Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̇̇̄̇̄kreisel.tex 5. September 2011Ausfolgt mit Gleichung (13)Weiter ist wegeṅ L =dL sdt= ms ̇ × s ̇ + ms × s ̈ = s × ms̈L s + L = τ = τ s + τ̄danṅ L s = s × F = τ s (15)L ̇̄ = τ ̄(16)Nun betrachten wir noch die Änderung der kinetischen Energie:aus der mit r̄̇n = ω × r̄n entsteht:T = ( s ̇ + ṙn )F n = sF ̇ + r̄̇n F nnnT ̇ = sF ̇ + ω × τ ̄(17)1.3. KreiselbewegungDer Kreisel ist ein starrer Körper, der in einem Punkt festgehalten wird. Er hat also dreiFreiheitsgrade weniger als der frei bewegliche starre Körper. Die drei verbleibendenFreiheitsgrade sind Drehungen des starren Körpers, bei denen die Abstände zum festgehaltenenPunkt in gleicher Weise konstant bleiben, wie vorher die zum Schwerpunkt.Daher wählt man zweckmäßigerweise den festgehaltenen Punkt als Koordinatenursprung.Drehimpuls und Drehmoment sind wie bisher durchL = m n r n × ṙn und τ = r n × F nnbestimmt, nun aber mit dem festgehaltenen Punkt als Bezugspunkt. Die Bewegung wirdwieder durch den DrehimpulssatzL ̇ = τbeschrieben. (Beim frei beweglichen Körper wie im vorigen Abschnitt hätte man hier die„gequerten“ Größen einzusetzen.)Da bei allen Bewegungen die Abstände |r n | konstant bleiben müssen, giltdr n = dφ × r n = ω × r n dt ⇒ ṙn = ω × r n (18)Damit wird der Drehimpuls unter Verwendung des Entwicklungssatzes für dreifacheVektorprodukte (vgl. [2], Abschnitt 1.4) zuL = m n r n × (ω × r n ) = m n [ω ⊗ r n − ωr n ⊗ r n ]nnn4