Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̄̄̄̄̄̄̄̄5. September 2011 kreisel.tex1.2. Abspaltung der SchwerpunktbewegungEs sei s der Schwerpunkt des Körpers. Dann kann man setzen:r n = s + r̄n (9)dann ist r̄n der Ort des Massenpunktes in einem System, dessen Ursprung der Schwerpunktist. Dann gilt für kleine Änderungen für die r n :dr n = ds + dr̄n mit dr̄n = dφ × r̄n (10)Da ja die Abstände | r̄n | vom Schwerpunkt konstant bleiben, setzt sich die Bewegung auseiner Translation des Schwerpunkts und einer durch dφ beschriebenen Drehung um eineAchse durch den Schwerpunkt zusammen. Daraus folgt nun für die GeschwindigkeitenDa nun giltṙn = s ̇ + ṙn mit ṙn = ω × r̄n (11)nm n ̇ ̄r n = ω × nm n r̄n = 0weil die letzte Summe gerade den m-fachen Ort des Schwerpunkts im Schwerpunktsystemangibt, also Null ist. Somit hat man für den Gesamtimpuls einfachp = mṡmit der Gesamtmasse m = m n (12)und der Impulssatz von Gleichung (7) geht innms ̈ = F (13)über. Allgemein könnte F außer von t, s und ṡnoch von der Lage des Körpers undvon ω abhängen. Dies kann allerdings dann nicht auftreten, wenn F nur aus masseproportionalenKräften wie der Schwerkraft aufgebaut ist. In diesem Fall kann also dieSchwerpunktsbewegung absepariert werden.Für Drehimpuls L, Drehmoment τ und kinetische Energie T bekommt man dannL = m n (s + r̄n ) × ( s ̇ + ṙn ) = ms × s ̇ + m n r̄n × ṙn ≡ L s + Lnτ = s × F + r × F n ≡ τ s + τ̄T = nnm n ( s ̇ + ṙn ) = ms + nnm nr ̇n ≡ T s + T̄(14)Damit sind alle Größen in zwei Teile zerlegt, deren einer durch den Schwerpunkt alleinbeschrieben wird, während der zweite unabhängig vom Schwerpunkt ist.3