Protokoll Grundpraktikum II: E4 Wechselstromwiderstände

Protokoll Grundpraktikum II:E4 WechselstromwiderständeSebastian Pfitzner21. November 2013Durchführung: Anna Andrle (550727), Sebastian Pfitzner (553983)Arbeitsplatz: Fensterplatz, von der Tür aus linksBetreuer: Dr. U. Müller, R. SchurbertVersuchsdatum: 13.11.2013AbstractIn diesem Versuch geht es um die Untersuchung der Eigenschaften von Wechselstromwiderständenund Schwingkreisen. Hierzu wird in verschiedenen Schaltungendie Quellspannung und die Spannung über einem bekannten Widerstand inAbhängigkeit der Frequenz der sinusförmigen Wechselspannung gemessen. Hiermitlassen sich die theoretischen Überlegungen zur Frequenzabhängigkeit von Spulenund Kondensatoren überprüfen. Außerdem lassen sich daraus die Kenngrößen denWechselstromwiderstände bestimmen, also Kapazität, Induktivität bzw. ohmscherWiderstand der Spule. Auch das Verhalten eines Schwingkreises aus Widerstand,Spule und Kondensator wird überprüft.Inhaltsverzeichnis1 Messwerte und Auswertung 21.1 Untersuchung des Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Untersuchung der Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Untersuchung des Reihenschwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Vergleichswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Ergebnisdiskussion 91

1 Messwerte und AuswertungZunächst wird die korrekte Funktionsweise der Messanordnung bestimmt, in demder Frequenzgenerator direkt an den Oszillograph angeschlossen wird, so dass dietatsächliche Frequenz überprüft werden konnte.1.1 Untersuchung des KondensatorsFür diesen Teil des Versuchs wird eine Reihenschaltung aus Kondensator und bekanntemWiderstand (R p = (10±0,03)Ω 1 ) aufgebaut, wobei mit dem Oszillographdie Quellspannung sowie die Spannung über dem Widerstand gemessen werdenkann. Aus den Beziehungenergibt sich folgende Gleichung:R C = U GI C= 1ωC = 12πfCI C = U RR pU R = 2πR p C · fU G (1)Hierbei ist U G die Generatorspannung, f die Frequenz von U G , C die zu bestimmendeKapazität des Kondensators und U R die Spannung über dem Widerstand.Dieser Zusammenhang ermöglicht einen linearen Fit der gewonnenen Daten, wobeif ·U G als Argument der Funktion dient, denn der Widerstand ist frequenzabhängigund die Generatorspannung ist umgekehrt dazu lastabhängig. Demzufolge solltediese Abhängigkeit in linearer Näherung wegfallen, wenn das Produkt verwendetwird. Aus dem Anstieg a 1 der so gewonnenen Funktion lässt sich die Kapazitätoffensichtlich wie folgt berechnen:C = a 12πR p(2)Aus der gaußschen Fehlerfortpflanzung ergibt sich folgende Unsicherheit der Kapazität:)√2 (∆C = √( 1· ∆a 2 1 + − a ) 21· ∆R2πR p 2πR 2 p2 p (3)Tabelle 1 stellt die Messwerte dar, die zur Bestimmung der Kapazität benutztwerden. Sie werden in Abbildung 1 samt einem linearen Fit (mit der Matlab-Routine chisqlinfit 2 ) dargestellt. Die Unsicherheiten von jeder mit dem Oszillographengemessenen Spannung ergibt sich aus einem Ablesefehler von ca.1 siehe blaues Skript für die Unsicherheit eines Dekadenwiderstands2 zu finden unter http://people.physik.hu-berlin.de/~pfitzseb/matlab.html2

