,2 die Lösungen des charakteristischen PolynomsP (λ) = λ 2 − θ 222

1.1 Variationsrechnungsind, welches die Lösungen λ 1 = θ und λ 2 = −θ hat. Das ergibtu hom (t) = c 1 exp(θt) + c 2 exp(θt).Zur Lösung der inhomogenen Gleichung wird die Störfunktion −θ 2 µ betrachtet. Diesentspricht einem Polynom vom Grad 0, womit der Störterm u stör eine Konstante istu stör (t) = A 0 ∈ R.Die Lösung u der inhomogenen Gleichung hat damit die Formu(t) = u hom (t) + u stör (t) = c 1 exp(λ 1 t) + c 2 exp(λ 2 t) + A 0 .Nun gilt mit einfachem nachrechnenu(t) = ü(t)θ 2 + A 0 .Einsetzen in die inhomogene Gleichung liefert−θ 2 µ = ü(t) − θ 2 u(t) = ü(t) − ü(t) − θ 2 A 0 = −θ 2 A 0und damit A 0 = µZusammen mit der linken Randpunktbedingung u(0) = x 0 folgtx 0 = u(0)⇔ x 0 = c 1 + c 2 + µ⇔ c 1 = x 0 − c 2 − µ.Nun kann die transversal condition (1.8) zur Bestimmung von c 2 genutzt werden. Dazuwird berechnet:˙φ(t) = αK 0 exp(αt)˙u ∗ (t) = −θ e −θ t c 2 + θ e θ t (x 0 − c 2 − µ)(−θ e−θ t c 2 + θ e θ t (x 0 − c 2 − µ) − θ ( −e −θ t c 2 − e θ t (x 0 − c 2 − µ) )) 2F (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) =σ 2F y (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) = −2 θ e−θ t c 2 + 2 θ e θ t (x 0 − c 2 − µ) − 2 θ ( −e −θ t c 2 − e θ t (x 0 − c 2 − µ) )σ 2 23

1 EinführungNach Einsetzen und Vereinfachen hat die transversal condition (1.8) nun die Darstellung0 = [ F (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) − ( ˙φ(t) − ˙u ∗ (t) ) F y (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) ] t=τ(u ∗ )= −4 θ eθ τ(u∗) (−x 0 + c 2 + µ) ( K 0 α e α τ(u∗) + θ e −θ τ(u∗) c 2)Es kommen zwei mögliche Lösungen in Frage:x 2 = x 0 − µ oder c 2 = − K 0αθσ 2 .exp ((α + θ)τ(u ∗ ))Für beide Fälle müssen noch die Schnittpunkte τ(u ∗ ) berechnet werden. Im ersten Fallgiltu ∗ (τ(u ∗ )) = φ(τ(u ∗ ))⇔ −θ exp (−θτ(u ∗ )(x 0 − µ)) + µ = K 0 exp(ατ(u ∗ )).Im zweiten Fall ist die relevante Gleichung⇔ − K 0α e α τ(u∗ )θu ∗ (τ(u ∗ )) = φ(τ(u ∗ ))(+ e θ τ(u∗ )x 0 + K 0α e α )τ(u∗ )− µ + µ = Kθ e −θ τ(u∗ ) 0 e α τ(u∗) .Dies ist im Allgemeinen numerisch nach τ(u ∗ ) aufzulösen. Für die Parameterθ = 1 µ = 0.25 x 0 = 0.2σ = 0.1 α = 0.001 K 0 = 0.4ist die erste Gleichung nicht lösbar. Die numerische Lösung der zweiten Gleichung führtzu einem Schnittpunktτ(u ∗ ) = 4.847106473.24

1.2 Theorie der großen AbweichungenDies eingesetzt in die Extremalstelle liefertu ∗ (t) = −0.05119607392 e −t + 0.0011960739 e t + 0.25,welche aufgrund der Konvexität von F bereits ein Minimum ist. Dabei beträgt der Wertdes Minimums ∫ τ(u ∗ )F (t, u ∗ (t), ˙u ∗ (t)) dt = 2.320771837.01.2 Theorie der großen AbweichungenDie Theorie großer Abweichungen beschäftigt sich mit Wahrscheinlichkeiten seltener Ereignisse.Als Hauptreferenz wird in diesem Abschnitt das Buch von Dembo und Zeitouni(1993, [6]) genutzt, was sowohl als Einführung als auch als Nachschlagewerk für die Theorieder großen Abweichungen zu empfehlen ist. Weitere Quellen zu diesem Themengebietsind Deuschel und Stroock (1989, [7]) und Freidlin und Wentzell (1998, [9]).Die Techniken werden hier überwiegend auf Diffusionsprozesse angewandt. Auf eine ausführlicheVorstellung großer Abweichungen für endlichdimensionale Räume wird daherverzichtet. Als wichtigste Werkzeuge werden sich das Theorem von Varadhan und dieTheorien von Freidlin-Wentzell herausstellen.Gegen Ende dieses Abschnittes werden dann Prinzipien der Variationsrechnung in Kombinationmit der Freidlin-Wentzell Theorie auf Austrittszeiten für Diffusionsprozesseangewandt. Das liefert eine Strategie zur Ermittlung des Grenzverhaltens von Austrittswahrscheinlichkeitenfür eine große Klasse von Prozessen und resultiert von Fall zu Fallin einem einfach zu realisierenden Algorithmus.SetupFür einen topologischen Raum (X , τ) bleibt die Topologie häufig unbenannt und er wirdabkürzend nur mit X bezeichnet. Um Wahrscheinlichkeitstheorie auf X betreiben zukönnen, muss zusätzlich eine σ-Algebra angegeben werden. Dazu ist die vervollständigteBorel σ-Algebra B X geeignet, d. h. die kleinste σ-Algebra bezüglich der alle offenenMengen von X messbar sind und zusätzlich enthält B X alle Teilmengen von Nullmengen.In der Finanzmathematik sind reellwertige zeitstetige Prozesse für die Modellierung vonFinanzmärkten vonnöten. Die Menge alle stetigen Funktionen ϕ : [0, T ] → R n wirdmit C[0, T ] bezeichnet. In der folgenden Anwendung ist n ∈ N häufig klar und wird25

1 Einführungdaher nicht in der Notation erwähnt. Im Folgenden sei C[0, T ] immer mit der Metrikd(ϕ, ψ) := sup 0≤t≤T |ϕ t − ψ t | versehen. Eine Folge (ϕ n ) n konvergiert in C[0, T ] genaudann gegen ϕ, fallssup |ϕ n t − ϕ t | → 0.0≤t≤TDeshalb nennt man die von d induzierte Topologie auf C[0, T ] auch die Topologie dergleichmäßigen Konvergenz.Wir kommen zu den grundlegenden Definitionen:Definition 1.10. Es sei I : X → [0, ∞] eine Funktion.(1) Die Funktion I heißt Ratenfunktion, falls I von unten halbstetig ist, d. h. die Mengen{x ∈ X | I(x) ≤ M}sind für alle M ≥ 0 abgeschlossen.(2) Die Funktion I heißt gute Ratenfunktion, falls für alle M ≥ 0 die Mengen{x ∈ X | I(x) ≤ M}kompakt sind.In Hausdorff-Räumen sind kompakte Mengen auch abgeschlossen. In diesem Fall ist alsojede gute Ratenfunktion auch eine Ratenfunktion. Beispielsweise ist dies für metrischeRäume und damit insbesondere für den Raum C[0, T ] automatisch erfüllt.Definition 1.11. (Large Deviation Principle) Es sei X ein topologischer Raum mitσ-Algebra B und I : X → [0, ∞] eine Ratenfunktion. Eine Familie (µ ɛ ) ɛ≥0 von Wahrscheinlichkeitsmaßenauf (X , B) erfüllt das Large Deviation Principle (LDP) mit RatenfunktionI fallsfür alle B ∈ B gilt.− inf I(x) ≤ lim infx∈˚Bɛ→0ɛ log µ ɛ (B) ≤ lim sup ɛ log µ ɛ (B) ≤ − inf I(x)ɛ→0x∈BDie mittlere Ungleichung ist in jedem Fall erfüllt. Das ist ein einfaches Resultat derAnalysis. Für Beweise ist es häufig von Vorteil, folgende Äquivalenz zu nutzen:26

1.2 Theorie der großen AbweichungenLemma 1.12. Die Familie (µ ɛ ) ɛ erfüllt das LDP mit Ratenfunktion I genau dann, wennfolgende beide Schranken erfüllt sind:Für alle offenen B ∈ B gilt− inf I(x) ≤ lim inf ɛ log µ ɛ (B)x∈B ɛ→0(untere Schranke).Für alle abgeschlossenen A ∈ B giltlim sup ɛ log µ ɛ (A) ≤ − inf I(x)ɛ→0x∈A(obere Schranke).Beweis. Die Hinrichtung folgt direkt aus ˚B = B für alle offenen Mengen und A =A für alle abgeschlossenen Mengen. Die linke Ungleichung der Rückrichtung folgt mit˚B ⊆ B direkt aus der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes µ ɛ (˚B) ≤ µ ɛ (B) und derMonotonie des Logarithmus− inf I(x) ≤ lim inf ɛ log µ ɛ (˚B) ≤ lim inf ɛ log µ ɛ (B)x∈˚Bɛ→0ɛ→0Die zweite Ungleichung folgt analog.Das LDP findet häufig Anwendung bei Zufallsvariablen. Verkürzend definieren wir daher,dass die Familie von Zufallsvariablen (X ɛ ) ɛ≥0 auf (Ω, B, P) das LDP erfüllt, falls dies fürdie Maße P ɛ := P ◦ (X ɛ ) −1 der Fall ist.Die Ratenfunktion einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen (P ɛ ) ɛ nimmt nun einezentrale Position in der Theorie der großen Abweichungen an. Ist sie bekannt, so stehenviele Werkzeuge zur Bestimmung von Asymptotiken zur Verfügung. Dies wird nunim nächsten Abschnitt vorgestellt. Anschließend bleibt noch die Frage zu klären, inwiefernRatenfunktionen bestimmt werden können. Dies wird dann im zweiten Teil diesesKapitels bearbeitet.1.2.1 VaradhanIn Anlehnung an an Dembo und Zeitouni (1993, [6]) formulieren und beweisen wir nuneinen der fundamentalsten Sätze der Theorie großer Abweichungen. Ist die Ratenfunktioneiner Familie (X ɛ ) ɛ≥0 bekannt, so kann unter bstimmten Voraussetzungen damitdas Grenzverhalten ɛ → 0 von Erwartungswerten unter stetigen Funktionen bestimmtwerden.27

1 EinführungFolgendes Lemma ist dabei von Vorteil und wird im Laufe noch häufiger angewandt:Lemma 1.13. Es sei N ∈ N und für jedes ɛ > 0 seien a 1 ɛ, ..., a N ɛZahlen. Dann giltlim supɛ→0N∑ɛ log( a i ɛ) =i=1maxNi=1lim sup ɛ log a i ɛ.ɛ→0≥ 0 positive reelleBeweis. Da der Logarithmus monoton wächst, giltEs folgt daherNmax logi=1 ai ɛ ≤ log(N∑i=1a i ɛ) ≤ log( maxNi=1 Nai ɛ) = log N + log( maxNN∑0 ≤ log( a i ɛ) − maxNlogi=1 ai ɛ ≤ log N.i=1i=1 ai ɛ).Nun ist N fest und daher erhalten wir lim sup ɛ→0 ɛ log N = 0. Dann folgt durch Multiplikationmit ɛ und anschließender Grenzwertbildung0 ≤ lim supɛ→0N∑(ɛ log( a i ɛ) −i=1Es ergibt sich die Behauptung mitlim supɛ→0N∑ɛ log(i=1a i ɛ) = lim supɛ→0Nmaxɛ logi=1 ai ɛ) ≤ lim sup ɛ log N = 0.Nɛ→0ɛ max logi=1 ai ɛ = maxNi=1lim sup ɛ log a i ɛ.ɛ→0Theorem 1.14 (Varadhan). Erfülle (X ɛ ) ɛ das LDP auf X mit guter RatenfunktionI : X → [0, ∞]. Es sei ϕ : X → R eine stetige Funktion mitDann giltlimM→∞lim sup ɛ log Ee ϕ(Xɛ )ɛ 1 {ϕ(X ɛ )≥M} = −∞. (1.9)ɛ→0lim ɛ log Ee ϕ(Xɛ )/ɛ = sup[ϕ(x) − I(x)]. (1.10)ɛ→0Der Beweis wird in drei kleinere Teile zerlegt. Betrachte folgende Ungleichungx∈X28

1.2 Theorie der großen Abweichungenlim sup ɛ log E exp(ϕ(X ɛ )/ɛ) (⋆)≤ sup[ϕ(x) − I(x)]ɛ→0Daraus folgt Varadhans Theoremx∈X(⋆⋆)≤ lim inf ɛ log E exp(ϕ(X ɛ )/ɛ)ɛ→0≤ lim sup ɛ log E exp(ϕ(X ɛ )/ɛ).ɛ→0lim ɛ log E exp(ϕ(X ɛ )/ɛ) = sup[ϕ(x) − I(x)].ɛ→0x∈XEs muss im Folgenden (⋆) und (⋆⋆) beweisen werden.Zunächst kann für stetige und beschränkte Funktionen die Bedingung (1.9) umformuliertwerden.Lemma 1.15. Es sei ϕ : X → R wieder eine stetige Funktion. Für Bedingung (1.9) istfolgendes hinreichend: Es existiert ein γ > 1, so dasslim sup ɛ log Ee γ ɛ ϕ(Xɛ) < ∞. (1.11)ɛ→0Insbesondere wird (1.11) von allen stetigen und nach oben beschränkten Funktionen erfüllt.Beweis. Zunächst wird der Zusatz bewiesen: Es sei ϕ eine stetige und nach oben beschränkteFunktion. Dann existiert ein K ∈ R mit ϕ(x) ≤ K für alle x ∈ X . Es folgt:( ) γɛ log E expɛ ϕ(Xɛ )( ) γ≤ ɛ log E expɛ K ( ) γɛ K= ɛ log exp= ɛ γ ɛ K= γK < ∞.Die Behauptung folgt dann für beliebig gewähltes γ > 1. Nun zur eigentlichen Aussage:29

1 EinführungEs sei ɛ > 0 beliebig und setze Z ɛ := exp( ϕ(Xɛ )−M). Nun gilt:ɛZ ɛ ≥ 1 ⇔ exp( ϕ(Xɛ ) − M) ≥ 1ɛ⇔ ϕ(Xɛ ) − M≥ 0ɛ⇔ ϕ(X ɛ ) ≥ M.Ist nun γ > 1 wie in (1.11) gewählt, dann folgte − M ɛ E(exp(ϕ(X ɛ )ɛDamit ergibt nun eine kleine Rechnung:lim supɛ→0ɛ log E exp( ϕ(Xɛ )ɛ)1 {ϕ(X ɛ )≥M}) = E(exp( ϕ(Xɛ ) − Mɛ= E(Z ɛ 1 {Z ɛ ≥1}))1 {ϕ(X ɛ )≥M} = lim supɛ→0≤ E(Z ɛ ) γ)1 {ϕ(X ɛ )≥M})= E exp(γ ϕ(Xɛ ) − M)ɛ= exp(−γ M )ɛ )E(exp(γϕ(Xɛ )).ɛɛ log exp( M ɛ ) exp(−M ɛ Ee ϕ(Xɛ )ɛ )1 {ϕ(X ɛ )≥M}≤ lim sup ɛ log exp( Mɛ→0ɛ ) exp(−γM ɛ )E exp(γ ɛ ϕ(Xɛ ))= (1 − γ)M + lim sup ɛ log E exp( γɛ→0ɛ ϕ(Xɛ )) .} {{ } 1 und damit lim M→∞ (1 − γ)M = −∞. Mit demGrenzübergang M → ∞ folgt dann die Behauptung.Es wird nun (⋆⋆) bewiesen.Lemma 1.16. Es sei ϕ : X → R von unten halbstetig und erfülle (X ɛ ) ɛ das LDP mitguter Ratenfunktion I : X → [0, ∞]. Dann gilt:lim infɛ→0ɛ log E exp( ϕ(Xɛ )ɛ) ≥ sup(ϕ(x) − I(X)).x∈XBeweis. Es seien x ∈ X und δ > 0 beliebig. Da ϕ von unten halbstetig ist, existiert eine30

