Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̇̇5. September 2011 kreisel.texSpurkegel bzw. der Nutationskegel. Betrachtet man daneben die Gesamtheit der Punkte,die ω auf dem Trägheitsellipsoid durchstößt, so entsteht ein Kegel um die Figurenachse,der Polkegel.Die Bewegung wird dadurch beschrieben, dass dass der Polkegel am Spurkegel abrollt,wobei sich die Figurenachse gleichzeitig auf dem Nutationskegel bewegt. Spurkegel undNutationskegel sind raumfest. Je nachdem, ob das Ellipsoid verlängert oder abgeplattetist, rollt der Polkegel mit der Außen- oder Innenseite am Spurkegel ab.2. Analytische Beschreibung der Kreiselgleichungen2.1. Eulersche KreiselgleichungenDie Bewegungsgleichungen des Kreisels sind durch Gleichung (19) bestimmt. Insbesonderebenötigen wir hierdLL = Jω = ωJ und = τ (24)dtZunächst ist zu beachten, dass der Trägheitstensor eines sich bewegenden Körpers imAllgemeinen ebenfalls zeitabhängig sein muss, wir bestimmen deshalb die Änderungvon L direkt:dLdt = d dt m n r n × ṙn = d dt m n r n × (ω × r n )nndenn es istund= m n ṙn × ṙn + m n r n × d dt (ω × r n)nn= 0 + m n r n × ( ω ̇ × r n ) + m n r n × [ω × (ω × r n )]nr n × ( ω ̇ × r n ) =ω ⊗ r n − r n ⊗ r n ω =nω[r ̇ n1 − r n ⊗ r n ]r n × [ω × (ω × r n )] = ω ⊗ r n (ω × r n ) − (ω × r n ) ⊗ r n ω = 0 + ω × [r n × (ω × r n )]= ω × [ω ⊗ r n − r n ⊗ ωr n ]= ω × [ω(r n1 − r n ⊗ r n )]Summiert man diese Gleichungen über die m n , so steht jeweils rechts wieder der Trägheitstensor.Schreibt man die Gleichung (25) in Komponenten hin, so bekommt man die berühmtenEulerschen Kreiselgleichungen.(25)dLdt = ωJ ̇ + ω × Jω = τ (26)Dieses – im allgemeinen Fall nur sehr schwierig zu lösende – Gleichungssystem beschreibtnun die Bewegung des Kreisels vollständig.9