Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

kreisel.tex 5. September 2011∇ ω TLω(â)ω ′ωω ′′ω LyT(ω)=constJ(â)=1/r 2 (â)Abb. 1 Lage des Trägheitsellipsoids J( a) ̂ = 1/r ( a) ̂ und des Energieellipsoids T(ω) bezüglich des DrehimpulsesL. Die Figuren sollten als ebene Figuren betrachtet werden.1.4. Der kräftefreie KreiselEin kräftefreier Kreisel ist genau im Schwerpunkt unterstützt. Dadurch übt die Schwerkraftkein Drehmoment auf ihn aus. Damit ist in den Gleichungen (19) überall τ = 0zu setzen. Somit sind die Ableitungen von L und T Null, also bleiben Drehimpuls undkinetische Energie erhalten.Zunächst bringen wir den Trägheitstensor auf seine Hauptachsendarstellung (vgl. dazu[3], Abschnitt 3.2.2). Das dabei entstehende Tensorellipsoid heißt hier sinnvollerweiseTrägheitsellipsoid. Alle Stellungen des Kreisels werden dann durch die Lage des mit ihmfest verbundenen Trägheitsellipsoids beschrieben.Wie in [3] beschrieben, bekommt man die Gleichung des Tensorellipsoids aus derGleichungyJy = y i J ik y k = 1i,kMit y = ra ̂ (hier ist âein Einheitsvektor) und J( a) ̂ = aJ ̂ âals dem zur Richtung âgehörendenTrägheitsmoment lautet diese GleichungaJ ̂ a ̂ = J( a) ̂ = 1r ( a) ̂(21)Zu jeder vom Mittelpunkt des Ellipsoids ausgehenden Richtung âliefert also der Abstandr nach (21) ein Maß für das zugehörige Trägheitsmoment. In der Abb. 1 ist die gestrichelteEllipse das Trägheitsellipsoid. Hier sind zunächst beliebige Werte für ω erlaubt. Ist nunaber die kinetische Energie konstant – so wie hier beim kräftefreien Kreisel, so kann man6