1.2 Theorie der großen Abweichungenoffene Umgebung U von x, so dassinf ϕ(y) ≥ ϕ(x) − δ.y∈UZusammen mit der Monotonie von log, der Positivität von exp und der oberen Schrankedes LDPs für (X ɛ ) ɛ folgt damit:lim sup ɛ log Ee ϕ(Xɛ )ɛɛ→0≥ lim supɛ→0≥ lim supɛ→0ɛ log Ee ϕ(Xɛ )ɛ 1 {X ɛ ∈U}ɛ log Ee inf y∈U ϕ(y)ɛ 1 {X ɛ ∈U}= lim sup ɛ log e inf y∈U ϕ(y)ɛ P(X ɛ ∈ U)ɛ→0= infy∈ULDP≥ϕ(y) + lim sup ɛ log P(X ɛ ∈ U)ɛ→0inf ϕ(y) − inf I(y)y∈U y∈U≥ ϕ(x) − I(x) − δ.Da δ > 0 und x ∈ X beliebig war, folgt die Behauptung.Es wird nun (⋆) bewiesen.Lemma 1.17. Es sei ϕ : X → R von unten halbstetig und gelte (1.9). Erfülle (X ɛ ) ɛ dieuntere Schranke des LDP mit guter Ratenfunktion I : X → [0, ∞]. Dann giltlim supɛ→0ɛ log E exp(ϕ(X ɛ )/ɛ) ≤ sup[ϕ(x) − I(x)].x∈XBeweis. Wir beweisen das Lemma zunächst für beschränkte ϕ. Der allgemeine Fall folgtdann durch Übergang zu ϕ MEnde.:= ϕ ∧ M für M < ∞ und einer kurzen Rechnung amSei also ϕ beschränkt, etwa sup x∈X ϕ(x) ≤ M < ∞. Insbesondere erfüllt ϕ dann wegenlog 0 := −∞ die Bedingung (1.9). Seien α < ∞ und δ > 0 beliebig. Da I eine guteRatenfunktion ist, sind die Mengen Φ I (α) := {x ∈ X |I(x) ≤ α} kompakt in X . DaI von unten halbstetig und ϕ von oben halbstetig ist, existieren für alle x ∈ X offeneUmgebungen U 1 (x) bzw. U 2 (x) mitinf I(y) ≥ I(x) − δy∈U 1 (x)inf ϕ(y) ≤ ϕ(x) + δy∈U 2 (x)31

1 EinführungInsbesondere gelten beide Ungleichungen für die offene Umgebung A x := U 1 (x) ∩ U 2 (x),da A x ⊆ U 1 (x) und A x ⊆ U 2 (x) gilt. Zusätzlich bilden die A x eine offene Überdeckungvon Φ I (α)Φ I (α) ⊆⋃x∈Φ I (α)Da nach Voraussetzung Φ I (α) kompakt ist, wähle eine endliche offene TeilüberdeckungA xi , i = 1, ..., N, d. h. wir habenDann gilt:Φ I (α) ⊆A xN⋃A xii=1Ee ϕ(Xɛ )ɛ = Ee ϕ(Xɛ )ɛ 1 {Z ɛ ∈ ⋃ A xi } + Ee ϕ(Xɛ )ɛ 1 {Z ɛ /∈ ⋃ A xi }≤=≤≤≤N∑i=1N∑i=1N∑i=1N∑i=1N∑i=1Ee ϕ(Xɛ )ɛ 1 {X ɛ ∈A xi } + e M ɛ P(X ɛ /∈ ⋃ A xi )Ee ϕ(Xɛ )ɛ 1 {X ɛ ∈A xi } + e M ɛ P(X ɛ ∈ ( ⋃ A xi ) c )Ee ϕ(Xɛ )ɛ 1 {X ɛ ∈A xi } + e M ɛ P(X ɛ ∈ ( ⋃ A xi ) c )sup ϕ(x y∈Axi i )Ee ɛ 1 {X ɛ ∈A xi } + e M ɛ P(X ɛ ∈ ( ⋃ A xi ) c )Ee ϕ(x i )+δɛ 1 {X ɛ ∈A xi } + e M ɛ P(X ɛ ∈ ( ⋃ A xi ) c )Da alle A xi offen sind, ist ⋃ A xi offen und damit ( ⋃ A xi ) c := X − ⋃ A xi abgeschlossen.Mit der oberen Schranke des LDP für ( ⋃ A xi ) c und für die abgeschlossenen A xiwir:lim supɛ→0lim sup ɛ log P(X ɛ ∈ A xi ) ≤ − inf I(x)ɛ→0y∈A xiɛ log P(X ɛ ∈ ( ⋃ A xi ) c ) ≤ − ⋃ inf I(x)y∈( A xi ) cerhalten32

1.2 Theorie der großen AbweichungenUnter Verwendung von Lemma 1.13 ergibt sich:lim sup ɛ log Ee ϕ(Xɛ )ɛɛ→0≤ lim supɛ→0N∑ɛ log(i=1Ee ϕ(x i )+δɛ 1 {X ɛ ∈A xi } + e M ɛ P(X ɛ ∈ ( ⋃ A xi ) c ))≤ max( maxN(ϕ(x i) + δ − inf I(y)), M −i=1 y∈A ⋃ inf I(x))xi y∈( A xi ) c≤ max( Nmaxi=1 (ϕ(x i) − I(x i ) + 2δ), M − α)≤ max( Nmaxi=1 (ϕ(x i) − I(x i )), M − α) + 2δDie Aussage für den beschränkten Fall folgt nun direkt durch Übergang δ → 0 undα → ∞.Für den allgemeinen Fall betrachte für M < ∞ die Funktion ϕ M (x) := ϕ(x)∧M ≤ ϕ(x).Dann ist ϕ M eine beschränkte und nach oben halbstetige Funktion. Es folgt wieder unterAusnutzung von Lemma (1.13):lim sup ɛ log Ee ϕ(Xɛ )ɛɛ→0≤ lim sup ɛ log(Ee ϕ(Xɛ )ɛ 1 {ϕ(X ɛ )

1 Einführungdas LDP mit guter Ratenfunktion I. Dann gilt für alle A ⊆ X abgeschlossen:∫lim sup ɛ logɛ→0Ae F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx) ≤ sup(F (x) − I(x)).x∈ABeweis. Für A ⊆ X abgeschlossen ist die Indikatorfunktion 1 A von oben halbstetig undsomit auch 1 A F . Wegen 1 A F ≤ F bleibt die Schranke (1.9) erhalten. Anwendung vonLemma (1.17) liefert dannWeiter gilt:∫X∫lim sup ɛ logɛ→0X∫e 1 A(x)F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx) =∫=e 1 A(x)F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx) ≤ sup(F (x) − I(x)).x∈AAA∫e 1F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx) +X \Ae 0 P(X ɛ ∈ dx)e 1F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx) + P(X ɛ ∈ X \A) .} {{ }∈[0,1]Damit folgt dann für die linke Seite mit Hilfe von Lemma 1.13:∫lim sup ɛ log e F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx)ɛ→0X∫= lim sup ɛ log( e 1F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx) + P(X ɛ ∈ X \A))ɛ→0A∫= max(lim sup ɛ log(ɛ→0∫A= lim sup ɛ log e F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx),ɛ→0Ae F (x)/ɛ P(X ɛ ∈ dx), lim sup ɛ log P(X ɛ ∈ X \A))ɛ→0wobei im Maximum der zweite Teil keine Rolle spielt, da aus x ∈ [0, 1] schon log(x) ≤ 0geschlossen werden kann und damitEs folgt die Behauptung.lim sup ɛ log P(X ɛ ∈ X \A) ≤ 0.ɛ→0In der späteren Anwendungen bedarf es noch der Erweiterung von Varadhans Theoremauf Abbildungen F : X → [−∞, ∞) erweitern. D. h. F kann auch den Wert −∞annehmen.34

1.2 Theorie der großen AbweichungenSatz 1.19. Erfülle (Z ɛ ) ɛ das LDP auf X mit guter Ratenfunktion I : X → [0, ∞]. Essei F : X → [−∞, ∞) stetig und existiere ein γ > 1 mitDann gilt für alle messbaren A ∈ B X :lim sup ɛ log Ee γ ɛ F (Zɛ) < ∞.ɛ→0sup[F (x) − I(x)] ≤ lim inf ɛ log E1Åe F (Zɛ )/ɛɛ→0x∈ÅInsbesondere folgt für A = X≤ lim supɛ→0Beweis. Die mittlere Ungleichung ist klar.Die erste Ungleichung ist Lemma 1.16.ɛ log E1 Ā e F (Zɛ)/ɛ ≤ sup[F (x) − I(x)].x∈Ālim ɛ log Ee F (Zɛ)/ɛ = sup[F (x) − I(x)].ɛ→0Betrachte die dritte Ungleichung: Falls F konstant −∞ ist, ist nichts zu zeigen. Sei alsoF nicht konstant −∞. Sei C ⊆ X abgeschlossen und definiere für M > 0 die MengeC Mx∈X:= {x ∈ X |F (x) ≥ −M} = F −1 [−M, ∞). Da F stetig ist, ist F −1 [−M, ∞) alsUrbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen und damit C M abgeschlossen. Fürx ∈ C \ C M gilt nach Definition F (x) < −M. Es folgt mit Hilfe der Monotonie derExponentialfunktion∫Cexp( 1 ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx)∫= exp( 1 ∫C M ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx) + exp( 1C\C M ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx)∫≤ exp( 1 ∫C M ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx) + exp(− MC\C M ɛ )P(Zɛ ∈ dx)∫= exp( 1 ∫C M ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx) + exp(− M ɛ )1 C\C MP(Z ɛ ∈ dx)∫= exp( 1C M ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx) + exp(− M ɛ )P(Zɛ ∈ C \ C M )Da Z ɛ das LDP mit Ratenfunktion I erfüllt , folgt für den zweiten Teil der rechten Seitelim sup ɛ log(exp(− Mɛ→0ɛ )P(Zɛ ∈ C \ C M ))35

1 Einführung= lim sup ɛ log exp(− Mɛ→0ɛ= ɛ −M ɛ≤ −M −) + lim sup ɛ log P(Z ɛ ∈ C \ C M )ɛ→0+ lim sup ɛ log P(Z ɛ ∈ C \ C M )ɛ→0inf I(x)c∈C\C MFür den ersten Teil der rechten Seite betrachte die Funktion F 1 CM . Diese ist von obenhalbstetig, da C M abgeschlossen ist. Aus Lemma 1.18 folgt∫lim sup ɛ log exp( 1ɛ→0C M ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx) ≤ sup [F (x) − I(x)]x∈C MMit Lemma 1.13 erhalten wir daher∫lim sup ɛ log( exp( 1ɛ→0C M ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx) + exp(− M ɛ )P(Zɛ ∈ C \ C M ))= max(lim sup ɛ logɛ→0∫C Mexp( 1 ɛ F (Zɛ ))P(Z ɛ ∈ dx), lim supɛ→0≤ max( sup [F (x) − I(x)], −M − inf I(x))x∈C M c∈C\C M≤ max( supx∈C M[F (x) − I(x)], −M)Wir erhalten damit die dritte Ungleichung durch Übergang M → ∞.ɛ log exp(− M ɛ )P(Zɛ ∈ C \ C M ))Mit Hilfe von Varadhans Theorem ist es nun möglich, Asymptotiken von Erwartungswertenauszurechnen.1.2.2 Transformation von LDPsEs werden zwei Techniken vorgestellt, wie man aus bestehenden LDPs neue konstruierenkann. Dabei wird einerseits das Verhalten von Maßen und Ratenfunktionen unter stetigenAbbildungen untersucht und andererseits geklärt, wie sich das LDP auf Grenzwertevon Maßfolgen auswirkt.KontraktionsprinzipEs stellt sich zunächst die Frage, wie sich die LDP Eigenschaft einer Familie (X ɛ ) ɛ≥0 aufX unter Abbildungen f : X → Y verhält. Eine Antwort für den Fall einer stetigen Funktionf liefert das Kontraktionsprinzip. Dies Konzept gehört zu den Standardtechnikenund wird noch häufig genutzt.36

1.2 Theorie der großen AbweichungenSatz 1.20 (Kontraktionsprinzip). Es seien X und Y Hausdorff-Räume und f : X → Yeine stetige Abbildung. Erfülle (X ɛ ) ɛ≥0 das LDP auf X mit (guter) Ratenfunktion I.Dann erfüllt (f(X ɛ )) ɛ≥0 das LDP auf Y mit guter RatenfunktionJ(y) = inf{I(x) | x ∈ X , y = f(x)}und J(y) := ∞ falls die Menge leer ist.Beweis. Zunächst ist J nicht negativ, da I nicht negativ ist. Ist I eine gute Ratenfunktion,so ist auch J eine gute Ratenfunktion. Dazu betrachte für α ≥ 0 die beidenMengen:Ψ α I := {x ∈ X |I(x) ≤ α}Ψ α J := {y ∈ Y|J(y) ≤ α}.Nach Voraussetzung ist Ψ α Ikompakt. Zusätzlich giltf(Ψ α I ) = Ψ α J.Da Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen ebenfalls kompakt sind, istauch J eine gute Ratenfunktion. Dazu:⊆ Sei y ∈ f(Ψ α I ). Dann existiert ein x 0 ∈ Ψ α Imit f(x 0 ) = y und I(x 0 ) ≤ α. Es gilt alsoJ(y) =inf I(x) ≤ I(x 0) ≤ αx∈f −1 (y)und damit y ∈ Ψ α J.⊇ Sei umgekehrt y ∈ Ψ α J. Dann giltinf I(x) = J(y) ≤ α.x∈f −1 (y)Es existiert also eine Folge (x n ) n mit x n ∈ f −1 (y) und x 0 := lim n→∞ x n ≤ α. Daf −1 (y) abgeschlossen ist, gilt x 0 ∈ f −1 (y) und damit x 0 ∈ Ψ α I . Also folgt wegenf(x 0 ) = y schon y ∈ f(Ψ α I ).Untere Schranke: Es sei B ⊆ Y offen. Da f stetig ist, ist f −1 (G) ⊆ X ebenfalls offen.37

1 EinführungUnter Ausnutzung des LDPs für (X ɛ ) ɛ≥0 folgt− inf J(y) = − inf inf I(x)y∈G y∈G x∈f −1 (y)= − infx∈f −1 (G) I(x)≤ lim infɛ→0= lim infɛ→0ɛ log P(X ɛ ∈ f −1 (G))ɛ log P(f(X ɛ ) ∈ G)Obere Schranke: Dieser Teil folgt genau wie oben unter Ausnutzung der Tatsache, dassfür A ⊆ Y abgeschlossen auch f −1 (A) ⊆ X abgeschlossen ist.1.2.3 LDP für DiffusionsprozesseWie bereits angekündigt, ist die Betrachtung eines LDP für Maße auf dem Raum vonFunktionen notwendig. Zur Anwendung der oben vorgestellten Techniken muss nun dieRatenfunktion bestimmt werden. Das erste und wichtigste Beispiel ist der Wienerprozess.Zunächst muss allerdings eine speziellere Klasse von Funktionen definiert werden:Definition 1.21. Es sei h : [0, T ] → R n eine Funktion. Wir nennen h absolutstetig,falls h fast überall differenzierbar ist, ḣ lebequeintegrierbar ist undfür alle t ∈ [0, T ] gilt.h t = h a +∫ taḣ u duBeachte, dass absolutstetige Funktionen fast überall differenzierbar sind und daher dasIntegralwohldefiniert ist.∫ T0|ḣt| 2 dtDefinition 1.22. Wir bezeichnen den Raum der absolut stetigen Funktionen mit quadratintegrierbarerAbleitung gegeben durch∫ TH T x := {h | h abs. stetig, h 0 = x, |ḣt| 2 dt < ∞}038

1.2 Theorie der großen Abweichungenals Cameron-Martin Raum und setzen H T := H T 0Im Folgenden wird immer angenommen, dass der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum(Ω, F, P) mit der augmentierten rechtsseitigstetigen Wienerfiltration versehen ist.Ein allererstes LDP Resultat wurde von Schilder für den Wienerprozess bewiesen.Theorem 1.23 (Schilder). Es sei W ein n-dimensionaler Wienerprozess auf (Ω, F, P).Dann erfüllt ( √ ɛW ) ɛ≥0 das LDP auf C 0 [0, T ] mit guter Ratenfunktion⎧⎪⎨I(h) =⎪⎩Beweis. vgl. [6], S. 161, Theorem 5.2.312∫ T0 |ḣt| 2 dt falls h ∈ H T∞ sonst.Freidlin-Wentzell TheorieNun kann Schilders Theorem und das Kontraktionsprinzip genutzt werden, um ein LDPfür eine Familie von Lösungen stochastischer Differentialgleichungen herzuleiten. AlsNachschlagewerk der stochastischen Analysis ist Rogers und Williams (1987, [24]) zuempfehlen. Eine gute Einführung mit Fokus auf stochastischen Differentialgleichungenmit finanzmathematischen Anwendungen ist in Øksendal (1998, [20]) zu finden. Es seizunächst eine Familie stochastischer DifferentialgleichungendSt ɛ = b(St ɛ )dt + √ ɛσ(St ɛ )dW t (1.12)S0 ɛ = s 0 ,für zwei beschränkte gleichmäßig lipschitzstetige Funktionen b : R n → R n und σ : R n →R n×d mit geeigneten Integrationsbedingungen. Definiere nun eine AbbildungF : H T → H T s 0F (g) = h,wobei h die eindeutige Lösung der Gleichung∫ th(t) = s 0 b(h(s)) ds +0∫ t0σ(h(s))ġ(s) ds0 ≤ t ≤ Tist. Dabei wird die Eindeutigkeit der Lösung durch die Lipschitzbedingung sichergestelltund die Abbildung F ist wohldefiniert. Es soll nun eine Art Kontraktionsprinzip auf die39

