Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̇̇5. September 2011 kreisel.texder Lageenergie), die wir als 2W bezeichnen, also gilt2W = A( ̇ ψ sin θ + ̇ θ ) + 2D cos θ (54)Die Gleichungen (50), (51) und (54) beschreiben nun die Bewegung vollständig.Löst man (51) nach ψ auf, dann erhält man die Präzessionsfrequenz:Auflösen von Gleichung (50) nachψ ̇ = L z − L F cos θA sin θ̇ φ unter Verwendung von Gl. (55) ergibt:(55)φ ̇ = L FB −ψ cos θ = L FB + L F cos θ − L z cos θA sin θNun fehlt noch die Gleichung für θ(t), hat man dies, so kann man mit den beidenletzten Gleichungen sofort φ(t) und ψ(t) berechnen. Nach dem Energiesatz in der Form(54), wo man ψ̇mittels (55) ersetzt, folgt:(56)A θ ̇+ L z − L F cos θ + 2D cos θ = 2W (57)A sin θWir multiplizieren diese Gleichung mit (1/A) sin θ durch und führen die Variableu = cos θ ein. Dann entsteht:u̇ = 1 A [(1 − u )(2AW − 2ADu) − (L z − L F ) ] (58)als Bestimmungsgleichung für u(t). Die rechte Seite ist im Wesentlichen ein Polynomdritten Grades in u, die man faktorisieren kann. Dann bekommt man mit den Nullstellenu i :u̇ = 2D A (u − u )(u − u )(u − u ) (59)Untersucht man die Nullstellen – was hier nicht gemacht werden soll – erkennt man,dass zwei der Nullstellen im Intervall zwischen −1 und +1 liegen, die dritte rechts diesesIntervalls. Da die linke Seite der Gleichung positiv ist, können nur Bewegungen zwischenden Stellen −1 ⩽ u , u ⩽ 1 stattfinden. Sie begrenzen die Bewegung der Figurenachseauf einen Bereich zwischen θ min und θ min . Die geschlossene Lösung dieser Gleichungführt auf elliptische Integrale.2.4. Elementare Betrachtung zur PräzessionAuṡ L = τ bekommt man mittels Gl. (48) die BeziehungdL = τdt ⇒ dL = mgs sin θdtNimmt man nun an, dass L in Richtung der Figurenachse zeigt, dann präzediert L aufeinem Kegel um die z-Achse, seine Spitze beschreibt also einen Kreis mit dem Radius15