Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

Westfälische Wilhelms-Universität MünsterInstitut für Mathematische StatistikRiffle Shuffle und Cut-Off-EffektDiplomarbeitvorgelegt vonWalter Peter SendfeldThema gestellt vonProfessor Dr. G. Alsmeyer15. März 2005

InhaltsverzeichnisEinleitungv1 Random Walks auf Gruppen 11.1 Random Walks auf endlichen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Die Gruppe S n der Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Beschreibung eines Mischvorgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Der Riffle Shuffle 132.1 Modelle für den Riffle Shuffle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Aufsteigende Sequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Eulersche Zahlen und aufsteigende Sequenzen . . . . . . . . . . . . 422.4 Konvergenz gegen die Gleichverteilung: Der Cut-Off-Effekt . . . . . 492.5 Obere und untere Schranke für die Totalvariation . . . . . . . . . . 532.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle . . . . . . . . . . 58Symbolverzeichnis 83Literaturverzeichnis 85

EinleitungDer Riffle 1 Shuffle 2 oder Dovetail 3 Shuffle ist eine weit verbreitete Methode, einenKartenstapel zu mischen. Dabei werden die Karten nach einer Spielrunde in zweiungefähr gleich große Päckchen geteilt. Von diesen wird jeweils eines in die linkeund eines in die rechte Hand genommen. Dann werden eine oder mehrere Kartenabwechselnd aus beiden Händen fallengelassen und die Karten so sukzessiveineinandergeblättert. Durch wiederholtes Mischen soll die Reihenfolge der Kartenso verändert werden, dass keine der am Spiel beteiligten Personen diese vorhersagenkann. Wie oft der Kartenstapel gemischt werden muss, um eine ausreichendeZufälligkeit der Kartenreihenfolge zu erreichen, ist die zentrale Frage. Am09.01.1990 war in der New York Times [13] die Antwort in Form der folgendenSchlagzeile zu lesen:In card shuffling, 7 is winning number“.”Präziser formuliert, sind für einen Kartenstapel mit 52 Karten sieben Mischvorgängenötig, um den Kartenstapel hinreichend zu mischen. Kartenspiele mit52 Karten sind beispielsweise Blackjack, Bridge und Schafkopf. Dem Zeitungsartikellagen die Forschungsergebnisse von David Bayer und Persi Diaconis zu Grunde.In ihrem im Jahre 1992 veröffentlichen Artikel ”Trailing the Dovetail Shuffle to itslair“ (siehe [6]) stellten sie verschiedene wahrscheinlichkeitstheoretische Modellefür den Riffle Shuffle vor. Sie wiesen nach, dass für einen Kartenstapel mit n Karten⌊ 3 2 log 2 n⌋ − 2 Mischvorgänge in einem gewissen Sinne ausreichen. Darüber hinaus1 riffle (engl.): durchblättern2 shuffle (engl.): Mischen, Mischvorgang3 dovetail (engl.): Schwalbenschwanz

viEinleitungerlaubten ihre Ergebnisse eine weitere erstaunliche Aussage: Einerseits sind wenigerals ⌊ 3 2 log 2 n⌋ − 2 Mischvorgänge nicht ausreichend und andererseits mehr als⌊ 3 2 log 2 n⌋−2 Mischvorgänge nicht notwendig, um einen Kartenstapel mit n Kartenausreichend zu mischen. Dieses Phänomen wird als Cut-Off-Effekt bezeichnet.Das Ziel dieser Arbeit ist die wahrscheinlichkeitstheoretische Erfassung undPräzisierung des Riffle Shuffles und Cut-Off-Effekts. Wir orientieren uns dabeimaßgeblich an den Ergebnissen von Bayer und Diaconis [6].Das sukzessive Mischen von Karten wird als stochastischer Prozess X =(X m ) m≥0 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) interpretiert. Dabei gibtdie Zufallsgröße X m für m ≥ 0 die Kartenreihenfolge nach m sukzessiven Mischvorgängenin geeigneter Weise an. Wir werden zeigen, dass der konstruierte ProzessX ein Random Walk und zugleich eine zeitlich homogene, irreduzible und aperiodischeMarkov-Kette ist. Der Zustandsraum des Prozesses X, der aus allen möglichenKartenreihenfolgen von n Karten besteht, ist dabei die Gruppe der PermutationenS n . Die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung ist die Gleichverteilung U Snauf S n . Ein m-mal gemischter Kartenstapel wird als hinreichend gemischt angesehen,wenn alle Kartenreihenfolgen annähernd gleichwahrscheinlich sind, das heißtdie Totalvariation ‖P Xm − U Sn ‖ von P Xm und der Gleichverteilung U Sn auf S nhinreichend klein ist. Der Ergodensatz rechtfertigt dieses Vorgehen. Für n = 52und m = 1, . . . , 20 führt eine Berechnung der Totalvariation zu der Darstellung inAbbildung 1, die den Cut-Off-Effekt veranschaulicht.Mit Blick auf Abbildung 1 ist der Cut-Off-Effekt ein ”Phasen-Übergang“: Vomersten bis zum fünften Mischvorgang befindet sich die Totalvariation nah bei ihremmaximalen Wert von 1. Während der nächsten vier Mischvorgänge fällt sie jedochrapide auf einen Wert nahe 0.Der Nachweis des Cut-Off-Effekts erweist sich im Allgemeinen als äußertschwierig. Bislang sind zwar zahlreiche Beispiele für Markov-Ketten mit Cut-Off-Effekt bekannt (siehe hierzu [2], [10], [20], [21] und [24]), jedoch ist keine allgemeineTheorie verfügbar.In Kapitel 1 werden wir zunächst vom Zustandsraum S n abstrahieren undRandom Walks auf beliebigen endlichen Gruppen vorstellen, die zugleich Markov-

Einleitungvii✻0.751 • • • •••0.50.25•••• • • • • • • • • • • ✲0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Abbildung 1: m ↦−→ ‖P Xm − U Sn ‖ für n = 52 und m = 1, . . . , 20.Ketten bilden. Ferner stellen wir ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell fürdas sukzessive Kartenmischen vor, das von verschiedenen Autoren zur Modellierungvon Mischvorgängen verwendet wird (siehe hierzu [1], [2], [6], [9], [14], [20]und [21]).Kapitel 2 widmet sich ausschließlich dem Riffle Shuffle und dem Nachweis desCut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle in Form des folgenden Theorems (siehe Theorem2.6.9 in Abschnitt 2.6).Theorem. Wird ein Stapel mit n Karten m n = (⌊ 3 2 log 2 n⌋ + j)-mal, j ∈ Z,j ≥ −⌊ 3 log 2 2 n⌋, nach dem Riffle Shuffle gemischt, so gilt)‖P Xmn − U Sn ‖ −→ 1 − 2Φ(− 2−jn→∞ 4 √ ,3wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei.In Kapitel 2 werden wir zunächst den Riffle Shuffle auf drei verschiedeneArten wahrscheinlichkeitstheoretisch modellieren. Diese Modelle führen schließlichzur selben Abbildung durch eine Markov-Kette bzw. einen Random WalkX = (X m ) m≥0 . Sie ermöglichen nicht nur die explizite Angabe der VerteilungenP Xm , m ≥ 0, sondern auch die der m-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten der

viiiEinleitungMarkov-Kette X für m ≥ 1. Hierbei und im weiteren Vorgehen erweisen sich dieEulerschen Zahlen und ihre Verbindungen zur Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorieals zentrale Hilfsmittel (siehe hierzu [7], [8], [23] und [26]). Abschließendwerden wir den Cut-Off-Effekt mathematisch präzisieren und die asymptotischeAussage des obigen Theorems herleiten.Ich bedanke mich bei Herrn Professor Dr. G. Alsmeyer für die Vergabe dieserDiplomarbeit und die umfassende Betreuung. Er hat mein Interesse für das Themageweckt und mir mit wertvollen Hinweisen über manche Hürde hinweggeholfen.

Kapitel 1Random Walks auf GruppenDieses Kapitel dient der Einführung in die Theorie der Random Walks auf Gruppen,die für die wahrscheinlichkeitstheoretische Modellierung von Mischvorgängennotwendig ist. Es werden ausschließlich endliche Gruppen betrachtet. Die Ergebnisseentstammen in weiten Teilen, sofern nicht anders angegeben, [1], [9], [20]und [21]. Begriffe aus der Gruppentheorie entnehmen wir [15]. Für die Theorie derMarkov-Ketten wird auf [4] verwiesen.1.1 Random Walks auf endlichen GruppenSei G eine endliche Gruppe mit Verknüpfung ”◦“ und neutralem Element id.Die Ordnung von G ist die Anzahl |G| der Elemente von G. Sei T ⊂ G undT − def= {x −1 | x ∈ T }. T heißt Erzeuger von G, fallsG = ⋃{x 1 ◦ . . . ◦ x n | x i ∈ T ∪ T − , i = 1, . . . , n} def= 〈T 〉.n∈N 0◦(n) defFür n ∈ N definieren wir T = {x 1 ◦ . . . ◦ x n | x i ∈ T , i = 1, . . . , n}. Für eineendliche Gruppe G ist G = 〈T 〉 wegen x} ◦ .{{ . . ◦ x}= id für alle x ∈ G äquivalent zu|G|-malG = ⋃ n∈NT ◦(n) .

2 Kapitel 1 Random Walks auf GruppenGegeben eine Teilmenge T ⊂ G ist 〈T 〉 eine Untergruppe von G und zwar diekleinste Untergruppe die T umfasst.Für x, y ∈ G schreiben wir auch kurz xy in der multiplikativen Schreibweiseanstatt x ◦ y. Das neutrale Element id ∈ G nennen wir auch Einselement. EineUntergruppe N ⊂ G heißt Normalteiler von G, wenn xN = Nx für alle x ∈ G gilt.Die Mengen xN und Nx heißen Links- bzw. Rechtsnebenklassen von N bezüglichx. Sei H eine weitere Gruppe. Eine Abbildung ϕ : G −→ H heißt Gruppenhomomorphismus,falls ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) für alle x, y ∈ G gilt.Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf (G, P(G)) gegeben, so definieren wir denTräger von Q alssupp(Q) def= {x ∈ G | Q({x}) > 0}und einen stochastischen Kern K Q : G × P(G) −→ [0, 1] durchK Q (x, {y}) def= Q({x −1 y}) für x, y ∈ G.Für x ∈ G sei δ x die Dirac-Verteilung in x auf (G, P(G)).1.1.1 Definition. Seien λ und Q Wahrscheinlichkeitsmaße auf (G, P(G)) und(Y m ) m≥0 eine Folge G-wertiger, stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen auf einemgeeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit P Y 0= λ und P Ym = Qdeffür alle m ≥ 1. Die Folge (X m ) m≥0 mit X m = Y 0 ◦ . . . ◦ Y m für m ≥ 0 heißt(Q, λ)-Random Walk auf G oder, falls λ = δ id , kurz Q-Random Walk auf G.Dann ist X = (X m ) m≥0 eine zeitlich homogene endliche Markov-Kette mitZustandsraum G, Anfangsverteilung λ und Übergangskern K Q . Sind zwei WahrscheinlichkeitsmaßeQ 1 und Q 2 auf (G, P(G)) gegeben, so definieren wir die FaltungQ 1 ∗ Q 2 von Q 1 und Q 2 durchQ 1 ∗ Q 2 ({x}) def= ∑ y∈GQ 1 ({y})Q 2 ({y −1 x}), x ∈ G. (1.1.1)1.1.2 Bemerkung. Sei X = (X m ) m≥0 ein (Q, λ)-Random Walk auf G. Dann giltfür alle m ≥ 1P Xm = λ ∗ Q ∗ . . . ∗ Q = λ ∗ Q} {{ }∗(m) , (1.1.2)m-mal

1.1 Random Walks auf endlichen Gruppen 3∗(1) def∗(k) defwobei Q = Q und Q = Q ∗ Q ∗(k−1) für k ≥ 2.Im Fall λ = δ id gilt für alle m ≥ 1P Xm = Q ∗(m) . (1.1.3)Beweis. Sei x ∈ G beliebig. Dann gilt wegen der stochastischen Unabhängigkeitder Y i , i ≥ 0,P (X 1 = x) = P (Y 0 Y 1 = x)= P ( ⋃{Y 0 = y, Y 1 = y −1 x} )y∈G= ∑ y∈GP (Y 0 = y)P (Y 1 = y −1 x)= ∑ y∈Gλ({y})Q({y −1 x}) = λ ∗ Q({x}).(1.1.2) und (1.1.3) folgen dann per Induktion aus obiger Gleichung unter Beachtungvon δ id ∗ Q = Q.m ≥ 1Aus der Definition des Übergangskerns K Q und (1.1.2) erhalten wir für alleP Xm = λ(K Q ◦ . . . ◦ K} {{ Q}m-mal) def= λK (m)wobei λK Q (·) def= ∫ G K Q(x, ·)λ(dx) und ”◦“ hier die übliche Hintereinanderschaltungvon Kernen bezeichne. Ferner gilt für alle k, m ≥ 0P X m+k|X m=· = K (k)QP Xm -f.s.,wobei K (0) defQ(x, ·) = δ x (·). Die k-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten seien fürk ∈ N definiert durchp (k)x,ydefDann gilt für alle k ∈ N und x, y ∈ G= K (k) (x, {y}), x, y ∈ G.p (k)Qx,y = K (k) (x, {y})Q= Q ∗(k) ({x −1 y})Q ,

4 Kapitel 1 Random Walks auf Gruppen= Q ∗(k) ({id x −1 y})= K (k)Q (id, {x−1 y})= p (k)id,x −1 ydef= p (k)x −1 y . (1.1.4)Der nächste Satz stammt von Woess [25] und charakterisiert Irreduzibilität undAperiodizität (siehe Definition 7.6. und 7.9. in [4]) der Markov-Kette (X m ) m≥0 .1.1.3 Satz. Sei G eine endliche Gruppe, Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf(G, P(G)) und X = (X m ) m≥0 ein (Q, λ)-Random Walk. Dann gilt(a) X ist irreduzibel genau dann, wenn supp(Q) ein Erzeuger von G ist.(b) Sei X irreduzibel. Genau dann ist X aperiodisch, wenn supp(Q) keine Teilmengeeiner Nebenklasse eines beliebigen nicht-trivialen Normalteilers von Gist.Beweis. zu (a): ⇒“ Sei X irreduzibel und x ∈ G. Dann existiert ein k ∈ N, so”dass p (k)x > 0. Wegenp (k)x= Q ∗(k) ({x})= ∑ z 1 ∈G∑=Q({z 1 })Q ∗(k−1) ({z −11 x})z 1 ,...,z k−1 ∈GQ({z 1 }) · . . . · Q({z k−1 })Q({z −1k−1 · . . . · z−1 1 x}) > 0existieren z 1 , . . . , z k−1 ∈ G mit z 1 , . . . , z k−1 , z −1k−1 ·. . .·z−1 1 x ∈ supp(Q). Daraus folgtx ∈ 〈supp(Q)〉 und somit G ⊂ 〈supp(Q)〉.⇐“ Nach (1.1.4) reicht es zu zeigen, dass für jedes x ∈ G ein k ∈ N existiert”mit p (k)x > 0. Sei x ∈ G und y ∈ supp(Q) beliebig. Wegen 〈supp(Q)〉 = G existiertein k ∈ N und y 1 , . . . , y k−1 ∈ supp(Q) mit y 1 · . . . · y k−1 = xy −1 . Dann gilty = y −1k−1 · . . . · y−1 1 x undp (k)x =∑z 1 ,...,z k−1 ∈GQ({z 1 }) · . . . · Q({z k−1 })Q({z −1k−1 · . . . · z−1 1 x})≥ Q({y 1 }) · . . . · Q({y k−1 })Q({y −1k−1 · . . . · y−1 1 x})k−1∏= Q({y}) Q({y i }) > 0.i=1

1.1 Random Walks auf endlichen Gruppen 5zu (b): Für den Beweis verweisen wir auf [25].Das nächste Lemma zeigt den Zusammenhang zwischen dem Träger der m-fachen Faltung von Q und der vom Träger von Q erzeugten Untergruppe.1.1.4 Lemma. Sei G eine endliche Gruppe und Q ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf (G, P(G)). Dann gilt für alle m ≥ 0supp ( Q ∗(m)) = (supp(Q)) ◦(m) (1.1.5)und somit〈supp(Q)〉 = ⋃ (supp(Q)) ◦(m) = ⋃ supp ( Q ∗(m)) . (1.1.6)m≥0m≥0Beweis. (1.1.6) folgt direkt aus (1.1.5), wir zeigen daher (1.1.5). Da für m = 0, 1nichts zu zeigen ist, sei m ≥ 2.” ⊂“ Sei x ∈ supp ( Q ∗(m)) beliebig. Wegen∑Q ∗(m) ({x}) = Q({z 1 }) · . . . · Q({z m−1 })Q({zm−1 −1 · . . . · z1 −1 x}) > 0z 1 ,...,z m−1 ∈Gexistieren z 1 , . . . , z m−1 ∈ G mit z 1 , . . . , z m−1 , z −1m−1 · . . . · z −11 x ∈ supp(Q). Vermöge(supp(Q)) ◦(m) = {y 1 · . . . · y m | y 1 , . . . , y m ∈ supp(Q)} underhalten wir x ∈ (supp(Q)) ◦(m) .z 1 · . . . · z m−1 (z −1m−1 · . . . · z −11 x) = x” ⊃“ Sei x ∈ (supp(Q))◦(m) beliebig und y 1 , . . . , y m ∈ supp(Q) mitx = y 1 · . . . · y m . Dann gilt ym−1 · . . . · y1 −1 x = y m und somit∑Q ∗(m) ({x}) = Q({z 1 }) · . . . · Q({z m−1 })Q({zm−1 −1 · . . . · z1 −1 x})z 1 ,...,z m−1 ∈G≥ Q({y 1 }) · . . . · Q({y m−1 })Q({ym−1 −1 · . . . · y1 −1 x})m∏= Q({y i }) > 0.i=1Dies zeigt x ∈ supp(Q ∗(m) ).

6 Kapitel 1 Random Walks auf GruppenEine stationäre Verteilung der Markov-Kette X ist die Gleichverteilungdef ∑U G = 1|G| x∈G δ x auf (G, P(G)), denn für alle x ∈ G giltU G ∗ Q({x}) = ∑ y∈GU G ({y})Q({y −1 x}) = 1|G| .Zusammen mit der Endlichkeit von G und Korollar 10.7. in [4] erhalten wir unmittelbarden folgenden Satz.1.1.5 Satz. Sei G eine endliche Gruppe, Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf(G, P(G)), dessen Träger supp(Q) die Gruppe G erzeugt, und X = (X m ) m≥0 eineMarkov-Kette mit Übergangskern K Q und beliebiger Anfangsverteilung. Dann istX positiv rekurrent und besitzt die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung U G .Die Totalvariation oder der Variationsabstand zweier Maße Q 1 und Q 2 auf(G, P(G)) ist definiert als‖Q 1 − Q 2 ‖ def= sup |Q 1 (A) − Q 2 (A)| = 1A⊂G2∑∣ Q1 ({x}) − Q 2 ({x}) ∣ .Ist ein (Q, λ)-Random Walk X auf G irreduzibel und aperiodisch, so konvergiertX nach Satz 1.1.5 und dem Ergodensatz (siehe Satz 11.1. in [4]) für jedeAnfangsverteilung λ in Totalvariation gegen die Gleichverteilung U G auf G, dasheißtx∈Glim ‖P Xm − U G ‖ = lim ‖λ ∗m→∞ m→∞ Q∗(m) − U G ‖ = 0.1.2 Die Gruppe S n der PermutationenIn diesem Abschnitt sei n ∈ N und S n{1, . . . , n}, das heißtdie Gruppe der Permutationen vonS n = {π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} | π bijektiv}.Eine Permutation π ∈ S n wird gewöhnlich in der Form()1 2 · · · nπ =π(1) π(2) · · · π(n)

1.2 Die Gruppe S n der Permutationen 7dargestellt. Wir kürzen dies ab, indem wir nur die untere Zeile übernehmen unddiese in eckige Klammern setzen: π = [π(1), . . . , π(n)]. Wir entnehmen die folgendenDefinitionen und Aussagen über die Struktur von S n aus [15].1.2.1 Definition. Eine Permutation π heißt r-Zyklus, wenn es paarweise verschiedeneZahlen i 1 , . . . , i r ∈ N ≤n = {1, . . . , n} gibt, r ≥ 2,defmit(i) π(i j ) = i j+1 , j = 1, . . . , r − 1, π(i r ) = i 1 und(ii) π(i) = i für i ≠ i 1 , . . . , i r .In dieser Situation verwenden wir für π die Schreibweise π = [i 1 , . . . , i r ] Z .1.2.2 Definition. Ein 2-Zyklus π = [i, j] Z ∈ S n heißt Transposition.Eine Transposition π = [i, j] Z vertauscht also gerade die Zahlen i und j miteinanderund lässt alle übrigen Zahlen unverändert. Wir bezeichnen die Menge allerTranspositionen in S n mit T n , das heißtT ndef= { [i, j] Z | i, j ∈ N ≤n , i ≠ j } .Die Menge der Transpositionen erzeugt S n . Es gilt also〈T n 〉 = ⋃ m≥0T ◦(m)n = S n . (1.2.1)Nach (1.2.1) ist jede Permutation das endliche Produkt von Transpositionen. Wirnennen eine Permutation gerade bzw. ungerade, falls sie sich als das Produkt einergeraden bzw. ungeraden Anzahl von Transpositionen darstellen lässt. Eine Permutationkann nicht gerade und ungerade zugleich sein. Wir bezeichnen die Mengealler geraden Permutationen mit A n .Die Signumsfunktion sgn : S n −→ {−1, 1}, definiert durchsgn(π) = (−1) s ,falls π = σ 1 · . . . · σ s für σ 1 , . . . , σ s ∈ T n , ist ein Gruppenhomomorphismus. Für dieMenge A n aller geraden Permutationen giltA n = {π ∈ S n | sgn(π) = 1}.

8 Kapitel 1 Random Walks auf GruppenWir erinnern noch einmal an die Definition des Normalteilers: Eine UntergruppeN ⊂ S n heißt Normalteiler von S n , wenn xN = Nx für alle x ∈ S n gilt. PerDefinition sind also {id} und S n selbst stets Normalteiler von S n . {id} und S nwerden als triviale Normalteiler von S n bezeichnet. Die folgenden Ausführungengeben Auskunft über die weitere Normalteilerstruktur von S n für n ∈ N.1.2.3 Satz. Für n ≥ 5 ist A n der einzige nicht-triviale Normalteiler von S n .Die Kleinsche Vierergruppe V 4 ist die Menge aller Doppeltranspositionen in S 4 ,das heißtV 4 = {id, [1, 2] Z [3, 4] Z , [1, 3] Z [2, 4] Z , [1, 4] Z [2, 3] Z }.Die Kleinsche Vierergruppe ist ein nicht-trivialer Normalteiler von S 4 . Die Normalteilervon S n sind für n ∈ N in der folgenden Übersicht aufgeführt:n = 1 : {id} = S 1 ,n = 2 : {id} A 2 = S 2 ,n = 3 : {id} A 3 S 3 ,n = 4 : {id} V 4 A 4 S 4 ,n ≥ 5 : {id} A n S n .1.3 Beschreibung eines MischvorgangsIn diesem Abschnitt führen wir den Begriff der Mischmethode und ein wahrscheinlichkeitstheoretischesModell für das sukzessive Mischen von Karten ein.Wir beginnen unsere Betrachtungen mit einem Stapel von n Karten, n ∈ N.Die Karten seien von 1 bis n nummeriert und nach aufsteigenden Werten von linksnach rechts vor uns ausgelegt.Wir identifizieren im Folgenden die Reihenfolge der Karten mit einem n-Tupelx = (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n ≤n,≠ , wobeiN n ≤n,≠def= {(y 1 , . . . , y n ) ∈ {1, . . . , n} n | y i ≠ y j für i ≠ j}.