1 EinführungProzessfamilie (W ɛ ) ɛ und die Abbildung F angewandt werden, um das LDP für (S ɛ ) ɛherzuleiten. Dabei ist zu bemerken, dass die Abbildung F im Allgemeinen nicht stetigist und sich der Beweis daher etwas technischer gestaltet. Wir verzichten deswegen andieser Stelle darauf und verweisen für die Details auf Dembo und Zeitouni (1993, [6], S.189, Theorem 5.6.7).Theorem 1.24 (Freidlin-Wentzell). Es sei (S ɛ ) ɛ eine Familie stochastischer Prozessegegeben durch (1.12). Dann erfüllt (S ɛ ) ɛ das LDP auf C[0, T ] mit guter Ratenfunktion⎧⎪⎨I s0 (h) =⎪⎩infg∈F −1 (h)1 ∫ T2 0 |ġ t| 2 dt falls h ∈ H T s 0∞sonst.In einigen Situationen ist die Abbildung F bijektiv, wodurch die Ratenfunktion ohneErmittlung des Infimums auskommt.Korollar 1.25. Ist für alle x ∈ R n die quadratische Matrix a(x) := σ(x)σ(x) Tdefinit, dann reduziert sich die Ratenfunktion zu⎧⎪⎨I s0 (h) =⎪⎩12∫ T0 (ḣs − b(h s )) T a −1 (h s )(ḣs − b(h s ))ds falls h ∈ H T s 0∞sonst.positivBeweis. vgl. [6], S. 189Im eindimensionalen Fall ergibt sich in dieser Situation dann die Ratenfunktion zu⎧⎪⎨I s0 (h) =⎪⎩1 ∫ T2 0( ) 2 ḣs−b(hs)σ(h s) ds falls h ∈ HTs0∞sonst.Als entscheidendes Resultat der Freidlin-Wentzell Theorie kann nun die Ratenfunktionvon Familien von Diffusionsprozessen bestimmt werden. Damit stehen nun eine großeMenge an Werkzeugen der Theorie der großen Abweichungen zur Verfügung.1.2.4 AustrittszeitenWir können das Theorem von Freidlin-Wentzell benutzen, um asymptotische Aussagenüber die Austrittswahrscheinlichkeit der Familie (S ɛ ) ɛ gemäß der stochastischen Differentialgleichung(1.12) zu machen. Es sei D ⊆ R n eine beschränkte Menge mit glattem40

1.2 Theorie der großen AbweichungenRand ∂D und nach außem gerichteten Normalenvektor v auf ∂D. Definiere für einestetige Funktion ϕ : [0, T ] → R die Erstaustrittszeitτ D (ϕ) := inf{t ∈ [0, T ] | ϕ t /∈ D}.Es ist die Wahrscheinlichkeit P(τ D (S ɛ ) ≤ T ) gesucht. Mit Hilfe der Theorie der großenAbweichungen ist es wieder möglich, die Asymptotik dieser Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.Satz 1.26. Es sei (S ɛ ) ɛ eine Familie von Prozessen gegeben durch die stochastischeDifferentialgleichung (1.12). Die Ratenfunktion dieser Familie ist nach Freidlin-Wentzellgegeben durchI S (ϕ) = 1 2∫ ( T ˙0ϕt − b(ϕ t )σ(ϕ t )) 2dt,falls ϕ ∈ H T s 0und I S (ϕ) = ∞ sonst. Für ein Gebiet D ⊆ R n mit glattem Rand ∂D gelteweiter s 0 ∈ D und b · v < 0 auf ∂D (Skalarprodukt). Dann giltlim ɛ log P(τ(S ɛ ) ≤ T )ɛ→0= − inf{ 1 2∫ ( τ D (ϕ) ˙0ϕt − b(ϕ t )σ(ϕ t )Beweis. vgl. [8], S. 1378, Theorem 4.1) 2dt | ϕ ∈ C[0, T ], ϕ 0 = s 0 , τ D (ϕ) ≤ T }.Zur Erinnerung: Für eine C 1 -Kurve φ : [0, T ] → R haben wir den ersten Schnittpunktmit der Funktion u : [0, T ] → R definiert alsτ φ (u) := {t ∈ [0, T ] | u(t) = φ(t)}.Ist nun das Gebiet D mit Hilfe einer Funktion φ definiert, so kann die Aussage etwasmodifiziert werden, um Variationsrechnung anwenden zu können.Korollar 1.27. Es sei φ : [0, T ] → R eine C 1 -Kurve. In der Situation von Satz 1.26 sei∂D der Graph von φ und D die Menge oberhalb (unterhalb) des Graphen, falls s 0 < φ(0)(bzw. s 0 > φ(0)). Dann giltlim ɛ log P(τ D (S ɛ ) ≤ T )ɛ→0= − inf{ 1 2∫ ( τ D (ϕ) ˙0ϕt − b(ϕ t )σ(ϕ t )) 2dt | ϕ ∈ C[0, T ], ϕ 0 = s 0 , τ φ (ϕ) ≤ T }.41

1 EinführungBeweis. Für stetige Funktionen ϕ folgtτ D (ϕ) Def= inf{t ∈ [0, T ] | ϕ t /∈ D}stetig= inf{t ∈ [0, T ] | ϕ t ∈ ∂D}Def= τ φ (ϕ).D. h. eine stetige Funktion kann nicht in das Gebiet hinein springen, sondern muss zuvorden Rand ∂D passieren. Die Behauptung folgt dann direkt unter Anwendung von Satz1.26.Mit dem Korollar ist es nun gelungen, die Berechnung des Grenzverhaltens vonP(τ D (S ɛ ) ≤ T )auf ein Optimierungsproblem zu reduzieren. Genauer entspricht dies nun dem Variationsproblemmit linkem festen Randpunkt A = (0, s 0 ) und rechtem Endpunkt auf derC 1 -Kurve φ : [0, T ] → R:X := {u ∈ C[0, T ] | u(0) = s 0 , τ φ (u) ≤ T }∫ ( )1 τ φ (u)2ϕt ˙ − b(ϕ t )infdt.u∈X 2 0 σ(ϕ t )Dieses Problem wurde in Abschnitt 1.1.4 ausführlich behandelt.Beispiel: Vasicek-ProzessBetrachte den ProzessdS ɛ t = a(b − S ɛ t )dt + √ ɛσdW tS ɛ 0 = s 0zusammen mit der C 1 -Kurveφ(t) = K 0 e αt s 0 < K 0 .Damit ist in dieser Situation nun folgendes Variationsproblem mit linkem festen RandpunktA = (0, s 0 ) und rechtem Endpunkt auf der Kurve φ zu lösen:42

1.2 Theorie der großen AbweichungenX := {u ∈ C[0, T ] | u(0) = s 0 , τ φ (u) ≤ T }1infu∈X 2∫ τ φ (u)0( ) 2ϕt ˙ − a(b − (ϕ t ))dt.σϕ tDas Optimierungsproblem entspricht dem Beispiel am Ende von Abschnitt 1.1.4. Fürdie Parametera = 1 b = 0.25 s 0 = 0.2σ = 0.1 α = 0.001 K 0 = 0.4konnte dort der Wert m des Minimums ermittelt werdenm = 2.320771837.Es folgt nun mit Korollar 1.27Für ɛ = 1 ergibt das eine Approximationlim ɛ log P(τ D (S ɛ ) ≤ T ) = −2.320771837.ɛ→0P(τ D (S ɛ ) ≤ T ) ∼ exp(−2.320771837) = 0.09819776368.Dieses Verfahren kann von Fall zu Fall auf eine größere Klasse von Prozessfamilien(S ɛ ) ɛ und Kurven φ erweitert werden. Dazu sind einige Änderungen im anhängendenMaple Worksheet vonnöten. Insgesamt ergibt sich eine erfolgreiche Strategie mitsamtnumerischen Lösungsverfahren für die Berechnung des asymptotischen Grenzverhaltensvon Austrittszeiten für Diffusionsprozessen aus Gebieten, die durch eine differenzierbareKurve bestimmt sind.43

2 Monte Carlo Simulation undImportance SamplingIn der Finanzmathematik ist ein wesentliches Problem die Berechnung von Erwartungswertenvon stochastischen Prozessen der FormdS t = b(S t )dt + σ(S t )dW tS 0 = s 0 .Für ein messbares Funktional G : C s0 [0, T ] → R mit E|G(S)| < ∞ ist der ErwartungswertI G := EG(S)gesucht. Dabei wird G häufig als Auszahlung oder treffender als Auszahlungsfunktionalbezeichnet, da es die Auszahlung eines Derivates repräsentiert. Die Berechnung von I Gentspricht dann dem Preisfestsetzungsproblem oder Bewertungsproblem für Derivate.Die Handhabbarkeit von I G hängt stark von der gewählten Dynamik und der betrachtetenAuszahlungsfunktion ab. In einigen Fällen kann eine geschlossene Formel für denErwartungswert angegeben werden (zum Beispiel im Black-Scholes Modell für Call- undPutoptionen). Häufig muss bei dem Preisfestsetzungsproblem für Derivate jedoch einnumerisches Verfahren angewandt werden, um den Preis des Finanzgutes approximativzu berechnen. Ziel dieses Abschnittes ist eine kurze Vorstellung der Monte Carlo Simulationmit anschließender Einleitung in das Importance Sampling. Dabei wird zunächsterläutert, was unter Importance Sampling und dem damit verbundenen Maßwechselauswahlproblemverstanden wird. Dieses Auswahlproblem wird im nächsten Abschnittdann basierend auf Guasoni und Robertson (2007, [12]), Robertson (2010, [23]) undPham (2010, [22]) mit Hilfe der Theorie großer Abweichungen gelöst.45

2 Monte Carlo Simulation und Importance Sampling2.1 Monte Carlo SimulationEine Monte Carlo Simulation für die Derivatebewertung für ein Finanzprodukt mit AuszahlungG besteht aus einer Generierung von N Pfaden S 1 , ..., S N der gegebenen DynamikdS t = b(S t )dt + σ(S t )dW t (2.1)S 0 = s 0 .mit anschließender MittelwertbildungI N G := 1 NN∑G(S i )i=1als Approximation für den Preis. Es wird IGN im Folgenden als Monte Carlo Schätzerbezeichnet. Zunächst ist allerdings für dieses Vorgehen ein Zufallsgenerator für Pfade vonS nötig. Dies kann etwa durch das Euler-Maruyama oder das Milsteinverfahren erreichtwerden. In dieser Arbeit wird das erste Verfahren genutzt:Definition 2.1 (Euler-Maruyama). Es sei 0 = t 0 < t 1 < ... < t N = T eine äquidistanteZerlegung des Intervalls [0, T ] mit konstanter Schrittweite ∆t := δ. Definiere rekursivS n+1 = S n + b(S n )∆t + σ(S n )∆W n ,wobei∆W n := W tn+1 − W tn ∼ N(0, t n+1 − t n ) =√t n+1 − t n N(0, 1) = √ δN(0, 1).Betrachte die stückweise definierte lineare Funktion S δS δ | [ti ,t i+1 ](t) = S ti −( )Sti+1 − S ti(t i − t), 0 ≤ i ≤ N − 1,t i+1 − t idie durch Verbinden der Gitterpunkte entsteht. Nun ist S δ ein simulierter Pfad von S.Der eigentliche Monte Carlo Schätzer besteht nun für eine vorher gewählte Schrittweiteδ > 0 aus der Generierung von einer Stichproben S 1 , ..., S N , welche durch S δ 1, ..., S δ Ngemäß Euler-Maruyama approximiert werden, d. h. der eigentliche Monte Carlo Schätzer46

2.1 Monte Carlo SimulationistI N,δG= 1 NN∑G(Si δ ).i=1Um die Konsistenz dieses Schätzers zu begründen, musslim limN→∞ δ→0 IN,δ G= limlimδ→0 N→∞ IN,δ G= EG(S)in Wahrscheinlichkeit gelten.Zunächst ist es sinnvoll, den Approximationsfehler in Folge der Diskretisierung durchdas Euler-Maruyama Verfahren genauer zu untersuchen:Lemma 2.2. Es seien b und σ lokal lipschitzstetige Funktionen. Dann gilt()lim E sup |St δ − S t | 2 = 0.δ→00≤t≤TBeweis. vgl. [14], Theorem 2.2, S. 1043Insbesondere gilt dies auch in Wahrscheinlichkeit, d. h.()lim P sup |St δ − S t | > ɛ = 0.δ→00≤t≤TLemma 2.3. Es seien b und σ lokal lipschitzstetige Funktionen und G : C s0 [0, T ] → Rein lipschitzstetiges Funktional. Der Monte Carlo Schätzer I N,δG ist konsistent, d. h. füralle ɛ > 0 giltlim limN→∞ δ→0 P(|IN,δ G− EG(S)| > ɛ) = 0 = lim limN→∞ P(|IN,δ G − EG(S)| > ɛ).Beweis. Es sei ɛ > 0 und S 1 , S 2 , ... eine unabhänige gemäß (2.1) identisch verteilteStichprobe von S und S δ 1, S δ 2, ... die entsprechenden Euler-Maruyama Approximationen.Es giltδ→0|I N,δG− EG(S)| = | 1 N= | 1 N≤ | 1 NN∑G(Si δ ) − EG(S)|i=1N∑G(Si δ ) − G(S i ) + G(S i ) − EG(S)|i=1N∑G(Si δ ) − G(S i )| + | 1 N∑G(S i ) − EG(S)|i=1Ni=147

2 Monte Carlo Simulation und Importance Sampling≤ 1 NN∑|G(Si δ ) − G(S i )| + | 1i=1NN∑G(S i ) − EG(S)|i=1Wegen E|G(S)| 2 < ∞ erfüllt die Folge G(S 1 ), G(S 2 ), ... das schwache Gesetz der großenZahlen, d. h. für alle ɛ > 0 giltlimN→∞ P (| 1 N)N∑G(S i ) − EG(S)| > ɛ = 0.i=1Nach Lemma 2.2 gilt S δ δ→0→ S in L 1 in C s0 [0, T ]. Zusammen mit der Lipschitzstetigkeitvon G mit Lipschitzkonstante C > 0|G(S δ ) − G(S)| ≤ C||S δ − S|| ∞folgt0 ≤ E ( |G(S δ ) − G(S)| ) ≤ E ( C||S δ − S|| ∞)→ 0 für δ → 0.Unter Anwendung der Markovungleichung gilt nun für alle ɛ > 0( 1PNfür δ → 0 und insgesamtAnalog folgt)N∑|G(Si δ ) − G(S i )| > ɛ ≤ E ( 1 ∑ Ni=1|G(SNi δ ) − G(S i )| )i=1ɛ= E ( |G(S1) δ − G(S 1 )| )→ 0ɛ( )1N∑0 ≤ lim lim P |G(Si δ ) − G(S i )| > ɛδ→0 N→∞ Ni=1E ( |G(S1) δ − G(S 1 )| )≤ lim limδ→0 N→∞ ɛE ( |G(S1) δ − G(S 1 )| )= lim= 0δ→0 ɛ( )1N∑0 ≤ lim lim P |G(Si δ ) − G(S i )| > ɛN→∞ δ→0 Ni=1≤ lim limE ( |G(S1) δ − G(S 1 )| )N→∞ δ→0 ɛ48

