Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̇̇5. September 2011 kreisel.texMit dem in [3], Abschnitt 3.5 eingeführten Trägheitstensor (dort in Integralform statt inSummenform)bekommt man dannJ = m n [r n 1 − r n ⊗ r n ]nL = Jω = ωJDie Vertauschung der Reihenfolge der Faktoren ist möglich, weil der Trägheitstensorsymmetrisch ist.Auch die kinetische Energie lässt sich mit dem Trägheitstensor ausdrücken:T = n m n ̇ r n = nm n (ω × r n ) = m n ω[r n × (ω × r n )] = ωL = ωJω nDaraus folgt für die zeitliche Änderung der kinetischen Energie schließlich:T = r n F n = (ω × r n )F n = ω r n × F n = ωτnnnZusammengefasst haben wir nun die folgenden Beziehungen und Definitionen:L = Jω T = ωJω dLdt = τdTdt= ωτ (19)Hier kann man sehr schön die Analogie zur „translativen“ Schwerpunktsbewegungsehen:p = mv T = sms dpdt = FdTdt = vFmit v = ṡals Schwerpunktsgeschwindigkeit.Man kann die Winkelgeschwindigkeit in Betrag und Richtung zerlegt schreiben, alsoω = ωa, ̂ wobei âein Einheitsvektor in Richtung der Drehachse ist, dann giltaL ̂ ≡ LaJ ̂ â≡ J( a) ̂aτ ̂ ≡ τwobei nun die rechten Seiten die Drehimpulskomponente, bzw. das Trägheitsmomentbzw. die Drehmomentkomponente in Richtung âdarstellen. Dann gehen die Gleichungen(19) über inL = J( a)ω ̂T = J( ̂ a)ωâL ̇ = τ̇ T = ωτ (20)Diese Gleichungen scheinen nur einfacher als die Gleichungen (19) zu sein, denn imAllgemeinen ist auch âneben ω von t abhängig.5