1.3 Beschreibung eines Mischvorgangs 9Dabei bedeutet x i = j, dass sich Karte j an i-ter Stelle befindet. Ein ungemischterStapel wird also durch das Tupel (1, . . . , n) beschrieben. Führen wir nun einenMischvorgang durch, das heißt, ändern wir die Reihenfolge der Karten, so könnenwir dies durch eine Permutationπ ∈ S n = {σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} | σ bijektiv}beschreiben. Dabei bedeute π(i) = j, dass die Karte, die sich nach dem Mischvorgangan Position i befindet, vor dem Mischvorgang an Position j lag.Führen wir m ∈ N Mischvorgänge nacheinander durch, gegeben durch diePermutationen π 1 , . . . , π m , so ist dies äquivalent zu einem einzelnen Mischvorganggegeben durch die Permutation π 1 ◦. . .◦π m . Beginnen wir mit einem ungemischtenStapel, so gilt für die Reihenfolge x (k) der Karten nach dem k-ten Mischvorgang:x (k) = ( π 1 ◦ . . . ◦ π k (1), . . . , π 1 ◦ . . . ◦ π k (n) ) , k = 1, . . . , m.Das folgende Beispiel 1.3.1 verdeutlicht, dass die Unterscheidung zwischen denzu den einzelnen Mischvorgängen gehörigen Kartenreihenfolgen und Permutationennotwendig ist. Soll ein Kartenstapel m-mal sukzessive gemäß den Permutationenπ 1 , . . . , π m gemischt werden, so führt, wie oben beschrieben, einmaliges Mischengemäß der Permutation π 1 ◦ . . . ◦ π m zu derselben Reihenfolge. Entgegender Intuition ist also π 1 ◦ . . . ◦ π m die richtige“ Permutation und nicht etwa”π m ◦ . . . ◦ π 1 . Dies liegt an der von uns gewählten Art, einen Mischvorgang durcheine Permutation zu beschreiben: Eine einzelne Permutation beschreibt nicht dieReihenfolge, in der die Karten nach dem Mischen vor uns liegen, sondern nur derenReihenfolgeänderung und zwar unabhängig von den speziellen Kartenwerten. DiePermutation π 1 ◦ . . . ◦ π m beschreibt daher die sukzessiven Reihenfolgeänderungenbeginnend beim letzten Mischvorgang: Für i = 1, . . . , n gibt zunächst π m (i)die Postion an, an der die Karte an Position i vor dem Mischen gemäß π m lag.Soll nun die gesamte Reihenfolgeänderung nach m-maligem Mischen angegebenwerden, so müssen nacheinander π m−1 auf π m , π m−2 auf π m−1 ◦ π m usw. bis hinzu π 1 auf π 2 ◦ . . . ◦ π m angewendet werden. Die Reihenfolgeänderungen müssenalso beginnend beim letzten Mischvorgang bis zum ersten Mischvorgang zurückverfolgtwerden. Daraus resultiert dann die Permutation π 1 ◦ . . . ◦ π m . Auch diesenSachverhalt verdeutlicht das folgende Beispiel.

10 Kapitel 1 Random Walks auf Gruppen1.3.1 Beispiel. Wir beginnen mit einem ungemischten Stapel. Ändert sich die Reihenfolgeder Karten durch einen ersten Mischvorgang von (1, . . . , n) in(n, 1, 2, . . . , n − 1), so ist π 1 = [n, 1, 2, . . . , n − 1] = [1, n, n − 1, . . . , 3, 2] Z diezugehörige Permutation. In einem zweiten Mischvorgang werde die Reihenfolgegemäß der Permutation π 2 = [3, 2, 1, 4, . . . , n] = [1, 3] Z geändert. Die Reihenfolgeder Karten nach dem zweiten Mischvorgang lautetx (2) = ( π 1 ◦ π 2 (1), . . . , π 1 ◦ π 2 (n) ) = (2, 1, n, 3, . . . , n − 1).Für die Reihenfolge der Karten nach dem zweiten Mischvorgang gilt alsox (2) ≠ (π 2 (1), . . . , π 2 (n))undx (2) ≠ (π 2 ◦ π 1 (1), . . . , π 2 ◦ π 1 (n)).Die Wahl der Permutation, nach der wir einen Kartenstapel bei einem einzelnenMischvorgang mischen, ist zufallsabhängig:1.3.2 Definition. Eine Mischmethode Q ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Qauf (S n , P(S n )).Ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell für das sukzessive Mischen einesKartenstapels nach einer festgelegten Mischmethode Q ist der Q-Random Walkauf S n (siehe Definition 1.1.1): Wollen wir einen Stapel von n Karten m-mal nachder Mischmethode Q mischen, so wählen wir zunächst eine Realisation (π 1 , . . . , π m )der Zufallsvariable (Y 1 , . . . , Y m ). Als Ergebnis des Mischvorgangs erhalten wir dieRealisation π 1 ◦ . . . ◦ π m der Zufallsvariable X m . Wir können dabei sowohl beiVorliegen eines ungemischten, als auch bei Vorliegen eines gemischten Stapels vorBeginn des Mischvorgangs, etwa gemäß der Permutation π ∈ S n , das Dirac-Maßin der Identität δ id als Anfangsverteilung wählen, denn für alle m ∈ N gilt‖δ π ∗ Q ∗(m) − U Sn ‖ = 1 ∑ ∣ ∣∣δπ∗ Q ∗(m) ({σ}) − 1 ∣2n!σ∈S n= 1 ∑ ∣ ∣∣ ∑δ π ({τ})Q ∗(m) ({τ −1 σ}) − 1 ∣2n!σ∈S n τ∈S n= 1 ∑ ∣ ∣∣Q ∗(m) ({π −1 σ}) − 1 ∣2n!σ∈S n

1.3 Beschreibung eines Mischvorgangs 11= 1 ∑ ∣ ∣∣Q ∗(m) ({σ}) − 1 ∣2n!σ∈S n= ‖Q ∗(m) − U Sn ‖= ‖δ id ∗ Q ∗(m) − U Sn ‖.Ferner führt eine etwaige mit der Wahl von δ id als Anfangsverteilung verbundeneUmnummerierung der Karten nicht zu einem Informationsverlust, da die zu einemMischvorgang gehörige Permutation nicht die tatsächliche Reihenfolge der Karten,sondern nur deren Reihenfolgeänderung beschreibt.

Kapitel 2Der Riffle ShuffleIn diesem Kapitel stellen wir den Riffle Shuffle und wahrscheinlichkeitstheoretischeModellierungen für die vom Riffle Shuffle auf S n induzierte Mischmethode vor. MitHilfe dieser Modelle wird es möglich sein, den Cut-Off-Effekt für den Riffle Shufflenachzuweisen. Die Resultate in diesem Kapitel orientieren sich, sofern nicht andersangegeben, an [6].2.1 Modelle für den Riffle ShuffleDer Riffle Shuffle ist eine der meist verwendeten Methoden, einen Kartenstapelzu mischen. Dabei wird ein ungemischter Stapel von n Karten ungefähr halbiert,die beiden Hälften werden dann sukzessive ineinandergeblättert 1 . Ein mathematischesModell für den Riffle Shuffle wurde 1955 von Gilbert und Shannon [12] undunabhängig 1981 von Reeds [17] vorgestellt: Ein Kartenstapel von n Karten wirdin zwei Päckchen A 1 und A 2 geteilt. Dabei sei die Wahrscheinlichkeit, dass A 1 dieersten k Karten enthält, durch B(n, 1/2)({k}) = ( nk)/2 n , k = 0, . . . , n, gegeben.Die beiden Päckchen werden dann so ineinandergeblättert, dass die Wahrscheinlichkeit,dass eine Karte vom ersten bzw. zweiten Päckchen fällt, proportional zurAnzahl der verbliebenen Karten in den Päckchen ist. Das heißt, falls im ersten und1”ineinanderblättern“ bedeutet, die beiden Hälften so ineinanderzumischen, dass die Reihenfolgeder Karten in den einzelnen Hälften erhalten bleibt.

14 Kapitel 2 Der Riffle Shufflezweiten Päckchen j 1 bzw. j 2 Karten verbleiben, so ist die Wahrscheinlichkeit, dassdie nächste Karte von Päckchen i fällt j i /(j 1 +j 2 ), i = 1, 2. Nach Gilbert, Shannonund Reeds wird der Riffle Shuffle auch GSR-Shuffle genannt.Der Riffle Shuffle lässt sich für a ∈ N ≥2def= {n ∈ N | n ≥ 2} analog zu einema-Riffle Shuffle erweitern, indem der Kartenstapel in a Päckchen A 1 , . . . , A a geteiltwird. Die Anzahl der Karten in den Päckchen sei dabei multinomialverteilt. Diesbedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Päckchen A 1 die ersten k 1 Karten,Päckchen A 2 die nächsten k 2 Karten usw. enthält, für(k 1 , . . . , k a ) ∈ ∑ andef={(j 1 , . . . , j a ) ∈ {0, . . . , n} a ∣ ∣∣a∑k=1}j k = ndurch( )n 1M(n, 1/a)({(k 1 , . . . , k a )}) =k 1 , . . . , k a a . ngegeben sei. Die a Päckchen werden dann wie folgt ineinandergeblättert: Sind inden einzelnen Päckchen j 1 , . . . , j a Karten verblieben, so fällt die nächste Kartevon Päckchen i mit der Wahrscheinlichkeit j i /(j 1 + . . . + j a ), i = 1, . . . , a. Wirbezeichnen einen a-Riffle Shuffle von n Karten auch als GSR-(a, n)-Shuffle. ImFolgenden stellen wir zwei Modelle vor, die, wie wir in Satz 2.1.7 sehen werden, diegleiche Mischmethode auf S n induzieren wie der GSR-(a, n)-Shuffle. Die verbalenBeschreibungen der Modelle sind bei verschiedenen Autoren zu finden, etwa in [1],[2], [6], [9], [14] und [16]. Sei im Folgenden a ∈ N ≥2 .1. Maximum-Entropie-Modell: In diesem Modell gehen wir davon aus, dassalle möglichen Arten, einen Stapel in a Päckchen aufeinanderfolgender Karten zuteilen und diese dann ineinanderzublättern, gleich wahrscheinlich sind. Leere Päckchensind zugelassen. Jedes nichtleere Päckchen muss aus den Karten k, . . . , k+l fürgeeignetes k ∈ N ≤n und l ∈ N 0,n−1def= {0, . . . , n − 1} bestehen. Dieses Modell gibtalso jeder beliebigen Kombination aus Päckcheneinteilung und dem anschließendenIneinanderblättern dieselbe Wahrscheinlichkeit und maximiert so die Entropieunter allen möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf der Menge aller solchenKombinationen.

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 15Dieser Sachverhalt lässt sich folgendermaßen modellieren: Wir wählen zunächstein Tupel (x 1 , . . . , x n ) ∈ {0, . . . , a − 1} n = N n 0,a−1 nach der Laplace-Verteilung aufN n 0,a−1. Dann zählen wir alle Nullen, Einsen, Zweien usw. in (x 1 , . . . , x n ). Fallswir j 1 Nullen, j 2 Einsen usw. erhalten haben, bilden wir a Päckchen A 1 , . . . , A amit den Karten 1 bis j 1 bzw. j 1 + 1 bis j 1 + j 2 usw. Schließlich verteilen wir dieKarten aus Päckchen A i unter Beibehaltung ihrer Reihenfolge auf die Positionenin (x 1 , . . . , x n ) mit x k = i − 1.Wir verwenden hier und im folgenden Modell n-Tupel x ∈ {0, . . . , a − 1} n undnicht etwa x ∈ {1, . . . , a} n , da dies für die Darstellung unserer folgenden Ergebnissein Lemma 2.1.8, Lemma 2.1.9, Lemma 2.1.10 und Satz 2.1.11 hilfreich ist.Sei U N n0,a−1die Laplace-Verteilung auf N n 0,a−1 und x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n 0,a−1.defFür k = 1, . . . , a definieren wir j x,k = |{l | x l = k − 1}| undA x,kdef={ ( ∑k−1)j x,i + 1, . . . ,i=1k∑j x,i}.Ferner definieren wir zu x eine Permutation π x ∈ S n induktiv durch π x (1) =min A x,x1 +1 undπ x (i) = min { A x,xi +1\{π x (1), . . . , π x (i − 1)} } (2.1.1)i=1für i = 2, . . . , n. Sei X M a,n : (N n 0,a−1, P(N n 0,a−1)) −→ (S n , P(S n )) die für x ∈ N n 0,a−1durch X M a,n(x) def= π x definierte Funktion. Die Definition der Permutation π x findetsich für den Fall a = 2 in äquivalenter Form in Beispiel 4.17 in [1].Wir können nun die Maximum-Entropie-Mischmethode Q M a,n einführen, indemwir für B ∈ P(S n ) setzenQ M a,n(B) def= U N n0,a−1(X M a,n ∈ B).Dann gilt für alle π ∈ S nQ M a,n({π}) = |{x ∈ {0, . . . , a − 1}n | π x = π}|a n . (2.1.2)2.1.1 Beispiel. Ein Mischvorgang im Maximum-Entropie-Modell mit a = 2 undn = 10 zu x = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1) ∈ N 100,1 = {0, 1} 10 (siehe Abbildung 2.1).

16 Kapitel 2 Der Riffle Shufflea.✞A♣✝☎✞2♣✆✝☎✞3♣✆✝☎✞4♣✆✝☎✞5♣✆✝☎✞6♣✆✝☎✞7♣✆✝☎✞8♣✆✝☎✞9♣✆✝☎✞10♣✆✝☎✆b.✞A♣✝☎✞2♣✆✝☎✞3♣✆✝☎✞4♣✆✝☎✞5♣✆✝☎✆✞6♣✝☎✞7♣✆✝☎✞8♣✆✝☎✞9♣✆✝☎✞10♣✆✝☎✆c.d.✞ ☎✞ ☎ ✞ ☎ ✞ ☎✞☎A ✞ ☎✞☎ 2 ✞ ☎ 3 ✞ ☎ 4 5 ✞♣ 6 7 ♣ 8 ♣ 9 ♣ ♣ 10✝ ✆✝ ✆ ✝ ✆ ✝ ✆✝✆♣ ♣ ♣ ♣♣✝ ✆✝✆ ✝ ✆ ✝ ✆✝0✞1☎✞1☎✞0☎✞1☎✞0☎✞1☎✞0☎✞0☎✞1☎✞A 6 7 2 8 3 9 4 5 10♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣✝ ✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝☎✆☎✆Abbildung 2.1: Mischvorgang im Maximum-Entropie-Modell.a.: Wir beginnen mit einem geordneten Kartenstapel und identifizieren Ass“ ”mit dem Wert 1.b.: Der Stapel wird in zwei Päckchen geteilt, das erste Päckchen A 1 bestehtaus den Karten 1 bis j x,1 = 5, das zweite Päckchen A 2 aus den Karten j x,1 + 1 = 6bis j x,1 + j x,2 = 10.c.,d.: Die beiden Päckchen werden ineinandergeblättert: Alle Karten aus PäckchenA 1 werden auf die Positionen in x mit x i = 0 verteilt, i = 1, . . . , 10, und alleKarten aus Päckchen A 2 auf die Positionen in x mit x i = 1, i = 1 . . . , 10. DerStapel wurde also nach der Permutation π x = [1, 6, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 5, 10] gemischt.2. Inverses Modell: Das folgende Modell beschreibt einen inversen RiffleShuffle. Wir wählen wieder ein Tupel (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n 0,a−1 nach der Laplace-Verteilung auf N n 0,a−1. Dann ordnen wir der Karte i den Wert x i zu und legen alleKarten mit dem Wert 0 unter Beibehaltung ihrer Reihenfolge an den Anfang desStapels, dahinter platzieren wir alle Karten mit dem Wert 1 usw., bis hin zu allenKarten mit dem Wert a − 1. Päckchen A l besteht beim inversen Riffle Shuffle ausallen Karten, denen der Wert l − 1 zugeordnet wird, l = 1, . . . , n. Auch in diesem

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 17Modell können leere Päckchen entstehen, sofern nicht alle Werte 0, . . . , a − 1 in xvertreten sind.Sei x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n 0,a−1. Wir definieren eine Permutation π x −induktiv durch π x −(1) = min { k | x k = min{x 1 , . . . , x n } } und∈ S nπ x −(i) = min { {k | x k = l}\{π x −(1), . . . , π x −(i − 1)} } (2.1.3)für j x,1 + . . . + j x,l < i ≤ j x,1 + . . . + j x,l+1 , l = 0, . . . , a − 1. Falls j x,1 positiv ist, dasheißt ein k ∈ {1, . . . , n} existiert mit x k = 0, so gilt π x −(1) = min { k | x k = 0 } .Sei X I a,n : (N n 0,a−1, P(N n 0,a−1)) −→ (S n , P(S n )) die für x ∈ N n 0,a−1 durchX I a,n(x) def= π x −definierte Funktion. Wir definieren die Mischmethode Q I a,n für B ∈ P(S n ) durchQ I a,n(B) def= U N n0,a−1(X I a,n = π −1 , π ∈ B). (2.1.4)Dann gilt für alle π ∈ S nQ I a,n({π}) = |{x ∈ {0, . . . , a − 1}n | π x − = π −1 }|a n . (2.1.5)2.1.2 Beispiel. Ein Mischvorgang im inversen Modell: Wie in Beispiel 2.1.1 seiena = 2, n = 10 und x = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1) ∈ N 100,1 = {0, 1} 10 (siehe Abbildung2.2).a.: Wir beginnen mit einem geordneten Kartenstapel und identifizieren ”Ass“mit dem Wert 1.b.: Karte i wird der Wert x i zugeordnet, i = 1, . . . , 10.c.,d.: Das erste Päckchen A 1 besteht aus den Karten 1, 4, 6, 8, 9, das zweitePäckchen aus den Karten 2, 3, 5, 7, 10. Alle Karten aus Päckchen A 1 werden anden Anfang des Stapels gelegt, dahinter alle Karten aus Päckchen A 2 . Der Stapelwurde gemäß der Permutation π x − = [1, 4, 6, 8, 9, 2, 3, 5, 7, 10] gemischt.Um nun den Mischvorgang gemäß (2.1.4) zu erhalten, werden die Schritte a. bisd. in umgekehrter Reihenfolge durchgeführt, das heißt der geordnete Kartenstapelwird gemäß π −1x − gemischt. Der inverse Riffle Shuffle gemäß π x − invertiert also

18 Kapitel 2 Der Riffle Shufflea.b.✞ ☎✞☎✞☎✞☎✞☎✞☎✞☎✞☎✞☎✞A 2 3 4 5 6 7 8 9 10♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠✝ ✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝✆✝0 1 1 0 1 0 1 0 0 1✞ ☎✞ ☎ ✞ ☎ ✞ ☎✞☎A ✞ ☎✞☎ 4 ✞ ☎ 6 ✞ ☎ 8 9 ✞♠ 2 3 ♠ 5 ♠ 7 ♠ ♠ 10✝ ✆✝ ✆ ✝ ✆ ✝ ✆✝✆♠ ♠ ♠ ♠♠✝ ✆✝✆ ✝ ✆ ✝ ✆✝☎✆☎✆c.✞A♠✝☎✞4♠✆✝☎✞6♠✆✝☎✞8♠✆✝☎✞9♠✆✝☎✆✞2♠✝☎✞3♠✆✝☎✞5♠✆✝☎✞7♠✆✝☎✞10♠✆✝☎✆d.✞A♠✝☎✞4♠✆✝☎✞6♠✆✝☎✞8♠✆✝☎✞9♠✆✝☎✞2♠✆✝☎✞3♠✆✝☎✞5♠✆✝☎✞7♠✆✝☎✞10♠✆✝☎✆Abbildung 2.2: Mischvorgang im inversen Modell.gerade den Mischvorgang im Maximum-Entropie-Modell gemäß π x aus Beispiel2.1.1. Er ordnet also den gemischten Kartenstapel zurück in die Ausgangslage.Das Mischen kann somit als inverses Sortieren“ bezeichnet werden. Wir werden”diese Beobachtung in Lemma 2.1.6 belegen.Bayer und Diaconis [6], [9] nennen mit dem geometrischen Modell eine weitereMöglichkeit zur Modellierung des GSR-(a, n)-Shuffle. Es lässt sich auch hier zeigen,dass das geometrische Modell äquivalent zu den beiden vorangegangenen ist,in dem Sinne, dass es dieselbe Mischmethode auf S n induziert. Wir werden allerdingsauf den technischen Beweis verzichten, da uns das geometrische Modell imweiteren Vorgehen keine Vorzüge gegenüber dem Maximum-Entropie-Modell bzw.dem inversen Modell bietet. Wir geben jedoch im Anschluss an die Modellierungeine kurze Beweisskizze an.3. Geometrisches Modell: Wir wählen n Punkte x 1 , . . . , x n im Einheitsintervallvoneinander unabhängig und gleichverteilt. Diese ordnen wir der Größe nach,

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 19so dass x 1 ≤ . . . ≤ x n . Die Abbildungf a : (x 1 , . . . , x n ) ↦−→ (f a(1) (x 1 ), . . . , f a (n) (x n )) = (ax 1 (mod 1), . . . , ax n (mod 1))bildet das Intervall [0, 1] n auf sich selbst ab. f a sortiert die Punkte x 1 , . . . , x n umund induziert so ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf S n (siehe Abbildung 2.3).✻1 ◦ ◦ ◦ ◦. . .01a2a3a. . .a−1a 1✲Abbildung 2.3: Die Funktion f (1)a : [0, 1] −→ [0, 1) mit f (1)a (x) = ax (mod 1).Seien X 1 , . . . , X n stochastisch unabhängig und identisch R(0, 1)-verteilte Zufallsgrößenauf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω G , A G , Q G ) undT : [0, 1] n −→ [0, 1] n die Ordnungsstatistik mitT (x 1 , . . . , x n ) = (x (1) , . . . , x (n) ) für (x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1] n .Die Funktion f a : [0, 1] n −→ [0, 1) n mit f a = (f (1)a, . . . , f a(n) ) sei definiert durchf a(i) (x i ) def= ax i (mod 1) = ax i − ⌊ax i ⌋ (2.1.6)für x i ∈ [0, 1] und i = 1, . . . , n, wobei ⌊x⌋ die untere Gauss-Klammer von x ∈R sei. Ferner sei R = (R 1 , . . . , R n ) : [0, 1] n −→ N n ≤n die Rangstatistik mitR j : [0, 1] n −→ N ≤n ,R j (x 1 , . . . , x n ) = |{i | x i ≤ x j }|für (x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1] n und j = 1, . . . , n.

20 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle2.1.3 Bemerkung. Für die in (2.1.6) definierte Funktion gilt(a) f a ist B n [0,1] -Bn [0,1) -messbar.(b) f a(1) (X 1 ), . . . , f a (n) (X n ) sind stochastisch unabhängig und identisch R(0, 1)-verteilt.Beweis. zu (a): Für i ≤ n und s, t ∈ [0, 1) mit s < t giltf (i)aa−1−1( ) ⋃(s, t] =k=0( s + ka, t + k ]∈ B [0,1] . (2.1.7)azu (b): Die stochastische Unabhängigkeit folgt aus (a) und der stochastischenUnabhängigkeit von X 1 , . . . , X n . Sei i ≤ n und t ∈ (0, 1]. Dann giltQ G (f (i)a((X i ) ≤ t) = Q X i f(i)a ∈ [0, t] )= Q X iG=G( a−1∑a−1k=0⋃k=0[ ka , t + kata = t.])(2.1.8)Für t ≤ 0 erhalten wir unmittelbar Q G (f a(i) (X i ) ≤ t) = 0 und für t > 1 analog zu(2.1.8)Q G (f (i)a((X i ) ≤ t) = Q X iG f(i)aSomit gilt Q f (i)a (X i )G= R(0, 1) für i = 1, . . . , n.∈ [0, t] ) (= Q X iG f(i)a ∈ [0, 1] ) = 1.Wir definieren die Abbildung XaG def= R ◦ f a ◦ T ◦ X, X = (X 1 , . . . , X n ), unddas Maß Q G a,n : P(S n ) −→ [0, 1] für B ∈ P(S n ) durchQ G a,n(B) def= Q G(XGa ∈ B ) . (2.1.9)Damit durch diese Definition ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (S n , P(S n )) definiertwird, muss XaG f.s. S n -wertig sein. Wie die folgende Bemerkung zeigt, ist diestatsächlich der Fall.