2.1 Monte Carlo SimulationInsgesamt ergibt dies für alle ɛ > 0lim lim P ( |I N,δG − EG(S)| > ɛ )N→∞ δ→0≤ limN→∞ limδ→0 P ( 1N= limN→∞ limδ→0 P ( 1N= 0und analog= limδ→0E ( |G(S δ 1) − G(S 1 )| )ɛN∑|G(Si δ ) − G(S i )| > ɛ )i=12N∑|G(Si δ ) − G(S i )| > ɛ )i=12= 0.+ limN→∞ limδ→0 P (| 1 N+ limN→∞ P (| 1 Nlim lim P ( |I N,δG − EG(S)| > ɛ ) = 0.N→∞δ→0Damit folgt die Behauptung.N∑G(S i ) − EG(S)| > ɛi=12)N∑i=1G(S i ) − EG(S)| > ɛ 2)Als entscheidendes Resultat dieses Lemmas erhalten wir nun, dass Monte Carlo Simulationenfür Diffusionsprozesse unter stetigen Funktionalen für kleine Schrittweiten δ undgroße Simulationsumfänge N sehr nahe gegen den tatsächlichen Erwartungswert vonG(S) konvergieren.Um die Qualität eines Monte Carlo Schätzers zu bestimmen, können Konfidenzintervalleherangezogen werden.Lemma 2.4. Es sei (X n ) n∈N eine Folge unabhäniger, identisch verteilter Zufallsgrößenmit µ = EX 1 und 0 < VX 1 < ∞. Definiere das Stichprobenmittel der Zufallsstichprobe(X 1 , ..., X n ) alsX n := 1 n∑X ini=1und die Stichprobenvarianz der Zufallsstichprobe (X 1 , ..., X n ) alsS 2 n := 1n − 1n∑(X i − X n ) 2 .i=1Dann konvergiert die Zufallsgröße √ n Xn−µS nin Verteilung gegen eine Standardnormalverteilung√ X n − µ n → N (0, 1).S n49

2 Monte Carlo Simulation und Importance SamplingDamit gilt für alle x ∈ R( √nlim P X n − µn→∞ S n≤ x)= Φ(x),wobei Φ(x) die Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung ist.Korollar 2.5. Es sei X 1 , ..., X n eine Stichprobe und α ∈ (0, 1) vorgegeben. Dann ist[X n − q 1−α2S n√ n, X n + q 1−α2]S√ n. nein asymptotische Konfidenzintervall zum Niveau 1 − α für µ = EX 1 , wobei q 1−α das2(1 − α )-Quantil einer standardnormalverteilten Zufallsgröße bezeichnet.2Beweis. Die Behauptung folgt unmittelbar aus Lemma 2.4:lim P(X n − q 1−αn→∞ 2S n√ n< µ < X n + q 1−α2S n√ n) = lim n→∞P(−q 1−α2 < √ n X n − µS n= Φ(q 1−α2 ) − Φ(−q 1− α 2 )= 1 − α.< q 1−α2 )Die Länge des Konfidenzintervalls ist jetzt ein entscheidendes Qualitätskriterium für dieSchätzung von µ. Dabei verursachen gute Schätzer kleine Konfidenzintervalle. Die Längedes Intervalls ist2q 1−α2S n√ n.Um damit die Genauigkeit des Schätzers um eine Nachkommastelle zu verbessern, mussdie Anzahl der Simulationen verhundertfacht werden.Kann stattdessen die Standardabweichung der Stichprobe S n halbiert werden, so halbiertsich auch die Länge des Intervalls. Dieses Vorgehen wird im nächsten Abschnittuntersucht.2.2 Importance SamplingBei einer Monte Carlo Simulation besteht großes Interesse daran, die Stichprobenvarianzklein zu halten, um eine genauere Schätzung abgeben zu können. Dies lässt sich durch50

2.2 Importance Samplingeine Erhöhung des Stichprobenumfangs N erreichen. Dabei steigt allerdings auch derSimulationsaufwand. Gelingt es stattdessen die Standardabweichung zu reduzieren, soverkleinert sich auch das Intervall. Die Schätzung wird genauer.Ein zweiter Ansatz zur Optimierung des Konfidenzintervalls besteht in der Reduktionder Stichprobenvarianz. Eine Möglichkeit, eine solche Varianzreduktion zu erreichen, istdie Änderung des zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsmaßes P. Dieses Vorgehenist in der Literatur als Importance Sampling bekannt. Dass dieses Vorgehen bei richtigerHandhabung nicht zur Veränderung von Ergebnissen führt, kann mittels Bayessichergestellt werden:Lemma 2.6 (Bayes-Formel). Es seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (F t ) 0≤t≤Teine Filtration. Weiter sei Q ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß auf F T . Bezeichnefür t ∈ [0, T ] mit L t die Radon-Nikodym-Dichte von Q|F t bezüglich P|F t , d.h.L t = dQdP |F t.Dann gilt für jede Q-integrierbare, F T -messbare Zufallsgröße Gfür alle 0 ≤ t ≤ T .E Q (G|F t ) = E(L T G|F t )L tFür den Fall t = 0 gilt also EG = E Q G dPdP, sodass GdQ dQunter Q ist. Die Varianz dieses Schätzers unter Q istV Q G dP (dQ = E G 2 dP )− (EG) 2 .dQein alternativer Schätzer für EGDurch einen Maßwechsel von P nach Q kann mit Hilfe der Radon-Nikodym Dichte sichergestelltwerden, dass der Erwartungswert unverändert bleibt. Allerdings wird diesgewünschte Auswirkungen auf die Varianz haben. Dabei kann ein Maßwechsel zur Erhöhungoder Verringerung der Varianz führen. Ziel ist es nun, ein Maß Q zu finden, dassdie Varianz reduziert, um damit kleinere Konfidenzintervalle des Monte Carlo Schätzerszu erhalten. Bezeichne P(P) := {Q | Q ∼ P} die Menge aller zu P äquivalenten Maße.Es ist also folgendes Optimierungsproblem zu lösen:( ) ( (dPinf V QG = inf E G 2 dP ) ) ( (− (EG) 2 = inf E G 2 dP ))− (EG) 2 .Q∈P(P) dQ Q∈P(P) dQQ∈P(P) dQ51

2 Monte Carlo Simulation und Importance SamplingDabei beleibt (EG) 2 durch einen Maßwechsel unberührt und kann daher bei der Optimierungunberücksichtigt bleiben. Das Maßwechselauswahlproblem beim ImportanceSampling ist nun das Auffinden einer Lösung des Optimierungsproblems(inf E G 2 dP ).Q∈P(P) dQ2.2.1 Importance Sampling für DiffusionsprozesseFür Diffusionsprozesse sind Maßwechsel durch den Satz von Cameron-Martin-Girsanovcharakterisiert. Dadurch kann das Maßwechselauswahlproblem etwas umformuliert werden.Betrachte zunächst wieder einen DiffusionsprozessdS t = b(S t )dt + σ(S t )dW tS 0 = s 0 ∈ R,wobei b und σ zwei gleichmäßig lipschitzstetige Funktionen sind, die geeignete Integrationsbedingungenerfüllen.Für Funktionen h ∈ H T kann der Satz von Cameron-Martin-Girsanov angewandt werden.Wir betrachten dazu das Doleansexponential von ∫ •0 ḣs dW s definiert durch(∫ tL t := exp ḣ s dW s − 1 ∫ t )ḣ 2 s ds .0 2 0Wegen der Novikovbedingung und ∫ T0 |ḣs| 2 ds < ∞ ist gesichert, dass L = (L t ) 0≤t≤Tein Martingal mit 1 = EL 0 = EL t ist. Wir können also für jedes h ∈ H T ein zu Päquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q h durchdQ hdP | F t= L tangeben und nennen Q h das von h induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß. Nach Satz vonGirsanov ist W t := W t − ∫ t0 h sds ein Wienerprozess bezüglich Q h . Der Prozess S folgtdann unter diesem neuen Maß der DynamikdS t = ( b(S t ) + σ(S t ) ˙ h t)dt + σ(St )dW tS 0 = s 0 ∈ R.Schreibt man F := log G, so reformuliert sich mit Anwendung der Bayes-Formel das52

2.2 Importance SamplingMaßauswahlproblem unter dem von h ∈ H T induzierten Maßwechsel zuE P G 2 (S)( )(dP∫ t= EdQ h P G 2 (S) exp − ḣ s dW s + 1 ∫ t02 0(∫ t= E P exp log(G 2 (S)) − ḣ s dW s + 102( ∫ t= E P exp 2F (S) − ḣ s dW s + 1 ∫ t02 0=: M var (h).Für das Maßwechselauswahlproblem muss nun)|ḣs| 2 ds∫ t0|ḣs| 2 ds)|ḣs| 2 ds)inf M var(h)h∈H Tbestimmt werden. Damit reduziert sich das Problem auf die Ermittlung einer minimierendenFunktion h. Trotzdem ist die varianzbeeinflussende Größe M var (h) immernochschwer zu erfassen. Dazu wird im nächsten Kapitel eine Approximation dieser Größe mittelsTheorie der großen Abweichungen genutzt, um Qualitätskriterien für Maßwechselherzuleiten.53

3 Deterministische MaßwechselBasierend auf den Arbeiten von Guasoni und Robertson (2008, [12]) und Robertson(2010, [23]) wird ein heuristisches Verfahren zur Lösung des Maßwechselauswahlproblemsim Importance Sampling vorgestellt. Die grundlegende Idee ist dabei, die Auswirkungeines deterministischen Maßwechsels mittels Varadhans Theorem zu approximieren, umanschließend einen im Sinne dieser Approximation optimalen Maßwechsel auszuwählen.Die Methode wird zunächst im Black-Scholes Modell vorgestellt und dort ausführlichuntersucht. Anschließend kann das Resultat erfolgreich auf einige Einfaktormodelle ausgeweitetwerden.Es sei W ein Wienerprozess und G = G(W ) : C[0, T ] → R + ein nicht negatives Auszahlungsfunktional,dessen Wert sich basierend auf den Pfaden des Wienerprozessesermitteln lässt. Mit F := log G konnte bereits in Abschnitt 2.2.1 die Varianz unter demvon h induziertem Maß Q h bestimmt werden. Wir erhalten damit ein Funktional(M var : H T → R, h ↦→ E exp 2F (W ) −∫ T0ḣ t dW t + 1 2∫ T0|ḣt| 2 dtNun gibt M var (h) die Varianz von G(W ) unter dem Maß Q h an. Wir sind an der Lösungdes Maßwechselauswahlproblems, d.h. an einer Funktion ĥ ∈ HT mit).M var (ĥ) = inf M var(h)h∈H Tinteressiert. Allerdings ist die Größe M var (h) immernoch schwer zu erfassen. Die Ideeist nun, eine Approximation von M var (h) mittels Theorie der großen Abweichungenheranzuziehen. Dazu muss geklärt werden, welche Familie von Zufallsgrößen (X ɛ ) ɛ undwelche Funktion ϕ h : X → [−∞, ) für eine Approximation geeignet sind. Nach Annahmeist der Wienerprozess die entscheidende Zufallsgröße im Auszahlungsfunktional, definieredaher auf X = C 0 [0, T ] eine Familie von Zufallsgrößen gegeben durch X ɛ = √ ɛW . Esgilt X ɛ=1 = W und ( √ ɛW ) ɛ erfüllt das LDP nach Schilders Theorem. Nun setzen wir55

3 Deterministische Maßwechselfür h ∈ H T ϕ h : C 0 [0, T ] → R,ϕ h (ω) = 2F (ω) −∫ T0ḣ t dω t + 1 2∫ T0|ḣt| 2 dt. (3.1)Es ist zunächst zu klären, ob das Integral ∫ T0 ḣtdω t existiert, damit die Abbildung ϕ hwohldefiniert ist. Zusätzlich muss ϕ h stetig sein und die Voraussetzung von VaradhansTheorem erfüllen. Zunächst treffen wir folgende Annahme an das Auszahlungsfunktional.Annahme 3.1. Das Auszahlungsfunktional F = log G : C 0 [0, T ] → [−∞, ∞) ist stetigund erfülltfor Konstanten K 1 , K 2 > 0 und α ∈ (0, 2).F (x) ≤ K 1 + K 2 maxt∈[0,T ] |x t| αNun können die notwendigen Eigenschaften von ϕ h nachgerechnet werden.Lemma 3.2. Die Abbildung ϕ h definiert durch (3.1) ist für alle h ∈ H Tstetig und erfülltlimM→∞wohldefiniert,( ) 1lim sup ɛ log E expɛ→0ɛ ϕ(Xɛ ) 1 {ϕ(X ɛ )≥M} = −∞, (3.2)d. h. auf ϕ h kann Varadhans Theorem angewandt werden.Beweis. Es seien also h ∈ H T und ω ∈ C 0 [0, T ] beliebig. Zunächst ist ḣ eine Funktion vonbeschränkter Variation nach Definition von H T . Da ω stetig ist, existiert das Integral∫ T0 ω tdḣt pfadweise im Stieltjes Sinn. Nach partieller Intergrationsformel für StieltjesIntegrale (Hille und Phillips 1957, [15], Theorem 3.3.1, S. 63) existiert dann auch dasIntegral ∫ T0 ḣtdω t . Damit ist die Abbildung ϕ h wohldefiniert. Als weitere Konsequenzerhalten wirInsbesondere gilt∫ T0∫ Tḣ t dω t = ḣ(T )ω(T ) − ḣ(0)ω(0) − ω t dḣt∫ T= ḣ(T )ω(T ) − ω t dḣt.∫ T∫ T| ḣ t dω t | = |ḣ(T )ω(T ) − ω t dḣt|00∫ T≤ |ḣ(T )ω(T )| + | ω t dḣt|00056

≤ |ḣ(T )ω(T )| + sup|ω t |0≤t≤T} {{ }

3 Deterministische MaßwechselLemma 3.3. Es gilt( 1lim ɛ log E expɛ→0 ɛ ϕ h(W ))ɛ = sup 2F (ω) + 1 ∫ T∫ T|ḣt − ˙ω t | 2 dt − | ˙ω t | 2 dt Def= M(h).ω∈H T 2 00(3.3)Im Folgenden wird nun die Notation A ∼ B für A approximiert B genutzt. Wir könnenmit dem obigen Resultat nun die Approximation für die Varianz unter dem von hinduzierten Maßwechsel bestimmen( ) 1log M var (h) = E expɛ ϕ h(W ɛ ) | ɛ=1 ∼ M(h).Das Optimierungsproblem (3.3) zur Bestimmung von M(h) kann nun mit Mitteln derVariationsrechnung gelösen werden und gestaltet sich daher einfacher, als den ErwartungswertM var (h) direkt zu berechnen. Die Heuristik besteht nun darin anzunehmen,dass auch das Minimum durch die asymptotische Approximation gut angenähert werdenkannDas motiviert folgende Definition:inf log M var(h) ∼ inf M(h).h∈H T h∈H TDefinition 3.4. Eine Funktionĥ heißt asymptotisch optimal, falls es eine Lösung fürinf M(h)h∈H Tist und wir nennen das vonĥ induzierte Maß asymptotisch optimales Maß.Bemerkung 3.5. Der Raum H T ist nicht abgeschlossen. Die Weierstraßfunktion bildetdafür ein Gegenbeispiel: Es sei dazu eine Funktionenfolgen∑f n (t) = a n cos(b n πt),i=00 < a < 1, b ∈ N und ab > 1 + 1 3 πgegeben. Nun konvergiert die Funktionenfolge (f n ) n nach dem weierstraßschem Majorantenkriteriumgleichmäßig gegen eine Funktion f. Wir bezeichnen f dann als Weierstraßfunktion.Diese ist bekanntermaßen stetig, aber nirgends differenzierbar und damitf /∈ H T . Andererseits ist für jedes n ∈ N die Funktion f n differenzierbar und das Integral| f ˙ n (t)| 2 dt existiert, da f ˙ n für jedes n ∈ N beschränkt ist. Also gilt f n ∈ H T . Damit ist∫ T0eine in H T konvergente Folge gefunden, deren Grenzwert nicht in H T liegt. Der Raumist damit nicht abgeschlossen.58

