2 Mehrdimensionale mechanische Wellen

TO Stuttgart – OII 307 (Physik)16.11.09Die Erklärung der Brechung mit Hilfe des Huygensschens Prinzip erfolgt ähnlich zurReflexion.Zum Zeitpunkt an dem der untere Rand der Welle die Grenzfläche im Punkt A 1 erreicht,ist am oberen Rand der Welle der Punkt B 1 noch ∆s1 = B1B2= v1⋅ ∆tentfernt. Wenn derobere Rand die Wellenfront die Barriere im Punkt B 2 erreicht, hat sich der untere Randim zweiten Medium um ∆s2 = A1A2= v2⋅ ∆tweiterbewegt. Wird nun ein Kreis um A 1 mit∆tr1 = ∆s2= v2⋅ ∆tgezogen und weitere Elementarwellen, hier exemplarisch für r2= v2⋅2in der Mitte der Wellenfront, eingezeichnet, so ergibt sich die neue Wellenfront wiederals Einhüllende der Elementarwellen.Aus der Überlegung lässt sich auch das Brechungsgesetz direkt ableiten. Dazu werdenB1B2v1∆tdie Dreiecke A1B2B1und A1A2B2betrachtet. Im ersten Dreieck gilt sinα = = .A B A BEbenso gilt im zweiten DreieckA1Asin β =A Blässt sich das Brechungsgesetz herleiten:122v2∆t=A B12. Aus den beiden Gleichungen1212sinα=sin βB1BA1BA1AA B12222=v1∆tA1B2v2∆tA B12=vv12Aufgaben:1. Lassen Sie die Simulation http://www.walter-fendt.de/ph14d/huygens.htm mehrmalslaufen und vollziehen Sie die einzelnen Schritte nach.2. Leiten Sie analog zum Brechungsgesetz das Reflexionsgesetz durch geometrischeÜberlegungen her.Version 3.1 vom 30.11.2009 18© J. Schmid, nur zum internen Gebrauch an der TO Stuttgart bestimmt

TO Stuttgart – OII 307 (Physik)16.11.093. Eine Wasserwelle geht vom Schwimmerbecken (c=20m/s) ins Nicht-Schwimmerbecken(c=15m/s) über. Es läuft unter einem Winkel von 30° gegenüber dem Lotein. Berechnen4. Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in Glass mit demBrechungsindex n=1,33.Hinweis: Schauen Sie in der Formelsammung bzw. Ihrem Buch nach wie derBrechungsindex definiert ist.2.4 Beugung von mehrdimensionalen WellenBeugung tritt auf, wenn eine Welle auf einem Gegenstand trifftder etwa eine Ausdehnung in der Größenordnung der Wellenlängehat, z.B. wenn die Welle durch einen Spalt geht der etwaFaktor 10-100 mal so breit ist wie die Wellenlänge. Beugung istgrundsätzlich von Brechung zu unterscheiden. Brechung tritt aneiner Grenzfläche, d.h. beim Wechsel zwischen zwei Medien aufund ist mit dem Brechungsgesetz zu erklären. Beugung tritt auchund gerade dann auf wenn kein Wechsel des Mediums stattfindetund ist nur mit dem Huygenschen Prinzip zu erklären. Im Bild dargestellt ist das Verhalteneiner ebenen Wellenfront nach dem Durchgang durch einen schmalen Spalt 13 .Es ist eindeutig zu erkennen, dass die Welle sich nach dem Spalt nicht länger geradlinigausbreitet. Die Wellenfront existiert auchin den Bereichen, in denen bei geradlinigerAusbreitung keine Welle vorhandensein dürfte, den Schattenbereichen.Dieses Phänomen wird alsBeugung bezeichnet.Die Beugung lässt sich am besten füreinen sehr schmalen Spalt erklären. DerSpalt soll so klein sein, dass lediglich eineeinzelne Elementarwelle entsteht. Diesebreitet sich anschließend kreisförmig aus,d.h. nach dem Spalt entsteht ein Wellenbild, als wäre an der Stelle des Spaltes eineinzelner Wellenerreger. Somit entsteht auch eine Wellenfront im Schattenbereich desSpaltes. Wird der Spalt nun breiter, so überlagern sich die Elementarwellen in der„Mitte“ des Spaltes wieder zu einer (näherungsweisen) ebenen Wellenfront, wie sie beider geradlinigen Ausbreitung der Welle zu erwarten wäre. In den Randbereichen desSpaltes bleiben die letzten Elementarwellen „übrig“ und es entsteht ein viertelkreisförmigeWellenfront im Schattenbereich.13 Ob die Welle durch einen schmalen Spalt tritt oder um ein Objekt gleicher Größe „herumfließt“ ist fürden weiteren Verlauf der Welle ab einem gewissen Abstand („Fernfeld“) zu dem Spalt bzw. Objektegal.Version 3.1 vom 30.11.2009 19© J. Schmid, nur zum internen Gebrauch an der TO Stuttgart bestimmt