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 212.1.4 Bemerkung. Q G a,n ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (S n , P(S n )).Beweis. Es ist zu zeigen, dass X G aQ G - f. s. S n -wertig ist, alsoQ G a,n(S n ) = Q G (R ◦ f a ◦ T ◦ X ∈ N n ≤n,≠) = 1. (2.1.10)Dies ist genau dann der Fall, wenn Q G (f a ◦ T ◦ X ∈ [0, 1) n≠) = 1 gilt. Sei(x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1] n , dann giltund somitDa f (1)af a (x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1) n≠ ⇐⇒ f a(x (1) , . . . , x (n) ) ∈ [0, 1) n≠Q G (f a ◦ T ◦ X ∈ [0, 1) n≠ ) = Q G(f a ◦ X ∈ [0, 1) n≠ ).(X 1 ), . . . , f a(n) (X n ) nach Bemerkung 2.1.3 stochastisch unabhängig und stetigverteilt sind, ergibt sich Q G (f a ◦ X ∈ [0, 1) n≠) = 1 und daraus (2.1.10).2.1.5 Lemma. Sei a ∈ N und x, y ∈ [ i−1a , i a)für ein i ∈ N, dann giltx < y ⇐⇒ ax (mod 1) < ay (mod 1).Beweis. Seien x 0 , y 0 ∈ [i − 1, i) für ein i ∈ N. Dann gilt wegen ⌊x 0 ⌋ = ⌊y 0 ⌋x 0 < y 0 ⇐⇒ x 0 − y 0 < ⌊x 0 ⌋ − ⌊y 0 ⌋⇐⇒ x 0 − ⌊x 0 ⌋ < y 0 − ⌊y 0 ⌋⇐⇒ x 0 (mod 1) < y 0 (mod 1).Die Behauptung folgt, indem wir x 0 = ax und y 0 = ay setzen.Wir führen nun die Funktion J a = (J 1 , . . . , J a ) : [0, 1] n −→ ∑ anein, indem wirfür (x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1] n und i = 1, . . . , n definierenJ i ((x 1 , . . . , x n )) def= |{j | x j ∈ [ i−1a , i a)}|.Mit Lemma 2.1.5 erhalten wir die folgende Interpretation eines durch eine Realisationx = (x 1 , . . . , x n ) der Zufallsvariablen X = (X 1 , . . . , X n ) gegebenen Mischvorgangs(R ◦ f a ◦ T ) ((x 1 , . . . , x n )) (siehe auch Abbildung 2.3):

22 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleZunächst können wir die Punkte x 1 , . . . , x n und f (1)a(x (1) ), . . . , f a(n) (x (n) ) jeweilsals paarweise verschieden voraussetzen, da zum einen X 1 , . . . , X n stetig verteiltsind und zum anderen f a ◦T ◦X fast sicher [0, 1) n≠-wertig ist. Zusätzlich nehmen wirnoch x 1 , . . . , x n < 1 an. Nach Anwendung der Ordnungsstatistik T auf (x 1 . . . , x n )sortiert die Funktion f a das Tupel (x (1) , . . . , x (n) ) um. Nach Lemma 2.1.5 bleibtdabei die Rangfolge aller Punkte, die im selben Intervall [ i−1a , i a)für ein i ≤ aliegen, unverändert. Gegeben i, j ≤ a mit i ≠ j und Punktemit der Eigenschaftx (i1 ), . . . , x (ir1 ) ∈ [ i−1, ) ia a und x(j1 ), . . . , x (jr2 ) ∈ [ j−1, )ja ax (i1 ) < . . . < x (ir1 ) und x (j1 ) < . . . < x (jr2 ),kann durch Anwendung der Funktion f a ihre Rangfolge geändert werden. Da jedochdie Rangfolge der Punkte innerhalb des Intervalls [ i−1, ) [ ia a bzw. j−1, ja a)jeweilsdurch f a nach Lemma 2.1.5 nicht geändert wird, verzahnen“ sich die beiden”Kettenf (i 1)a (x (i1 )), . . . , f (ir 1 )a (x (ir1 )) und f (j 1)a (x (j1 )), . . . , f (jr 2 )a (x (jr2 )).Daraus folgt, dass wir die Anzahl der Karten in den Päckchen A 1 , . . . , A a beidem durch (R ◦ f a ◦ T ) ((x 1 , . . . , x n )) gegebenen Mischvorgang mit der Anzahl derPunkte x 1 , . . . , x n in den einzelnen Intervallen [ [0, a) 1 , 1 , [ 2a a), . . . ,a−1, 1) identifizierenkönnen. Die Anzahl der Karten in den Päckchen A 1 , . . . , A a ist alsoageradedurch J 1 (x), . . . , J a (x) gegeben. Genauer ist Päckchen A k dann für k = 1, . . . , agegeben durchA k ={ ∑k−1J i (x) + 1, . . . ,i=1k∑i=1}J i (x) .Es lässt sich zeigen, dass das geometrische Modell die gleiche Mischmethode aufS n erzeugt, wie das Maximum-Entropie-Modell. Hierzu betrachte man für a ∈ N ≥2und x ∈ [0, 1] die a-adische Entwicklung von x. Eine solche ist gegeben durch eineFolge (z k ) k≥1 ∈ {0, . . . , a − 1} N mitx = ∑ k≥1z k a −k .

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 23Diese Darstellung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, es existieren jedochfür jedes x ∈ [0, 1] höchstens zwei verschiedene a-adische Entwicklungen. SeiY = (Y j,k ) j≤n,k≥1 eine Zufallsvariable mit stochastisch unabhängigen und auf{0, . . . , a − 1} Laplace-verteilten Komponenten. Dann gilt für j = 1, . . . , nP ∑ k≥1 Y j,ka −k = R(0, 1).Somit kann das geometrische Modell wie folgt beschrieben werden: Wir wählenzunächst eine Realisation(y 1 , . . . , y n ) = ( )(y 1,k ) k≥1 , . . . , (y n,k ) k≥1der Zufallsvariablen Y . Im geometrischen Modell entspricht dies der Wahl von nPunktenx 1 = ∑ y 1,k a −k , . . . , x n = ∑ y n,k a −k .k≥1k≥1Die Ordnung x (1) , . . . , x (n) der Punkte x 1 , . . . , x n der Größe nach, entspricht derlexikographischen Ordnung y (1) , . . . , y (n) der Folgen y 1 , . . . , y n . Die Anwendung vonf a auf (x (1) , . . . , x (n) ) findet ihr Analogon in der Anwendung der Shift-Operationσ auf y (1) , . . . , y (n) , die für (z k ) k≥1 ∈ {0, . . . , a − 1} N definiert ist durchσ ((z k ) k≥1 ) = (z k ) k≥2 .Ermitteln wir nun die Ränge der Punkte f (1)a(x (1) ), . . . , f a(n) (x (n) ), so zeigt sich, dassdie Ränge im Wesentlichen von den ersten Komponenten von σ(y (1) ), . . . , σ(y (n) )abhängen. Da diese aber vereinfacht gesprochen wiederum modulo Ordnung undAnwendung der Shift-Operation aus einer Realisation von n stochastischunabhängigen und über {0, . . . , a − 1} Laplace-verteilten Zufallsgrößen stammen,zeigt sich dann die Äquivalenz von geometrischem Modell und Maximum-Entropie-Modell.Wir wenden uns nun wieder dem Maximum-Entropie-Modell und dem inversenModell zu. Das folgende Lemma bestätigt die Beobachtung aus Beispiel 2.1.2, dassder zu x ∈ N n 0,a−1 gehörige Mischvorgang gemäß π x aus dem Maximum-Entropie-Modell das Inverse des Mischvorgangs π x − aus dem inversen Modell ist.

24 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle2.1.6 Lemma. Sei x ∈ N n 0,a−1. Dann gilt π −1x = π x −.Beweis. Sei x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n 0,a−1 beliebig. Wir nehmen o.B.d.A. j x,i ≠ 0für i = 1, . . . , a an. Sonst setzen wir b def= |{x 1 , . . . , x n } ∩ N 0,a−1 | und definierenx ′ = (x ′ 1, . . . , x ′ n) ∈ N n 0,b−1 durchx ′ idef= x i − ∣ ∣ { k ∈ {0, . . . , n} | k < x i , k ≠ x 1 , . . . , x n}∣ ∣ , i = 1, . . . , n.Dann gilt j x ′ ,i ≠ 0 für i = 1, . . . , b. Ferner erhalten wir A x ′ ,k = A x,lk ≠ ∅ fürdefk = 1, . . . , b, wobei l k induktiv definiert ist durch l 1 = min{i | A x,i ≠ ∅} undl kdef= min{i > l k−1 | A x,i ≠ ∅}für k = 2, . . . , b. Dann gilt π x = π x ′ wegen der Definition (2.1.1) von π x .Sei also j x,i ≠ 0 für i = 1, . . . , a. Es existieren k 0 , . . . , k a ∈ N mit0 = k 0 < k 1 < . . . < k a−1 < k a = n undA x,l+1 = {k l + 1, . . . , k l+1 }für l = 0, . . . , a − 1. Wir definieren i 1 , . . . , i n ∈ N ≤n durchi kl +1def= min{i |x i = l}, l = 0, . . . , a − 1 unddefi j = min { {i | x i = l}\{i kl +1, . . . , i j−1 } }für k l + 1 < j ≤ k l+1 und l = 0, . . . , a − 1.Wir zeigen nun mit einer Induktion π x (i j ) = j für j = 1, . . . , n. Ausi 1 = min{i | x i = 0} folgt x i1 = 0 und somitπ x (i 1 ) = min { A x,xi1 +1\{π x (1), . . . , π x (i 1 − 1)} }= min { A x,1 \{π x (1), . . . , π x (i 1 − 1)} } = min A x,1 = 1.(2.1.11)Sei m ≤ n beliebig und π x (i j ) = j für j < m. Wir zeigen π x (i m ) = m. Seil ∈ {0, . . . , a − 1}, so dass k l + 1 ≤ m ≤ k l+1 . Falls m = k l + 1, so folgt wegeni m = min{i | x i = l}

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 25analog zu (2.1.11) π x (i m ) = m. Gilt andererseits k l + 1 < m ≤ k l+1 , so folgt ausi m = min { {i | x i = l}\{i kl +1, . . . , i m−1 } } die Beziehungi m > i kl +1, . . . , i m−1 .Ferner gilt π x (j) /∈ A x,l+1 für alle j < i m mit j ≠ i kl +1, . . . , i m−1 . Dann folgtzusammen mit x im = l und der Induktionsvoraussetzungπ x (i m ) = min { A x,xim +1\{π x (1), . . . , π x (i m − 1)} }= min { A x,l+1 \{π x (1), . . . , π x (i m − 1)} }= min { A x,l+1 \{π x (i kl +1), . . . , π x (i m−1 )} }= min { A x,l+1 \{k l + 1, . . . , m − 1} }= min { {k l + 1, . . . , k l+1 }\{k l + 1, . . . , m − 1} }= m.Also gilt π x (i j ) = j für j = 1, . . . , n. Aus der Definition der i j folgt unmittelbari j = min { {i | x i = l}\{i 1 , . . . , i j−1 } }für k l + 1 ≤ j ≤ k l+1 und l = 0, . . . , a − 1. Wegen πx−1 (j) = i j für j = 1, . . . , nerhalten wir zusammen mit (2.1.3)πx−1 (1) = i 1 = min{k | x k = 0} = π x −(1).Daraus folgt wiederum mit (2.1.3) induktiv für k l +1 ≤ j ≤ k l+1 und l = 0, . . . , a−1πx−1 (j) = i jund somit π −1x = π x −.= min { {k | x k = l}\{i 1 , . . . , i j−1 } }= min { {k | x k = l}\{πx−1 (1), . . . , πx −1 (j − 1)} }= min { {k | x k = l}\{π x −(1), . . . , π x −(j − 1)} }= π x −(j)Wir kommen nun zu dem bereits angekündigten Resultat, dass das Maximum-Entropie-Modell und das inverse Modell die gleiche Mischmethode wie der GSR-(a, n)-Shuffle erzeugen (siehe Lemma 1, Abschnitt 3 in [6] und Abschnitt 3 in [16]).

26 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle2.1.7 Satz. Das Maximum-Entropie-Modell und das inverse Modell erzeugen diegleiche Mischmethode, das heißt für alle n ∈ N giltQ M a,n = Q I a,n.Ferner beschreiben beide Modelle den GSR-(a, n)-Shuffle.Beweis. Sei n ∈ N. Q M a,n = Q I a,n folgt unter Benutzung von (2.1.2) und (2.1.5) direktaus πx−1 = π x − für alle x ∈ N n 0,a−1. Es reicht also zu zeigen, dass das Maximum-Entropie-Modell den GSR-(a, n)-Shuffle beschreibt.Wir teilen den GSR-(a, n)-Shuffle in zwei Schritte auf: Im ersten Schritt werdendie Päckchengrößen nach einer M(n, 1/a)-Verteilung gewählt, das heißt dieWahrscheinlichkeit, dass die Päckchen A 1 , . . . , A a j 1 , . . . , j a Karten enthalten, istfür (j 1 , . . . , j a ) ∈ ∑ angegeben durch( )n 1M(n, 1/a)({(j 1 , . . . , j a )}) =j 1 , . . . , j a a . nIm zweiten Schritt blättern wir die Päckchen in der zu Beginn dieses Kapitels aufSeite 14 beschriebenen Weise ineinander.Gegeben die Päckchengrößen (j 1 , . . . , j a ) ∈ ∑ ansind dann alle möglichen Mischvorgängegleichwahrscheinlich: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Karten in einerbeliebigen Reihenfolge sukzessive von den Päckchen A 1 , . . . , A a fallen, ist wegenj 1 + . . . + j a = n gegeben durchj 1 (j 1 − 1) · . . . · 1 · . . . · j a (j a − 1) · . . . · 1(j 1 + . . . + j a )(j 1 + . . . + j a − 1) · . . . · 1 = j 1! · . . . · j a !n!( ) −1n=.j 1 , . . . , j aDie Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen GSR-(a, n)-Shuffle mit Päckchengrößenj 1 , . . . , j a im ersten Schritt ist dann gegeben durch( ) ( ) −1n 1 n= 1 j 1 , . . . , j a a n j 1 , . . . , j a a . nDas heißt alle möglichen GSR-(a, n)-Shuffle sind gleichwahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit1/a n . Im Maximum-Entropie-Modell entsprechen der erste und zweiteSchritt gerade der Wahl eines x ∈ N n 0,a−1, denn j x,1 , . . . , j x,a ∈ ∑ anlegen die

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 27Päckchengrößen fest und x selbst die Reihenfolge, in der die Karten ineinandergeblättertwerden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein GSR-(a, n)-Shuffle in der Permutationπ ∈ S n resultiert, ist dann gegeben durch die Anzahl aller x ∈ N n 0,a−1 mitπ x = π, dividiert durch die Anzahl a n aller möglichen Mischvorgänge. Die gesuchteWahrscheinlichkeit entspricht also geradewas wir beweisen mussten.|{x ∈ N n 0,a−1 | π x = π}|a n= Q M a,n({π}),Die folgenden Resultate dieses Abschnitts orientieren sich an den Ausführungenin Abschnitt 7.2 in [16]. Sie sind allerdings in der hier formulierten Weise in derverwendeten Literatur nicht zu finden, dies gilt insbesondere für den Beweis vonSatz 2.1.11.Wir bezeichnen nun für ein x ∈ N n 0,a−1 einen Mischvorgang, der durch diePermutation π x beschrieben wird, als GSR-(a, n)-Shuffle und einen Mischvorgang,der durch π x − beschrieben wird, als inversen GSR-(a, n)-Shuffle. Ferner setzen wirdefQ a,n = Q M a,n = Q I a,n.Seien a, b ∈ N ≥2 . Für das weitere Vorgehen definieren wir eine totale Ordnungauf N 0,a−1 × N 0,b−1 , genannt ”lexikographische Ordnung nach der zweitenKomponente“: Für (x i , y i ) ∈ N 0,a−1 × N 0,b−1 , i = 1, 2, setzen wir(x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) :⇐⇒ (x 1 ≤ x 2 , y 1 = y 2 ) oder y 1 < y 2 . (2.1.12)2.1.8 Lemma. Seien a, b ∈ N ≥2 und (x i , y i ) ∈ N 0,a−1 × N 0,b−1 , i = 1, 2. Dann gilt(x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) ⇐⇒ ay 1 + x 1 ≤ ay 2 + x 2 . (2.1.13)Beweis. ⇒“ Falls gilt x ” 1 ≤ x 2 und y 1 = y 2 , so folgt direktay 1 + x 1 ≤ ay 2 + x 2 .Gilt andererseits y 1 < y 2 , so folgt x 1 − x 2 ≤ a wegen x 1 , x 2 ∈ {0, . . . , a − 1} undsomity 1 < y 2 ⇒ ay 1 < ay 2⇒ a ≤ ay 2 − ay 1

28 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle⇒ x 1 − x 2 ≤ ay 2 − ay 1⇒ ay 1 + x 1 ≤ ay 2 + x 2 .” ⇐“ Im Fall ay 1 + x 1 = ay 2 + x 2 folgt wegen der Eindeutigkeit der Divisionmit Rest x 1 = x 2 und y 1 = y 2 . Es gilt also (x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 ). Falls andererseitsay 1 + x 1 < ay 2 + x 2 ist, so gilt entweder x 1 < x 2 und y 1 = y 2 oder y 1 < y 2 , also inbeiden Fällen per Definition (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ).Für x ∈ N n 0,a−1, y ∈ N n 0,b−1definieren wirDann gilt entsprechendx ◦ y def= ay πx + x = (ay πx(1) + x 1 , . . . , ay πx(n) + x n ). (2.1.14)y ◦ x = bx πy + y = (bx πy(1) + y 1 , . . . , bx πy(n) + y n ).Den Nutzen dieser Definition, die in ähnlicher Weise in Abschnitt 7.2 in [16] zufinden ist, zeigt das folgende Lemma.2.1.9 Lemma. Seien a, b ∈ N ≥2 , x ∈ N n 0,a−1 und y ∈ N n 0,b−1 . Dann giltπ x − ◦ π y − = π (x,yπx ) − = π (x◦y) −, (2.1.15)wobei π (x,yπx ) −bestimmt ist.entsprechend (2.1.3) gemäß der in (2.1.12) definierten OrdnungBeweis. π x − ◦ π y − beschreibt einen inversen GSR-(a, n)-Shuffle gemäß π x − gefolgtvon einem inversen GSR-(b, n)-Shuffle gemäß π y −: Das heißt zunächst wird Kartei der Wert x i zugeordnet, i = 1, . . . , n. Dann werden alle Karten in die Reihenfolge(πx −(1), . . . , π x −(n) ) sortiert, das heißt alle Karten mit dem Wert 0 werden unterBeibehaltung ihrer Reihenfolge an den Anfang des Stapels gelegt, gefolgt von allenKarten mit dem Wert 1, bis hin zu allen Karten mit dem Wert a−1. Anschließendwird der Karte an Position π x −(i) der Wert y i zugeordnet, i = 1, . . . , n, und dieKarten in der bekannten Weise nach aufsteigenden Werten von 0 bis b − 1 in(y 1 , . . . , y n ) sortiert. Wir notieren dabei die Werte x 1 , . . . , x n und y 1 , . . . , y n auf deneinzelnen Karten (siehe (2.1.16)), indem wir zunächst auf die Karte an Position j

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 29den Wert x j schreiben und anschließend gemäß π x − mischen. Dann schreiben wirauf die Karte an Position j den Wert y j rechts von dem Wert x πx − (j), der nach demMischen gemäß π x − bereits auf dieser Karte steht. Anschließend mischen wir dieKarten gemäß π y −. Die Karte an Position j trägt also jeweils die folgenden Werte:x jπ x −−→ x πx −(j)y j−→ (xπx −(j), y j ) π y −−→ (x πx −◦π y −(j), y πy −(j)). (2.1.16)Wegen x πx −(1) ≤ . . . ≤ x πx −(n) gilty πy −(j) ≤ y πy −(j+1)=⇒ x πx −◦π y −(j) ≤ x πx −◦π y −(j+1).Daraus folgt, dass die Werte (x πx −◦π y −(1), y πy −(1)), . . . , (x πx −◦π y −(n), y πy −(n)) derKarten nach dem Mischen gemäß π x − ◦π y − lexikographisch nach der zweiten Komponentesortiert sind. Es gilt also(x πx −◦π y −(1), y πy −(1)) ≤ . . . ≤ (x πx −◦π y −(n), y πy −(n)).Notieren wir nun vor dem Mischen gemäß π x − ◦ π y −den Wert (x j , y (πx −) −1 (j)) aufKarte j, so trägt die Karte, die sich nach dem Mischen gemäß π x − ◦π y − an Positionj befindet, den Wert(x πx −◦π y −(j), y (πx −) −1 ◦π x −◦π y −(j)) = (x πx −◦π y −(j), y πy −(j)).Wir können also in einem einzelnen Mischvorgang alle Karten nach aufsteigendenWerten (x 1 , y (πx −) −1 (1) ), . . . , (x n, y (πx −) −1 (n)) sortieren und erhalten dieselbe Permutationwie beim sukzessiven Mischen nach π x − und π y −, das heißt es giltπ x − ◦ π y − = π (x,y(πx− )−1 ) = π (x,yπx ),wobei die letzte Gleichheit aus (π x −) −1 = π x folgt. Da die Rangfolge der Tupel(x 1 , y πx(1)), . . . , (x n , y πx(n)) und der Werte ay πx(1) + x 1 , . . . , ay πx(n) + x n jedoch nachLemma 2.1.8 identisch ist, giltund somit insgesamt (2.1.15).π (x,yπx ) = π (x◦y) −

30 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleFür den Beweis des nächsten Satzes benötigen wir noch ein weiteres technischesLemma, das zwei wichtige Aussagen über die in (2.1.14) definierten Verknüpfungenx ◦ y und y ◦ x, x ∈ N n 0,a−1, y ∈ N n 0,b−1 , beinhaltet.2.1.10 Lemma. Seien a, b ∈ N ≥2 , x, x ′ ∈ N n 0,a−1 und y, y ′ ∈ N n 0,b−1 . Dann geltendie folgenden Aussagen:(i) x ◦ y = x ′ ◦ y ′ ⇐⇒ x = x ′ , y = y ′ ⇐⇒ y ◦ x = y ′ ◦ x ′ ,(ii) N n 0,ab−1 = {y ◦ x | (x, y) ∈ Nn 0,a−1 × N n 0,b−1 }.Beweis. zu (i): Wir führen den Beweis der zweiten Äquivalenz, da wir diese im Beweisvon Satz 2.1.11 benutzen werden. Die erste Äquivalenz wird analog bewiesen.Aus y ◦ x = y ′ ◦ x ′ folgt zunächst für i = 1, . . . , nbx πy(i) + y i = bx ′ π y ′(i) + y ′ i.Wegen x i ∈ {0, . . . , a − 1} und y i ∈ {0, . . . , b − 1} für i = 1, . . . , n und a, b ≥ 2folgt dann aus der Eindeutigkeit der Division mit Restbx πy(i) = bx ′ π y ′(i) und y i = y ′ i (2.1.17)für i = 1, . . . , n. Damit ergibt sich y = y ′ und daraus unmittelbar π y = π y ′. Nach(2.1.17) erhalten wir dann bx = bx ′ . Insgesamt gilt also x = x ′ und y = y ′ . Dieumgekehrte Richtung ist wegen π y = π y ′trivial.zu (ii): ”⊂“ Sei z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ N n 0,ab−1 = {0, . . . , ab − 1}n beliebig. Wirdefinieren y = (y 1 , . . . , y n ) durchund x = (x 1 , . . . , x n ) durchy idef= z i (mod b), i = 1, . . . , n,defx πy(i)Dann gilt x ∈ N n 0,a−1, y ∈ N n 0,b−1 undy ◦ x = bx πy + y= z i − y i, i = 1, . . . , n.b= (bx πy(1) + y 1 , . . . , bx πy(n) + y n )