Ein asymptotisch optimales ĥ muss damit nicht unbedingt in HT liegen. Da allerdingsbeim Importance Sampling das von ĥ induzierte Maß von Belangen ist, ist vorher zuprüfen, ob mittels ĥ tatsächlich ein äquivalentes Maß Q ĥdefiniert werden kann.Wir fassen kurz zusammen, wie nun mittels asymptotischer Optimalität ImportanceSampling betrieben werden kann:Es sei G ein Auszahlungsfunktional, das die Annahme 3.1 erfüllt. Gibt es ein asymptotischoptimales ĥ, sodass das induzierte äquivalente Maß Q ĥexistiert, so folgt derPreisprozess S dann unter dem neuen Maß der DynamikdS t =S 0 = s 0(b(S t ) + σ(S t )˙ĥ t)dt + σ(S t )dŴtfür einen Wienerprozess Ŵ bezüglich Q ĥ. Der neue Monte Carlo Schätzer unter demMaß Q h für eine Stichprobe S 1 , ..., S N von S bezüglich Qĥ und zugehörigen DichtequotientenprozessenL 1 , ..., L N ist nun gegeben durchN∑G(S i )L i .i=1Es sollte zunächst die Existenz und Eigenschaften einer Lösung von (3.3) untersuchtwerden. Diese Ergebnisse führen dann zu einem Algorithmus zur Bestimmung von ĥ.Lemma 3.6. Es sei h ∈ H T , sodass ḣ von beschränkter Variation ist und gelte Annahme3.1. Dann existiert eine Lösung des Optimierungsproblems (3.3).Lemma 3.7. Gelte Annahme 3.1, dann existiert eine Lösung ˆx ∈ H T mit2F (ˆx) −∫ T0∫ Tˆẋ 2 t dt = sup 2F (x) −x∈H T 0ẋ 2 t dt. (3.4)Die Beweise dieser beiden Lemmata sind von starker technischer Natur und werdendaher hier ausgelassen. Die Details sind in Guasoni und Robertson (2008, [12], Theorem3.5) zu finden.Durch Lösung von (3.4) kann ein asymptotisch optimales ĥ berechnet werden. Bevorwir die Aussage formulieren, präsentieren wir kurz die Idee. Nutzen wir das Ergebnisaus Lemma 3.3, so ist das Optimierungsproblem zur Bestimmung eines asymptotisch59

3 Deterministische Maßwechseloptimalen ĥ gegeben durchinf M(h) = inf sup 2F (ω) + 1 ∫ T∫ T|ḣt − ˙ωh∈HT t | 2 dt − | ˙ω t | 2 dt.h∈H T ω∈H T 2 00Dies entspricht nun einem Minimaxproblem, d. h. einem Optimierungsproblem der Forminf supx∈X y∈YF (x, y)für eine Abbildung F : X × Y → R. Im Allgemeinen giltinf supx∈X y∈YF (x, y) ≠ supy∈Yinfx∈XF (x, y),sodass die Ordnung des Minimaxproblems nicht problemlos vertauscht werden kann.Nehmen wir in unserer Situation zunächst an, dass die Ordnung getauscht werden kann:infh∈H Tsup 2F (ω) + 1 ∫ T∫ T|ḣt − ˙ω t | 2 dt −ω∈H T 2 00= supω∈H Tinf 2F (ω) + 1h∈H T 2= supω∈H T 2F (ω) −= supω∈H T 2F (ω) −∫ T0∫ T0∫ T0|ḣt − ˙ω t | 2 dt −| ˙ω t | 2 1dt + infh∈H T 2| ˙ω t | 2 dt,| ˙ω t | 2 dt∫ T0∫ T0| ˙ω t | 2 dt|ḣt − ˙ω t | 2 dtwomit wir das Optimierungsproblem (3.4) erhalten. Es wird sich heraustellen, dass dieVertauschung der Ordnung des Minimaxproblems keinen Einfluss auf die asymptotischeOptimalität hat:Lemma 3.8. Istĥ eine Lösung von (3.4) und gelteM(ĥ) = 2F (ĥ) −∫ T0˙ĥ 2 t dt, (3.5)dann istĥ asymptotisch optimal und die Lösung von (3.4) ist eindeutig.Beweis. Es seien h, x ∈ H T beliebig. Es gilt∫ T0(ḣt − ẋ t) 2dt ≥ 0.60

Damit folgtM(h) = sup 2F (x) + 1x∈H T 2≥ supx∈H T 2F (x) −∫ T0∫ T0|ẋ t − ḣt| 2 dt −∫ T0ẋ 2 t dtẋ 2 t dt. (3.6)Ist nun ĥ eine Lösung des Optimierungsproblems (3.6), d. h. eine Lösung von (3.4), sodefiniert es eine untere Schranke für M gegeben durchFalls nunoptimal.∫ Tinf M(h) ≥ 2F (ĥ) −h∈H T 0˙ĥ 2 t dt.ĥ diese Schranke erreicht, d. h. (3.5) erfüllt, so ist es schon asymptotischFür die Eindeutigkeit seien h und g bezüglich des Lebesgue-Maß fast sicher verschiedeneLösungen für (3.4). Dann folgt wegen strikter KonvexitätM(h) = (i)sup 2F (x) + 1x∈H T 2≥ 2F (g) + 1 2> 2F (g) −= 2F (h) −∫ T0∫ Tġt2 0∫ T0∫ T0|ẋ t − ḣt| 2 dt −|ġ t − ḣt| 2 dt −dtḣ 2 t dt,∫ Tġt2 0∫ T0dtẋ 2 t dtwobei die dritte Ungleichung wegen h ≠ g strikt ist. Das widerspricht nun der Optimalität(3.4) für h. Die Eindeutigkeit folgt.ZusammenfassungEs sei G = G(W ) : C 0 [0, T ] ein Auszahlungsfunktional. Um Importance Sampling mittelseines deterministischen Maßwechsels zu betreiben, müssen wir wie folgt vorgehen:1. Beweise, dass F = log G Annahme 3.1 erfüllt.2. Bestimme die Lösung ĥ des Optimierungsproblems (3.4). 61

3 Deterministische Maßwechsel3. Prüfe, ob ĥ ein äquivalentes Maß Q ĥinduziert und ob es die Bedingung (3.5)erfüllt. Dann ist ĥ asymptotisch optimal.4. Erstelle mittels Euler-Maruyama eine Stichprobe S 1 , ..., S N bezüglich Qĥ.5. Bilde das arithmetische MittelN∑G(S i )L ii=1als Monte Carlo Schätzer mit Importance Sampling für den Wert des durch Ggegebenen Derivates.3.1 Anwendung: Call im Black-Scholes ModellZunächst wird eine Calloption im Black-Scholes Modell untersucht, um das Verfahrenzu testen. Es sei also ein risikobehafteter Preisprozess S bezüglich eines äquivalentenMartingalmaßes P gegeben durchdS t = S t (rdt + σdW t )S 0 = s 0 .Dabei bezeichne r den risikolosen kostanten Zinssatz in dem betrachten Handelszeitraum[0, T ]. Die Lösung für diese stochastische Differentialgleichung ist gegeben durch einegeometrische Brownsche Bewegung(S t = s 0 exp σW t + (r − 1 )2 σ2 )t .Damit hat ein Call mit Laufzeit T und Strike K als Funktional des Wienerprozessesfolgende Auszahlung:G(W ) =(s 0 exp(σW T + (r − 1 2 σ2 )T ) − K) += (S T − K) + .Ziel ist es nun, den asymptotisch optimalen Drift ĥ einer Calloption im Black-ScholesModell auszurechnen. Die Abbildung C 0 [0, T ] → R, ω ↦→ ω T ist stetig und damit istauch ω ↦→ log G(ω) als Kompisition stetiger Funktionen stetig. Um zu zeigen, dass log G62

3.1 Anwendung: Call im Black-Scholes ModellAnnahme 3.1 erfüllt, wähle K 1 = |(r − 1 2 σ2 )T |, K 2 = σ und α = 1. Dann folgt(F (ω) = | log s 0 exp(σω T + (r − 1 +2 σ2 )T ) − K)|(≤ | log s 0 exp(σω T + (r − 1 )2 σ2 )T ) |= |σω T + (r − 1 2 σ2 )T |≤ |(r − 1 2 σ2 )T | + σ max0≤t≤T |ω t|.Wir bestimmen nun für diesen Fall eine Lösung des Optimierungsproblems (3.4):∫ Tsup 2 logG(x) − ẋ 2 t dtx∈H T 0= supx∈H T 2 log( (s 0 exp σx T +(r − 1 ) ) + ∫ T2 σ2 T − K)− ẋ 2 t dt. (3.7)0Für die Anwendung der Variationsrechnung muss der innere Ausdruck in Integralformvorliegen. Zunächst kann angenommen werden, dass eine positive Auszahlung erfolgt,ansonsten gilt log 0 = −∞ und das Variationsproblem nimmt dort nicht sein Maximuman. Nun gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung( (2 log s 0 exp σx T + (r − 1 )2 σ2 )t==∫ T0∫ T0ddT[ (2 log s 0 exp(σx T +)− K(r − 1 ) )]2 σ2 T ) − KT =t2 (σẋ t + (r − 1 2 σ2 ))s 0 exp(σx t + (r − 1 2 σ2 )t)s 0 exp(σx t + (r − 1 2 σ2 )t) − KDefiniere a := r − 1 2 σ2 und betrachte das Funktionaldt.dtH : [0, T ] × R × R → RH(t, x, y) = 2 (σy + a)s 0 exp(σx + at)s 0 exp(σx + at) − K − y2 .Damit ist das Optimierungsproblem (3.7) nun gegeben durchX := {u ∈ C[0, T ] | u(0) = 0}∫ Tinf H(t, u(t), ˙u(t)) dt.u∈X 0Das entspricht dem Variationsproblem mit linkem fixen Randpunkt A = (0, 0) und63

3 Deterministische Maßwechselrechtem Randpunkt auf der senkrechten Geraden t = T . Dieses Problem wurde bereitsin der Einführung in Abschnitt 1.1.3 gelöst. Dort konnte als Minimalstelle die Funktionĥ(t) = cthergeleitet werden, wobei c folgende Gleichung löst:Damit gilt ĥ ∈ HT2 s σ cT +aT0σ es 0 e σ cT +aT − K − 2 c = 0.und es existiert ein äquivalentes Maß Qĥ. Um die asymptotischeOptimalität von h nachzuweisen, benutzen wir Lemma 3.5. Dazu wird folgendes Variationsproblemgelöst:M(ĥ) = sup 2F (x) + 1 ∫ T|ẋ t − ˙ĥ∫ Tt | 2 dt − ẋ 2 t dtx∈H T 2 00∫ T∫ T= sup 2F (x) − ẋ 2 t dt + 1 |ẋ t − c| 2 dtx∈H T 0} {{ } 2 0} {{ }=:A=:B(3.8)Die Euler-Lagrange Gleichung bezüglich A ist bereits in Abschnitt 1.1.3 berechnet wordenund ist gegeben durch0 = A x (t, x(t), ẋ(t)) − d dt A y(t, x(t), ẋ(t)) = 2ẍ(t).Damit kann die Euler-Lagrange Gleichung bezüglich C := A + B bestimmt werden. EsgiltB y (t, x(t), ẋ(t)) = ẋ(t) − c B x (t, x(t), ẋ(t)) = 0ddt B y(t, x(t), ẋ(t)) = ẍ(t).In Kurzschreibweise ergibt das0 = C x − d dt C y = A x − d dt A y + B x − d dt B y= 2ẍ(t) + 0 − ẍ(t)= ẍ(t).64

3.1 Anwendung: Call im Black-Scholes ModellDamit sind Extremstellen wieder Geraden. Zusammen mit der Randbedingung x(0) = 0ist damit ein Kandidatˆx(t) = kt,k ∈ Rfür die Extremalstelle gefunden. Zum Nachweis von (3.5) genügt es nun k = c zu beweisen.Dann folgt direkt ˆx = ĥ und damit dannM(ĥ) = sup 2F (x) + 1x∈H T 2= 2F (ˆx) + 1 2= 2F (ˆx) −∫ T0∫ T0= 2F (ĥ) − ∫ T0∫ T0|ẋ t − c| 2 dt −|ˆx t − ĥt| 2 dt −˙ˆx 2 t dt˙ĥ 2 t dt.∫ T0∫ T0˙ˆx 2 t dtẋ 2 t dtUm k zu bestimmen kann Satz 1.8 herangezogen werden. Demnach muss die Bedingung(1.6) für den rechten flexiblen Endpunkt erfüllt sein, d. h.[C y (t, ˆx(t), ˙ˆx(t))] t=T = [A y (t, ˆx(t), ˙ˆx(t))] t=T + [B y (t, ˆx(t), ˙ˆx(t))] t=T[= 2 x 0σ e σ ˆx(t)+at]x 0 e σ ˆx(t)+at − K − 2 ˙u(t) + [ ˙ˆx(t) − c] t=TEine Lösung dieser Gleichung ist wegent=T= 2 x σ kT +aT0σ ex 0 e σ kT +aT − K − 2 k + k − c = 0= 2 x σ kT +aT0σ ex 0 e σ kT +aT − K − k − c = 0.2 x σ cT +aT0σ ex 0 e σ cT +aT − K − 2c = 0durch k = c gegeben. Mit einfachen Mitteln der Analysis kann nachgewiesen werden, dassdie Gleichung höchstens eine Lösung besitzt. Damit folgt k = c und die asymptotischeOptimalität von ĥ ist bewiesen.Ist nun die Lösung ĉ der obigen Gleichung bekannt, dann ist die asymptotisch optimaleFunktion gegeben durch ĥt = ĉt und S folgt unter dem asymptotisch optimalen Maß Qĥder Dynamikfür einen Wienerprozess W bezüglich Qĥ.dS t = S t ((r + ĉσ)dt + σdW t )65

3 Deterministische MaßwechselAuswertung der SimulationsergebnisseMit der hier vorgestellten Technik lässt sich eine Reduktion der Standardabweichung umden Faktor 3 bis 14 erreichen. Weiter zeigt sich, dass dieses Vorgehen umso besser ist,je geringer die Auszahlungswahrscheinlichkeit des Derivates wird („out-of-the-money“).Das kann durch den stärkeren Effekt des Importance Sampling in diesem Fall begründetwerden.Der zusätzliche Rechenaufwand bei der Berechnung des asymptotisch optimalen Driftesreduziert sich auf die einmalige Berechnung von ĉ vor Beginn der Simulation und dieBerechnung des Dichtequotientenprozess am Laufzeitende pro simulierten Pfad. Da derMaßwechsel konstant ist, ist L T gegeben durchL T = exp(ĉW T − 1 2ĉ2 T ).Die Bestimmung von L T kommt also ohne die Ermittlung eines stochastischen Integralsaus. Der zusätzliche Rechenaufwand für die Simulation mit Importance Sampling kanndaher als sehr gering eingeschätzt werden und die Varianzreduktion ist in einem akzeptablenBereich. Da im Black-Scholes Modell allerdings eine analytische Formel für denCallpreis vorliegt, ist eine Ermittlung mit numerischen Verfahren nicht sinnvoll.Abbildung 3.1: Ergebnisse verschiedener Monte Carlo Simulationen im Vergleich zurBlack-Scholes Formel, Preis und Standardabweichung.66

3.1 Anwendung: Call im Black-Scholes ModellVolatilität Strike P MC P IS σ MC σ IS Ratio20% 60 1.742 1.682 4.540 1.167 3.8970 0.414 0.403 2.193 0.351 6.2480 0.077 0.080 0.856 0.082 10.4390 0.017 0.014 0.400 0.016 24.62100 0.003 0.002 0.136 0.003 46.2825% 60 2.575 2.623 6.355 1.719 3.7070 0.942 0.930 3.902 0.742 5.2680 0.293 0.300 2.136 0.277 7.7190 0.101 0.091 1.249 0.094 13.23100 0.021 0.028 0.506 0.031 16.4130% 60 3.776 3.614 8.970 2.272 3.9570 1.612 1.624 5.804 1.222 4.7580 0.680 0.682 3.864 0.592 6.5290 0.313 0.287 2.611 0.273 9.55100 0.126 0.121 1.756 0.123 14.3140% 60 5.496 5.660 12.796 3.423 3.7470 3.208 3.299 10.041 2.308 4.3580 1.978 1.933 8.489 1.485 5.7290 1.217 1.083 6.622 0.929 7.13100 0.662 0.643 4.988 0.581 8.5850% 60 7.672 7.827 17.977 4.516 3.9870 5.208 5.211 15.895 3.438 4.6280 3.507 3.512 13.617 2.554 5.3390 2.354 2.378 11.372 1.871 6.08100 1.521 1.620 9.370 1.358 6.9060% 60 9.619 9.937 23.503 5.625 4.1870 7.080 7.197 21.750 4.597 4.7380 5.815 5.383 21.653 3.708 5.8490 4.162 4.027 18.252 2.945 6.20100 3.127 3.023 14.919 2.349 6.35Tabelle 3.1: Approximierter Preis und Standardabweichung der Monte Carlo Simulationmit und ohne Importance Sampling (deterministische Maßwechsel nachVaradhan-Laplace) im Black-Scholes Modell für einen Call. Als Vergleichskriteriumist die Ratio der Standardabweichungen σ MCσ ISangegeben. Die Simulationsparametersind T = 1, S 0 = 50, r = 0.05 und N = 10000.67

