Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̇̇̇̇̇5. September 2011 kreisel.texDadurch werden die Kreiselgleichungen vereinfacht zuWir führen die folgenden Abkürzungen ein:ω̇ A − ω ω (A − B) = τ ω̇ A − ω ω (B − A) = τ (38)ω̇ B = τ μ = τ + iτ Aν = τ Bα =A − BA(39)Damit entsteht für die komplexe Winkelgeschwindigkeit Ω:Ω ̇ = iω̇ + iω̇ = αω (ω − iω ) + μ = −iαω (ω + iω ) + μ (40)Zusammengefasst lauten die Bewegungsgleichungen dann:̇ Ω + iαω Ω = μω̇ = ν (41)In μ und ν ist das äußere Drehmoment enthalten. Es verschwindet beim kräftefreienKreisel, so dass dann μ = ν = 0 ist und ω = const. Dann kann man Gl. (41) leicht lösenund erhältμ = ν = 0; ω = const; Ω(t) = Ω e −αω t (42)mit beliebigen Zahlenwerten für die Integrationskonstanten ω und Ω .Wählt man im raumfesten System die Richtung des Drehimpulses als e z und die Richtungder Figurenachse als b im körperfesten System. Dann ist θ der Winkel zwischen e zund b , wie man der Abb. 3 entnimmt. Nach Gl. (27) ist ω B die Drehimpulskomponentein Richtung der Figurenachse im körperfesten System. Damit ist dannω B = L cos θ (43)Nach Gl. (42) ist aber die linke Seite von (43) konstant. Daraus folgtθ = const also ̇ θ = 0 (44)für den Eulerschen Winkel θ. Gemäß den Gleichungen (36) und (37) gilt dann mit (42):ψ cos θ + φ = ω und ( θ ̇ + iψ̇sin θ)e −φ = Ω e −αω t(45)Mit θ = 0 aus (44) und der Forderung, dass die Beträge und Argumente beider Seitengleich sein müssen, folgt dann | ψ̇sin θ| = Ω und φ = ω − ψ cos θ̇ ψ sin θ = const und φ(t) = φ + αω t (46)13