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 31(= b · z1 − y 1+ y 1 , . . . , b · zn − y nbb= (z 1 , . . . , z n ) = z.+ y n)Daraus folgt N n 0,ab−1 ⊂ {y ◦ x | (x, y) ∈ Nn 0,a−1 × N n 0,b−1 }.⊃“ Für die umgekehrte Inklusion notieren wir”0 ≤ bx πy(i) ≤ b(a − 1) und 0 ≤ y i ≤ b − 1für alle (x, y) ∈ N n 0,a−1 × N n 0,b−1N n 0,a−1 × N n 0,b−1 und i = 1, . . . , nund i = 1, . . . , n. Dann folgt für alle (x, y) ∈0 ≤ bx πy(i) + y i ≤ b(a − 1) + b − 1 = ab − 1.Es gilt also y ◦ x ∈ N n 0,ab−1 für alle (x, y) ∈ Nn 0,a−1 × N n 0,b−1 .Der folgende Satz zeigt, dass das sukzessive Mischen nach den MischmethodenQ a,n und Q b,n als einmaliges Mischen nach der Mischmethode Q ab,n interpretiertwerden kann. Diese einfache Beziehung erlaubt eine erhebliche Vereinfachung desRiffle Shuffles, denn sie ermöglicht es, dass eine beliebige Anzahl sukzessiver Mischvorgängemit beliebigen Päckchenanzahlen als einmaliger Mischvorgang aufgefasstwerden kann. Wir präzisieren diese Aussage im anschließenden Korollar.2.1.11 Satz. Seien a, b ∈ N ≥2 und n ∈ N. Ein GSR-(a, n)-Shuffle gefolgt voneinem GSR-(b, n)-Shuffle ist äquivalent zu einem GSR-(ab, n)-Shuffle, das heißtQ a,n ∗ Q b,n = Q ab,n .Beweis. Seien a, b ∈ N ≥2 und n ∈ N beliebig. Nach Bemerkung 1.1.2 und denvorangehenden Erläuterungen ist zu zeigen Q a,n ∗Q b,n = Q ab,n . Sei π ∈ S n beliebig.Dann gilt wegen Lemma 2.1.9 und Lemma 2.1.10 unter Verwendung des inversenModellsQ ab,n ({π}) = ∣ {z ∈ Nn0,ab−1 | π z − = π −1 } ∣ /(ab)n= ∣ {(x, y) ∈ Nn0,a−1 × N n 0,b−1 | π (y◦x) − = π −1 } ∣ /(ab)n= ∣ {x ∈ Nn0,a−1 , y ∈ N n 0,b−1 | π y − ◦ π x − = π −1 } ∣ /(ab)n

32 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle= ∣ ∣ ⋃{x ∈ N n 0,a−1, y ∈ N n 0,b−1 | π x − = σ −1 , π y − = π −1 σ} ∣ /(ab)nσ∈S n= ∑ ∣ {x ∈ N n 0,a−1 | π x − = σ −1 } ∣ ∣ {y ∈ Nn0,b−1 | π y − = π −1 σ} ∣ ·a n b nσ∈S n= ∑ σ∈S nQ a,n ({σ})Q b,n ({(π −1 σ) −1 }) = ∑ σ∈S nQ a,n ({σ})Q b,n ({σ −1 π})= Q a,n ∗ Q b,n ({π}).Hierbei gehen in der zweiten Zeile entscheidend (i) und (ii) aus Lemma 2.1.10 ein.Es gilt also Q ab,n = Q a,n ∗ Q b,n .Aus Satz 2.1.11 ergibt sich direkt das folgende Korollar.2.1.12 Korollar. Seien m, n ∈ N, a 1 , . . . , a m ∈ N ≥2 , π ∈ S n und a def= ∏ mi=1 a i.Dann giltQ a1 ,n ∗ . . . ∗ Q am,n = Q aπ(1) ,n ∗ . . . ∗ Q aπ(m) ,n = Q a,n .2.2 Aufsteigende SequenzenIn diesem Abschnitt geben wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein GSR-(a, n)-Shufflein der Permutation π ∈ S n resultiert, explizit an. Dafür ist es notwendig, den Begriffder aufsteigenden Sequenz einzuführen. Unter Benutzung von Korollar 2.1.12ist es dadurch sogar möglich, die Verteilung Q ∗(m)a,n für alle m ≥ 1 zu bestimmen.Mit Blick auf (1.1.4) sind damit schon die m-Schritt Übergangswahrscheinlichkeitendes Q a,n -Random Walks auf S n gegeben.2.2.1 Definition. Sei π ∈ S n . Eine aufsteigende Sequenz oder kurz Sequenz vonπ ist eine Kette ( (i 1 , π(i 1 )), . . . , (i k , π(i k )) ) , so dass gilt(i) i 1 , . . . , i k ∈ N ≤n , i 1 < . . . < i k ,(ii) π(i j ) + 1 = π(i j+1 ) für j = 1, . . . , k − 1,(iii) π(l) ≠ π(i 1 ) − 1 für l = 1, . . . , i 1 − 1 und π(l) ≠ π(i k ) + 1 für l = i k + 1, . . . , n.

2.2 Aufsteigende Sequenzen 33Eine aufsteigende Sequenz von π ∈ S n kann somit auch als maximal aufsteigendeTeilkette von π bezeichet werden. Jede Permutation π zerfällt vollständig inaufsteigende Sequenzen und ist durch Angabe aller ihrer aufsteigenden Sequenzeneindeutig festgelegt. Wir sagen, die Sequenz ( (i k+1 , π(i k+1 )), . . . , (i l , π(i l )) ) folgtauf die Sequenz ( (i 1 , π(i 1 )), . . . , (i k , π(i k )) ) , falls π(i k )+1 = π(i k+1 ) gilt. Aufgrundvon Definition 2.2.1 gilt dann notwendigerweise i k+1 > i k , das heißt die beidenSequenzen lassen sich nicht zu einer einzelnen Sequenz vereinen.Aufsteigende Sequenzen sind eng mit den Sprungstellen einer Permutation verbunden.2.2.2 Definition. Sei π ∈ S n und i ∈ {1, . . . , n − 1}. Die Permutation π hat eineSprungstelle oder einen Descent in i, falls π(i) > π(i + 1).Sei R n,kdef= {π ∈ S n | π hat k aufsteigende Sequenzen}, k = 1, . . . , n, undD n,kdef= {π ∈ S n |π hat k Descente }, k = 1, . . . , n−1. Wir definieren die FunktionenR n , D n : S n −→ N ≤n für π ∈ S n durchR n (π) = r ⇐⇒ π ∈ R n,r undD n (π) = r ⇐⇒ π ∈ D n,r .Wir setzen von nun an R = R n und D = D n . Aufgrund von Definition 2.2.1und 2.2.2 gilt R(S n ) = {1, . . . , n}, D(S n ) = {1, . . . , n − 1} und für π ∈ S nD(π) = |{i ≤ n − 1 | π(i) > π(i + 1)}|.2.2.3 Beispiel. Für die Permutation π = [4, 1, 2, 5, 7, 3, 6, 8] ∈ S 8 gilt R(π) = 3,denn π hat die drei aufeinanderfolgenden aufsteigenden Sequenzen((2, 1), (3, 2), (6, 3)),((1, 4), (4, 5)), (7, 6))und((5, 7), (8, 8)).Für die Inverse π −1 = [2, 3, 6, 1, 4, 7, 5, 8] gilt D(π) = 2. Sie hat Descente in 3 und6.Aufschluss über den Zusammenhang zwischen aufsteigenden Sequenzen undDescenten gibt das folgende Lemma.

34 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle2.2.4 Lemma. Sei π ∈ S n und r ∈ N ≤n . π besitzt genau dann r aufsteigendeSequenzen, wenn π −1 r − 1 Descente hat, das heißtR(π) = r ⇐⇒ D(π −1 ) = r − 1.Beweis. Für r = 1 folgt die Behauptung direkt ausR(π) = 1 ⇐⇒ π = id ⇐⇒ D(π) = 0.Sei also r ≥ 2.” ⇒“ Wir wählen k 0, . . . , k r ∈ N mit0 = k 0 < k 1 < . . . < k r−1 < k r = nund paarweise verschiedene i 1 , . . . , i n ∈ N ≤n , so dass die r aufsteigenden Sequenzenvon π gegeben sind durch((i1 , 1)), . . . , (i k1 , k 1 ) ) , ( (i k1 +1, k 1 + 1)), . . . , (i k2 , k 2 ) ) , . . . ,((ikr−1 +1, k r−1 + 1)), . . . , (i n , n) ) .Dann gilt π(i j ) = j und π −1 (j) = i j für j = 1, . . . , n. Die Anzahl der Descente vonπ −1 ist gegeben durchD(π −1 ) = |{j ≤ n − 1 | π −1 (j) > π −1 (j + 1)}|= |{j ≤ n − 1 | i j > i j+1 }|.Aufgrund der Definition der aufsteigenden Sequenz gilt i j < i j+1 für j = k l +1, . . . , k l+1 , l = 0, . . . , r − 1 undi j > i j+1 für j = k l und l = 1, . . . , r − 1.Daraus folgt unmittelbar D(π −1 ) = r − 1.” ⇐“ Seien k 1, . . . , k r−1 ∈ N mit0 def= k 0 < k 1 < . . . < k r−1 < k rdef= n

2.2 Aufsteigende Sequenzen 35die Sprungstellen von π −1 und i 1 , . . . , i n ∈ N ≤n , so dass π −1 (j) = i j für j =1, . . . , n. Dann giltπ −1 (k l ) > π −1 (k l + 1) für l = 1, . . . , r − 1 undπ −1 (k l + 1) < . . . < π −1 (k l+1 ) für l = 0, . . . , r − 1.Daraus folgt wegen π −1 (j) = i j , j = 1, . . . , n,i k1 > i k1 +1, i k2 > i k2 +1 . . . , i kr−1 > i kr−1 +1 undi 1 < . . . < i k1 , i k1 +1 < . . . < i k2 , . . . ,i kr−1 +1 < . . . < i n .Wegen π(i j ) = j für j = 1, . . . , n sind die aufsteigenden Sequenzen von π danngegeben durch((i1 , 1)), . . . , (i k1 , k 1 ) ) , ( (i k1 +1, k 1 + 1)), . . . , (i k2 , k 2 ) ) , . . . ,((ikr−1 +1, k r−1 + 1)), . . . , (i n , n) ) .Also ist R(π) = r.Bei einem GSR-(a, n)-Shuffle eines ungemischten Kartenstapels helfen uns dieaufsteigenden Sequenzen, die ursprünglichen Päckchen wiederzuentdecken: Sie sindnach dem Ineinanderblättern als aufsteigende Sequenzen zu erkennen (siehe Beispiel2.1.1). Dies wird im Beweis des folgenden Theorems (siehe Theorem 3, Abschnitt3 in [6]) deutlich. Wie eingangs dieses Abschnitts beschrieben, erweist essich als Schlüssel zur Bestimmung der Verteilung Q ∗(m)a,n und somit zur Berechnungder Totalvariation ‖Q ∗(m)a,n − U Sn ‖ für m ≥ 1.2.2.5 Theorem. Sei n ∈ N, a ∈ N ≥2 und π ∈ S n . Die Wahrscheinlichkeit, dassein GSR-(a, n)-Shuffle in der Permutation π resultiert, ist gegeben durch)wobei ( )m def= 0 für m < n.nQ a,n ({π}) =( n+a−R(π)na n , (2.2.1)Beweis. Seien n ∈ N, π ∈ S n beliebig und R(π) = r. Ausgehend vom Maximum-Entropie- bzw. inversen Modell ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt durch

36 Kapitel 2 Der Riffle Shuffledie Anzahl aller möglichen Arten, einen ungemischten Stapel in a PäckchenA 1 ,. . . ,A a zu unterteilen, so dass π ein möglicher Mischvorgang ist. Dies gilt, dadie Reihenfolge, in der die Karten ineinandergeblättert werden, bereits eindeutigdurch π festgelegt ist. Wir wählen k 0 , . . . , k r ∈ N mit0 = k 0 < k 1 < . . . < k r−1 < k r = n,so dass die r aufsteigenden Sequenzen von π gegeben sind durch((i1 , 1)), . . . , (i k1 , k 1 ) ) , ( (i k1 +1, k 1 + 1)), . . . , (i k2 , k 2 ) ) , . . . ,((ikr−1 +1, k r−1 + 1)), . . . , (i n , n) ) .Sei nun A 1 , . . . , A a eine Päckchenfolge, so dass π ein möglicher Mischvorgang ist.Da sich die Karten in den einzelnen Päckchen vor und nach dem Ineinanderblätternin derselben Reihenfolge befinden, besteht jede Sequenz in π aus aufeinanderfolgendenPäckchen A k , . . . , A k+l mit geeignetem k ∈ N ≤a und l ∈ {0, . . . , a−1}. Die VereinigungA k ∪ . . . ∪ A k+l von aufeinanderfolgenden Päckchen A k , . . . , A k+l bezeichnenwir als Paket. Zwei aufeinanderfolgende Sequenzen ( (i kj−1 , k j−1 ) ) , . . . , (i kj , k j ) )und ( (i kj +1, k j + 1)), . . . , (i kj+1 , k j+1 ) ) müssen in verschiedenen Paketen aufeinanderfolgenderPäckchen liegen, da es sonst nicht möglich ist, die Karte k j + 1 vorder Karte k j einzusortieren. Hieraus folgt unmittelbar Q a,n ({π}) = 0 für r > a∧n.Sei also im Folgenden r ≤ a ∧ n. Dann existieren j 1 , . . . , j r1 ≤ j 1 < . . . < j r−1 < j r = a und∈ {1, . . . , a}, mitA 1 ∪ . . . ∪ A j1 = {1, . . . , k 1 }, A j1 +1 ∪ . . . ∪ A j2 = {k 1+1 , . . . , k 2 }, . . . ,A jr−1 +1 ∪ . . . ∪ A a = {k r−1 + 1, . . . , n}. (2.2.2)Wir zählen nun alle Möglichkeiten ab, einen ungemischten Stapel in a PäckchenA ′ 1, . . . , A ′ a zu unterteilen, so dass π ein möglicher Mischvorgang ist. Wir zeigenunsere Behauptung auf zwei verschiedene Arten, indem wir zwei unterschiedlichekombinatorische Abzählargumente verwenden.1. Abzählargument (Kombination ohne Wiederholung): Wir codieren zunächstjede Päckchenfolge A ′ 1, . . . , A ′ a eineindeutig durch ein (n + a − 1)-Tupel bestehendaus n Sternchen ∗“ und a − 1 Trennstrichen |“. Enthalten die Päckchen” ”

2.2 Aufsteigende Sequenzen 37A ′ 1, . . . , A ′ a l 1 , . . . , l a Karten, (l 1 , . . . , l a ) ∈ ∑ an , so besetzen wir den l 1, . . . , l a entsprechendviele Positionen mit Sternchen und trennen die so entstandenen a Blöckedurch a − 1 Trennstriche:A ′ 1, . . . , A ′ a ↔ (∗, . . . , ∗ | ∗, . . . , ∗ | . . . | ∗, . . . , ∗). (2.2.3)} {{ } } {{ } } {{ }l 1 -mal l 2 -mall a-malUm nun alle Möglichkeiten abzuzählen, einen ungemischten Stapel so in a PäckchenA ′ 1, . . . , A ′ a zu unterteilen, dass π ein möglicher Mischvorgang ist, genügt es schon,alle Möglichkeiten zu bestimmen, die a−1 Trennstriche auf n+a−1 Positionen zuverteilen, so dass die gemäß (2.2.3) bestimmte Päckchenfolge zum Mischvorgangπ gehört. Die n Sternchen nehmen dann gerade die verbleibenden Positionen ein.Die Reihenfolge, in der die einzelnen Karten ineinandergeblättert werden, ist durchπ eindeutig festgelegt ist. Daher führt eine Päckchenfolge A ′ 1, . . . , A ′ a genau dannzum Mischvorgang π, wenn sie von der Form (2.2.2) ist. Dann sind aber r − 1Pakete bereits durch π festgelegt, das heißt die Positionen der r − 1 Trennstrichezwischen diesen Paketen sind vorgegeben: Vor dem ersten Trennstrich müssen sichk 1 Sternchen befinden, vor dem zweiten Trennstrich k 2 Sternchen usw. Es bleibenalso noch (a − 1) − (r − 1) = a − r Trennstriche, die beliebig auf die n + a − 1Positionen verteilt werden können. Hierbei ist zu beachten, dass tatsächlich jededer n + a − 1 Positionen von den a − r Trennstrichen eingenommen werden kann,da die Positionen der übrigen r −1 Trennstriche zwar festgelegt sind, aber von denvorher schon vergebenen Positionen abhängen: Werden zunächst a−r Trennstricheverteilt, so erhalten wir ein (n + a − 1)-Tupel, bestehend aus a − r Trennstrichenund (n + a − 1) − (a − r) = n + r − 1 Leerstellen ⊔“, der Form”(⊔, . . . , ⊔ | ⊔, . . . , ⊔ | . . . | ⊔, . . . , ⊔),} {{ } } {{ } } {{ }m 1 -mal m 2 -malm a-malmit geeigneten m 1 , . . . , m a ∈ ∑ an. Die n Sternchen und die übrigen r − 1 Trennstrichemüssen dann so auf die Leerstellen-Positionen verteilt werden, dass sich vordem ersten der r − 1 Trennstriche k 1 Sternchen befinden, vor dem zweiten Trennstrichk 2 Sternchen usw. Wir kennzeichnen die r − 1 festgelegten Trennstriche

38 Kapitel 2 Der Riffle Shuffledurch ”↓“:(∗, . . . , ∗| . . . |∗, . . . , ∗} {{ }k 1 -mal ”∗“↓ ∗, . . . , ∗| . . . , |∗, . . . , ∗ ↓ . . . ↓ ∗, . . . , ∗| . . . |∗, . . . , ∗).} {{ }k 2 -mal ”∗“.} {{ }k r-mal ∗“ ”Es gibt ( ) (n+a−ra−r = n+a−r)n Möglichkeiten die a − r Trennstriche auf n + a − rPositionen zu verteilen und somit ( )n+a−rn Möglichkeiten den Kartenstapel so in aPäckchen zu teilen, dass π ein möglicher Mischvorgang ist. Somit gilt alsoQ a,n ({π}) =( n+a−rn)a n ,da es insgesamt a n mögliche GSR-(a, n)-Shuffle gibt.2. Abzählargument (Kombination mit Wiederholung): Die n Karten seien nachaufsteigenden Werten von links nach rechts vor uns ausgelegt. Zwischen zwei Karten,sowie vor der ersten und nach der letzten Karte sei jeweils ein Fach aufgestellt(siehe Abbildung 2.4). Insgesamt benötigen wir hierzu n + 1 Fächer.✞1♣✝☎✆✞2♣✝☎✆✞3♣✝☎✆. . .✞n♣✝☎✆Abbildung 2.4: Fächerverteilung: n + 1 Fächer zwischen n Karten.Wir können nun jede Päckchenfolge A ′ 1, . . . , A ′ a eineindeutig durch a − 1 ununterscheidbareKugeln, die wir auf die n+1 Fächer verteilen, identifizieren: Beginntbei Karte j ein Päckchen, so legen wir eine Kugel in das Fach links von Kartej. Bleibt ein Päckchen leer, so legen wir eine Kugel in das Fach links von derKarte, bei der das nächste nichtleere Päckchen beginnt. Ist das letzte Päckchenoder sind mehrere der letzten Päckchen leer, so legen wir eine oder der Anzahlder leeren letzten Päckchen entsprechend viele Kugeln in das letzte Fach. Dabeibenötigen wir nur a − 1 und nicht etwa a Kugeln, da bei Karte 1 immer mindestensein Päckchen beginnt. Enthalten die Päckchen also A ′ 1, . . . , A ′ a l 1 , . . . , l a

2.2 Aufsteigende Sequenzen 39Karten, (l 1 , . . . , l a ) ∈ ∑ an, das heißtA ′ 1 = {1, . . . , l 1 }, A ′ 2 = {l 1 + 1, . . . , l 1 + l 2 }, . . . , A ′ a = {l 1 + . . . + l a−1 + 1, . . . , n},so verteilen wir die Kugeln den Werten l 1 , . . . , l a entsprechend auf die Fächer: Dieerste Kugel legen wir in das Fach links von Karte l 1 + 1, die zweite Kugel indas Fach links von Karte l 1 + l 2 + 1 usw., bis hin zur (a − 1).-Kugel, die wir indas Fach links von Karte l 1 + . . . + l a−1 + 1 legen, bzw in das letzte Fach, fallsl 1 +. . .+l a−1 +1 = n+1. Hierbei ist zu beachten, dass für den Fall l 1 = 0 das erstePäckchen leer bleibt, das heißt A ′ 1 = ∅, und die erste der a − 1 Kugeln in das Fachlinks von Karte 1 gelegt wird. Ebenso können für den Fall, dass nicht sämtlichl 1 , . . . , l a von Null verschieden sind, mehrere Kugeln in einem Fach liegen (sieheAbbildung 2.5: Das erste und dritte Päckchen A 1 und A 3 sind leer, das zweitePäckchen A 2 besteht aus den Karten 1, 2, 3).✞1•♣✝☎✆✞2♣✝☎✆✞ ☎ ✞3♣ •• 4♣✝ ✆ ✝☎✆. . .✞n♣✝☎✆Abbildung 2.5: Beispiel für eine Kugelverteilung.Eine Päckchenfolge A ′ 1, . . . , A ′ a führt genau dann zum Mischvorgang π, wennsie von der Form (2.2.2) ist, das heißtA ′ 1 ∪ . . . ∪ A ′ j 1= {1, . . . , k 1 }, A ′ j 1 +1 ∪ . . . ∪ A ′ j 2= {k 1+1 , . . . , k 2 }, . . . ,A ′ j r−1 +1 ∪ . . . ∪ A ′ a = {k r−1 + 1, . . . , n},wobei 0 < k 1 < . . . < k r−1 < n und 1 ≤ j 1 < . . . < j r−1 < j r = a. Dann sind r − 1Pakete bereits durch π festgelegt, das heißt die Fachbelegung von r −1 Kugeln, dieden Beginn der einzelnen Pakete festlegen, sind vorgegeben: Die erste Kugel liegtin dem Fach links von Karte k 1 + 1, die zweite Kugel liegt in dem Fach links vonKarte k 2 +1 usw. und die letzte Kugel im Fach links von Karte k r−1 +1. Es bleibenalso noch (a − 1) − (r − 1) = a − r Kugeln, die beliebig auf die n + 1 Fächer verteiltwerden können, dabei können mehrere Kugeln in dasselbe Fach gelegt werden, daauch leere Päckchen zugelassen sind. Es gibt insgesamt ( ) ((n+1)+a−r−1(n+1)−1 = n+a−r)n

