123 Die Triviallösung x = 0 ist der Abschusspunkt. Die nicht triviale ...

3.5 Weitere Anwendungen 123Die Triviallösung x =0ist der Abschusspunkt. Die nicht triviale Lösungerhält man nach Division durch x(a 1 − a 2 ) ≠0:x s =(b 2 − b 1 ):(a 1 − a 2 )Wenn die Geländeneigung eine solche Wurfweite überhaupt zulässt, „überholt“ab der Schnittstelle die flachere Parabel die steilere.♠Anwendung: Brechungsgesetz (Abb. 3.63)Nach dem Brechungsgesetz gilt für den Einfallswinkel α und den Ausfallswinkelβ beim Übergang von Luft in Wasser sin α :sinβ =4:3Es gibtvon der Atmosphäre her keine Totalreflexion, d.h. alle Lichtstrahlen werden– zumindest teilweise – ins Wasser abgelenkt.Abb. 3.63 Totalreflexion Abb. 3.64 Die Situation im Wasser. . .Umgekehrt gibt es aber einen kritischen Winkel β 0 , ab dem kein Licht mehrvom Wasser durch die Oberfläche gelangt. β 0 ergibt sich für den Maximalwert1 von sin α:1sin β = 4 3 ⇒ sin β 0 = 3 4 ⇒ β 0 ≈ 48,6 ◦Eine Robbe, die im toten Winkel anschwimmt (Abb. 3.63), kann den Inuit, der beim Luftloch inder Eisschicht auf sie wartet, nicht sehen: Die einzigen Lichtstrahlen, die zum Jäger führen, werdendurch das Eis abgeschirmt. Auch der Inuit sieht die Robbe erst, wenn sie die Nasenlöcher aus demWasser streckt (Abb. 3.64)!♠Anwendung: Wer sieht wen?Abb. 3.65 Wer sieht hier wen?Keineswegs trivial!Abb. 3.66 Totalreflexion außerhalb Γ ∗ (links ist der Spurkreisvon Γ ∗ zu sehen)Im ruhigen Wasserbecken (Abb. 3.65 links) sieht Fisch A (der Taucher)• „alles“ außerhalb des Pools, wenn auch zum Teil stark verzerrt. Das gebrocheneBild liegt innerhalb eines Kreises c auf der Oberfläche. DieserKreis ist Spurkreis eines Drehkegels Γ mit dem Öffnungswinkel 2 × 48,6 ◦ ;

124 Kapitel 3: Winkel und Winkelfunktionen• die Totalreflexionen jener Teile des Beckens, die außerhalb des reflektiertenKegels Γ ∗ liegen, z.B. Fisch C (besonders deutlich in Abb. 3.66 links);• Reflexionen des übrigen Beckens (z. B. Fisch B) innerhalb c – als Folgevon Teilreflexion (je ruhiger die Wasseroberfläche, desto deutlicher);• die Fische B und C auch direkt!Auf einer Fotografie von außerhalb des Beckens (etwa vom Sprungbrett) siehtman alle Fische – teilweise stark verzerrt.♠Anwendung: Brechung an einer KugeloberflächeMan leite mit der Näherung sin x ≈ tan x ≈ x für kleine x (AnwendungS. 286) Formel (3.29) für die Brechung an einer sphärischen Oberfläche ab.Abb. 3.67 Brechung an einer kugelförmigen OberflächeLösung:Mit den Bezeichnungen von Abb. 3.67 gelten für die Außenwinkel β und α 1die Beziehungen(1) β = α 2 + γ (2) α 1 = δ + βSind c 1 und c 2 die Ausbreitungsgeschwindigkeiten des Lichts in den beidenMedien, dann gilt nach dem Brechungsgesetz (Anwendung S. 281)Dies führt zuWeiter giltn = c 1 : c 2 =sinα 1 :sinα 2 ≈ α 1 : α 2 ⇒ (3) α 2 ≈ 1 n α 1β = 1 (δ + β)+γ ⇒ δ + β + nγ = nβ ⇒ δ + nγ =(n − 1)βntan δ ≈ δ ≈ d g , sin β ≈ β ≈ d r , tan γ ≈ γ ≈ d bund somit die Näherungsformel1g + n b = n − 1(3.29)rr ist der Kugelradius, g und b sind die Gegenstandsweite bzw. Bildweite. DieLinsengesetze in dieser einfachen Form gelten immer nur für kleine Winkelϕ = δ in der Umgebung der optischen Achse (Gaußscher Raum), in Abb.3.67 durch grüne Strahlen gekennzeichnet. Die orangen Strahlen in größererEntfernung von der Achse hüllen eine „Brennlinie“ ein, gehen also nicht mehrdurch den Brennpunkt der Linse (Abb. 1.10 links).♠