TO Stuttgart – OII 307 (Physik)16.11.09Dieses Verhalten ist auch an scharfenKanten zu beobachten: die Welle geht„ums Eck“. Dieses Phänomen ist in derAlltagswelt ganz leicht bei Schallwellen zubeobachten: Obwohl kein direkter Wegvon der Schallquelle (Sprecher) zumEmpfänger (Ohr) besteht, hören wir dasGeräusch, zum Beispiel durch eine offeneTür. Auch Wasserwellen in einemHafenbecken breiten sich nicht nurgeradlinig im Bereich der Hafeneinfahrtaus, sondern nehmen die gesamteWasserfläche ein. Auch hier sindWellenart und Wellenform gleichgültig, bei allen ist Beugung zu beobachten, wenn derSpalt klein genug oder die Kante scharf genug wird.Mit Hilfe der Beugung lässt sich sehr leicht nachweisen, dass Licht eine Welle ist. Entgegenjeder klassischen Alltagserfahrung zeigt Licht Beugung, wenn der Spalt in denBereich von 10 µm und weniger kommt. Damit lässt sich auch auf die Wellenlänge vonLicht schließen: Sie muss in der Größenordnung von µm sein 14 .Der Grundeffekt der Beugung wird in den weiteren Betrachtungen sehr wichtig zur Erklärungder Beobachtungen sein.Aufgaben:1. Nennen Sie weitere Beispiele in denen Beugung eine Rolle spielt.2. Schätzen Sie die Wellenlänge von Schall ab und erläutern Sie damit, warum Sieauch „um die Ecke“ hören können. Warum können Sie nicht „um die Ecke“sehen?2.5 (*) Absorption, Streuung, PolarisationBeim Durchgang durch Medien wird ein Teil der Welle absorbiert, d.h. die Welleschwächt sich ab. Man spricht von Absorption. Dabei werden die Grundeigenschaftender Welle nicht verändert, wie etwa Wellenlänge und Frequenz. Lediglich die Amplitudefällt ab. Die Art der Abnahme hängt vom Medium ab, meist erfolgt er exponentiell mitder Eindringtiefe. Das Maß der Abnahme hängt extrem von der Wellenlänge hab.Typisch Beispiel ist das Verhalten von Glas für verschiedene Lichtwellenlängen: Infrarotwird kaum absorbiert, das Ultraviolette innerhalb von Millimetern.Physikalischer Einschub:Die Absorption von Wellen wird in der Wellenfunktion berücksichtigt, indem ein Faktoreingefügt wird. Im eindimensionalen Fall ergibt sich:−k⋅x⎛ ⎛ t x ⎞ ⎞y(x,t)= yˆ⋅e⋅cos⎜2π⋅⎜+ ⎟ + ϕ ⎟⎝ ⎝ T λ ⎠ ⎠Der Absorptionskoeffizient k legt die Geschwindigkeit der Abnahme fest.14 Vorgriff: Licht ist eine elektromagnetische Welle, d.h. vom Prinzip her nichts anderes als Mikrowellen.Es besitzt lediglich eine andere Wellenlänge ( λ ≈ 0,4− 0,8µm = 400 −800nm) im Vergleich zuMikrowellen ( λ ,1 10cm).≈ 0 −Version 3.1 vom 30.11.2009 20© J. Schmid, nur zum internen Gebrauch an der TO Stuttgart bestimmt

TO Stuttgart – OII 307 (Physik)16.11.09Das Phänomen Streuung beschreibt die Reflexion von Wellen an einer nicht ebenenglatten Oberfläche oder mehreren kleinen Objekten. Typisches Auftreten ist an Kieselsteinenin Bächen, mattierte Glasscheiben oder Nebeltropfen. Streuung ist beispielsweiseverantwortlich für das Himmelsblau und Abendrot. Mathematisch ist Streuung nursehr schwer zu beschreiben, alle Reflexionen gehorchen dem Reflexionsgesetz, aberdurch die gekrümmten Oberflächen müssen an jedem Objekt eine Vielzahl vonElementarwellen betrachtet werden.Auch bei mehrdimensionalen Wellen tritt Polarisation auf, ist jedoch schwer vorstellbarund noch schwerer zweidimensional darstellbar.Version 3.1 vom 30.11.2009 21© J. Schmid, nur zum internen Gebrauch an der TO Stuttgart bestimmt