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kreisel.tex 5. September 2011LFLωωFLFLFNutNutSpurωPolωSpurPolAbb. 2 Die Abbildungen links beziehen sich auf einen langgestreckten, die rechts auf einen abgeplattetensymmetrischen Kreisel. In der oberen Reihe sind die Trägheitsellipsoide und die Tangentialebene auf der sieabrollen gezeichnet in der unteren Reihe die Bewegungen auf den verschiedenen Kegeln. F ist die Figurenachse,Nut der Nutationskegel, Spur der Spurkegel und Pol der Polkegel.1.5. Spezialfälle beim kräftefreien KreiselDer einfachste Fall ist dann gegeben, wenn alle drei Hauptträgheitsmomente gleich großsind, dann ist das Trägheitsellipsoid eine Kugel und es giltL = Jω = J(ω)Nun sind die Richtungen von L und ω gleich. Die möglichen Bewegungen sind alsoRotationen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um beliebige Achsen.Nun betrachten wir Kreisel, bei denen zwei Hauptträgheitsmomente gleich sind, J = J aber J > J (in dieser Richtung verlängerter Kreisel), oder J < J (in dieser Richtungabgeplatteter Kreisel). Die Symmetrieachse zeigt dann in Richtung der Achse von J undwird Figurenachse genannt.Beim Abrollen des Trägheitsellipsoids auf der Tangentialebene beschreiben die Drehachseω und die Figurenachse F je einen Kegel um L als Achse (siehe Abb. 2). Dies ist der8
̇̇5. September 2011 kreisel.texSpurkegel bzw. der Nutationskegel. Betrachtet man daneben die Gesamtheit der Punkte,die ω auf dem Trägheitsellipsoid durchstößt, so entsteht ein Kegel um die Figurenachse,der Polkegel.Die Bewegung wird dadurch beschrieben, dass dass der Polkegel am Spurkegel abrollt,wobei sich die Figurenachse gleichzeitig auf dem Nutationskegel bewegt. Spurkegel undNutationskegel sind raumfest. Je nachdem, ob das Ellipsoid verlängert oder abgeplattetist, rollt der Polkegel mit der Außen- oder Innenseite am Spurkegel ab.2. Analytische Beschreibung der Kreiselgleichungen2.1. Eulersche KreiselgleichungenDie Bewegungsgleichungen des Kreisels sind durch Gleichung (19) bestimmt. Insbesonderebenötigen wir hierdLL = Jω = ωJ und = τ (24)dtZunächst ist zu beachten, dass der Trägheitstensor eines sich bewegenden Körpers imAllgemeinen ebenfalls zeitabhängig sein muss, wir bestimmen deshalb die Änderungvon L direkt:dLdt = d dt m n r n × ṙn = d dt m n r n × (ω × r n )nndenn es istund= m n ṙn × ṙn + m n r n × d dt (ω × r n)nn= 0 + m n r n × ( ω ̇ × r n ) + m n r n × [ω × (ω × r n )]nr n × ( ω ̇ × r n ) =ω ⊗ r n − r n ⊗ r n ω =nω[r ̇ n1 − r n ⊗ r n ]r n × [ω × (ω × r n )] = ω ⊗ r n (ω × r n ) − (ω × r n ) ⊗ r n ω = 0 + ω × [r n × (ω × r n )]= ω × [ω ⊗ r n − r n ⊗ ωr n ]= ω × [ω(r n1 − r n ⊗ r n )]Summiert man diese Gleichungen über die m n , so steht jeweils rechts wieder der Trägheitstensor.Schreibt man die Gleichung (25) in Komponenten hin, so bekommt man die berühmtenEulerschen Kreiselgleichungen.(25)dLdt = ωJ ̇ + ω × Jω = τ (26)Dieses – im allgemeinen Fall nur sehr schwierig zu lösende – Gleichungssystem beschreibtnun die Bewegung des Kreisels vollständig.9
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