3 Deterministische MaßwechselAbbildung 3.2: Vergleich der Erwartungswerte t ↦→ ES t des Preisprozesses im Black-Scholes Modell unter dem äquivalenten Martingalmaß P und dem asymptotischoptimalen Maß Qĥ.3.2 Digitale OptionenEine digitale Option liefert eine Auszahlung von 1, falls während des Handelszeitraumeseine festgelegte Bedingung eingetreten ist und verfällt ansonsten. Für eine messbareabgeschlossene Menge A ⊆ C 0 [0, T ] ist damit die Auszahlung einer digitalen Option inAbhänigkeit des Wienerprozesses definiert alsG(W ) = 1 A (W ).Nun ist eine Anwendung des obigen Verfahrens kritisch anzusehen, da das Auszahlungsfunktionallog 1 A nicht stetig ist. Um dieses Vorgehen dennoch mathematisch zu untermauern,ist es notwenig, Varadhans Theorem auf solche Funktionen zu erweitern. Diessoll im Folgenden gemacht werden:Satz 3.9. Es sei (X ɛ ) ɛ eine Familie von Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum(X , B X , µ), sodass sie das LDP mit Ratenfunktion I erfüllt. Weiter sei F : X → Reine Abbildung und sei für jedes δ > 0 eine stetige Abbildung F δ : X → 0 mit F δ ≥ Fund µ(F δ ≠ F ) δ→0→ 0. Existiere für jedes δ > 0 ein γ δ > 1 mit( 1lim ɛ log E expɛ→0 ɛ γ δF δ (X ))ɛ < ∞. (3.9)Dann gilt( 1lim ɛ log E exp ))ɛ→0 ɛ F (Xɛ= sup F (x) − I(x).x∈X68

3.2 Digitale OptionenBeweis. Die Idee ist eine Anwendung von Varadhans Theorem auf F δ mit anschließendemGrenzübergang.Aufgrund der Konvergenz ist exp(F δ (x)) − exp(F (x)) fast sicher durch ein K > 0 beschränktfür jedes δ > 0. Weiter gilt wegen F δ ≥ F für jedes X ∈ L 2Damit folgt0 ≤ E| exp(F δ (X)) − exp(F (X))|= E exp(F δ (X)) − exp(F (X))≤ Kµ(F δ ≠ F ) δ→0→ 0.( )( )1 1lim ɛ log E expδ→0 ɛ F δ(X ɛ ) = ɛ log E expɛ F (Xɛ )für alle ɛ > 0. Weiter gilt nach Varadhan( 1lim ɛ log E expɛ→0 ɛ F δ(X ))ɛ= sup F δ (x) − I(x) < ∞.x∈XDamit können nun die Limiten vertauscht werden und es folgt( 1lim ɛ log E exp ))ɛ→0 ɛ F (Xɛ= limɛ→0lim( 1ɛ log E expδ→0 ɛ F δ(X ))ɛ( 1ɛ F δ(X ))ɛ= limδ→0limɛ→0ɛ log E exp= limsupδ→0 x∈XF δ (x) − I(x)= sup F (x) − I(x)x∈XKorollar 3.10. Es sei A ⊆ C 0 [0, T ] eine abgeschlossene Menge. Dann giltlimɛ→0ɛ log E exp( 1ɛ(= supω∈C 0 [0,T ]2 log 1 A (W ɛ ) −(2 log 1 A (ω) −∫ T0∫ T0ḣ t dWt ɛ + 1 ∫ ))T|ḣt| 2 dt2 0)ḣ t dω t + 1 2∫ T0|ḣt| 2 dtBeweis. Zunächst muss eine stetige Approximation für die Abbildungω ↦→(2 log 1 A (ω) −∫ T0ḣ t dω t + 1 2∫ T0|ḣt| 2 dt).69

3 Deterministische Maßwechselkonstruiert werden. Definiere zunächstd(ω, A) := inf{||ω − a|| sup | a ∈ A}den minimalen Abstand von ω zu der Menge A. Beachte, dass die Abbildung Ψ :C 0 [0, T ] → R + , ω ↦→ d(ω, A) als Metrik auf C 0 [0, T ] stetig ist. Setze dann für jedesδ > 0B δ := {x ∈ X | d(x, A) > δ}.Wegen B δ = Ψ −1 ([δ, ∞)) ist diese Menge abgeschlossen. Da auch A abgeschlossen istund metrische Räume immer perfekt normal sind, existiert nach Urysohn für jedes δ > 0eine stetige Funktion f δ : C 0 [0, T ] → [0, 1] mitf δ (a) = 1 für alle a ∈ A f δ (b) = 0 für alle b ∈ B δ .Nun konvergiert f δ für δ → 0 punktweise gegen 1 A . Für a ∈ A ist dies klar. Für b /∈ Agilt d(b, A) > 0. Damit existiert ein δ 0 > 0 mit b ∈ B δ0 und damit f δ (b) = 0 für alleδ < δ 0 . Wegen der Konvergenz gilt µ(log f δ ≠ 1 A ) δ→0→ 0, wobei µ das Wienermaß ist.Definiere nunF δ (ω) =F (ω) =((2 log f δ (ω) −2 log 1 A (ω) −∫ T0∫ T0ḣ t dω t + 1 2ḣ t dω t + 1 2∫ T0∫ T0|ḣt| 2 dt|ḣt| 2 dtNach Konstruktion ist F δ stetig mit F δ ≥ F und es gilt µ(log F δ ≠ F ) δ→0→ 0. Für denNachweis von Bedingung (3.9) betrachte die FunktionΘ(ω) =(−∫ T0ḣ t dω t + 1 2∫ T0|ḣt| 2 dtEs gilt F δ ≤ Θ. Nun ist Θ stetig und erfüllt die Voraussetzung für Lemma 3.2. Damitexistiert ein γ > 1 mit( ( 1 1lim ɛ log E expɛ→0 ɛ γF δ(W ))ɛ ≤ lim ɛ log E exp ))ɛ→0 ɛ γΘ(W ɛ < ∞.).))Damit ist es nun möglich, das oben vorgestellte Vorgehen zur Bestimmung eines asym-70

3.3 Anwendung im Black-Scholes Modellptotisch optimalen Maßwechsels im Falle digitaler Optionen zu benutzen.3.3 Anwendung im Black-Scholes ModellIm Falle des Black-Scholes Modell lässt sich der deterministische asymptotisch optimaleMaßwechsel leicht berechnen. Es sei also ein Preisprozess bezüglich des äquivalentenMartingalmaßes P gegeben durchdS t = S t (rdt + σdW t )S 0 = s 0und es sei A ⊆ C 0 [0, T ] eine messbare Teilmenge von Funktionen. Definiere wiedera := r − 1 2 σ2 und betrachte die AbbildungS : C 0 [0, T ] → C s0 [0, T ]S(h) := t ↦→ s 0 exp (σh t + at) .Insbesondere gilt für einen Wienerprozess W nun mit dieser Notation S(W ) = S. Einedigitale Option mit Bedingung A hat folgende AuszahlungG(W ) = 1 {S(W )∈A}und kann damit als Funktional des Wienerprozesses dargestellt werden. Es sei c ∈ R.Wir identifizieren l c ∈ C 0 [0, T ] mit der Geradenl c (t) = ct, 0 ≤ t ≤ T.Es soll der asymptotisch optimale Maßwechsel berechnet werden.Korollar 3.11. Es sei A ⊆ C 0 [0, T ] eine messbare, abgeschlossene Teilmenge und betrachtedie MengeC := {c ∈ R | S(l c ) ∈ A}.Angenommen C ≠ ∅, dann ist der asymptotisch optimale Driftmit Bedingung A gegeben durchĥ t = ĉt,ĥ für digitale Optionen71

3 Deterministische Maßwechselwobei ĉ ∈ R eine Lösung des Optimierungsproblemsist.inf |c|c∈CDer asymptotisch optimalen Maßwechsel für eine digitale Option im Black-Scholes Modellist also immer linear. Die Gerade ist dabei mit betragsmäßig schwächster Steigungzu wählen, dass die Bedingung A eintritt.Beweis. Nach Lemma 3.8 ist zunächst folgendes Variationsproblem zu lösen:∫ Tsup 2 log 1 {S(x)∈A} −x∈H T 0ẋ 2 t dt. (3.10)Gilt S(x) /∈ A, so ist log 1 {S(x)∈A} = −∞ und das Problem nimmt dort nicht seinMaximum an. Wir erhalten also als erste Nebenbedingung S(x) ∈ A. Damit reduziertsich Problem (3.10) zu∫ T∫ Tsup − ẋ 2 t dt = − inf ẋ 2x∈H T 0x∈H T t dt (3.11)0S(x) ∈ ADefinieren wir nunH : C 0 [0, T ] → RH(t, x, y) = y 2 ,so lässt sich die Euler-Lagrange Gleichung von H direkt bestimmen und ist gegebendurchd 2dt 2 x t = 0,womit wegen der Randbedingung h 0 = 0 die Lösung eine Geradex t = ctfür ein c ∈ R ist. Es muss c näher bestimmt werden. Dazu wird die NebenbedingungS(ˆx) ∈ A genutzt. Zunächst ergibt sich durch Einsetzen der Lösung x in (3.11)∫ Tinf ẋ 2x∈H T t t = inf0c∈R c2 T.72

3.3 Anwendung im Black-Scholes ModellDas ist äquivalent dazu, c betragsmäßig minimal zu wählen. Die Nebenbedingung istnunc ∈ C.Ist nun ĉ betragsmäßig minimal in C gewählt, so ist ˆx t = ĉt eine mögliche Minimalstellevon (3.11). Da die Abbildung (x, y) ↦→ H(t, x, y) = y 2 konvex ist, ist ˆx t bereits globaleMinimalstelle. Damit gilt∫ T∫ Tsup 2 log 1 {S(x)∈A} − ẋ 2 t dt = − inf ẋ 2x∈H T 0x∈H T t dt = −ĉ 2 T (3.12)0Insbesondere kann mittels ˆx ein äquivalentes Maß definiert werden. Um die asymptotischeOptimalität zu beweisen, genügt es demnach Gleichung (3.5) in Lemma 3.8 zubeweisen. Sei dazuˆx t = ĉtdie Lösung von oben.Es gilt nun für die rechte Seite von Gleichung (3.5)F (ˆx) −∫ T0ˆx 2 t dt = 2 log 1 {S(ˆx)∈A} −∫ T0∫ Tˆx 2 t dt = − ˆx 2 t dt = −ĉ 2 T.0Definiere für die linke Seite von Gleichung (3.5)M(ˆx) = sup 2 log 1 {S(h)∈A} + 1 ∫ T|ḣt −h∈H T 2˙ˆx t | 2 dt −0= suph∈H T 2 log 1 {S(h)∈A} + 1 2∫ T= inf(2 − log 1 {S(h)∈A} + 1h∈H T 2= infh∈H T −2 log 1 {S(h)∈A} − 1 20∫ T0|ḣt − ĉ| 2 dt −∫ T0∫ T0∫ T0|ḣt − ĉ| 2 dt −|ḣt − ĉ| 2 dt +∫ T0ḣ 2 t dtḣ 2 t dt∫ T0ḣ 2 t dt)ḣ 2 t dt (3.13)Nun ist M(ˆx) = −ĉ 2 T zu zeigen. Dazu muss das Variationsproblem gelöst werden. Einesehr ähnliche Rechnung wie oben zeigt, dass die Lösung wieder gegeben ist durch eineGeradeh t = btfür b ∈ R. Es ist b näher zu bestimmen. Einsetzen von h in (3.13) liefert folgendes73

3 Deterministische MaßwechselOptimierungsproblem∫ T∫ TM(ˆx) = inf −1 |ḣt − ĉ| 2 dt + ḣ 2h∈H T t dt = inf2−1 00b∈R 2 (b − ĉ)2 T + b 2 T,wobei hier wieder angenommen werden konnte, dass 1 {S(h)∈A} = 1 gilt. Die Lösung kannmittels Differenzierung nach b ermittelt werden−(b − ĉ)T + 2bT = 0 ⇔ 0 = −b + ĉ + 2b = +b + ĉ.Damit folgt ˆb := −ĉ und die Extremstelle ist gegeben in ˆx t = −ĉt. Das liefertM(ĥ) = −1 2 (ˆb − ĉ) 2 T + ˆb 2 T = − 1 2 (−2ĉ)2 T + ĉ 2 T = −ĉ 2 T.Die asymptotische Optimalität von ˆx folgt nun mit Lemma 3.8.3.4 Anwendung: Barriereoptionen im Black-ScholesModell mit zeitabhänigen Barrieren.Eine digitale Barriereoption liefert eine Auszahlung von 1, falls der Preisprozess einevorher festgelegt Barriere durchbricht. Sei diese Barriere gegeben durch eine deterministischeFunktion K : [0, T ] → R. Die Auszahlung ist dann als Funktional des Wienerprozessesgegeben durchG(W ) = 1 {∃t∈[0,T ]:S(W )t>Kt}.Lemma 3.12. Es sei s 0 ∈ R und K : [0, T ] → R eine Funktion. Die MengeA := {f ∈ C s0 [0, T ] | ∃t ∈ [0, T ] : f(t) > K t }ist abgeschlossen.Beweis. Betrachte für jedes t 0 ∈ [0, T ] das stetige Funktional F t0F (f) = f(t 0 ). Es gilt:: C s0 [0, T ] → R mitA = {f | ∃t ∈ [0, T ] : f(t) > K t }= ⋃{f | f(t 0 ) > K t0 }t 0 ∈[0,T ]= ⋃t 0 ∈[0,T ]F −1t 0(K t0 , ∞]74

3.4 Anwendung: Barriereoptionen im Black-Scholes Modell mit zeitabhänigen Barrieren.Da F t0 für alle t 0 ∈ [0, T ] stetig ist, sind die Mengen Ft −10(K t0 , ∞] offen. Damit ist A alsVereinigung offener Mengen offen.Zur Berechnung des asymptotisch optimalen Maßwechsels ist nach Korollar 3.11 folgendeMenge näher zu bestimmen:A = {a ∈ R | Es existiert ein t ∈ [0, T ] mit S(l a ) t > K t }.Um die Rechnung etwas konkreter zu machen, betrachten wir die FunktionK t := K 0 exp(αt) K 0 > S 0für ein α ∈ R. Es seien a ∈ R und t ∈ [0, T ] beliebig. Wir rechnen nach:S(t ↦→ at) t ≥ K t⇔S 0 exp(σat + (r − 1 2 σ2 )t) ≥ K 0 exp(αt)⇔ σat ≥ log( K 0S 0) + αt − (r − 1 2 σ2 )t⇔ a ≥ 1tσ log(K 0S 0) + α σ − 1 σ (r − 1 2 σ2 ) := c tEs gilt nach Voraussetzung log( K 0S 0) > 0. Damit ist die Funktion t ↦→ c t monoton fallend.Hat c t eine Nullstelle, so wähle a = 0. Ist das nicht der Fall, dann folgt aus derMonotonität:Insgesamt erschließt sich:inf |a| = inf c t = c Ta∈A t∈[0,T ]= 1T σ log(K 0S 0) + α σ − 1 σ (r − 1 2 σ2 ).⎧⎪⎨ 1inf |a| = log( K 0T σ S 0) + α−(r− 1 2 σ2 )falls cσ T > 0a∈A ⎪ ⎩ 0 sonst.(3.14)Für α = 0 ist damit nun der asymptotisch optimale Drift für digitale Barriereoptionen75

3 Deterministische Maßwechselmit konstanter Barriere bekannt.Simulationsergebnisse: Barriereoptionen im Black-Scholes Modell mitzeitabhäniger BarriereMit Hilfe von Importance Sampling ist es möglich die Standardabweichung der MonteCarlo Simulation um den Faktor 1 bis 14 zu verbessern. Dabei steigt dieser Faktor,je unwahrscheinlicher eine Auszahlung wird („out-of-the-money“). Der Driftwechsel isthier konstant und kann mittels der Formel in (3.14) ermittelt werden. Als zusätzlicherRechenaufwand fällt also lediglich die Berechnung des Dichtequotientenprozesses L Tan. Wegen des konstanten Drifts kann dies mit einer einzigen Berechnung realisiertwerden. Der zusätzliche Rechenaufwand kann daher als gering eingeschätzt werden. EinEinsatz dieser Technik ist entsprechend für digitale zeitabhänige „out-of-the-money“Barriereoptionen zu empfehlen.Abbildung 3.3: Vergleich der Auswirkung eines Ausweitung des Simulationsumfangeseiner Monte Carlo Simulation mit und ohne Importance Sampling (deterministischerasymptotisch optimaler Maßwechsel) auf den geschätzenPreis, die Standardabweichung und die Ratio. Die Simulationsparametersind S 0 = 50, T = 2, r = 0.1, α = 0.1 sowie σ = 0.2, K 0 = 100 (linkeSpalte) und σ = 0.3, K 0 = 60 (rechte Spalte).76