f [kHz] 1,00 2,00 3,00 4,07 5,01 6,09 7,09 8,10 9,08 10,03 15,05U G [V] 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,4 5,4 5,3 5,3 5,1 4,92 · U R [V] 0,065 0,130 0,190 0,260 0,320 0,380 0,440 0,504 0,560 0,610 0,825Tab. 1: Abhängigkeit der Spannung über dem Widerstand und der Generatorspannung vonder Frequenz bei einer RC-Schaltung0,1 Skalenteilen sowie einem demgegenüber vernachlässigbar kleinem Messgerätefehlerund wird so auch in der restlichen Auswertung verwendet. Aus dem soSpannung UR in V0.40.350.30.250.20.15DatenFitFit-Funktion: a(1) · x+ a(2) · 1a(1) = 0.005833 ± 0.0001a(2) = 0.000346 ± 0.001χ 2DoF = 0.134060.1Residuen0.050.040.020−0.02−0.0410 20 30 40 50 60 70f · U G in V·kHz10 20 30 40 50 60 70Abb. 1: linearer Fit der Spannung über dem Widerstand R p in Abhängigkeit vom Produktder Generatorfrequenz- und Spannung bei eingesetztem Kondensatorgewonnenen Parameter a 1 lässt sich nun mithilfe der Formeln (2) und (3) nun dieKapazität und dessen Unsicherheit berechnen:1.2 Untersuchung der SpuleC m = (93 ± 2)nFHier soll nun die Induktivität und der ohmsche Widerstand der Spule bestimmtwerden. Dazu wird, analog zur Bestimmung der Kapazität des Kondensators, die3

Generatorspannung und -frequenz sowie der Spannungsabfall über dem bekanntenWiderstand R p gemessen. Die BeziehungR 2 gesamt = U 2 GI 2= U 2 G · R 2 pU 2 R= (R L + R p ) 2 + 4π 2 f 2 L 2 (4)erlaubt nun wiederum einen linearen Fit, wobei das Verhältnis zwischen QuadratGeneratorspannung U G und Quadrat des Stroms I in Abhängigkeit vom Quadratder Frequenz f geplottet wird. Aus dem Anstieg b 1 der gefitteten Geraden lässtsich die Induktivität L ableiten und aus dem Schnittpunkt mit der y-Achse (b 2 ) derohmschen Widerstand R L der Spule bestimmen. Für die Unsicherheit des y-Wertes(also y = UG·R2 2 p) lässt sich folgende Größtfehlerabschätzung durchführen (das istUR2nötig, weil die Größen korreliert sind, aber der Korrelationskoeffizient unbekanntist):∆y =∣ 2U G · Rp2 ∣ ∣ ∣∣∣∣ · ∆U G +∣ 2U2 G · R ∣∣∣∣ p· ∆R p +∣ −2U2 G · Rp2 ∣ ∣∣∣∣· ∆U R (5)U 2 RU 2 RDie in Tabelle 2 aufgelisteten Messdaten werden im Diagramm 2 dargestellt undwie oben linear gefittet.f [Hz] 10,831 20,155 31,113 41,733 50,881 60,909 70,395 80,7 91,8112 · U G [V] 8 8,5 8,75 9 9,5 9,5 10 10 10,52 · U R [V] 0,5 0,48 0,46 0,44 0,42 0,38 0,36 0,32 0,3f [Hz] 100,9 199,65 309,8 407,97 510,072 · U G 10,5 10,5 10,75 11 112 · U R 0,29 0,16 0,11 0,085 0,07Tab. 2: Messwerte für Generatorspannung und Spannung über dem Widerstand R p in Abhängigkeitvon der GeneratorfrequenzDurch folgende offensichtliche Zusammenhänge errechnen sich nun die Induktivitätund der ohmsche Widerstand der Spule:√b2U 3 RL =(6)2π1∆L =2 √ 2b 1 π ∆b 1 (7)√R L = b 2 − R p (8)∆R L = 12 √ ∆b 2 (9)b 24