40 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleMöglichkeiten die a − r ununterscheidbaren Kugeln auf n + 1 Fächer zu verteilenund somit ( )n+a−rn Möglichkeiten den Kartenstapel so in a Päckchen zu teilen, dassπ ein möglicher Mischvorgang ist. Insgesamt zeigt dies wiederum)( n+a−rnQ a,n ({π}) = ,a nda es insgesamt a n mögliche GSR-(a, n)-Shuffle gibt.Für a ∈ N ≥2 ist der Träger von Q a,n nach Theorem 2.2.5 gegeben durchsupp(Q a,n ) = { π ∈ S n | R(π) ∈ {1, . . . , a ∧ n} } . (2.2.4)Ferner ergibt sich zusammen mit Korollar 2.1.12 die folgende Verallgemeinerungvon Theorem 2.2.5, in der die Verteilung Q ∗(m)a,n explizit angegeben ist.2.2.6 Korollar. (i) Seien m, n ∈ N, a 1 , . . . , a m ∈ N ≥2 , a def= ∏ mi=1 a i und π ∈S n . Dann gilt( n+a−R(π))nQ a1 ,n ∗ . . . ∗ Q am,n({π}) =a n . (2.2.5)(ii) Seien m, n ∈ N, a ∈ N ≥2 und π ∈ S n . Dann giltQ ∗(m)a,n ({π}) =( n+a m −R(π)n)a mn . (2.2.6)Aus Korollar 2.2.6 (2.2.6) und Lemma 1.1.4 erhalten als weitere triviale Folgerungdas folgende Korollar.2.2.7 Korollar. Seien m, n ∈ N und a ∈ N ≥2 . Eine Permutation π ist ein möglichesErgebnis von m sukzessiven GSR-(a, n)-Mischvorgängen genau dann, wennR(π) ∈ {1, . . . , a m ∧ n}, das heißtsupp(Q ∗(m)a,n ) = { π ∈ S n | R(π) ∈ {1, . . . , a m ∧ n} } = (supp(Q a,n )) ◦(m) .Für a ∈ N ≥2 ist die Funktion r ↦→ ( )n+a−rn /a n auf {1, . . . , a∧n} streng monotonfallend. Wegen R(id) = 1 ist daher Q a,n ({id}) > Q a,n ({π}) für alle π ∈ S n \{id}.Gegeben einen Q a,n -Random Walk X = (X m ) m≥0 auf S n , ist demnach in jedemMischvorgang das Mischen gemäß der Identität id wahrscheinlicher als das Mischennach jeder anderen Permutation. Allerdings führt wiederholtes Mischen nach demGSR-(a, n)-Shuffle tatsächlich dazu, dass ein Kartenstapel ”gut durchgemischt“wird:

2.2 Aufsteigende Sequenzen 412.2.8 Satz. Seien n ∈ N und a ∈ N ≥2 fest und (X m ) m≥0 ein Q a,n -Random Walkauf S n . Dann konvergieren die Verteilungen von X m in Totalvariation gegen dieGleichverteilung U Snauf S n , das heißtlim ‖P Xm − U Sn ‖ = limm→∞ m→∞ ‖Q∗(m) a,n − U Sn ‖ = 0.Beweis. X = (X m ) m≥0 ist eine endliche Markov-Kette. Nach dem Ergodensatzreicht es daher zu zeigen, dass X (a) irreduzibel und (b) aperiodisch ist. Da fürn = 1 nichts zu zeigen ist, sei n ≥ 2 und a ≥ 2.zu (a): Jede Transposition [i, i+1] Z ∈ S n mit i ≤ n−1 zerfällt in zwei Sequenzen((1, 1), . . . , (i − 1, i − 1), (i + 1, i))und((i, i + 1), (i + 2, i + 2), . . . , (n, n)),was [i, i + 1] Z ∈ supp(Q a,n ) vermöge Korollar 2.2.7 impliziert.Sei [i, j] Z eine Transposition mit |i − j| > 1. Wegen [i, j] Z = [j, i] Z können wiri < j annehmen. Dann hat [i, j] Z die drei aufeinanderfolgenden Sequenzen( ) ( )(1, 1), . . . , (i − 1, i − 1), (j, i) , (i + 1, i + 1), . . . , (j − 1, j − 1) und( )(i, j), (j + 1, j + 1), . . . , (n, n) .Definieren wir nun zwei Permutationen π 1 , π 2 ∈ S n durch()def 1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · nπ 2 =und1 · · · i − 1 i i + 2 · · · j i + 1 j + 1 · · · n()def 1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · nπ 1 =,1 · · · i − 1 j i · · · j − 2 j − 1 j + 1 · · · nso gilt()1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · nπ 1 ◦ π 2 == [i, j] Z1 · · · i − 1 j i + 1 · · · j − 1 i j + 1 · · · nund R(π 1 ) = R(π 2 ) = 2. Also folgt wiederum mit Korollar 2.2.7[i, j] Z ∈ (supp(Q a,n )) ◦(2) = {π ◦ σ | π, σ ∈ supp(Q a,n )}.Insgesamt gilt dann T n ⊂ (supp(Q a,n )) ◦(2) und somit wegen (1.2.1)〈supp(Q a,n )〉 = S n . Also ist X nach Satz 1.1.3 (a) irreduzibel.

42 Kapitel 2 Der Riffle Shufflezu (b): Wegen R(id) = 1 folgt aus Korollar 2.2.7 id ∈ supp(Q a,n ) und daherp (m)π,π = p (m)π −1 π = p(m) id= Q ∗(m)a,n ({id}) > 0für alle π ∈ S n und für alle m ∈ N. Damit ist X aperiodisch.Wir können die Aperiodizität von X auch auf andere Weise mit Hilfe von Satz1.1.3 (b) und der Ergebnisse aus Abschnitt 1.2 zeigen: Wir zeigen supp(Q a,n )⊂/ πNfür alle π ∈ S n und alle nicht-trivialen Normalteiler von S n . Mit Blick auf die Listeder Normalteiler von S n in Abschnitt 1.2 ist für n = 2 nichts zu zeigen. Für n = 3und n ≥ 5 ist A n der einzige nicht-triviale Normalteiler von S n . Es existierenσ 1 , σ 2 ∈ supp(Q a,n ) mit sgn(σ 1 ) = 1 und sgn(σ 2 ) = −1, etwa σ 1 = id und σ 2 =[1, 2] Z . Wegen sgn(ρ) = 1 für alle ρ ∈ A n und da sgn ein Gruppenhomomorphismusist, gilt jedoch für jedes π ∈ S n entweder sgn(σ) = 1 für alle σ ∈ πA n , fallssgn(π) = 1, oder sgn(σ) = −1 für alle σ ∈ πA n , falls sgn(π) = −1. Daraus folgtsupp(Q a,n )⊂/ πA n für n = 3 und n ≥ 5. Für n = 4 gilt ebenfalls sgn(σ) = 1 füralle σ ∈ V 4 bzw. A 4 . Insgesamt gilt also supp(Q a,n )⊂/ πN für alle π ∈ S n undalle nicht-trivialen Normalteiler von S n . Da X nach (a) irreduzibel ist, folgt dieAperiodizität von X also aus Satz 1.1.3 (b).2.3 Eulersche Zahlen und aufsteigende SequenzenIm vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die aufsteigenden Sequenzen derSchlüssel zur Angabe der Wahrscheinlichkeiten Q ∗(m)a,n ({π}) für π ∈ S n und m ≥ 1sind. Aufsteigende Sequenzen sind eng mit den Eulerschen Zahlen verbunden. DieseVerbindung werden wir im Folgenden aufzeigen und für verschiedene Resultatenutzen.Sei n ∈ N. Für r = 1, . . . , n bezeichnen wir die Anzahl aller Permutationen in S nmit r aufsteigenden Sequenzen mit A n,r , also A n,r = |R n,r |. Wir setzen A n,x = 0 fürx ≠ 1, . . . , n. Gegeben sei im Folgenden ein Q a,n -Random Walk X = (X m ) m≥0 . Diestochastische Folge R(X) = (R(X m )) m≥0 gibt dann die Anzahlen der Sequenzender Markov-Kette X an. Mit Korollar 2.2.6 erhalten wir die Verteilung von R(X m ),

2.3 Eulersche Zahlen und aufsteigende Sequenzen 43m ≥ 0. Für m ≥ 0 und r = 1, . . . , n giltP (R(X m ) = r) = P Xm ({π ∈ S n | R(π) = r})= Q ∗(m)a,n (R n,r ) (2.3.1)= A ( )n,r n + a m − r.a mn nSummieren wir (2.3.1) über r = 1, . . . , n, so erhalten wir mit m = 1 für allen, a ∈ Na n =n∑r=1( ) a + n − rA n,r . (2.3.2)nGleichung (2.3.2) ist die sogenannte Worpitzky-Identität. Nach [26] entsprechen dieA n,r dann gerade den Eulerschen Zahlen. Verschiedene Eigenschaften der EulerschenZahlen und Aussagen über ihre Verbindungen zur Wahrscheinlichkeitstheorieund Kombinatorik finden sich ferner in [7], [8], [19], [22] und [23]. Für r = 1, . . . , nerhalten wir aus der Definition der Eulerschen Zahlen die RekursionA n,r = rA n−1,r + (n + 1 − r)A n−1,r−1 ,wobei A 0,0def= 1, A n,0def= 0 und A n−1,ndef= 0.Wegen R n,1 = {id}, R n,n = {[n, n − 1, . . . , 1]} und |S n | = n! folgt unmittelbarA n,1 = A n,n = 1 undn∑A n,r = n!.r=1Aus [26] erhalten wir ferner für r = 1, . . . , n die Symmetrie-EigenschaftA n,r = A n,n−r+1 ,sowie die geschlossene Form der Eulerschen Zahlen∑r−1( ) n + 1A n,r = (−1) i (r − i) n . (2.3.3)ii=0In Tabelle 2.1 sind die Werte der Eulerschen Zahlen für 1 ≤ r ≤ n ≤ 8 aufgelistet.Die Eulerschen Zahlen besitzen neben der Verbindung zur Kombinatorik eineweitere wichtige wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation:

44 Kapitel 2 Der Riffle Shuffler=1 2 3 4 5 6 7 8n=1 12 1 13 1 4 14 1 11 11 15 1 26 66 26 16 1 57 302 302 57 17 1 120 1191 2416 1191 120 18 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1Tabelle 2.1: Eulersche Zahlen A n,r für 1 ≤ r ≤ n ≤ 8.2.3.1 Satz. Gegeben seien stochastisch unabhängige und identisch R(0, 1)-verteilteZufallsgrößen X 1 , . . . , X n . Dann entspricht1n! A n,k für k = 1, . . . , n der Wahrscheinlichkeit,dass die Summe von X 1 , . . . , X n im Intervall (k − 1, k] liegt, dasheißtwobei S ndef= ∑ ni=1 X i.P (S n ∈ (k − 1, k]) = 1 n! A n,k, (2.3.4)Beweis. Den folgenden kurzen Beweis entnehmen wir [23]. Sei F n die Verteilungsfunktionvon S n . Dann gilt nach Theorem 1 in Abschnitt I.9 aus [11] für alle x ≥ 0F n (x) = 1 n!⌊x⌋∧n∑( ) n(−1) i (x − i) n ,ii=0wobei ⌊x⌋ die untere Gauss-Klammer von x sei. Sei nun 1 ≤ k ≤ n. Dann folgtaus obiger Gleichung unter Beachtung von ( ) (n+1i = n(i)+ni−1)für i = 1, . . . , n und)= 0 zusammen mit (2.3.3)( n−1F n (k) − F n (k − 1) = 1 n!= 1 n!k∑( ) n(−1) i (k − i) n − 1 ∑k−1in!i=0k∑( ) n(−1) i (k − i) n − 1 in!i=0i=0k∑i=1(−1) i ( ni)((k − 1) − i) n( ) n(−1) i−1 (k − i) ni − 1

2.3 Eulersche Zahlen und aufsteigende Sequenzen 45= 1 k∑( ) n(−1) i (k − i) n + 1 k∑( ) n(−1) i (k − i) nn! in! i − 1i=0i=0= 1 k∑( ) n + 1(−1) i (k − i) nn!ii=0= 1 ∑k−1( ) n + 1(−1) i (k − i) n (2.3.5)n!ii=0= 1 n! A n,k.Ist M eine Markov-Kette und ϕ eine auf dem Zustandsraum von M definierteFunktion, so überträgt sich die Markov-Eigenschaft von M im Allgemeinen nichtauf ϕ(M). In Satz 2.3.3 zeigen wir, dass die stochastische Folge (R(X m )) m≥0 , alsodie Folge der Sequenzanzahlen der Markov-Kette (X m ) m≥0 , jedoch wiederum eineMarkov-Kette bildet. Wir benötigen hierzu zunächst ein hinreichendes Kriteriumaus [18], das Voraussetzungen nennt, unter denen eine Funktion angewandt aufeinen Markov-Prozess (in stetiger Zeit) wiederum einen Markov-Prozess bildet.Seien S und S ′ endliche Mengen und (P t ) t∈[0,∞) eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßenauf (S, P(S)), ϕ : (S, P(S)) −→ (S ′ , P(S ′ )) und B(S ′ ) die Mengealler reellen Funktionen auf S ′ . ϕ heißt vollständig für die Familie (P t ) t∈[0,∞) , fallsfür f ∈ B(S ′ ) gilt∫S ′f(s ′ )P ϕt (ds ′ ) = 0 für alle t ∈ [0, ∞) =⇒ f = 0.2.3.2 Lemma. Seien S, S ′ wie oben, ϕ : (S, P(S)) −→ (S ′ , P(S ′ )) und (M t ) t∈[0,∞)ein Markov-Prozess in stetiger Zeit mit Zustandsraum S und Anfangsverteilung λauf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Es gelte ferner:(i) Für alle t ∈ [0, ∞) und y ∈ S ′ ist die regulär bedingte Verteilung von M tgegeben ϕ(M t ) = y unabhängig von t.(ii) ϕ ist vollständig für (P Mt ) t∈[0,∞) .Dann ist (ϕ(M t )) t∈[0,∞) ein Markov-Prozess mit Anfangsverteilung P ϕ(M 0) .

46 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleUm Lemma 2.3.2 auf unsere Situation eines Q a,n -Random Walks X mit Folgeder Sequenzanzahlen R(X) anwenden zu können, betten wir die stochastische FolgeR(X) = (R(X m )) m≥0 in einen stochastischen Prozess (R(M t )) t∈[0,∞) in stetiger Zeitein. Dazu sei (N t ) t∈[0,∞) ein von (X m ) m≥0 stochastisch unabhängiger und zeitlichhomogener Poisson-Prozess. Für t > 0 ist N t dann eine mit dem Parameter tPoisson-verteilte Zufallsgröße, das heißt für m ∈ N 0 giltP (N t = m) = P oi(t)({m}) = e −t tm m! . (2.3.6)Für t = 0 ist N 0 = δ 0 . Wir definieren den stochastischen Prozess M = (M t ) t∈[0,∞)durchM tdef= X Nt , t ∈ [0, ∞).Nach Abschnitt 1.3 in [21] ist M dann ein zeitlich homogener Markov-Prozess instetiger Zeit. Die zeitliche Homogenität von M folgt dabei aus der zeitlichen Homogenitätvon X. Zu einem Zeitparameter t ∈ [0, ∞) befindet sich der Prozess in demZustand, den die Markov-Kette X zum Zeitpunkt N t annimmt. Wir betrachtennun die zu M gehörige Folge der Sequenzanzahlen R(M) = (R(M t )) t∈[0,∞) . WegenR(S n ) = N ≤n ist der stochastische Prozess R(M) N ≤n -wertig. Für t ∈ [0, ∞) undr = 1, . . . , n gilt wegen der stochastischen Unabhängigkeit von (R(X m )) m≥0 und(N t ) t∈[0,∞) und (2.3.1)P (R(M t ) = r) = P (R(X Nt ) = r)( ⋃)= P {N t = m, R(X m ) = r}m≥0= ∑ m≥0P (N t = m)P (R(X m ) = r)= ∑ m≥0e −t tm m! P (R(X m) = r)∑( )= A n,r e −t tm m! · 1 n + a m − r. (2.3.7)a mn nm≥0Für t = 0 erhalten wir wegen N 0 = δ 0 , X 0 = id P -f.s. und R(id) = 1 speziellP (R(M 0 ) = r) = P (R(X 0 ) = r) = δ 1 ({r}). (2.3.8)

2.3 Eulersche Zahlen und aufsteigende Sequenzen 47Wir berechnen nun für t ∈ [0, ∞) und r = 1, . . . , n die regulär bedingte Verteilungvon M t gegeben R(M t ) = r. Sei π ∈ S n beliebig. Dann erhalten wir analogzur Rechnung in (2.3.7)P (M t = π, R(M t ) = r) = ∑ e −t tm m! P (X m = π, R(X m ) = r)m≥0Wegen δ r ({R(π)}) = δ Rn,r ({π}) gilt dann= ∑ m≥0e −t tm m! P (X m = π)P (R(π) = r)= δ r ({R(π)}) ∑ m≥0e −t tm m! ·P (M t = π, R(M t ) = r) = δ Rn,r ({π}) ∑ m≥0e −t tm m! ·( )1 n + a m − r.a mn n( )1 n + a m − r. (2.3.9)a mn nUnter Benutzung von (2.3.7) und (2.3.9) ergibt sichP (M t = π | R(M t ) = r) = 1A n,rδ Rn,r ({π}), (2.3.10)das heißt die regulär bedingte Verteilung von M t gegeben R(M t ) = r ist unabhängigvon t. Wir kommen nun zu dem bereits angekündigten Resultat.2.3.3 Satz. Sei n ∈ N, a ∈ N ≥2 und X = (X m ) m≥0 ein Q a,n -Random Walk. Dannist R(X) = (R(X m ) m≥0 ) eine zeitlich homogene Markov-Kette mit ZustandsraumN ≤n und Anfangsverteilung P R(X 0) = δ 1 .Beweis. Sei n ∈ N und a ∈ N ≥2 und M der oben zu X konstruierte Markov-Prozessin stetiger Zeit. Mit Lemma 2.3.2 zeigen wir, dass R(M) eine Markov-Kette mitAnfangsverteilung P R(M 0) ist. Nach (2.3.10) ist für t ∈ [0, ∞) und r = 1, . . . , n dieregulär bedingte Verteilung von M t gegeben R(M t ) = r unabhängig von t.Wir zeigen nun die Vollständigkeit von R für (P Mt ) t∈[0,∞) . Sei f ∈ B(N ≤n ) mit∫fdPR(M t) = 0 für alle t ∈ [0, ∞). Nach (2.3.7) gilt wegen der Beschränktheitvon f∫n∑ ∑( )fdP R(Mt) = e −t tm m! · An,r n + a m − rf(r)a mn nr=1 m≥0= e ∑ ( n∑ ( ) )−t t m A n,r n + a m − rf(r) = 0m! a mn nm≥0 r=1

48 Kapitel 2 Der Riffle Shufflefür alle t ∈ [0, ∞). Aus dem Identitätssatz für Potenzreihen folgt dann für allem ≥ 0n∑r=1( )A n,r n + a m − rf(r) = 0a mn nund somitn∑r=1( )n + a m − rA n,r f(r) = 0. (2.3.11)nWir definieren die Funktion g : R −→ R für x ∈ R durchg(x) def==n∑( ) n + x − rA n,r n!f(r)nr=1n∑A n,r ((x − r + 1) · . . . · (x − r + n)) f(r)r=1= A n,1 x(x + 1) · . . . · (x − 1 + n)f(1) (2.3.12)+ A n,2 (x − 1)x · . . . · (x − 2 + n)f(2).+ A n,n (x − n + 1) · . . . · (x − 1)xf(n),wobei die oben autretenden Binomialkoeffizienten an dieser Stelle für alle x ∈ Rdefiniert seien durch( xn)def=x(x − 1) · . . . · (x − n + 1).1 · 2 · . . . · nDann ist g ein relles Polynom vom Grad ≤ n. Nach (2.3.11) gilt g(a m ) = 0 für allem ≥ 0. Wegen a ≥ 2 hat g also unendlich viele Nullstellen und es folgt g = 0. Mitx = 1, . . . , n erhalten wir dann aus (2.3.12)f(1) = f(2) = . . . = f(n) = 0.Dies zeigt die Vollständigkeit von R für (P Mt ) t∈[0,∞) . Nach Lemma 2.3.2 ist R(M)also ein Markov-Prozess mit Anfangsverteilung P R(M 0) , wobei nach (2.3.8)P R(M 0) = δ 1 gilt. Da X zeitlich homogen ist, gilt dasselbe für M und somit für

2.4 Konvergenz gegen die Gleichverteilung: Der Cut-Off-Effekt 49R(M). Nach Kapitel 8 in [5] ist dann auch die in den Markov-Prozess R(M)” eingebettete“ stochastische Folge R(X) = (R(X m)) m≥0 eine zeitlich homogeneMarkov-Kette. R(X) hat so wie R(M) den Zustandsraum N ≤n und wegenP R(X 0) = P R(M 0) = δ 1 die Anfangsverteilung δ 1 .2.4 Konvergenz gegen die Gleichverteilung: DerCut-Off-EffektNach Satz 2.2.8 konvergiert ein Q a,n -Random Walk auf S n in Totalvariation gegendie Gleichverteilung U Sn . Wir untersuchen im Folgenden den GSR-(2, n)-Shuffleund leiten Aussagen über die Konvergenzrate her. In diesem Abschnitt sei a = 2,defQ n = Q 2,n und X = (X m ) m≥0 ein Q n -Random Walk.Die computergestützte Berechnung des Variationabstands ‖Q ∗(m)n− U Sn ‖, alsoder ”Entfernung“ eines m-mal nach dem GSR-(2, n)-Shuffle gemischten Kartenstapelsvon der Gleichverteilung, mit Hilfe der Formel‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ = 1 2∑ ∣ ∣∣Q ∗(m)n ({π}) − 1 ∣n!π∈S nist schon bei üblichen Kartenstapelgrößen auf Grund der Anzahl von n! zu berechnendenTermen nicht möglich. So sind beispielsweise für einen Skat-Kartenstapel32! Terme zu berechnen, für einen Blackjack-, Bridge- oder Schafkopf-Kartenstapel52! und Rommé-Spieler sehen sich der Anzahl von 104! Termen ausgeliefert.Mit Hilfe der aufsteigenden Sequenzen lässt sich der Rechenaufwand jedochdrastisch auf die Berechnung von n Termen reduzieren, denn für m ≥ 0 erhaltenwir mit Korollar 2.2.6 (ii)‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ = 1 ∑ ∣ ∣∣Q ∗(m)n ({π}) − 1 ∣2n!π∈S n= 1 ∑ ∣( )∣∣ n + 2 m − R(π) 12n 2 − 1 ∣mn n!π∈S n

50 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle= 1 2= 1 2n∑ ∑ ∣( )∣∣ n + 2 m − r 1n 2 − 1 ∣mn n!π∈R n,rn∑ ∣( )∣∣ n + 2 m − r 1A n,rn 2 − 1 ∣∣. (2.4.1)mn n!r=1r=1Dabei bezeichnen A n,1 , . . . , A n,n die Eulerschen Zahlen, die durchfür r = 1, . . . , n gegeben sind.∑r−1( ) n + 1A n,r = (−1) i (r − i) nii=0In Tabelle 2.2 ist der Variationsabstand von Q ∗(m)nund der GleichverteilungU Sn für die gebräuchlichen Kartenstapelgrößen n = 24, 32, 48, 52, 104 und m =1, . . . , 10 Mischvorgänge aufgelistet. Der Variationsabstand wurde mit Hilfe von(2.4.1) berechnet.m=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n=24 1.000 0.999 0.998 0.723 0.418 0.211 0.109 0.055 0.028 0.01432 1.000 1.000 0.999 0.929 0.597 0.322 0.164 0.084 0.042 0.02148 1.000 1.000 1.000 0.999 0.888 0.546 0.297 0.149 0.076 0.03852 1.000 1.000 1.000 0.999 0.924 0.614 0.334 0.167 0.085 0.043104 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.988 0.772 0.454 0.237 0.119Tabelle 2.2: ‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ für n = 24, 32, 48, 52, 104 und m = 1, . . . , 10.Für n = 52 ist der Variationsabstand von Q ∗(m)n und U Sn für m = 1, . . . , 20Mischvorgänge in Abbildung 2.6 in einem Graphen abgetragen. Es wird deutlich,dass der Variationsabstand bis zu einer Anzahl von m = 5 Mischvorgängennahe bei seinem maximalen Wert von 1 liegt. Innerhalb der nächsten vier Mischvorgängenähert er sich jedoch abrupt seinem Minimum von 0 an. Diese abrupteAnnäherung innerhalb eines relativ kurzen Zeitraums wird als Cut-Off-Effekt oderCut-Off-Phänomen bezeichnet. Ein Blick auf den aktuellen Stand der Forschung offenbart,dass es sich beim Cut-Off-Effekt tatsächlich um ein Phänomen handelt: Esist bislang nicht gelungen, anhand der Struktur des Zustandsraums und des Übergangskernseiner ergodischen Markov-Kette Bedingungen abzuleiten, unter denen

