Zur Bewegung starrer Körper - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

̇̇̇̇̇̇̇̇5. September 2011 kreisel.texDie jeweilige Lage im Raum kann durch die Eulerschen Winkel φ, ψ und θ beschriebenwerden (vlg.[3], Abschnitt 3.4.4; dort wurde u i statt b i geschrieben). Die durch dieseWinkel ausgezeichnete Achse b wird sinnvollerweise mit einer der Hauptachsen zusammengelegt,bei einem symmetrischen Kreisel mit der Figurenachse. Die Bewegungdes Kreisels in einer kurzen Zeitspanne dt besteht aus einer infinitesimalen Drehungωdt, bei der sich die drei Eulerschen Winkel ändern. Sie kann also, weil infinitesimaleDrehungen vertauschbar sind, beschrieben werden durchωdt = dψ + dθ + dφ (33)Der Drehtensor einer infinitesimalen Drehung ist nach [3], Abschnitt 3.4.5 gegebendurchD = 1 + dφ × 1 dφ = e ψ dψ + e θ dθ + e φ dφDann istdφ = ωdt ω = e ψ ψ ̇ + e θ θ + e φ φAus der Abbildung 3 kann man nun die Drehachsen im raumfesten und im körperfestenSystem entnehmen. Im raumfesten System gilt:e ψ = e ze θ = e ′ x = e x cos ψ + e y sin ψe φ = b = −e ′ y sin θ + e z cos θ = (e x sin ψ − e y cos ψ) sin θ + e z cos θ(34)Im körperfesten System entsprechend:e φ = b e θ = e ′ x = b cos φ − b sin φe ψ = e z = e ″ y sin θ + b cos θ = (b sin φ + e cos φ) sin θ + b cos θ(35)Nun kann man diese Ergebnisse in ω einsetzen und erhält für die Winkelgeschwindigkeitim System (e x , e y , e z ) bzw. (b , b , b ):ω = e x ( θ̇cos ψ + φ sin θ sin ψ) + e y ( θ̇sin ψ − φ sin θ cos ψ) + e z ( ψ ̇ + φ cos θ)ω = b ( θ̇cos φ + ψ sin θ sin φ) − b ( θ̇sin φ − ψ sin θ cos φ) + b ( φ ̇ + ψ cos θ)(36)Die Komponenten ω und ω des körperfesten Systems kann man zu einer komplexenWinkelgeschwindigkeit Ω zusammenfassen:Ω = ω + iω = ( ̇ θ + i ̇ ψ sin θ)e −φ (37)2.2. Kräftefreier symmetrischer KreiselDie Hauptträgheitsmomente seien nun wie obenJ = J = A und J = B11