in Ω 2U G 2 · R2 pUR232.521.510.5x 10 6DatenFitFit-Funktion: b(1) · x+ b(2) · 1b(1) = 10 ± 1b(2) = 2.6 ·10 +04 ± 5 · 10 +03χ 2DoF = 0.0242100 0.5 1 1.5 2 2.5f 2 in Hz 2x 10 6x 10 51Residuen0−10 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 5Abb. 2: Abhängigkeit des Verhältnisses der Quadrate aus Strom und Generatorspannungin Abhängigkeit vom Quadrat der Frequenz bei eingesetzter SpuleDaraus ergeben sich folgende Ergebnisse:L m = (0,50 ± 0,03)HR m L = (150 ± 15)Ω1.3 Untersuchung des ReihenschwingkreisesNun wird die Schaltung so verändert, dass ein LRC-Glied entsteht, also eine Reihenschaltungvon Widerstand, Spule und Kondensator.Aufgrund der Frequenzabhängigkeit von den Scheinwiderständen von Kondensatorund Spule existiert eine Resonanzfrequenz, bei der der Widerstand und diePhasenverschiebung von Strom und Spannung minimal und der Strom maximalwird.Mit dem Oszillographen wird nun die Spannung über dem bekannten ohmschenWiderstand sowie die Quellspannung gemessen. Die Resonanzfrequenz lässt sicham besten über die Phasenverschiebung finden, insbesondere da der Oszillographes erlaubt, die beiden gemessenen Spannungen gegeneinander aufzutragen. Im Resonanzfallist eine Gerade zu beobachten, sonst eine Ellipse mit frequenzabhängigerkurzer Halbachse.In drei Messungen wurde die Resonanzfrequenz auf fRm = (742±2)Hz bestimmt.Die Unsicherheit wurde hier auf 2 Hz abgeschätzt, da die Frequenz am Frequenz-5

generator sich nicht präziser einstellen lässt und weiterhin die Strichbreite auf derAnzeige des Oszillographen keine genauere Bestimmung des Resonanzfalls erlaubt.In Tabelle 3 ist der Strom in Abhängigkeit von der Frequenz eingetragen, woraussich dann das Diagramm 3 ergibt.Die Unsicherheit des Stroms ergibt sich aus der gaußschen Fehlerfortpflanzungwie folgt:∆ U RR p=( ) √ 1 2 (R · ∆Rp 2 + p− U RR p) 2· ∆U 2 RDer in diesem Diagramm dargestellte nichtlineare Fit mit den Parametern c 1 =U G , c 2 = C, c 3 = L und c 4 = R wurde mit chisqfit 3 ) für folgende Funktion,wobei von einer konstanten Generatorspannung ausgegangen wird, da sonst einFit in zwei Variablen nötig wäre:I(f) =U G√R 2 + ( 2π · L · f − 12π·C·f) 2(10)f [Hz] 107,83 237,04 301,82 416,84 527,42 623,1 675,34 694,08 723,82 · U G 11 11 11 11 11 11 10,5 10 9,52 · U R 0,0075 0,018 0,024 0,04 0,07 0,13 0,21 0,25 0,32f [Hz] 740,13 770,3 784,25 828,83 910,66 990,74 1077 1134,5 1207,52 · U G 9 9,5 10 10,5 11 11 11 11 112 · U R 0,33 0,29 0,26 0,18 0,11 0,08 0,065 0,055 0,05Tab. 3: Messwerte für die Spitzenspannungen über dem Generator und dem Widerstand R pin Abhängigkeit von der FrequenzDie aus dem Fit gewonnenen Werte für die Kapazität und die Induktivität stimmenim Rahmen ihrer Genauigkeit gut mit den oben gewonnenen Werten überein:L f = (0,50 ± 0,01)HC f = (93 ± 2)nFAllerdings ist der Wert für den gesamten ohmschen Widerstand im Schwingkreisvon R f L = (350 ± 30)Ω deutlich zu hoch, um mit den ohmschen Widerständen derSpule und R p erklärt werden zu können.3 zu finden unter http://people.physik.hu-berlin.de/~pfitzseb/matlab.html6