2.4 Konvergenz gegen die Gleichverteilung: Der Cut-Off-Effekt 51✻0.751 • • • •••0.50.25•••• • • • • • • • • • • ✲0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Abbildung 2.6: m ↦−→ ‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ für n = 52 und m = 1, . . . , 20.bei der Konvergenz gegen die stationäre Verteilung ein Cut-Off-Effekt auftritt.Vielmehr ist in jedem einzelnen Fall eine explizite Berechnung oder Approximationdes Variationsabstands nötig. Diaconis [10] äußert jedoch die Vermutung, dassdas Cut-Off-Phänomen vor allem bei reversiblen Markov-Ketten auftritt, bei denender zweitgrößte Eigenwert der zugehörigen Übergangsmatrix eine hohe Vielfachheitaufweist. Wilson [24] konnte im Jahre 2004 den Cut-Off-Effekt für zahlreicheMarkov-Ketten nachweisen, deren Zustandsraum als Lozenge interpretiert werdenkann. Eine Lozenge ist ein Rhombus mit 60 ◦ und 120 ◦ Winkeln und Kanten derLänge 1. Er verwendete die Fourier-Theorie und Kopplungsargumente, um obereund untere Schranken für die Totalvariation herzuleiten. Für einige Kartenmischmodelleund Markov-Ketten konnte so der Cut-Off-Effekt nachgewiesen werden.Wir geben nun eine präzisere Definition des Cut-Off-Effekts (siehe Abschnitt2.4.2 in [21]). Ist G eine endliche Gruppe, so sei U G wie im Vorangegangenendie Gleichverteilung auf G. Für n ≥ 1 sei G n eine endliche Gruppe. Wir bezeichneneine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen (P n ) n≥1 als ergodische Familieauf ((G n , P(G n ))) n≥1 , falls für alle n ≥ 1 P n ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf(G n , P(G n )) ist und der P n -Random Walk auf G n ergodisch, das heißt irreduzibelund aperiodisch mit stationärer Verteilung U Gn ist.2.4.1 Definition. Sei (G n ) n≥1 eine Familie endlicher Gruppen und (P n ) n≥1 eine

52 Kapitel 2 Der Riffle Shuffleergodische Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ((G n , P(G n ))) n≥1 . Die Familie(P n ) n≥1 besitzt einen Cut-Off-Effekt (in Totalvariation) mit Cut-Off-Zeiten(t n ) n≥1 , falls folgende Bedingungen erfüllt sind:(i) Es gilt t n ≥ 0 für alle n ≥ 1 und lim n→∞ t n = ∞.(ii) Für alle ε ∈ (0, 1) und m n = ⌊(1 + ε)t n ⌋ gilt lim n→∞ ‖P ∗(mn)n − U Gn ‖ = 0.(iii) Für alle ε ∈ (0, 1) und m n = ⌊(1 − ε)t n ⌋ gilt lim n→∞ ‖P ∗(mn)n − U Gn ‖ = 1.Besitzt eine Familie (P n ) n≥1 einen Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten (t n ) n≥1 , sobedeutet dies, dass die Funktion m ↦→ ‖Pn∗(m) −U Gn ‖ bis zu einem Zeitpunkt vor“ ”⌊t n ⌋ nah bei ihrem maximalen Wert von 1 bleibt. Nach dem Zeitpunkt ⌊t n ⌋ fälltsie rasch auf einen Wert nahe 0. Dieser ”Phasen-Übergang“ vollzieht sich dabeiinnerhalb eines im Vergleich zu ⌊t n ⌋ relativ kurzen Zeitraums der Größenordnungo(t n ).Aus Abschnitt 2.4.2 in [21] bzw. Abschnitt 1 in [10] erhalten wir eine weitereund zugleich striktere Definition des Cut-Off-Effekts.2.4.2 Definition. Sei (G n ) n≥1 eine Familie endlicher Gruppen und (P n ) n≥1 eineergodische Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ((G n , P(G n ))) n≥1 . DieFamilie (P n ) n≥1 besitzt einen starken Cut-Off-Effekt (in Totalvariation) mit Cut-Off-Zeiten ((t n , b n )) n≥1 , falls folgende Bedingungen erfüllt sind:(i) Es gilt t n ≥ 0, b n > 0 für alle n ≥ 1, lim n→∞ t n = ∞ und lim n→∞ b n /t n = 0.def(ii) Für alle c ∈ R und m n = ⌊t n + cb n ⌋ gilt lim n→∞ ‖Pn∗(mn) − U Gn ‖ = f(c) füreine reelle Funktion f mit lim c→∞ f(c) = 0 und lim c→−∞ f(c) = 1.In der obigen Definition kann c ∈ R auch durch j ∈ Z ersetzt werden. Ausder Definition von starkem Cut-Off-Effekt und Cut-Off-Effekt folgt unmittelbar,da ‖Pn∗(m) − U Gn ‖ monoton fallend in m ist (siehe Lemma 3.5 in [1]), dass einstarker Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten ((t n , b n )) n≥1 einen Cut-Off-Effekt mitCut-Off-Zeiten (t n ) n≥1 impliziert:

2.5 Obere und untere Schranke für die Totalvariation 532.4.3 Bemerkung. Sei (G n ) n≥1 eine Familie endlicher Gruppen und (P n ) n≥1 eineergodische Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ((G n , P(G n ))) n≥1 . Falls(P n ) n≥1 einen starken Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten ((t n , b n )) n≥1 besitzt, sobesitzt (P n ) n≥1 einen Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten (t n ) n≥1 .Beweis. Sei ((t n , b n )) n≥1 wie in Definition 2.4.2 und ε ∈ (0, 1). Wir zeigen∗(⌊(1+ε)tn⌋)lim ‖Pn − U G ‖ = 0.n→∞Sei c > 0 beliebig. Wegen lim n→∞ b n /t n = 0 und lim n→∞ t n = ∞ existiert einN = N ε,c ∈ N mit εt n > cb n für alle n ≥ N. Da ‖Pn∗(m) − U Gn ‖ monoton fallend inm ist (siehe Lemma 3.5 in [1]), gilt für alle n ≥ N wegen ⌊(1+ε)t n ⌋ = ⌊t n +εt n ⌋ ≥⌊t n + cb n ⌋und somit‖P ∗(⌊(1+ε)tn⌋)n− U Gn ‖ ≤ ‖P ∗(⌊tn+cbn⌋)n− U Gn ‖lim sup ‖Pn∗(⌊(1+ε)tn⌋) − U Gn ‖ ≤ lim ‖Pn∗(⌊tn+cbn⌋) − U Gn ‖ = f(c).n→∞n→∞Da c > 0 beliebig gewählt war, erhalten wir vermöge lim c→∞ f(c) = 0 und0 ≤ f ≤ 1lim sup ‖Pn∗(⌊(1+ε)tn⌋) − U Gn ‖ ≤ inf lim ∗(⌊tn+cbn⌋)‖Pn− U Gn ‖ = inf f(c) = 0.n→∞c∈R n→∞ c∈RMit ‖P ∗(⌊(1+ε)tn⌋)n− U Gn ‖ ≥ 0 folgt insgesamtAnalog erhalten wir∗(⌊(1+ε)tn⌋)lim ‖Pn − U Gn ‖ = 0.n→∞∗(⌊(1−ε)tn⌋)lim ‖Pn − U Gn ‖ = 1.n→∞2.5 Obere und untere Schranke für die TotalvariationWir werden im nächsten Abschnitt zeigen, dass die Familie (Q n ) n≥1 der GSR-(2, n)-Mischmethoden, n ≥ 1, einen starken Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten

54 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle((t n , b n )) = (( 3 2 log 2 n, 1)) n≥1 besitzt, wobei log 2 den Logarithmus zur Basis 2 bezeichne.Mit Blick auf Definition 2.4.2 bedeutet dies, dass für große Kartenstapelgrößenn eine Anzahl von ⌊ 3 2 log 2 n⌋ Mischvorgängen hinreichend und notwendigist, um den Kartenstapel ”gut durchzumischen“.‖Q ∗(m)nDie folgenden oberen und unteren Schranken für die Totalvariation− U Sn ‖ nach m-maligem Mischen nach dem GSR-(2, n)-Shuffle gehen aufReeds [17] zurück und finden sich, abgesehen von der Asymptotik für die untereSchranke, auch in [2], [9] und [16]. Sie gehören zu den zeitlich frühesten Ergebnissenzum Riffle Shuffle und sind deswegen an dieser Stelle aufgeführt. Im Vergleichzu den Resultaten von Bayer und Diaconis [6] besitzen sie jedoch nur geringeAussagekraft.2.5.1 Satz (Untere Schranke). Seien m, n ∈ N. Dann gilt‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ ≥ 1 − 1 2∑m ∧nn!r=1A n,r((2 m ∧ n) − n 2∼ 1 − Φ √n→∞ n12wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei.Beweis. Seien m, n ∈ N. Für alle A ⊂ S n gilt‖Q ∗(m)n− U Sn ‖ ≥ |Q ∗(m)n (A) − U Sn (A)|.Wählen wir A = supp(Q ∗(m)n ), so folgt mit Korollar 2.2.7‖Q ∗(m)n− U Sn ‖ ≥ 1 − | supp(Q∗(m) n )|n!= 1 − |{π ∈ S n | R(π) ≤ 2 m ∧ m}|n!= 1 −2∑m ∧nr=1= 1 − 1 n!|{π ∈ S n | R(π) = r}|n!∑A n,r .2 m ∧n( )∑Den Nachweis für die asymptotische Aussage 1− 1 2 m ∧n(2n! r=1A n,r ∼ 1−Φm ∧n)−√ n 2n12für n → ∞ erbringen wir an späterer Stelle und zwar im Beweis von Lemmar=1),

2.5 Obere und untere Schranke für die Totalvariation 552.6.6. Ersetzen wir dort in (2.6.20) h ∗ durch (2 m ∧ n) − n/2, so erhalten wir dieBehauptung.Für den Beweis der oberen Schranke wird eine stark stationäre Stoppzeit fürden Q n -Random Walk konstruiert. Für die allgemeine Definition der Stoppzeit undder stark stationären Stoppzeit verweisen wir auf die Abschnitte 3 und 18 in[4]. Inder Situation des Q n -Random Walks auf S n reicht die folgende Definition aus.2.5.2 Definition. Sei X = (X m ) m≥0 ein Q n -Random Walk auf einem messbarenRaum (Ω, A, P ) (mit eindeutig bestimmter stationärer Verteilung U Sn ). Einemessbare Abbildung T : Ω −→ N 0 ∪ {∞} mit {T = m} ∈ σ(X 0 , . . . , X m ) fürm ≥ 0 heißt stark stationäre Stoppzeit, wenn sie die folgenden zwei Bedingungenerfüllt:(i) P (T < ∞) = 1,(ii) P (X m = π | T = m) = U Sn ({π}) für alle m ≥ 0 und π ∈ S n .2.5.3 Bemerkung. Sei T eine stark stationäre Stoppzeit für den Q n -RandomWalk X. Dann gilt für alle m ≥ 0‖Q ∗(m)n− U Sn ‖ ≤ P (T > m).Beweis. Sei m ≥ 0 und A ⊂ S n beliebig. Dann gilt nach Definition 2.5.2 (ii)P (X m ∈ A) = P (X m ∈ A, T ≤ m) + P (X m ∈ A, T > m)Daraus folgt unmittelbar‖Q ∗(m)n= P (X m ∈ A | T ≤ m)P (T ≤ m) + P (X m ∈ A | T > m)P (T > m)= U Sn (A)(1 − P (T > m)) + P (X m ∈ A | T > m)P (T > m)= U Sn (A) + (P (X m ∈ A | T > m) − U Sn (A))P (T > m).− U Sn ‖ = ‖P Xm − U Sn ‖= supA⊂S n‖P Xm (A) − U Sn (A)‖= supA⊂S nP (T > m)|P (X m ∈ A | T > m) − U Sn (A)|≤ P (T > m).

56 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleDie folgende obere Schranke für die Totalvariation ‖Q ∗(m)n− U Sn ‖ ist aus demGeburtstagsproblem“ bekannt. Aufgrund des geringen Nutzens der oberen”Schranke im Vergleich zu unseren späteren Ergebnissen, verzichten wir auf einendetaillierten Beweis.2.5.4 Satz (Obere Schranke). Seien m, n ∈ N. Dann gilt‖Q ∗(m)n− U Sn ‖ ≤ 1 −n∏i=1(1 − i2 m ).Beweis. Wir werden für den Beweis das inverse Modell benutzten, jedoch mit einerleichten Modifikation: Im inversen Modell (siehe (2.1.4)) haben wir die MischmethodeQ I a,n für B ⊂ S n durchQ I a,n(B) = U N n0,a−1(X I a,n = π −1 , π ∈ B)definiert. Wir definieren wir nun die Mischmethode Q I a,n für B ⊂ S n durchQ I a,n(B) def= U N n0,a−1(X I a,n = π, π ∈ B).und Q ndef= Q I 2,n. Dann gilt mit I : S n −→ S n definiert durch I(π) = π −1 , π ∈ S n ,wegen (Q I n) I = Q I n unter Beachtung von (1.1.1) aus Symmetriegründen‖Q ∗(m)n− U Sn ‖ = ‖(Q I 2,n) ∗(m) − U Sn ‖= ‖(Q I 2,n) ∗(m) − U Sn ‖= ‖Q ∗(m)n− U Sn ‖für alle m ≥ 0. Wir können also für die Abschätzung der Totalvariation auch das inverseModell in obiger Form heranziehen. Wir konstruieren nun die stark stationäreStoppzeit T und erinnern daran, dass sich die Karten vor dem Mischen in der Reihenfolge(1, . . . , n) befinden. Im inversen Modell in obiger Form können wir nun diesukzessiven Mischvorgänge wie folgt abbilden. Für den m-ten Mischvorgang wählenwir ein n-Tupel x (m) = (x (m)1 , . . . , x (m)n ) als Realisation einer auf {0, 1} n LaplaceverteiltenZufallsgröße X (m) , markieren Karte i mit dem Wert x (m)i und mischendie Karten gemäß der in (2.1.3) definierten Permutation π x (m) −. Wir markierendabei die Werte in den einzelnen Mischvorgängen von links nach rechts auf jeder

2.5 Obere und untere Schranke für die Totalvariation 57einzelnen Karte. Die Zufallsgrößen X (1) , X (2) , . . . seien stochastisch unabhängig.Die Werte auf Karte i nach dem m-ten Mischvorgang sind dann gegeben durch dasm-Tupel y (m)i = (x (1)i , . . . , x (m)i ). Solange die Werte y (k)i und y (k)j für k ≤ m auf zweiverschiedenen Karten i und j identisch sich, befinden sich die Karten in derselbenrelativen Reihenfolge wie zu Beginn des ersten Mischvorgangs, da sie bei jedemeinzelnen Mischvorgang im selben Päckchen liegen. Wir wählen T als den erstenZeitpunkt m, zu dem die Tupel y (m)1 , . . . , y n(m) ∈ {0, 1} m bzw. die stochastisch unabhängigenund auf {0, 1} m Laplace-verteilten Zufallsgrößen Y (m)1 , . . . , Y n(m) paarweiseverschieden sind. Dann ist T f.s. endlich und eine streng stationäre Stoppzeit:Gegeben T = m sind alle Reihenfolgen X m = (π(1), . . . , π(n)), π ∈ S n des Kartenstapelsnach m Mischvorgängen gleich wahrscheinlich, da für zwei beliebigeKarten i, j aus Symmetriegründen π(i) > π(j) und π(i) < π(j) gleich wahrscheinlichsind. Die Wahrscheinlichkeit P (T > m), dass die Zufallsgrößen Y (m)1 , . . . , Y n(m)nicht paarweise verschieden sind, kann dann analog zum Geburtagsproblem“ be-”rechnet werden: Es gibt 2 m mögliche {0, 1} m -wertige m-Tupel (Geburtstage), vondiesen müssen bei n zufällig ausgewählten Tupeln (Personen) mindestens zweiübereinstimmen. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt dannn−1∏(P (T > m) = 1 − 1 − i ).2 mAldous und Diaconis zeigen in [2], dass mit k ndef= ⌊2 log 2 n⌋i=1‖Q ∗(kn)n− U Sn ‖ ≤ P (T > k n ) −→n→∞1 − e −1/2 ≈ 0, 3935gilt. Sei ⌈x⌉ die obere Gauss-Klammer von x ∈ R. Für die untere Schranke derdefTotalvariation aus Satz 2.5.1 gilt bereits mit m n = ⌈log 2 n⌉ wegen 2 mn ≥ n und∑ nr=1 A n,r = n!‖Q ∗(mn)n − U Sn ‖ ≥ 1 − 1 2∑m ∧nA n,r = 0.n!Es zeigt sich, dass die obere und untere Schranke für die Feststellung des Cut-Off-Effekts ungeeignet sind. In Tabelle 2.3 sind die Werte der Totalvariation‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ und der oberen und unteren Schranke für n = 52 und m = 1, . . . , 10aufgelistet.r=1

58 Kapitel 2 Der Riffle Shufflem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10obere 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.996 0.931 0.73252 1.000 1.000 1.000 1.000 0.924 0.614 0.334 0.167 0.085 0.043untere 1.000 1.000 1.000 0.999 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000Tabelle 2.3: Obere und untere Schranke für ‖Q ∗(m)52 − U S52 ‖ und m = 1, . . . , 10.2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den RiffleShuffleWir zeigen in diesem Abschnitt den starken Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten(( 3 2 log 2 n, 1)) n≥1 für die Familie (Q n ) n≥1 der GSR-(2, n)-Mischmethoden, wobeilog 2 den Logarithmus zur Basis 2 bezeichne. Bevor wir den Cut-Off-Effekt am Endedieses Abschnitts nachweisen können, benötigen wir einige Hilfmittel. Zunächstgeben wir eine Approximation für die in (2.2.6) bestimmte Wahrscheinlichkeit an,dass m sukzessive GSR-(2, n)-Shuffle in der Permutation π resultieren.Ist m eine beliebige Anzahl von Mischvorgängen eines Kartenstapels mit nKarten, so können wir m darstellen alsm = ⌊log 2 (n 3/2 )⌋ + jmit einer ganzen Zahl j ≥ −⌊log 2 (n 3/2 )⌋. j beschreibt also die Anzahl der Mischvorgängevor bzw. nach ⌊log 2 (n 3/2 )⌋. Wählen wir nun θ n ∈ [0, 1) mitund c def= 2 j , so erhalten wir⌊log 2 (n 3/2 )⌋ + θ n = log 2 (n 3/2 )m = ⌊log 2 (n 3/2 )⌋ + j= log 2 (n 3/2 ) − θ n + j= log 2 (n 3/2 2 j ) − θ n= log 2 (n 3/2 c) − θ n .Wir können nun eine Umparametrisierung der Anzahl der Mischvorgänge vornehmen,indem wir sie beschreiben durch die MengeZ def= {c = 2 j | j ∈ Z}.

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 59Für m = log 2 (n 3/2 c) − θ n < 0 setzen wir Q ∗(m)n= Q ∗(0)n = δ id .2.6.1 Satz. Sei n ≥ 1, c ∈ Z, m = m n,c = ⌊log 2 (n 3/2 c)⌋, π ∈ S n mit R(π) = r ≤2 m ∧ n und h n,r ∈ R gegeben durch r = n 2 + h n,r. Dann giltQ ∗(m)n ({π}) = 1 n! exp ( 1c √ n( )wobei f n ∈ Ohn,r(c und gnn ∈ O 1c n).(− h n,r + 1 )2 + f n − 124c − 1 2 2(hn,rcn) 2+ g n), (2.6.1)Beweis. Seien zunächst n ∈ N und c ∈ Z fest und r ≤ 2 m ∧ n. Wir wählenθ n ∈ [0, 1) wie oben mit m = log 2 (n 3/2 c) − θ n . Nach (2.2.6) erhalten wir zusammenmit r = n 2 + h n,r und 2 m = cn 3/2 2 −θnQ ∗(m)n ({π}) =( ) n + 2 m − R(π) 1n 2 mn= 1 ( )2 m + n − r· · · 2m + 1 − rn! 2 m 2 m= 1 ( n∑ (n! exp log 1 + i − r ))2 m i=1= 1 ( ∑n−1(n! exp log 1 + n − i − r ))2 m i=0= 1 ( ∑n−1(n! exp log 1 + (n/2) − h ))n,r − i. (2.6.2)cn 3/2 2 −θn i=0Mittels einer Taylor-Entwicklung erhalten wir für alle x ∈ (− 1 2 , 1)x − x22 + x33 − x4 ≤ log(1 + x) ≤ x − x22 + x33 . (2.6.3)Um die obige Abschätzung auf (2.6.2) anwenden zu können, müssen wir nun c ∈ Zso groß wählen, dass− 1 2 < (n/2) − h n,r − i< 1 (2.6.4)cn 3/2 2 −θnfür r = 1, . . . , n und i = 0, . . . , n − 1 gilt. Wegen θ n ∈ [0, 1) gilt∣ ∣ (n/2) − h n,r − i ∣∣∣ ∣=r − i ∣∣∣cn 3/2 2 ∣ ≤−θn cn 3/2 2 −θn2θncn 1/2 < 2cn 1/2

60 Kapitel 2 Der Riffle Shufflefür r = 1, . . . , n und i = 0, . . . , n − 1. Wählen wir nun c ≥ 4n −1/2 , so erhaltenwir (2.6.4). Wir können also (2.6.3) auf (2.6.2) anwenden und erhalten wegen| (n/2)−hn,r−i | > | (n/2)−hn,r−i | für alle c ≥ 4n −1/2cn 3/2 2 −θncn 3/2Q ∗(m)n ({π}) ≤ 1 ( 1n! exp ∑n−1( ncn 3/2 2 − h n,r − i)i=0i=01 ∑n−1( )n 3+3c 3 n 9/2 2 − h n,r − i),− 1 ∑n−12c 2 n 3i=0( n2 − h n,r − i) 2(2.6.5)Q ∗(m)n ({π}) ≥ 1 ( 1n! exp ∑n−1( ncn 3/2 2 − h n,r − i)+1 ∑n−13c 3 n 9/2i=0i=0( n2 − h n,r − i− 1 ∑n−12c 2 n 3i=0i=0( n2 − h n,r − i) 2) 3 1 ∑n−1( )n 4−c 4 n 6 2 − h n,r − i).(2.6.6)Zusammen mit ∑ n−1i=1 i = n(n−1) , ∑ n−12∑ n−1i=1 i4 = n(n−1)(2n−1)(3n(n−1)−1) ergibt sich301 ∑n−1( ncn 3/2 2 − h n,r − i)= −h n,r + 1 2c √ ,ni=01 ∑n−12c 2 n 3i=0i=0( n2 − h n,r − ii=1 i2 = n(n−1)(2n−1)) 2=124c 2 + 1 2(hn,rcn6, ∑ n−1) 2+ 1 − 6h n,r12c 2 n 2 ,i=1 i3 = n2 (n−1) 24und1 ∑n−1( n) 33c 3 n 9/2 2 − h − 1n,r − i =4 n3 h n,r − nh 3 n,r + 1 8 n3 + 3 2 nh2 n,r − 1nh 2 n,r3c 3 n 9/2= 1 − 2h n,r24c 3 n − 2h3 n,r − 3h 2 n,r + h n,r, (2.6.7)3/2 6c 3 n 7/21 ∑n−1( n 4c 4 n 6 2 − h 3nn,r − i) 4 + 20n 2 (6h 2 n,r − 6h n,r + 1) − 8=240c 4 n 5i=0+ h4 n,r − 2h 3 n,r + h 2 n,rc 4 n 5 .

