Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̇kreisel.tex 5. September 20112.3. Schwerer symmetrischer KreiselFzWir betrachten den nebenstehenden Kreisel, dessenSchwerpunkt S, an dem die Gewichtskraft mg angreift,außerhalb des Befestigungspunkts P liegt. Seine Bewegungwird durch die Eulersche KreiselgleichungωJ ̇ + ω × Jω = τ (47)beschrieben. Er unterliegt dem DrehmomentSmgsθPτ = s × F G = s × mg (48)der Schwerkraft. Dabei sei s der Vektor von P zumSchwerpunkt. Zwischen den Einheitsvektoren imraumfesten und körperfesten System gilt die ausGl. (35) folgende Beziehung:e z = (b sin φ + b cos φ) sin θ + e cos θ (49)Die Bewegungsgleichung wird unter Verwendung der Erhaltungssätze gelöst. Nach(48) steht das Drehmoment immer senkrecht auf s, der in der Figurenachse liegt undauf g, der in die negative z-Richtung zeigt. Damit ist der Gesamtdrehimpuls zwar keineErhaltunsgröße mehr, aber wohl aber seine Komponenten L F und L z in Richtung derFiguren- bzw. z-Achse.Nun istL z = ω B = B( ψ̇cos θ + φ) (50)Der Drehimpuls in z-Richtung ergibt sich so, wobei wie oben A = J = J und B = J fürHauptträgheitsmomente gesetzt wurde:L z = ωJe z = ωJ[sin θ(b sin φ + b cos φ) + b cos θ]= A sin θ(ω sin φ + ω cos φ) + ω B cos θ= Aψ̇sin θ + L F cos θ(51)wobei die ω i mittels Gleichung (36) ausgedrückt wurden.Jetzt schreiben wir noch den Energiesatz an E = E kin + E pot :E = ωJω + E pot (52)Hier ist E pot = mgz = mgs cos θ ≡ D cos θ. Im körperfesten System bekommt man dannfür die Gesamtenergie E:2E = A(ω + ω ) + Bω + 2D cos θ (53)Da B und nach Gl. (50) auch Bω konstant sind, ist auch Bω konstant, kann also in dieGesamtenergie hineingearbeitet werden (das ist nur eine Verschiebung des Nullniveaus14