in AURRpx 10 −318161412108642DatenFitFit-Funktion: c(1)/(sqrt(c(4) 2 + (2 ·pi·x·c(2) −1/(2 ·pi·x· c(3))) 2 ))c(1) = 5.73 ± 0.2c(2) = 0.495 ± 0.01c(3) = 9.331 ·10 −08 ± 2 · 10 −09c(4) = 350 ± 29χ 2DoF = 0.021644Residuenx 10 −320−2200 400 600 800 1000 1200f in Hz200 400 600 800 1000 1200Abb. 3: Fit für den Strom im Schwingkreis in Abhängigkeit von der GeneratorfrequenzWeiterhin lässt sich der Widerstand der Spule aus der Spannungsüberhöhungberechnen, denn im Resonanzfall gelten folgende Beziehungen:ρ = U LU G= U CU G(11)ρ = 2π · f · LR g=12π · f · C · R g(12)Hier ist R G der Gesamtwiderstand im Schaltkreis, also R p + R L ; also gilt R L =R G − R p . U L ist die Spannungsüberhöhung der Spule, U C die des Kondensators.Daraus ergeben sich folgende Formeln zur Berechnung des Gesamtwiderstandssowie seiner Unsicherheit im Schaltkreis:R L g = 2π · f · L · U G∆R L g =+⎡U L⎣( 2π · L · UGU L) 2· ∆f 2 +( 2π · f · LU L) 2· ∆U 2 G +( 2π · f · UGU L) 2· ∆L 2( ) 2−2π · f · L · UG· ∆UL⎤2 ⎦U 2 L12R C g =U G2π · f · C · U C7

⎡ (∆Rg C = ⎣U G) 2−· ∆f 2 +2π · f 2 · C · U C(U G) 2−· ∆C 22π · f · C 2 · U C() 2 () 21+· ∆U 2 U GG + −· ∆U 2 ⎦C⎤2π · f · C · U C 2π · f · C · UC212Mit dem Digitalmultimeter wurden im Resonanzfall bei f = 742 Hz Werte vonU G = (6,52 ± 0,07)VU L = (53,8 ± 0,54)VU C = (53,3 ± 0,54)Vgemessen. Aus diesen Gleichungen und Messwerten folgen dann zwei weitere Ergebnissefür den ohmschen Widerstand der Spule:R L L = (272 ± 9)ΩR C L = (272 ± 9)ΩAuch diese Werte sind deutlich höher als die bislang gewonnenen. Eine möglicheErklärung dafür wird in der Ergebnisdiskussion geliefert.Die Resonanzfrequenz lässt sich auch aus den bereits gewonnenen Werten für Cund L nach der Thomson’schen Schwingungsgleichung (Unsicherheit aus gaußscherFehlerfortpflanzung) berechnen:1f R =2π √ (13)LC∆f R = 1(2π ·√ −C ) 2 (· ∆L 2 + −L ) 2· ∆C 2 (14)2(LC) 3 22(LC) 3 2Daraus ergibt sich mit den obengenannten Werten folgendes Ergebnis:1.4 Vergleichswertef r R = (735 ± 25)HzMit dem Digitalmultimeter wurden Vergleichswerte für die Kapazität des Kondensatorssowie den ohmschen Widerstand der Spule bestimmt. Ein Vergleichswertfür die Induktivität wurde vom Versuchsleiter vor dem Versuch gegeben. Bei einerUnsicherheit von 1% des Messwertes und einem Digitalisierungsfehler von 1 Digitergeben sich folgende Werte:C V = (94 ± 1)nFL V = (0,5 ± 0,05)HR V L = (150 ± 1,6)Ω8