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 61Definieren wirg 1,ndef= 1 − 6h n,r12c 2 n 2 ,f 1,ndef=1 ∑n−13c 3 n 9/2i=0i=0( n) 32 − h n,r − i ,defg 2,n = 1 ∑n−1( n) 4c 4 n 6 2 − h n,r − i undg 3,ndef= g 1,n + g 2,n ,( )so gilt f 1,n ∈ Ohn,r(c und gn 3/2 1,n , g 2,n , g 3,n ∈ O 1c n). Unter Benutzung der obigendefGleichungen folgt aus (2.6.5) und (2.6.6) mit f n = c √ ( )nf 1,n ∈ Ohn,rc für allec ≥ 4n −1/2Q ∗(m)n ({π}) ≤ 1 (n! exp −hn,r + 1 2c √ n= 1 n! exp ( 1c √ nQ ∗(m)n ({π}) ≥ 1 (n! exp −hn,r + 1 2c √ n− 124c 2 − 1 2(hn,rn) 2− g 1,n + f 1,n)cn(− h n,r + 1 )2 + f n − 124c − 1 (hn,r2 2 cn− 124c − 1 ( ) 2 )hn,r− g 2 2 cn 3,n + f 1,n= 1 ( 1(n! exp c √ − h n,r + 1 )n 2 + f n − 124c − 1 2 2Insgesamt ergibt sich schließlich wegen g 1,n , g 3,n ∈ O ( )1nQ ∗(m)n ({π}) = 1 n! exp ( 1( )mit f n ∈ Ohn,r(c und gnn ∈ O 1c n).(c √ − h n,r + 1 )n 2 + f n− 124c 2 − 1 2(hn,rcn(hn,rSei m ∈ N. Für den Variationsabstand von Q ∗(m)n und U Sn gilt‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ = 1 ∑ ∣ ∣∣Q ∗(m)n ({π}) − 1 ∣2n!π∈S n= sup|Q ∗(m)nA⊂S n(A) − U Sn (A)|.cn) 2− g 1,n),) 2− g 3,n).) 2+ g n)

62 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleDabei wird das Supremum für die MengeA n,mdef={ ∣ ∣∣π ∈ S n Q∗(m)n ({π}) ≥ 1 }n!angenommen. Da Q ∗(m)n ({π}) nach (2.2.6) jedoch nur über R(π) von π abhängtund monoton fallend in R(π) ist, giltwobei r ∗ definiert sei durchA n,m = {π ∈ S n | R(π) ≤ r ∗ } ,Q ∗(m)n ({π}) ≥ 1 n! ⇐⇒ R(π) ≤ r∗ .Sei h n,R(π) wie in Satz 2.6.1 gegeben durch R(π) = n 2 + h n,R(π) und h ∗ def= h n,r ∗ =r ∗ − n . Dann erhalten wir2Q ∗(m)n ({π}) ≥ 1 n! ⇐⇒ h n,R(π) ≤ h ∗ und (2.6.8)A n,m = { π ∈ S n | h n,R(π) ≤ h ∗} .Der Variationsabstand von Q ∗(m)n und U Sn kann somit, unter Beachtung von − n 2 +1 ≤ h n,r ≤ n 2‖Q ∗(m)nfür r = 1, . . . , n, wie folgt berechnet werden− U Sn ‖ = Q ∗(m)n (A n,m ) − U Sn (A n,m )= ∑ (Q∗(m)n ({π}) − U Sn ({π}) )π∈A n,m∑(Q ∗(m)1≤r≤r ∗ π∈R n,r= ∑= ∑ (A n,r1≤r≤r ∗=∑q ∗(m)− n 2 +1≤h≤h∗ A n,h+n2n ({π}) − 1 n!))n (r) − 1 n!( (qn∗(m) h + n )− 1 2 n!), (2.6.9)wobei A n,h+n die Eulerschen Zahlen sind mit A n,h+ n = 0 für alle − n + 1 ≤ h ≤ n 2 2 2 2mit h + n /∈ {1, . . . , n} und q∗(m)2n (r) für r = 1, . . . , n definiert sei durchqn∗(m) (r) def=( n + 2 m − rn) 12 mn .Der nächste Satz gibt Auskunft über die Gestalt von h ∗ . Zuvor notieren wir allerdingsnoch das folgende Lemma.

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 632.6.2 Lemma. Gegeben sei die Situation von Satz 2.6.1. Dann giltwobei G 1,n ∈ O c( 1n)und G2,n ∈ O c (1).f n = 112c 2 + G 1,n + G 2,n , (2.6.10)Beweis. In der Situation von Satz 2.6.1 gilt nach (2.6.7) wegen f n = c √ nf 1,n mith = h n,rf n = 1 − 2h24c 2 n − 2h3 − 3h 2 + h.6c 2 n 3Wegen h = r − n erhalten wir daraus2f n = 1 − 2(r − n 2 )24c 2 n− 2(r − n 2 )3 − 3(r − n 2 )2 + (r − n 2 )6c 2 n 3= 124c 2 + 1 − 2r24c 2 n − (r − n 2 )33c 2 n 3 + 3(r − n 2 )2 − (r − n 2 )6c 2 n 3 . (2.6.11)Wir betrachten nun die einzelnen Terme in (2.6.11). Zunächst setzen wirdefG 1,n = 3(r − n 2 )2 − (r − n)26c 2 n 3defG 3,n = 1 − 2r24c 2 n .undWegen 1 ≤ r ≤ n erhalten wir G 1,n ∈ O c( 1n)und G3,n ∈ O c (1). Ferner giltwobei G 4,ndef= − 1− (r − n 2 )33c 2 n 3 = − 13c 2 ( rn − 1 2(r 3− 3r2 + 3r3c 2 n 3 2n 2 4n) 3= − 1 ( r33c 2 n − 3r23 2n + 3r2 4n − 1 8= 124c − 1 ( r32 3c 2 n − 3r23 2n + 3r )2 4n= 124c + G 4,n,2)∈ O c (1). Setzen wir nun nochG 2,ndef= G 3,n + G 4,n ,so folgt insgesamtf n = 112c + G 2 1,n + G 2,n(mit G 1,n ∈ O 1c n)und G2,n ∈ O c (1).)

64 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleWir kommen nun zu dem bereits angekündigten Resultat über h ∗ . Es besagt,dass h ∗ von der Form h ∗ = − √ n24c + O c(1) ist.2.6.3 Satz. Sei n ≥ 1, c ∈ Z, m = m n,c = log 2 (n 3/2 c)−θ n , π ∈ S n und h ∗ definiertdurch (2.6.8), das heißtQ ∗(m)n ({π}) ≥ 1 n! ⇐⇒ R(π) − n 2 ≤ h∗ .Dann gilt(wobei F n ∈ O c)√1n√ nh ∗ = −24c + 112c + 1 2 2 + F n + G n , (2.6.12)und G n ∈ O c (1).Beweis. Sei c ∈ Z fest und π ∈ S n mit R(π) = r ≤ 2 m ∧ n. In der Situationvon Satz 2.6.1 setzen wir wieder h = h n,r . Dann ist Q ∗(m)n ({π}) ≥ 1 n!nach (2.6.1)äquivalent zu1(c √ − h + 1 )n 2 + f n − 1( )wobei f n ∈ Ohn,rc ngleich 0 so erhalten wir⇐⇒24c 2 − 1 2( ) 2 h+ gcn n ≥ 0,und g n ∈ O c( 1n). Setzen wir den Exponenten in (2.6.1)0 = 1 (c √ − h + 1 )n 2 + f n√ nh = −24c + 1 2 + f n −− 124c − 1 ( ) 2 h+ g 2 2 cn nh22cn 3/2 + c√ ng n . (2.6.13)Wir können nun h iterativ in zwei Schritten ermitteln, indem wir h bzw. den Term−h22cn 3/2von −in (2.6.13) wiederholt nach oben und unten abschätzen. Als obere Schrankeh22cn 3/2werden wir dabei 0 wählen.Wegen − n 2 + 1 ≤ h ≤ n 2 gilt −h2 ≥ − n24und somit nach (2.6.13) unter Beachtungvon c > 0√ nh ≥ −24c + 1 2 + f n −√ n= −24c + 1 2 + f n −= −n2√ n6c + 1 2 + f n + c √ ng n .8cn + c√ ng 3/2 n√ n8c + c√ ng n

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 65Zusammen mit h ≤ − √ n+ 1 + f 24c 2 2 n + c √ ng n erhalten wir dann den ersten Iterationsschritt√ n−6c + 1 2 + f n + c √ √ nng n ≤ h ≤ −24c + 1 2 + f n + c √ ng n . (2.6.14)Wir setzen F 1,ndef= 1 2 + f n + c √ ng n . Dann ist F 1,n ∈ O c( hn)und nach (2.6.14) gilth 2 ≤ max{ (F 1,n −wobei F n,max ∈ O c (n). Daraus folgt√ ) 2n,24c(F 1,n −√ ) 2}n6c0 ≥ − h22cn 3/2≥ − 12cn F def3/2 n,max = − F 2,ndef= F n,max ,(1mit F 2,n ∈ O c√ n). Dann erhalten wir wiederum zusammen mit (2.6.13) denzweiten Iterationsschritt√ n−24c + 1 2 + f n − F 2,n + c √ √ nng n ≤ h ≤ −24c + 1 2 + f n + c √ ng n . (2.6.15)Vermöge Lemma 2.6.2 gilt f n = 1 + G12c 2 n mit G n ∈ O c (1) und somit√ n−24c + 1 2 + 112c + G 2 n − F 2,n + c √ √ nng n ≤ h ≤ −24c + 1 2 + 112c + G 2 n + c √ ng n .Insgesamt gilt somit wegen c √ ng n ∈ O c(für ein F n ∈ O c()√1nund G n ∈ O c (1). Dies bedeutet, dass h ∗ von der gewünschtenGestalt in (2.6.12) ist.)√1n√ nh = −24c + 1 2 + 112c + G 2 n + F nWir werden nun Approximationen für die in der Totalvariation∑( (‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ =qn∗(m) h + n )− 1 )2 n!− n 2 +1≤h≤h∗ A n,h+n2

66 Kapitel 2 Der Riffle Shuffleauftretenden Terme 1 n! A n,h+ n 2 für − n 2 + 1 ≤ h ≤ n 2 und ∑ − n 2 +1≤h≤h∗ 1 n! A n,h+ n 2 fürn → ∞ angeben.Wir beginnen mit dem Term 1 A n! n,h+ n . Das folgende Lemma entstammt [23]2(Proposition 2, Teil (ii) und (iii)). Der zweite Teil ergibt sich allerdings aus einerModifikation des dortigen Beweises von Proposition 2 (iii). Zur Vollständigkeitgeben wir die Beweise für beide Teile an.2.6.4 Lemma. Sei n ∈ N.(i) Für x > 0 und x ndef= x √ n12 + n 2 giltlimn→∞√ n121n! A n,⌊x n⌋ = φ(x) def= 1 √2πe −x2 /2 .(ii) Für − n + 1 ≤ h ≤ n mit h + n ∈ N gilt2 2 2√⎛ ( ) ⎞16n! A n,h+ n = 2πn exp ⎝− 1 2h√ ⎠2 n+ R n ,12wobei R n ∈ o ( 1n).Beweis. Seien X 1 , . . . , X n stochastisch unabhängige und identisch R(0, 1)-verteiltedefZufallsgrößen, S n = ∑ ni=1 X i und F n die Verteilungsfunktion von S n . Es giltES n = n/2 und V arS n = n/12. Wir definieren die Standardisierung von S n durchdefT n = S n − n 2√ n.12Dann gilt für die Verteilungsfunktion G n von T n und alle x ∈ R nach dem zentralenGrenzwertsatzG n (x) = F n(x√ n12 + n 2)def−→ Φ(x) =n→∞∫ x−∞1√2πe −t2 /2 dt.defzu (i): Sei x > 0 beliebig, x n = x √ n+ n, a 12 2 n = a n (x) def= x n − ⌊x n ⌋ undn ≥ x 2 /3. Dann gilt x n ≤ n. Nach Satz 2.3.1 folgt vermögeF n (x) = G n(x −n√ n122)

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 67für alle x ∈ R und dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung1n! A n,⌊x n⌋ = F n (⌊x n ⌋) − F n (⌊x n ⌋ − 1)= F n (x n − a n ) − F n (x n − (1 + a n ))( √ ) (√ )1212= G n x − a n − G n x − (1 + a n )nn√12=n G′ n(y n )√√12mit x − (1 + a n ) < y 12n n < x − a n . Sei g n n die Dichte der standardisiertenZufallsgröße T n . Dann gilt G ′ n(x) = g n (x) für alle x ∈ R. Mit Hilfe einer Edgeworth-Entwicklung (Theorem 1, Abschnitt XVI.2 in [11]) erhalten wir für n → ∞( ) 1g n (x) − φ(x) = o √n (2.6.16)gleichmäßig in x. Hierbei beachten wir ET13 = 0 und die quadratische Integrierbarkeitder charakteristischen Funktion von T 1 . Daraus erhalten wirlimn→∞√ n121n! A n,⌊x n⌋ = limn→∞G ′ n(y n )= limn→∞g n (y n )= 1 √2πe −x2 /2 .zu (ii): Nach Theorem 1, Abschnitt I.9 in [11] besitzt S n+1 die Lebesque-Dichte( λ-Dichte) f n+1 mitf n+1 (x) = 1 n!⌊x⌋∑i=0(−1) i ( n + 1ifür x ∈ R. Sei − n 2 + 1 ≤ h ≤ n 2 mit h + n 2 ∈ N. Dann gilt x n(2.3.5) und (2.6.17) folgt1n! A n,x n= F n (x n ) − F n (x n − 1)= 1 ∑x n( ) n + 1(−1) i (x n − i) nn!ii=0)(x − i) n 1 (0,n+1) (x) (2.6.17)def= h + n 2≤ n und mit= f n+1 (x n ). (2.6.18)

68 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleFür die Dichten f n+1 von S n+1 und g n+1 von T n+1 = ( ) √S n+1 − n+12 /n+1gilt12nach dem Transformationssatz die Beziehung√⎛ ⎞12f n+1 (x) =n + 1 g ⎝ x n − n+12n+1 √ ⎠ ,n+112woraus mit (2.6.18)√112n! A n,x n=n + 1 g n+1⎛⎝ x n − n+12√n+112⎞⎠folgt. Mit Hilfe von (2.6.16) erhalten wir für n → ∞( ) ( )11g n+1 (x) − φ(x) = o √ = o √n n + 1(2.6.19)gleichmäßig√ ( )in x. Aus (2.6.19) erhalten wir dann unter Beachtung von12o √1n+1 n= o ( 1n)und√⎛ ⎞12n + 1 φ ⎝ x √⎛ ⎞n − n+12√ ⎠ 12=n+1 n + 1 φ ⎝ h − 1 2√ ⎠n+11212√ ( ) ( 12=n φ h 1+ on)√ n12insgesamt⎞⎝ x √n − n+1( )2√ ⎠ 12 1+n+1 n + 1 o √n12√ ( ) ( 12=n φ h 1√ n+ on)12√⎛ ( ) ⎞12 1= √ exp ⎝− 1 2 (h√ ⎠ 1n 2π 2 n+ on)12√⎛ ( ) ⎞6=πn exp ⎝− 1 2 (⎠ 1+ o .2n)√⎛112n! A n,⌊x n⌋ =n + 1 φh√ n12

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 69Bayer und Diaconis behaupten in [6], dass sich die Asymptotik in Lemma 2.6.4(ii) unter Benutzung derselben Quellen noch verschärfen lässt:2.6.5 Lemma. Sei n ∈ N. Für − n 2 + 1 ≤ h ≤ n 2 mit h + n 2 ∈ N gilt(wobei R n ∈ o√⎛ ( ) ⎞16n! A n,h+ n = 2πn exp ⎝− 1 2h√ ⎠2 n(1 + R n ),12√1n).Mit Hilfe des obigen Lemmas zeigen Bayer und Diaconis [6] Theorem 2.6.8.Wir werden jedoch einen anderen Weg einschlagen (vergleiche den Beweis vonTheorem 4, Abschnitt 4 in [6] und den Beweis von Gleichung (2.6.22) im Beweisvon Theorem 2.6.8). Zunächst benötigen wir das folgende Lemma, das Auskunftüber das Verhalten der Summe ∑ 1 − A n 2 +1≤h≤h∗ n! n,h+ n für n → ∞ gibt, wobei nach2Satz 2.6.3 h ∗ = − √ n+ O 24c c(1) gilt.2.6.6 Lemma. Sei n ∈ N und Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.Dann giltwobei S n ∈ O c(√1n).∑(1n! A n,h+ n = Φ − 1 )24c √ + S n ,3− n 2 +1≤h≤h∗Beweis. Wie im Beweis von Lemma 2.6.4 sei wiederum S n die Summe von n stochastischunabhängigen und identisch R(0, 1)-verteilten Zufallsgrößen, F n die Verteilungsfunktionvon S n ,T n = S n − n 2√ n12die Standardisierung von S n und G n die Verteilungsfunktion von T n . Durch Integrationder Edgeworth-Entwicklung (2.6.19) der Dichte g n von T n (siehe auch(4.1), Abschnitt XVI.4 in [11]) erhalten wir für n → ∞( ) 1G n (x) − Φ(x) = o √n

70 Kapitel 2 Der Riffle Shufflegleichmäßig in x. Dann gilt vermöge F n (x) = G n((x −n2)/√ n12)für alle x ∈ Rund (2.3.4) für n → ∞∑ 1n! A n,h+ n = ∑ ( (F2 n h + n )− F n(h + n ))22 − 1 − n 2 +1≤h≤h∗ − n 2 +1≤h≤h∗ (= F n h ∗ + n )− F n (0)( 2)h ∗= G n√ n12( )h ∗= Φ √ n12( ) 1+ o √n . (2.6.20)Wegen h ∗ = − √ n24c + O c(1) gilth ∗√ n12und somit für n → ∞= − 12c √ 12 + O c∑− n 2 +1≤h≤h∗ 1n! A n,h+ n 2 = Φ (− 14c √ 3 + O c( ) 1 √n = − 1 ( ) 14c √ 3 + O c √n(= Φ − 1 )4c √ 3(= Φ − 1 )4c √ 3( )) ( )11√n + o √n( ) ( )1 1+ O c √n + o √n+ O c( 1 √n),dabei geht in der zweiten Zeile der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein.Das nächste Lemma ist wiederum technischer Natur.2.6.7 Lemma. Für n ∈ N sei S n die Summe von n stochastisch unabhängigenund identisch R(0, 1)-verteilten Zufallsgrößen X 1 , . . . , X n undT n = S n − n 2√ n12die Standardisierung von S n . Dann gelten die folgenden Aussagen:(a) Die Familie (exp(aT n )) n∈N ist für jedes a ∈ R gleichgradig integrierbar.

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 71(b) Sei G n die Verteilungsfunktion von T n und (x n ) n≥1 eine reelle Folge mitlim n→∞ x n / √ n = 0, das heißt x n ∈ o( √ n). Dann gilt1 − G n (x n )limn→∞ 1 − Φ(x n ) = lim G n (−x n )n→∞ Φ(−x n ) = 1,wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei.Beweis. zu (a): Für a = 0 ist nichts zu zeigen. Sei daher a ≠ 0 beliebig. NachKorollar 50.3. (e) in [3] ist (exp(aT n )) n∈N gleichgradig integrierbar, falls ein p > 1existiert mitsup E| exp(aT n )| p < ∞.n∈NWegen | exp(aT n )| p = exp(paT n ) für alle p ∈ R reicht es daher zu zeigensup E exp(aT n ) < ∞.n∈NSei ψ die momenterzeugende Funktion von X 1 , das heißt ψ(t) = E exp(tX 1 ), t ∈ R.Es gilt ψ(0) = 1 und für t ≠ 0ψ(t) =∫ 10e tx dx = et − 1.tDann erhalten wir für n ≥ 1, da X 1 , . . . , X n stochastisch unabhängig und identischverteilt sind, mit b def= a √ 12 für n ≥ 1( ))(Sn − n 2E exp(aT n ) = E exp a √ n12( n∑(a √ ))12= E exp √ X k − a√ 12k=1 n 2 √ n( (= exp −b ) ( )) n b2 √ E exp √ X 1nn( (= exp −b ) ( )) n b2 √ ψ √n n⎛( ) ⎞n(= ⎝exp −b ) exp √b2 √ n− 1⎠nb √ n

72 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle=⎛ (⎝ expb2 √ n) ( ) ⎞− exp − b2 √ n⎠b √ nn.Mittels der Taylor-Entwicklungen( ) bexp2 √ n(exp −b )2 √ nergibt sich daraus= 1 + b2 √ n + b28n += 1 − b2 √ n + b28n −(√ blim E exp(aT n+n) = limn→∞ n→∞( )b3 148n + o ,3/2 n 3/2( )b3 148n + o 3/2 n 3/2b3 + o ( 124n 3/2b √ n)) nn 3/2= lim(1 + 1 ( )) b2nn→∞ n 24 + o (1) ( ) ( )b2 a2= exp = exp < ∞.24 2Dann folgt sup n∈N E exp(aT n ) < ∞, was wir beweisen mussten.zu (b): Die Aussage ist ein Spezialfall von Theorem 2, Gleichung (7.28), AbschnittXVI.7 in [11]. In unserer Situation gilt dort λ 1 = 0 wegen µ 3 = ET 3 1 = 0.Die Behauptung folgt dann aus der Gültigkeit von 1 − G n (x) = G n (−x) und1 − Φ(x) = Φ(−x) für alle x ∈ R und n ≥ 1.Wir kommen nun zur Hauptaussage dieses Abschnitts, mit Hilfe derer wir nachweisen,dass die Familie (Q n ) n≥1 der GSR-(2, n)-Mischmethoden einen starkenCut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten (( 3 log 2 2 n, 1)) n≥1 besitzt. Wir erinnern daran,dass Q ∗(m)n = Q ∗(0)n = δ id für m < 0 gesetzt war.2.6.8 Theorem. Sei c ∈ Z = {2 j | j ∈ Z} und m n = m n,c = ⌊log 2 (n 3/2 c)⌋ fürn ∈ N. Dann gilt(limn→∞ ‖Q∗(mn) n − U Sn ‖ = 1 − 2Φ − 1 )4c √ ,3wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei.