3.4 Anwendung: Barriereoptionen im Black-Scholes Modell mit zeitabhänigen Barrieren.Volatilität K 0 P MC P IS σ IS σ MC Ratio20 % 60 0.751 0.714 0.552 0.494 1.1270 0.309 0.304 0.356 0.266 1.3480 0.120 0.108 0.222 0.105 2.1290 0.054 0.041 0.149 0.053 2.82100 0.024 0.014 0.100 0.015 6.56110 0.002 0.005 0.026 0.006 4.47120 0.002 0.002 0.026 0.002 11.7625 % 70 0.471 0.429 0.439 0.345 1.2780 0.197 0.231 0.284 0.231 1.2390 0.078 0.108 0.179 0.113 1.59100 0.057 0.053 0.153 0.057 2.70110 0.028 0.022 0.107 0.025 4.32120 0.015 0.012 0.078 0.015 5.09130 0.013 0.006 0.073 0.007 11.23140 0.003 0.004 0.037 0.008 4.68150 0.002 0.002 0.026 0.002 14.0430 % 90 0.182 0.203 0.274 0.279 0.98100 0.123 0.108 0.225 0.104 2.17110 0.067 0.070 0.166 0.081 2.04120 0.041 0.037 0.129 0.043 3.03130 0.024 0.022 0.100 0.029 3.45140 0.016 0.013 0.082 0.018 4.55150 0.011 0.008 0.068 0.011 6.4435 % 90 0.262 0.257 0.328 0.224 1.46100 0.162 0.165 0.258 0.173 1.49110 0.101 0.114 0.204 0.110 1.85120 0.073 0.071 0.174 0.076 2.27130 0.049 0.059 0.142 0.131 1.08140 0.044 0.034 0.134 0.042 3.18150 0.026 0.023 0.104 0.025 4.15Tabelle 3.2: Monte Carlo Simulation mit und ohne Importance Sampling (deterministischeasymptotisch optimaler Maßwechsel) für eine digitale Barriereoptionmit zeitabhäniger Barriere K t = K 0 exp(αt) im Black-Scholes Modell mitden Parametern S 0 = 50, T = 2, r = 0.1, α = 0.1 und N = 1000.77

3 Deterministische Maßwechsel3.5 Anwendung: Zweiseitige Barriereoptionen imBS-ModellDieser Abschnitt soll aufzeigen, dass ein Importance Sampling mit asymptotisch optimalenMaßwechseln bei grober Anwendung auch zu gegenteiligen und damit unerwünschtenEffekten führen kann. Als Beispiel wird ein zweiseitiges Derivat mit folgender Auszahlunggewählt:G(W ) = 1 {maxt S(W ) t>K max oder min t S(W ) t 0) erhöht sich die Durchbruchwahrscheinlichkeit für die obere Schranke,während diese für die untere Schranke verringert wird. Das führt zu Problemen beimImportance Sampling mit diesem Drift.Ist der Simulationsumfang gering (n < 10.000), so kann das untere Ereignis wohlmöglichnicht stattfinden und gewinnt so bei der Bewertung keine Bedeutung. Für großeSimulationen wird dieser Umstand durch den Dichtequotientenprozess L korrigiert. Wirerhalten diese Probleme also nur, wenn die untere Schranke beim IS sehr selten durchbrochenwird.n P MC P IS100 0.130 0.00921000 0.124 0.013610000 0.121 0.0122Tabelle 3.3: MC Simulation mit und ohne IS bei einer zweiseitige Barriereoption miteinseitigem Driftwechsel.Aufgrund der nur einseitigen Berücksichtigung der Barrieren, kommt es in der Simulationzu erheblichen Fehlern und zu einer Fehlbepreisung des Derivates. Eine Anwendung vonImportance Sampling ist für diese Form von Derivaten daher nicht empfehlenswert.78

4 Dynamische Maßwechsel viaPreisapproximationBasierend auf dem Vorschlag von Pham (2010, [22]) wird eine weitere Möglichkeit zurBestimmung eines varianzoptimierenden Maßwechsels vorgestellt. Dabei soll der Maßwechselnun vom simulierten Pfad abhängen und auch während der Simulation angepasstwerden. Wir sprechen daher von dynamischen Maßwechseln. Wie eine kurze Rechnungzeigen wird, kann ein solcher Maßwechsel mittels Kenntnis des Preisprozesses v(t, X t )und des Delta-Hedge D x v(t, X t ) bestimmt werden. Diese beiden Werte sind nun allerdingsunbekannt. Daher werden asymptotische Approximationen für diese beiden Wertegenutzt, um den dynamischen Maßwechsel durch eine Näherung zu bestimmen. DieseTechnik kann dabei erfolgreich auf eine große Klasse von Derivaten angewandt werdenund soll hier präsentiert werden.Der MaßwechselEs wird nun geklärt, welcher der dynamischer Maßwechsel berechnet herangezogen wird.Für einen n-dimensionalen Diffusionsprozess bezüglich des äquivalenten MartingalmaßesP mit der FormdX t = b(X t )dt + σ(X t )dW tX 0 = xund für ein Funktion g : R n → R und T > 0 ist der Wert E(g(X T )) gesucht. Es seizunächst h ein R n -wertiger prevesibler Prozess und Q h ein äquivalentes Maß gegebendurch(∫dQ thdP |F t = exp h t dW t − 1 ∫ t )|h t | 2 dt =: L −1t ,0 2 079

4 Dynamische Maßwechsel via Preisapproximationso dass (L −1t ) t ein Martingal mit EL −1T = 1 ist. Das ist beispielsweise durch die Novikovbedingunggesichert:( 1∫ )TE exp |h t | 2 dt < ∞.2 0Nach Cameron-Martin-Girsanov ist der ProzessW t := W t −ein Wienerprozess bezüglich Q h und die Dynamik von X ist dann gegeben durch∫ t0h t dtdX t = (b(X t ) + h t σ(X t ))dt + σ(X t )dW tX 0 = x.Wegen der Markoveigenschaft existiert eine Funktion v : [0, T ] × R n → R mitv(t, X t ) = E P (g(X T )|F t ).Mit Hilfe von Bayes gilt nun:v(t, X t ) = E Q h(g(X T )L T |F t )L tEs ist (v(t, X t )) 0≤t≤T ein P-Martingal, (v(t, x)L t ) 0≤t≤T ein Q h -Martingal und es giltv(T, X T ) = g(X T ). Mit der mehrdimensionalen Ito-Formel folgt bezüglich Q hdv(t, X t )L t = L t dv(t, X t ) + v(t, X t )dL t + d < v(t, X t ), L t >= L t(∂ t v(t, X t )dt + D x v(t, X t )dX t + 1 2 D xxv(t, X t )d〈X〉 t)+ v(t, X t )L t h t dW t + d < v(t, X t ), L t >= L t(∂t v(t, X t )dt + D x v(t, X t )(b(X t ) − h t σ(X t ))dt + D x v(t, X t )σ(X t )dW t)+ 1 2 D xxv(t, X t )σ 2 (X t )dt + v(t, X t )L t h t dW t + σ(X t )L t h t dt.Nun fallen die Anteile beschränkter Variation wegen der Q h -Martingaleigenschaft weg,d. h.dv(t, x)L t = L t (v(t, x)h t + D x v(t, x)σ(X t ))dW t80

In Integralschreibweise zum Zeitpunkt t also:g(X T )L T = v(X T , T )L T = v(X t , t) +∫ TtL u (v(u, X u )h u + D x v(u, X u )σ(X u ))dW uDamit hat die Zufallsgröße g(X T )L T unter dem Maß Q h die Varianz∫ TV Qh G(X T )L T = E Qh L 2 u|v(u, X u )h u + σ(X u )D x v(u, X u )| 2 du.tZiel war es, h derart zu wählen, dass die Varianz minimiert wird. Da der Integrandpositiv ist, wird der Erwartungswert des stochastischen Integrals minimiert, wenn derIntegrand minimal ist.∫ TtL 2 u |v(u, X u )h u + σ(X u )D x v(u, X u )| 2 du} {{ }=0Es liegt deshalb folgende Definition naheh t = − 1v(t, X t ) σ(X t)D x v(t, X t ) 0 ≤ t ≤ T.Damit verschwindet die Varianz unter dem Maßwechsel zumindest theoretisch. Nun istv allerdings unbekannt und eine Bestimmung von h nicht möglich. Eine naheliegendeMöglichkeit ist die Approximation von v und D x v. Dazu wird die Theorie großer Abweichungenzur Herleitung einer Heuristik genutzt.Betrachte zunächst die Prozessfamilie (X ɛ ) ɛ gegeben durchdX ɛ t = b(X ɛ t )dt + √ ɛσ(X ɛ t )dW tX ɛ 0 = x 0 .Unter Anwendung der Freidlin-Wentzell Theorie und Varadhans Lemma erhalten wirfür ein stetiges Funktional G T : C x0 [0, T ], G(X) = g(X T ) zusammen mit der Markoveigenschaftvon X ɛ zum Zeitpunkt t:lim ɛ log E expɛ→0( log GT −t (X ɛ ))= supɛφ∈H T −tx 0log G T −t (φ) − I X (φ)= supφ∈H T −tx tlog g(φ T −t ) − 1 2∫ T −t0( ) 2 ˙φu − b(φ u )du.σ(φ u )81

4 Dynamische Maßwechsel via PreisapproximationDefinieren wir nunV (t, x t ) := exp⎛⎝ supφ∈H T −tx tlog g(φ T −t ) − 1 2∫ T −t0( ) 2 ˙φu − b(φ u )du⎞⎠σ(φ u )als Wert des Supremums in Abhänigkeit von der Zeit t und dem( aktuellen)Kurswertx t . Die Funktion 1V gibt nun nährungsweise die Werte von E exp log g(X ɛT −t )für sehrɛ ɛkleine ɛ > 0 wieder. Daher besteht die Hoffnung, dass dieser Wert für ɛ = 1 immernocheine gute Approximation ist.Die Heuristik besteht nun darin, für den echten Wert v(t, X t ) die Funktion V (t, X t ) alsSchätzung zu nehmen:v(t, x) ∼ V (t, x)Anschließend kann dann auf Basis von V eine Approximation von D x v(t, x) = ∂ x v(t, x)hergeleitet werden, indem für ein kleines aber festes h > 0 zum Differentialquotientenübergegangen wird:D x v(t, x) ∼V (t, x) − V (t, x + h).hDa es sich hier um eine Heuristik handelt und genaue Fehlerabschätzungen des Verfahrensschwierig zu ermitteln sind, wird als erstes Beispiel die Calloption im Black-ScholesModell untersucht. Dort sind v und ∂ x v bekannt und ermöglicht so einen Vergleich mitdem geschätzen Wert V .4.1 Call im Black-Scholes ModellZiel ist es, die Auswirkung des Fehlers einer asymptotischen Approximation von v undD x v auf die Varianzoptimierung zu beurteilen. Dazu kann exemplarisch der Call imBlack-Scholes Modell untersucht werden. Dort sind v und D x v bekannt. Daher bietetsich diese Situation als erster Untersuchungsstandpunkt an.Lemma 4.1. Es sei P das äquivalente Martingalmaß im Black-Scholes Modell. Für denPreisprozessv(t, x) := E(exp(−r(T − t))(X T − K) + |X t = x)eines Calls giltv(t, X t ) = X t φ(d 1 ) − K exp(−r(T − t))φ(d 2 )D x v(t, X t ) = φ(d 1 ),82

4.1 Call im Black-Scholes Modellwobeid 1 :=log(XtKσ2) + (r + )(T − t)2σ √ T − td 2 := d 1 − σ √ T − t.Beweis. Der Ausdruck von v ist die bekannte Black-Scholes Formel und der Beweisist Standard. Der Delta-Hedge D x v kann dann problemlos durch Differenzierung von vberechnet werden.Es wird nun Preis und Hedge mittels Theorie der großen Abweichungen approximiert.Dazu wird im Black-Scholes Modell folgende Familie von Diffusionsprozessen betrachtetdSt ɛ = St ɛ (rdt + √ ɛσdW t )S0 ɛ = s 0 ∈ R.Es muss zunächst ein LDP für die Familie (ST ɛ ) ɛ hergeleitet werden. Zunächst sei allerdingsangemerkt, dass für jedes ɛ > 0 der reellwertige Prozess STɛ lognormalverteilt istund damit die Berechnung der Ratenfunktion mittels einer geschickten Anwendung vonCramers Theorem und dem Kontraktionsprinzip realisiert werden kann. Dennoch wirdim Hinblick auf die spätere Anwendung auf eine größere Klasse von Modellen das LDPmittels Freidlin-Wentzell und Variationsrechnung hergeleitet:Die Ratenfunktion von (S ɛ ) ɛ ist nach Freidlin-Wentzell gegeben durch⎧⎪⎨I S (ϕ) =⎪⎩1 ∫ T2 0( ˙ϕt−rϕ tσϕ t) 2dt falls ϕ ∈ HTs0∞sonst.Eine Anwendung des Kontraktionsprinzips auf das stetige FunktionalF : C[0, T ] → RF (ϕ) = ϕ Tliefert dann das LDP für die reellwertige Familie von Zufallsgrößen Y ɛ := F (S ɛ ) = S ɛ T .Die Ratenfunktion ist dabeiI Y (y) = inf{I S (ϕ) | ϕ ∈ H s0 , ϕ T = F (ϕ) = y}.83

4 Dynamische Maßwechsel via PreisapproximationDamit ist nun für jedes y ∈ R folgendes Variationsproblem zu lösen.∫ ( )1 T2˙ϕt − rϕ tdt = min (Hauptbedingung)2 0 σϕ tϕ 0 = s 0ϕ T = y(linke Randbedingung)(rechte Randbedingung)Dieses Problem wurde zu Beginn in Abschnitt 1.1.2 behandelt. Die Minimalstelle istgegeben durchund der Wert des Minimums ist dann( 1ϕ ∗ (t) = s 0 expT log( y ))ts 0I Y (y) = 12T σ 2 (log( y x ) − rT ) 2.Es sei nun H = H(S T ) : R → R eine stetige Abbildung, sodass ein γ > 1 existiert mit( 1lim ɛ log E expɛ→0 ɛ γ log H(Sɛ T ))< ∞.Insbesondere gilt dies für alle stetigen nach oben beschränkten Funktionen. Eine asymptotischeApproximation eines Derivates mit Auszahlung ϕ ist nun gegeben durchEH(S T ) ∼ exp(sup log ϕ(y) − I Y (y)y∈R)= exp(sup log H(y) − 1 (log( y ) ) 2y∈R2T σ 2 x ) − rT .Wir werden nun im Folgenen zwei Verfahren vergleichend nebeneinander stellen: VerfahrenA entspricht einer Monte Carlo Simulation mit dynamischem Importance Sampling,wobei die exakten Werte v und D x v entsprechend der Black-Scholes Formel zur Bestimmungvon h herangezogen werden, d.h.h t = − 1v(t, X t ) σ(X t)D x v(t, X t )1= −X t φ(d 1 ) − K exp(−r(T − t))φ(d 2 ) σX tφ(d 1 ).Bei Verfahren B wird h mittels V approximiert:1h t ∼ −V (t, X t ) σ(X t)D x V (t, X t ),84

4.1 Call im Black-Scholes Modellwobeifür sehr kleines h > 0.D x V (t, X t ) ∼ V (t, X t) − V (t, X t + h)hDie Simulationsparameter sindS 0 = 8 r = 0.1 T = 2 σ = 0.3 K = 10.Abbildung 4.1: Preis eines Call im Black-Scholes Modell. Vergleich der Approximation(t, X t ) ↦→ V (t, X t ) (untere Fläche) mit den tatsächlichen Werten derBlack-Scholes Formel (t, X t ) ↦→ v(t, X t ) (obere Fläche).85

4 Dynamische Maßwechsel via PreisapproximationAbbildung 4.2: Hedge eines Call im Black-Scholes Modell. Vergleich der Approximationmittels Theorie großer Abweichungen mit den tatsächlichen Werten derBlack-Scholes Formel.Abbildung 4.3: Vergleich der Approximation von h mit den tatsächlichen Werten.86