2 ErgebnisdiskussionAlle gewonnenen Werte für die Kapazität des Kondensators sowie die Induktivitätder Spule stimmen im Rahmen ihrer Unsicherheiten überein. Aus C V , C f und C mergibt sich eine gewichtetes Mittel (dessen Berechnung aufgrund der überlappendenFehlerintervalle zulässig ist) vonC = (93,7 ± 0,8)nFDie gleiche Berechnung ist auch für die Induktivität der Spule zulässig, was zufolgendem gewichteten mittel führt:L = (0,5 ± 0,01)HFür den ohmschen Widerstand der Spule ist dies allerdings - wie oben schon angedeutet- nicht der Fall. Die für ihn gewonnenen Werte unterscheiden sich drastisch,wobei der durch den linearen Fit (Abbildung 2) dem Vergleichswert am ehestenentspricht. Die Diskrepanz zwischen diesem Wert und dem im Resonanzfall desSchwingkreises gewonnenen Widerständen lässt sich möglicherweise durch die hoheLast im Resonanzfall erklären. Der Strom wird dann maximal, und ist nurdurch den Widerstand R p sowie den Innenwiderstand der Spannungsquelle begrenzt.Allerdings verändert sich der Stromfluss offensichtlich sinusförmig, so dasssich die Last ebenso verändert. Deshalb ist es gut möglich, dass die Spannungsquelleeine weit niedrigere Spannung liefert als vom Digitalmultimeter angezeigt.Tatsächlich ist bei der späteren Messung des Stroms und der Generatorspannung(siehe Tabelle 3) im nahen Resonanzbereich bei 740 Hz nur eine Spitzenspannungvon U G = 4,5 V gemessen worden. Mit diesem Wert reduziert sich der so gefundeneohmsche Widerstand der Spule auf RL ∗ = (195 ± 6)Ω.Allerdings ist auch dieser Wert noch deutlich zu groß, ebenso wie der aus dem Fitin Grafik 3 gewonnene. Eine mögliche Erklärung dafür sind Parasitärkapazitätenin der Spule sowie zu einem vermutlich viel höherem Ausmaß Wirbelstromverlustedurch die im massiven Eisenkern der Spule induzierten Ströme. Dort wird natürlichEnergie umgesetzt, was sich in einem höheren Widerstand äußert, der allerdingsals ohmscher Widerstand in Erscheinung tritt, denn er wird in den Formeln sonstnirgendwo berücksichtigt. Problematisch ist dabei jedoch der große Unterschieddes aus dem nichtlinearen Fit gewonnenen ohmschen Widerstands gegenüber demaus der Spannungsüberhöhung gewonnenen Wert. Diese Diskrepanz lässt sich zueinem gewissen Maß durch die im Fit nicht berücksichtigte Lastabhängigkeit derGeneratorspannung erklären.Der Unterschied in den Spannungsüberhöhungen von Kondensator bzw. Spulelässt sich durch den Innenwiderstand der Spule erklären, denn dieser vergrößertden Scheinwiderstand der Spule. Die von einer idealen Spule mit gleicher Induktivitäthervorgerufene Spannungsüberhöhung würde genau der des Kondensatorsentsprechen - deren Messung ist aber natürlich nicht möglich.9

Die rechnerische Bestimmung der Resonanzfrequenz des Schwingkreises lieferteinen Wert, der im Rahmen seiner Ungenauigkeit mit der Frequenz übereinstimmt,bei der die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung minimal wird. Dasgewichtete Mittel liefert hier aufgrund der großen Unsicherheit des berechnetenWertes folgendes Ergebnis:f R = (742 ± 2)HzDie χ 2 /DoF -Werte der Fits sind zwar unerwartet klein, da der Erwartungswertder χ 2 -Verteilung der Anzahl der Freiheitsgrade entspricht, aber die darauseigentlich zu ziehende Folgerung, dass entweder die Unsicherheiten der Messwertezu groß eingeschätzt wurden oder aber das Modell zu viele Parameter besitzterscheinen nicht gerechtfertigt - insbesondere bei den linearen Regressionen.10