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 73Beweis. Sei n ≥ 1, c ∈ Z, m n = ⌊log 2 (n 3/2 c)⌋. Nach (2.6.9) gilt∑( (‖Q ∗(mn)n − U Sn ‖ =qn∗(mn) h + n )− 1 )2 n!=− n 2 +1≤h≤h∗ A n,h+n2∑A n,h+n q∗(mn)2 n− n 2 +1≤h≤h∗wobei qn∗(mn) ( )h +n2 gegeben ist durch(qn∗(mn) h + n )2(h + n )−2( n + 2 m=n −(h + n 2n)∑− n 2 +1≤h≤h∗ 1n! A n,h+ n 2 ,) 12 mnn .(2.6.21)Aufgrund von unserer Definition A n,r = 0 für r ≠ 1, . . . , n, sei im Folgenden h + n 2stets ganzzahlig. Nach Lemma 2.6.6 gilt für den zweiten Summanden in (2.6.21)∑(limn→∞ n! A n,h+ n = Φ − 1 )24c √ . (2.6.22)3I 1 n− n 2 +1≤h≤h∗ 1Wir betrachten nun den ersten Summanden in (2.6.21). Zunächst setzen wir{}def= h ∣ − 10n3/4√ ≤ h ≤ h ∗ undcI 2 ndef=dabei sei n so groß, dass I 1 n, I 2 n ≠ ∅.Wir betrachten zunächst∑{h ∣ − n }2 + 1 ≤ h < −10n3/4 √ , ch∈I 1 nA n,h+n q∗(mn)2 n(h + n ).2Sei S n die Summe von n stochastisch unabhängigen und identisch R(0, 1)-verteilten Zufallsgrößen undT n = S n − n 2√ n12die Standardisierung von S n . Nach Satz 2.3.1 gilt für alle h1n! A n,h+(h n = P + n22 − 1 < S n ≤ h + n ). (2.6.23)2

74 Kapitel 2 Der Riffle ShuffleFür h ∈ In, 1 also − 10n3/4 √ c≤ h ≤ h ∗ = − √ n+ O 24c c(1), gilt ferner− 10n 1/4 c ≤ h3/2 cn ≤ − 1 ( ) 124c 2√ n + O cnund damit für alle h ∈ I 1 n12c √ n + O c( 1 √n)− 1 2( 2 ( ) ( )h 1 1+ O c = O c √n .cn)nInsgesamt erhalten wir daraus weiter unter Benutzung von Satz 2.6.1 und (2.6.23)∑h∈I 1 nA n,h+n q∗(mn)2 n(h + n )= ∑ 2h∈In1= ∑ (11n! A n,h+ n exp 2c √ nh∈In1 ( ) −1 ∑ A n,h+n2= exp24c 2 n!h∈In1( −1= exp1n! A n,h+ n 2n! q∗(mn) n(−h + 1 2 + O ( h) )c − 1n(exp −(1n! A n,h+ n exp −2hc √ n + 12c √ n + O chc √ n + O c) ∑24c 2 h∈In( ) 1−1 ∑ (= expP h + n 24c 2 2 − 1 < S n ≤ h + n )2h∈In1( −1= exp) ∑24c 2 h∈In⎛1( ) −1= exp E24c 2( ) −1= exp E24c 2P⎝ ∑ h∈I 1 n⎛⎝ ∑ h∈I 1 n(h − 1√ n12)< T n ≤ √ hn121 { }exp√h−1

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 75wegen c > 0( )− 1c √ T n + √ 112n< − 112c √ 12h√ n12≤ − 1c √ 12 T n.Sei nun n so groß, dass h ∗ = − √ n+ O def24c c(1){< 0 und h n = min{h ∈}In}. 1 Dann giltwegen h + n ∈ N für alle h ∈ 2 I1 n und In 1 = h ∣ − 10n3/4 √ c≤ h ≤ h ∗h n = − 10n3/4√ c+ a nfür ein a n ∈ [0, 1). Wir können den Erwartungswert in (2.6.24) somit unter Benutzungvonh n − 1√ n12nach oben abschätzen durch⎛E ⎝ ∑ h∈In11 { }exp√h−1

76 Kapitel 2 Der Riffle Shufflevon (exp(−1/(c √ 12) T n )) n≥1 und dem zentralen Grenzwertsatz( )− 14c √ 13 +Oc √n∫limn→∞− 10√ 12n√ 1/4c+ √ an−1n12( )exp − 1c √ x dP Tn =12− 1∫ 4c√ 3−∞1√ exp 2π( )− x2 − x2 c √ dx.12Dasselbe Ergebnis erhalten wir analog für die untere Schranke. Insgesamt gilt somitzusammen mit (2.6.24)lim∑n→∞h∈In1A n,h+n q∗(mn)2 n(h + n )= exp ( )− 124c22=− 1∫ 4c√ 3−∞− 1∫ 4c√ 3−∞1√ exp 2π1√ exp 2π( )− x2 − x2 c √ dx12( ( ) ) 2− 1 x + 12 2c √ dx3( ) 1= Φ4c √ . (2.6.25)3Wir betrachten nun∑h∈I 2 nA n,h+n q∗(mn)2 n(h + n ).2Da die Funktionr ↦→ q ∗(mn)n (r) =( n + 2m n− rn) 12 mnnmonoton fallend in r ist, gilt für alle − n + 1 ≤ h ≤ n mit h + n ∈ N2 2 2(qn∗(mn) h + n )≤ qn ∗(mn) (1).2Für n → ∞ folgt daraus mit Hilfe von Satz 2.6.1, wenn dort h n,r = − n +1 gewählt2wird,q ∗(mn)n(h + n )2≤ q ∗(mn)n (1)= 1 n! exp ( 1c √ n( n2 − 1 2 + O c (1))− 124c − 1 ( −n+ 1 ) 2 ( )2 1+ O 2 c2 cnn)

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 77= 1 (√ ) ( ( )n1n! exp exp O c √n2c) (= 1 n! exp (√ n2c≤ 1 n! exp (√ n2c∼ 1 n! exp (√ n2cexp)exp).− 124c − 1 2 2( )) 1O c √n exp( ( )) 1O c √n(− 16c 2 )( 14c 2 − 1c 2 n + 1c 2 n 2 ))(2.6.26)defSei h{ n = max{h ∈ In}. 2 Dann}gilt wegen h + n ∈ N für alle h ∈ I 2 2 n undIn 2 = h ∣ − n + 1 ≤ h < − 10n3/4 √2 ch n = − 10n3/4√ c− b nfür ein b n ∈ [0, 1). Damit erhalten wir nach Satz 2.3.1 mit S n > 0 P -f.s∑ 1n! A n,h+ n = ∑ (P h + n22 − 1 < S n ≤ h + n )2h∈In2 h∈In(2= P 0 < S n ≤ h n + n )(2= F n h n + n )( 2)h n= G n√ n12( ( ) √ )= G n − 10n3/4 12√ − b nc n()∼ G n − 10√ 12n 1/4√ . (2.6.27)cBayer und Diaconis [6] behaupten, dass nach Abschnitt XVI.7 in [11] die folgendeBeziehung gilt∑h∈I 2 n⎛ (1n! A n,h+ n ∼ 1210n 1/4√ 2π exp ⎝− 1 10 √ ) ⎞ 212n 1/4√ ⎠ .2 cMittels (2.6.27) gelangen wir zu einer anderen Beziehung (vergleiche (2.6.28)).Nach Lemma 2.6.7 folgt mit x ndef= 10 √ 12n 1/4 / √ c und Φ(−x) ∼ 1/(x √ 2π)e −x2 /2 ,

78 Kapitel 2 Der Riffle Shufflex → ∞, für n → ∞∑h∈I 2 n()1n! A n,h+ n = G n − 10√ 12n 1/4√2 c∼ Φ∼()− 10√ 12n 1/4√ c⎛√ (c10n 1/4√ 24π exp ⎝− 1 10 √ ) ⎞ 212n 1/4√ ⎠ (2.6.28)2 cund somit zusammen mit (2.6.26) für n → ∞∑h∈I 2 nA n,h+n q∗(mn)2 n()(h + n )≤ G n − 10√ 12n 1/4√ exp2c()∼ Φ − 10√ (√ )12n 1/4 n√ exp c 2c∼=(√ ) ( ( ))n1exp O c √n2c⎛√ (c10n 1/4√ 24π exp ⎝− 1 10 √ ) 212n 1/4√ +2 c( √(10 12) 2 − 1 ) √ n√ (c10n 1/4√ 24π exp −2c⎞√ n⎠2c)= O c( 1n 1/4 ). (2.6.29)Fassen wir nun die Ergebnisse aus (2.6.22), (2.6.25) und (2.6.29) zusammen, soerhalten wir abschließend unter Benutzung von Φ(x) = 1 − Φ(−x) für alle x ∈ Rlimn→∞ ‖Q∗(mn) n − U Sn ‖ = limn→∞und somit die Behauptung.∑− n 2 +1≤h≤h∗ A n,h+n2(q ∗(mn)n( ) (1= Φ4c √ − Φ − 1 )3 4c √ 3(= 1 − 2Φ − 1 )4c √ 3(h + n )− 1 )2 n!

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 79Ersetzen wir in Theorem 2.6.8 den Parameter c wiederum durch 2 j , j ∈ Z,so entspricht j der Anzahl der Mischvorgänge vor bzw. nach ⌊ 3 2 log 2 n⌋ und wirerhalten vermöge[1 − 2Φlimc→∞limc→0[1 − 2Φ)]4c √ = lim3(− 1 )]4c √ 3(− 1j→∞[= limj→−∞1 − 2Φ(− 2−j4 √ 3[1 − 2Φ)]= 0 und)]4 √ = 13(− 2−junter Hinweis auf Definition 2.4.2 unmittelbar das folgende Theorem.2.6.9 Theorem. Wird ein Stapel mit n Karten m n = (⌊ 3 2 log 2 n⌋ + j)-mal, j ∈ Z,j ≥ −⌊ 3 log 2 2 n⌋, nach der GSR-(2, n)-Mischmethode Q 2,n gemischt, so gilt)limn→∞ ‖Q∗(mn) 2,n − U Sn ‖ = 1 − 2Φ(− 2−j4 √ ,3wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei.Ferner besitzt die Familie (Q 2,n ) n≥1 einen starken Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten ((⌊ 3 2 log 2 n⌋, 1)) n≥1 .Für große n sind somit ⌊ 3 2 log 2 n⌋ Riffle Shuffle hinreichend und notwendig, umeinen Kartenstapel mit n Karten hinreichend zu mischen. Mit m n = ⌊ 3 log 2 2 n⌋ giltfür den Variationsabstand ‖Q ∗(mn)2,n − U Sn ‖ für große n)‖Q ∗(mn)2,n − U Sn ‖ ≈ 1 − 2Φ(− 14 √ 3≈ 0.115.In Tabelle 2.4 und Abbildung 2.7 sind die Werte der Funktion j ↦→ 1 − 2Φabgetragen.( )− 2−j4 √ 3j -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4f(j) 1.000 0.999 0.979 0.752 0.436 0.227 0.115 0.058 0.029 0.014 0.007( )Tabelle 2.4: f(j) = 1 − 2Φ − 2−j4 √ 3für j = −6, . . . , 4.Welcher Wert von der Totalvariation tatsächlich unterschritten werden muss,um den Kartenstapel als hinreichend gemischt anzusehen, liegt in der Beurteilungdes jeweiligen Betrachters. So findet sich beispielsweise in [20] die Schranke

80 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle• • • • • • •1✻•0.5•• 12e• • • • • • • • • • • ✲-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( )Abbildung 2.7: j ↦−→ 1 − 2Φ − 2−j4 √ für j = −10, . . . , 10.31/(2e) ≈ 0.184, während von Bayer und Diaconis [6] der Kartenstapel schon beieinem Wert von 1/2 als hinreichend gemischt angesehen wird. Für große n sindnach Theorem 2.6.9 ⌊ 3 2 log 2 n⌋ − 2 Mischvorgänge nötig um den Wert 1/2 in Totalvariationzu unterschreiten. Die Schranke 1/2 wird von Mann [16] durch diefolgende Überlegung motiviert:Wir nehmen an, ein Kartenstapel mit n Karten sei so gemischt, dass jede Reihenfolgeder Karten gleich wahrscheinlich ist, das heißt jede Reihenfolge π ∈ S nhabe die Wahrscheinlichkeit U Sn = 1/n!. n sei als gerade vorausgesetzt. Nach demMischen fällt die oberste Karte vom Stapel, so dass wir deren Wert i erkennen.Legen wir diese Karte nun wieder mit der Rückseite oben auf den Kartenstapel,so ist die zufällige Reihenfolge der Karten zerstört, da wir wissen, welchen Wertdie oberste Karte trägt. Legen wir die Karte wieder an eine zufällige Position innerhalbdes Stapels, so ist die zufällige Reihenfolge der Karten wieder gegeben.Wir platzieren die Karte allerdings an einer zufälligen Position innerhalb der oberenHälfte des Stapels und zwar so, dass wir nicht wissen, welche Position diesist. Die möglichen Permutationen nach denen der Kartenstapel dann gemischt ist,entsprechen exakt der Menge der Permutationen in S n , die Karte i in die obereHälfte des Stapels mischen. Dies ist genau die Hälfte aller Permutationen inS n . Die Wahrscheinlichkeit für eine solche Permutation π ist dann gegeben durch

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 81Q({π}) = 2/n!, alle übrigen Permutationen treten mit Wahrscheinlichkeit 0 auf.Wir berechnen nun den Verlust, gemessen in Totalvariation, den wir durch diesesVorgehen im Vergleich zur vollständigen Zufälligkeit der Kartenreihenfolgenerleiden:‖Q − U Sn ‖ = 1 ∑∣ ∣∣∣Q({π}) − 1 2n! ∣π∈S n= 1 ( n!22 2 ∣n! − 1 n! ∣ + n!2 ∣ 0 − 1 )n! ∣= 1 2 .Die Totalvariation liefert den Wert 1/2. Nach Mann ist dieser Wert innerhalb derSpanne von 0 bis 1 vergleichsweise groß, obwohl sich Karte i an einer zufälligenPosition in der oberen Hälfte des Kartenstapels befindet und der Kartenstapelwegen der zufälligen Reihenfolge aller übrigen Karten von ihm als hinreichendgemischt angesehen werden kann.Wir geben allerdings zu bedenken, dass die Beschränkung auf nur die Hälftealler Permutationen in S n eine hinreichende Mischung der Karten verhindert. Dasfolgende Beispiel soll diesen Einwand motivieren: Ein fairer Würfel werde einmalgeworfen, das Ergebnis des Wurfes sei gerade, aber über diese Information hinausunbekannt. Jede der Zahlen 2, 4, 6 ist dann gleich wahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit1/3. Die richtige Augenzahl kann also mit Wahrscheinlichkeit 1/3 geratenwerden. Sei U die Gleichverteilung auf {1, . . . , 6} und U die Gleichverteilung auf{2, 4, 6}. Dann gilt für die Totalvariation wie im obigen Beispiel‖U − U‖ = 1 (312 ∣3 − 1 ∣ ∣∣∣ 6∣ + 3 0 − 1 )6∣= 1 2 .Die Werte 3 log 2 2 n, ⌊ 3 log 2 2 n⌋ und ⌊ 3 log 2 2 n⌋ − 2 für gebräuchliche Kartenstapelgrößensind in Tabelle 2.5 angegeben.Die tatsächlichen Anzahlen an Mischvorgängen, die notwendig sind, um dieWerte 1/2 und 1/(2e) in Totalvariation zu unterschreiten, weichen von den inTabelle 2.5 angegebenen Werten ab. Die Abweichungen resultieren daraus, dass

82 Kapitel 2 Der Riffle Shufflen 24 32 48 52 10432 2 n 6.88 7.50 8.38 8.55 10.05⌊ 3 log 2 2 n⌋ 6 7 8 8 10⌊ 3 2 log 2 n⌋ − 2 4 5 6 6 8Tabelle 2.5: 3 2 log 2 n, ⌊ 3 2 log 2 n⌋ und ⌊ 3 2 log 2 n⌋ − 2 für n = 24, 32, 48, 52, 104.Theorem 2.6.9 eine asymptotische Aussage ist, die nur für große n von Bedeutungist. Die tatsächlichen Werte ergeben sich aus einer exakten Berechnung der Totalvariation(siehe Tabelle 2.2 auf Seite 50) und sind in Tabelle 2.6 angegeben. Andieser Stelle soll nun auch die Aussage ”In card shuffling, 7 is winning number“aus der Einleitung präzisiert werden. Für einen Kartenstapel mit 52 Karten sind7 Riffle Shuffle notwendig, um die Entfernung 1/2 zur Gleichverteilung auf S 52 inTotalvariation gerade zu unterschreiten.n 24 32 48 52 1041/(2e) 7 7 8 8 101/2 5 6 7 7 8Tabelle 2.6: Minimale Anzahl an Mischvorgängen m mit ‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ < S,S = 1/(2e), 1/2 für n = 24, 32, 48, 52, 104.

SymbolverzeichnisN = {1, 2, 3, . . . }N 0 = N ∪ {0}N ≥nN ≤nN 0,n−1B n≠|G|P(G)∑ an= {k ∈ N | k ≥ n}, n ∈ N= {1, . . . , n}, n ∈ N= {0, . . . , n − 1}, n ∈ N= {(x 1 , . . . , x n ) ∈ B n | x i ≠ x j ∀ i ≠ j}, B ⊂ R, n ∈ NMächtigkeit der endlichen Menge GPotenzmenge der Menge G= {(j 1 , . . . , j a ) ∈ N a 0,n | ∑ ak=1 j k = n}, a, n ∈ NZ = {2 j | j ∈ Z}B nB n Cδ xBorelsche σ-Algebra über R nSpur-σ-Algebra von B n unter C ∈ B nDirac-Maß in xM(n, 1/a) Multinomialverteilung mit Parametern n und a-mal 1/aΦVerteilungsfunktion der StandardnormalverteilungφDichte der StandardnormalverteilungP oi(t)Poisson-Verteilung mit Parameter tQ ∗(m)m-fache Faltung der Verteilung QQ a,n GSR-(a, n)-Mischmethode, n ∈ N, a ≥ 2Q nGSR-(2, n)-Mischmethode, n ∈ NR(0, 1) Gleichverteilung auf [0, 1]σ(X 0 , . . . , X m ) von den Zufallsvariablen X 0 , . . . , X m erzeugte σ-Algebrasupp(Q)= {x ∈ Ω | Q(x) > 0}, Q diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß

84 SymbolverzeichnisU G = 1|G|auf (Ω, P(Ω))∑x∈G δ x, G endliche MengeS n = { π : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n} | π bijektiv } ,π = [i 1 , . . . , i r ] Zπ(i j ) = i j+1 , j = 1, . . . , r − 1, π(i r ) = i 1 und π(i) = i füri ≠ i 1 , . . . , i rA n = { π ∈ S n | sgn(π) = 1 }D n,k = {π ∈ S n | π hat k Sprungstellen}, k = 1, . . . , n − 1R n,k= {π ∈ S n | π hat k aufsteigende Sequenzen}, k = 1, . . . , nT n = { [i, j] Z ∈ S n | i, j ∈ {1, . . . , n}, i ≠ j } ,V 4 = {id, [1, 2] Z [3, 4] Z , [1, 3] Z [2, 4] Z , [1, 4] Z [2, 3] Z },A n,kT −〈T 〉= |R n,k | falls k = 1, . . . , n und = 0 sonst{x −1 | x ∈ T }, T ⊂ G, G Gruppe⋃n∈N 0{x 1 ◦ . . . ◦ x n | x i ∈ T ∪ T − , i = 1, . . . , n}, T ⊂ G,G Gruppef n ∼ g n lim n→∞ f n /g n = 1f n ∈ o(g n ) lim n→∞ f n /g n = 0f n ∈ O(g n ) ∃ n 0 ∈ N, K ∈ [0, ∞): |f n /g n | ≤ K ∀ n ≥ n 0f n ∈ O c (g n ) ∀ c ∈ R: f n = f n,c , g n = g n,c und ∃ n 0 (c) ∈ N,K c ∈ [0, ∞): |f n,c /g n,c | ≤ K c ∀ n ≥ n 0 (c)log 2 Logarithmus zur Basis 2x ∨ y = max{x, y}x ∧ y = min{x, y}⌊x⌋= max{k ∈ Z | k ≤ x}, untere Gauss-Klammer⌈x⌉= min{k ∈ Z | k ≥ x}, obere Gauss-Klammer

Literaturverzeichnis[1] Aldous, D. (1981/82): Random Walks on finite groups and rapidly mixingMarkov Chains. Séminaire de Probabilités XVII. Lecture Notes in Mathematics986, 243-297.[2] Aldous, D.; Diaconis P. (1986): Shuffling cards and Stopping Times. AmericanMathematical Monthly, Volume 93, No. 5, 333-348.[3] Alsmeyer, G. (2003): Wahrscheinlichkeitstheorie. Skripten zur MathematischenStatistik Nr. 30, 3. Auflage, Universität Münster.[4] Alsmeyer, G. (2002): Stochastische Prozesse Teil 1. Skripten zur MathematischenStatistik Nr. 33, 2. Auflage, Universität Münster.[5] Brémaud, P. (1999): Markov Chains, Gibbs Fields, Monte Carlo Simulationand Queues. Springer, New York.[6] Bayer, D.; Diaconis, P. (1992): Trailing the Dovetail Shuffle to its lair. Annalsof Applied Probability, Volume 2, No. 2, 294-313.[7] Carlitz, L. (1959): Eulerian Numbers and Polynomials. Mathematics Magazine,Volume 32, No. 5, 247-260.[8] Carlitz, L.; Kurtz, D. C.; Scoville, R.; Stackelberg, O. P. (1972): Asymptoticproperties of Eulerian Numbers. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie undverwandte Gebiete 23, 47-54.

86 Literaturverzeichnis[9] Diaconis, P. (1988): Group Representations in probability and statistics. LectureNotes-Monograph Series 11, Institute of Mathematical Statistics, Hayward,California.[10] Diaconis, P. (1996): The Cutoff Phenomenon in finite Markov Chains. Proceedingsof the National Academy of Science, Volume 93, 1659-1664.[11] Feller, W. (1971): An introduction to Probability Theory and its applications.Volume II, 2. Auflage, John Wiley and Sons, Inc.[12] Gilbert, E. (1955): Theory of Shuffling. Technical Memorandum, Bell Laboratories.[13] Kolata, G. (1990): In shuffing cards, 7 is winning number. New York Times,Spätausgabe vom 09.01.1990.[14] Lalley, S. P. (1999): Riffle Shuffles and their associated Dynamical Systems.Journal of Theoretical Probability, Volume 12, No. 4, 903-932.[15] Lorenz, F. (1996): Einführung in die Algebra. 3. Auflage, Spektrum Verlag,Heidelberg/Berlin.[16] Mann, B. (1995): How many times should you shuffle a deck of cards? Topicsin Contemporary Probability and Its Applications, Ed. J. Laurie Snell, CRCPress Boca Raton, 261-289.[17] Reeds, J. (1981): Theory of Riffle Shuffling. Unveröffentlichtes Manuskript.[18] Rogers, L. C. G.; Pitman, J. W. (1981): Markov Functions. Annals of Probability,Volume 9, No. 4, 573-582.[19] Salama, I. A.; Kupper L. L. (1986): A geometric interpretation for the EulerianNumbers. American Mathematical Monthly, Volume 93, No. 1, 51-52.[20] Saloff-Coste, L. (2004): Random Walks on finite groups. Probability on discretestructures, Encyclopaedia of Mathematical Science, Volume 110 (HarryKesten, Editor), Springer, Berlin, 263-346.

Literaturverzeichnis 87[21] Saloff-Coste, L. (1997): Lectures on finite Markov Chains. Lecture Notes inMathematics 1665, Lectures on Probability Theory and Statistics, Ecole d’Etéde Probabilités de Saint-Flour XXVI-1996, E. Giné et al., 301-413.[22] Stanley, R. P. (1997): Enumerative combinatorics. Cambridge studies in advancedmathematics, Volume 49, Cambridge University Press, Cambridge.[23] Tanny, S. (1973): A probabilistic interpretation of the Eulerian Numbers. DukeMathematical Journal, Volume 40, 717-722. Corrigenda (1974), Volume 41,689.[24] Wilson, D. B. (2004): Mixing times of Lozenge Tiling and card shuffling MarkovChains. Annals of Applied Probability, Volume 14, No. 1, 274-325.[25] Woess, W. (1980): Aperiodische Wahrscheinlichkeitsmaße auf topologischenGruppen. Monatshefte Mathematik 90, 339-345.[26] Worpitzky, J. (1883): Studien über die Bernoullischen Zahlen und EulerschenZahlen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 94, 203-232.

Ich versichere, dass ich die Diplomarbeit selbständig verfasst und keine anderenals die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Alle Stellen der Arbeit,die anderen Werken dem Wortlaut oder Sinn nach entnommen wurden, habe ichin jedem Fall unter Angabe der Quelle als Entlehnung kenntlich gemacht.Münster, 15. März 2005(Walter Peter Sendfeld)