4.1 Call im Black-Scholes ModellSimulationen P MC P IS σ MC σ IS Ratio100 0.9135 1.2790 0.2106 0.0124 17.03500 1.0573 1.2559 0.0991 0.0060 16.491000 1.3003 1.2667 0.0823 0.0048 17.042500 1.2851 1.2594 0.0504 0.0029 17.685000 1.2614 1.2574 0.0350 0.0021 16.7110000 1.2041 1.2574 0.0240 0.0014 16.9420000 1.2363 1.2588 0.0172 0.0010 17.18Tabelle 4.1: Konvergenz für Verfahren A bei steigendem SimulationsumfangVolatilität K P MC P IS σ MC σ IS Ratio0.30 8 2.1806 2.0719 0.1028 0.0060 17.119 1.7792 1.6199 0.0905 0.0051 17.6310 1.3420 1.2685 0.0831 0.0041 20.0311 0.9238 0.9705 0.0667 0.0037 18.0212 0.6675 0.7423 0.0603 0.0034 17.830.35 8 2.1843 2.2576 0.1122 0.0064 17.469 1.6715 1.8278 0.1003 0.0060 16.6310 1.6907 1.4789 0.0999 0.0060 16.7711 1.1909 1.2007 0.0894 0.0048 18.5012 0.9016 0.9634 0.0770 0.0040 19.430.40 8 2.5033 2.4383 0.1388 0.0072 19.269 1.9447 2.0377 0.1176 0.0077 15.3010 1.7660 1.6924 0.1190 0.0064 18.4911 1.4621 1.4159 0.1115 0.0058 19.2312 1.2392 1.1715 0.0997 0.0053 18.99Tabelle 4.2: Varianzreduktion für Verfahren A mit n = 1000.AuswertungEs wurden Simulationen unter Ausnutzung der Black-Scholes Formel und der Approximationmittels der Theorie großer Abweichungen durchgeführt. Dabei kann festgestelltwerden, dass die Approximation gerade an den Randbereichen (t klein, S t klein) erheblicheFehler aufweist. Dies hat gravierende Effekte in Hinblick auf die Varianzoptimalitätdes Maßwechsels. Während bei Kenntnis des genauen Preisverlaufs und Delta-Hedgeseine Reduktion der Standardabweichung um den Faktor 16-20 erreicht werden konnte(Verfahren A), lag diese Verringerung bei dem approximativen Verfahren B lediglich beieinem Faktor von zwei bis drei.Ein Vergleich der Drifte in Abbildung 4.3 zeigt, dass die Approxmation für große Lauf-87

4 Dynamische Maßwechsel via PreisapproximationVolatilität K P MC P IS σ MC σ IS Ratio0.30 8 2.1712 2.0607 0.0964 0.0371 2.609 1.7435 1.5521 0.0932 0.0346 2.6910 1.3535 1.2524 0.0828 0.0304 2.7211 1.0189 0.9519 0.0756 0.0405 1.8712 0.7396 0.6695 0.0677 0.0186 3.650.35 8 2.0119 2.1670 0.0997 0.0425 2.359 1.9808 1.8377 0.1098 0.0375 2.9310 1.5104 1.4590 0.1009 0.0329 3.0711 1.0953 1.1683 0.0835 0.0276 3.0212 1.0736 0.9436 0.0845 0.0239 3.530.40 8 2.5731 2.3631 0.1301 0.0474 2.749 1.8774 1.9584 0.1199 0.0414 2.9010 1.5756 1.6400 0.1051 0.0370 2.8411 1.2705 1.3371 0.1015 0.0331 3.0612 1.1232 1.1744 0.0981 0.0289 3.39Tabelle 4.3: Varianzreduktion für Verfahren B mit n = 1000.zeiten (t > 1) und hohe Basiswerte (S t > K) sehr geringe Fehler aufweist. Im Gegenzugist allerdings das Fehlerpotential im relevanten Bereich (S t < K) als kritisch anzusehen.Es stellt sich letztendlich die Frage, ob nun andere Approximationsverfahren für v undD x v in diesem Bereich zu besseren Ergebnissen führen.Im approximativen Fall reduzierte sich die Berechnung von v und D x v auf die Lösungeines einzigen Maximierungsproblems für jedes Paar (t, S t ). Von einer numerischen Berechnungvon v und D x v in jedem Schritt der Simulation ist abzuraten. Bei großen Simulationsumfängenwürden dann viele Werte mehrfach berechnet werden. Es empfiehltsich daher, über den relevanten Bereich des R × R die Werte für ein vorgeschriebenesGitter zu berechnen, ähnlich wie es bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungenüblich ist. Dabei scheint es sinnvoll, das Gitter im relevanten Gebiet (nahe beidem Graphen von t ↦→ ES t ) etwas feiner zu gestalten.In Fall eines Calls im Black-Scholes Modell ist eine Anwendung der approximativenMethode für dynamische Maßwechsel nicht zu empfehlen. Insbesondere ein Vergleichmit der Methode der deterministischen Wechsel, die bessere Varianzreduktionen miteinem weniger rechenintensiven Verfahren aufweist, untermauert diese Empfehlung.Des Weiteren sind noch die Konvergenz bzw. Konsistenz des Monte Carlo Schätzers mitdynamischen Importance Sampling nachzuweisen (vgl. Tabelle 4.1). Diese Frage kannhier allerdings nicht endgültig beantwortet werden und bietet Potential für zukünftige88

4.2 Dynamisches Importance Sampling für asiatische OptionenForschungsarbeiten.4.2 Dynamisches Importance Sampling für asiatischeOptionenEs sei G : C x [0, T ] → R ein Auszahlungsfunktional, S ein Diffusionsprozess und (S ɛ ) ɛdie entsprechende Prozessfamilie im Freidlin-Wentzell Sinn mit S ɛ=1 = S. Ein entscheidenderPunkt bei der Herleitung des dynamischen Maßwechsels der Formh t = − 1v(t, X t ) σ(X t)D x v(t, X t )0 ≤ t ≤ Tim Falle europäischer Auszahlungen G(S) = g(S T ) ist die Markoveigenschaft vom G(S).Diese Bedingung ist in vielen Fällen verletzt und verhindert so eine Anwendung diesesAnsatzes. Dieser Umstand kann in einigen Situationen allerdings korrigiert werden. Wirmöchten das am Beispiel einer asiatischen Option vorstellen: Eine asiatische Option aufeinen Preisprozess S ist eine Funktion seines Mittelwertes, d. h. ein Claim der Form( 1C = HT∫ T0S t dtfür eine Funktion H : R → R. Definiere eine Hilfsvariable)Y := 1 T∫ T0S t dt.Der Prozess (X, Y ) ist nun ein Markovprozess und ermöglicht die Anwendung der vorgestelltenImportance Sampling Methode.Betrachte die Prozessfamilie gegeben durch Y ɛ := 1 ∫ TT 0 Sɛ t dt. Gelingt nun die Herleitungeines LDP für (Y ɛ ) ɛ mit Ratenfunktion I Y , so liefert Varadhans Theorem eineApproximationEH(Y ) ∼ exp(sup log H(y) − I Y (y)y∈RDamit ist nun lediglich ein reelles Maximierungsproblem zu lösen.Der generelle Vorteil dieser Methode besteht also in der Reduktion des Rechenanteils aufein reelles Maximierungsproblem. Es muss nun noch ein LDP für stochastische Integralehergeleitet werden:).89

4 Dynamische Maßwechsel via PreisapproximationLemma 4.2. Es sei (S ɛ ) ɛ eine Familie stochastischer Prozesse auf C[0, T ] mit guterRatenfunktion I S . Dann erfüllt die Familie reellwertiger Zufallsgrößen gegeben durchY ɛ = 1 T∫ T0S ɛ t dtdas LDP auf R mit guter RatenfunktionI Y (y) =infψ∈C[0,T ] {IS (ψ) | y = 1 TBeweis. Das Funktional F : C[0, T ] → R gegeben durch∫ T0ψ t dt}.F (ψ) = 1 T∫ T0ψ t dtist stetig. Die Behauptung folgt dann direkt aus dem Kontraktionsprinzip.Falls S ɛ für alle ɛ > 0 eine Ito-Diffusion mit beschränkten gleichmäßig lipschitzstetigenKoeffizienten ist, d. h.dS ɛ t = b(S ɛ t )dt + √ ɛσ(S ɛ t )dW tS ɛ 0 = s 0 ,kann mittels Freidlin-Wentzell die Ratenfunktion I S bestimmt werden. Nach dem Lemmaist für die Berechnung von I Ydemnach folgendes Variationsproblem mit Nebenbedingungenzu lösen:∫1 T( ˙ψ t − b(ψ t )) 2 dt = min (Hauptbedingung)2 0 σ(ψ t )∫ T0ψ t dt = y · Tψ 0 = s 0(Nebenbedingung)(Randbedingung)Beispiel: Vasicek-ProzessEine Familie von Vasicek-Prozessen (S ɛ ) ɛ folgt einer Dynamik der FormdS ɛ t = θ(µ − S ɛ t )dt + √ ɛσdW tS ɛ 0 = s 0 .90

4.2 Dynamisches Importance Sampling für asiatische OptionenDie Ratenfunktion kann nun durch Lösung des oben vorgestellten Variationsproblemserreicht werden. Allerdings gibt es in diesem speziellen Fall eine weitere Möglichkeit:Für den Vasicek-Prozess ist eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung bekanntund es gelingt, die Verteilung des stochastischen Integrals zu berechnen. Dabei ist Y ɛ =∫ T0 Sɛ t dt normalverteilt mit Parameternµ = s 01 − exp(−θT )θ+ µ(T − 1 − exp(−θT )θ(ɛσ 2 = ɛ σ2T − 2 − 2 exp(−θT ) + 1 − exp(−2θT )θ 2 θ2θInsbesondere ist damit die Ratenfunktion von Y ɛ gegeben durchI Y (y) = 1 (y − µ) 2.2 σ 2Da nun die Ratenfunktion bekannt ist, kann für asiatische Optionen sehr leicht mittelsVaradhans Theorem eine asymptotische Approximation gefunden werden.Ist nun H : R → R eine Funktion, die die Bedingung in Varadhans Theorem erfüllt, soist folgendes Optimierungsproblem zu lösen:supy∈R(log H(y) − 1 (y − µ) 2 ).2 σ 2Asiatische Putoption: Betrachte beispielsweise einen asiatischen Put mit Strike K > 0,Laufzeit T > 0 und oberer Schranke K:H(y) = (K − y) + 1 {y>0} ,)).dann kann das Maximum des Optimierungsproblems durch Differentialrechnung hergeleitetwerden. Falls es existiert, ist es eindeutig und gegeben durchy max = K + µ2Wir erhalten damit eine Approximation√ (K ) + µ 2−+ σ − µK.2(E(K − Y T ) + 1 {YT >0} ∼ exp log(y max − K) − 1 ( ) )ymax − µ 2.2 σGeometrische asiatische Putoption: Betrachte für einen Strike K > 0 die Auszahlungs-91

4 Dynamische Maßwechsel via PreisapproximationSimulationen Preis MC Preis IS σ MC σ IS Ratio100 0.8246 0.8133 0.0350 0.0187 1.87071000 0.8528 0.8364 0.0117 0.0065 1.78975000 0.8489 0.8262 0.0052 0.0029 1.805210000 0.8461 0.8278 0.0036 0.0020 1.790020000 0.8438 0.8297 0.0026 0.0014 1.7783Tabelle 4.4: Monte Carlo Simulation mit und ohne dynamischem Importance Samplingfür die geometrische asiatische Putoption.funktionH(y) = (exp(y) − K) + .Eine Lösung y max des Optimierungsproblemserfüllt die Gleichungsupy∈R(log(exp(y) − K) − 1 (y − µ) 2 )2 σ 2exp(y max )exp(y max ) − K − y max − µσ 2 = 0wie leicht mittels Differenzierung hergeleitet werden kann.Für dieses Beispiel wurde dynamisches Importance Sampling mit den Parameternθ = 0.8 µ = 0.3 σ = 0.15T = 2.5 S 0 = 0.2 K = 1.1durchgeführt.Bemerkung 4.3. Wie diese Beispiele zeigen, kann das Verfahren einfach auf eine großeKlasse von Auszahlungsfunktionen angewandt werden. Das größte Problem ist die Berechnungder Ratenfunktion I Y . Liegt in allgemeinen Diffusionsmodellen keine analytischeLösung für I Y vor, so muss in jedem Schritt der Simulation ein Variationsproblemgelöst werden. Zusammen mit der Lösung des Optimierungsproblems ist der zusätzlicheSimulationsaufwandt beim dynamischen Importance Sampling daher enorm. In Hinblickauf die notwendige Rechenleistung sollten das Verfahren zukünftig noch optimiert werden.Eine Möglichkeit dafür bilden Gittermethoden, wie sie bei der numerischen Lösungvon Differentialgleichung eine Rolle spielen.Neben asiatischen Optionen kann dynamisches Importance Sampling nach Pham auchnoch auf einige weitere Klasse von Optionen ausgeweitet werden, die die Markoveigen-92

4.2 Dynamisches Importance Sampling für asiatische Optionenschaft nicht erfüllen. Dies ist neben anderen etwa denkbar bei Barriereoptionen, Basketoptionen,Lookbackoptionen und Compounded Options.93

Fazit und AusblickFazitDie Derivatebewertung mittels Monte Carlo Simulation ist ein gängiges und bewährtesVorgehen in der Finanzwirtschaft. Allerdings ist dieses Verfahren im Vergleich zu anderenMethoden nicht besonders effizient. Insbesondere bei exotischen Derivaten ist esnicht immer möglich auf Alternativen zurückzugreifen. Ziel dieser Arbeit war es daherdie Verbesserung von Monte Carlo Simulationen mittels Importance Sampling: Dabeisoll durch einen Maßwechsel eine Varianzreduktion erreicht werden. Es war entscheidendzu klären, welcher Maßwechsel dies am Besten erfüllt.Zur Lösung dieses Auswahlproblems wurden zwei Techniken vorgestellt, die auf der Theoriegroßer Abweichungen aufbaut: Das erste Verfahren basierte auf der Einführung derasymptotischen Optimalität als Gütekriterium für deterministische Maßwechsel, womites nun durch Lösung eines Variationsproblems bzw. einer Differentialgleichung möglichist, „gute“ Maßwechsel zu berechnen. Dem Anwender steht damit ein relativ einfachesKonzept zur Durchführung von Monte Carlo Simulationen mit Importance Samplingmit deterministischen Maßwechseln zur Verfügung.Das Verfahren wurde für digitale Optionen, Barriereoptionen und dem Call im Black-Scholes Modell getestet. Das führt bei „out-of-the-money“ Derivaten häufig zu einer Verbesserungder Standardabweichung. Bei zweiseitigen Barriereoptionen konnte allerdingsein unerwünschter Effekt nachgewiesen werden, weswegen eine generelle Anwendung desVerfahrens nicht ohne Weiteres zu empfehlen ist. Der Benutzer sollte daher zumindestüber die grundlegende Wirkungsweise des Importance Sampling informiert sein, um solcheunerwünschten Effekte im Vorfeld erkennen zu können.Als alternatives Verfahren entstand eine Heuristik für die Ermittlung von dynamischenMaßwechseln, welche mit der Kenntnis von Preis und Hedge des Derivates mit einerFormel ermittelt werden können. Da diese Werte im Wesentlichen unbekannt sind, wurdemit Hilfe der Theorie großer Abweichungen ein Konzept zur Approximation hergeleitet.95

Dieses wurde im Black-Scholes Modell getestet und anschließend auf asiatische Optionenerweitert.AusblickDas Potential der beiden vorgestellten Methoden ist noch nicht ausgeschöpft: So ist esbeispielsweise noch möglich weitere Konzepte zur Bestimmung des dynamischen Maßwechselsfür andere Derivateklassen herzuleiten. Die Ausdehnbarkeit des Vorgehens motiviertnun auch eine systematische Untersuchung von LDPs für finanzrelevante stochastischeProzesse, wie sie in den Auszahlungsprofilen bekannter Derivate vorkommen.Als weitere Entwicklungsmöglichkeit besteht die Ausweitung des deterministischen Maßwechselverfahrensauf Zinsstrukturmodelle und Zinsderivate. Im Falle von Swaptions istdieses Problem mit Hilfe des Swapratenprozesses formal mit den vorgestellten Konzeptenlösbar. Im Libormarktmodell oder in short rate Modellen sind die genutzten Werkzeugeebenfalls Diffusionsprozesse. Eine Erweiterung der vorgestellten Methoden ist daherdurchaus eine realistische Möglichkeit.Insgesamt konnten die Ziele dieser Arbeit, ein weitrechendes praxisrelevantes Konzept inder Derivatebewertung herzugeleiten und weiterzuentwickeln, erfolgreich erfüllt werden.Dabei entstanden auch einige weiterführende Fragestellungen, die Potential für zukünftigeForschungsarbeiten bieten.96

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Eidesstattliche ErklärungGemäß § 12 (5) der Prüfungsordnung für den Masterstudiengang Mathematik der WestfälischenWilhelms-Universität Münster vom 26.10.2011 versichere ich, dass ich die vorliegendeArbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die im Literaturverzeichnisangegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Ich erkläre weiterhin, dass die vorliegendeArbeit noch nicht im Rahmen eines anderen Prüfungsverfahrens eingereicht wurde.............................Reken, den 22. Januar 2013............................Michael Espendiller100