Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̇kreisel.tex 5. September 20111. Beliebige Bewegung starrer Körper1.1. Physikalische Größen und BewegungsgleichungenWir denken uns den starren Körper aus Massenpunkten m n an den Orten r n aufgebaut,die den Bewegungsgleichungenm n r̈n = F n + Z n (1)gehorchen. Dabei sind die Z n die Zwangskräfte, die den Zusammenhalt des Körpersbewirken. Sie sorgen dafür, dass die gegenseitige Lage der Massenpunkte sich nicht ändert.Da nach dem Wechselwirkungsgesetz die Zwangskräfte paarweise entgegengesetztgleich sind, ist die von ihnen geleistete Arbeit bei einer Verrückung δr n Null, somit gilt Z n δr n = 0 und δW = (F n + Z n )δr n = F n δr n (2)nMit der Starrheit des Körpers verträgliche Verrückungen sind nun nur Verschiebungenum δr und Drehungen um einen Winkel δφ. Eine durch diese beiden Verrückungenbewirkte Änderung bedingt für die Massenelemente die Ortsveränderungnδr n = δr + δφ × r n (3)Durch diese Gleichung wird die allgemeinste Veränderung der Lage eines starren Körpersbeschrieben. Setzt man diese Verrückung in Gleichung (2) ein, dann erhält man:(δr + δφ × r n )Z n = δr Z n + δφ r n × Z n (4)nDa aber δr und δφ beliebig gewählt werden können, muss gelten:n Z n = 0 und r n × Z n = 0 (5)nDer Gesamtimpuls p, Gesamtdrehimpuls L und die gesamte kinetische Energie T sinddefiniert durch:p = nm n ṙnL = nnr n × m n ṙnnT = nnm n r ̇ n (6)Für die zeitlichen Änderungen von p und L gelten die Gleichungen (vgl. auch [1], Abschnitt2.2.7)dpdt = F = dLF n unddt = τ = r n × F n (7)nnwobei τ das Drehmoment ist. Die Änderung der kinetischen Energie istdTdt = nm n ṙn r̈n = r n F n (8)Da ein starrer Körper sechs Freiheitsgrade besitzt, müssen die 6 skalaren Gleichungenvon Gl. (7) zur Beschreibung der Bewegung ausreichen.n2