Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

5. September 2011 kreisel.texmit ω = ωâschreiben:T = ωJω = ω aJ ̂ a ̂ = J( ̂ a)ω = ω2r Dadurch wird der Betrag, aber nicht die Richtung von ω bei beliebiger Lage des Trägheitsellipsoidsdurch die kinetische Energie festgelegt, nach obiger Gleichung zuω = ω( a) ̂ = √2T r( a) ̂(22)Der Betrag von ω unterscheidet sich also vom „Radius“ r( a) ̂ des Trägheitsellipsoids nurum einen konstanten Faktor. Damit liegen die Endpunkte der bei gegebener Lage desTrägheitsellipsoids und gegebener kinetischer Energie möglichen Winkelgeschwindigkeitenauf einem zum Trägheitsellipsoid ähnlichen Ellipsoid (in Abb. 1) voll gezeichnet).Ist nun neben der kinetischen Energie auch der Drehimpuls L vorgegeben, dann bleibtvon den möglichen Winkelgeschwindigkeiten bei vorgegebener Lage des Trägheitsellipsoidsnur noch eine einzige übrig:L = ωJ = Jω = ∇ ω ⊗ ωJω = ∇ ωT(ω) = const (23)wo ∇ ω der Gradient bezüglich der Koordinaten von ω ist. Dieser Gradient ist ein Vektor,der in Richtung der Flächennormale des T(ω)-Ellipsoids weisen muss. (vgl.[2], Abschnitt2.2.3).Besitzt also der Drehimpuls die in Abb. 1 eingetragene Richtung, so muss man diejenigeunter den Ebenen mit Normale L aufsuchen, die gleichzeitig Tangentialebene an dasT(ω)-Ellipsoid ist. Im Berührpunkt von Ellipsoid und Tangentialebene liegt dann derEndpunkt des Vektors derjenigen Winkelgeschwindigkeit ω, die bei gegebener Lage desTrägheitsellipsoids und gegebenen Werten von L und T allein verbleibt.Da L und T konstant sind, aber T = Lω gilt, muss nun auch die Komponente ω L vonω in Richtung von L konstant sein. In der Abb. 1 hat sie die Bedeutung des Abstands derTangentialebene vom Mittelpunkt des Energieellipsoids (das folgt aus Gleichung (22)).Die Tangentialebene ist also raumfest. Damit kann der Kreisel nur solche Bewegungenausführen, bei denen das Energieellipsoid die Tangentialebene ständig berührt.Die Drehachse, die durch den Berührpunkt von Tangentialebene und Energieellipsoidlauft, besteht definitionsgemäß aus allen Punkten, die bei der Drehung invariant bleiben.Zu diesen gehört auch der Berührpunkt selbst. Damit bleibt dieser während eines kurzenZeitintervalls in erster Näherung unverändert. In zweiter Näherung ändert er sich nurdadurch, dass ω selbst sich ändert. Während ω ein Stück weitergerückt ist, wird er senkrechtabgehoben. Das hat zur Folge, dass das Energieellipsoid an der Tangentialebenenicht „schleifen“, sondern nur rollen kann. Wäre dies nicht so, würde also die Winkelgeschwindigkeitnicht durch den Berührpunkt gehen, wie ω ′ und ω ″ in Abb. 1 rechts,so entstünde ein Schleifen an der Tangentialebene. Wegen der Ähnlichkeit von EnergieundTrägheitsellipsoid rollt auch das Trägheitsellipsoids auf seiner Tangentialebene ab.7